《思考，快與慢》讀書筆記

　　01

　　實(shí)際情境

　　實(shí)際情境摘自《思考，快與慢》第16章“ 因果關(guān)系比統(tǒng)計(jì)學(xué)信息更具說(shuō)服力”。

　　一輛出租車在夜晚肇事后逃逸。

　　這座城市有兩家出租車公司，其中一家公司的出租車是綠色的，另一家是藍(lán)色的。

　　你知道以下數(shù)據(jù)：

　　●這座城市85%的出租車是綠色的，15%是藍(lán)色的。

　　●一位目擊證人辨認(rèn)出那輛肇事出租車是藍(lán)色的。當(dāng)晚，警察在出事地點(diǎn)對(duì)證人的證詞進(jìn)行了測(cè)試，得出的結(jié)論是：目擊者在當(dāng)時(shí)能夠正確辨認(rèn)出這兩種顏色的概率是80%，錯(cuò)誤的概率是20%。

　　這場(chǎng)事故的出租車是藍(lán)色而不是綠色的概率是多少?

　　02

　　解題過(guò)程

　　貝葉斯定理是什么?

　　P(A|B)=P(B|A)×P(A)/P(B)

　　P(A)、P(B)是A、B事件的先驗(yàn)概率或邊緣概率，P(A|B)是已知B發(fā)生后A的條件概率，也由于得自B的取值而被稱作A的后驗(yàn)概率，P(B|A)的 含義同上。

　　這個(gè)情境中的A事件、B事件是什么呢?要求解的是這場(chǎng)事故的出租車是藍(lán)色的概率，細(xì)化下其實(shí)要求解的是證人證詞為藍(lán)色的前提下肇事車確為藍(lán)車的概率。那么A事件就可以定為肇事車為藍(lán)車，B事件為證人證詞為藍(lán)色。P(A)=15%，P(B)未知，P(B|A)是肇事車為藍(lán)車的前提下目擊證人正確分辨出藍(lán)色肇事車，其概率為80%。

　　接下去的重點(diǎn)就是P(B)的求解了，對(duì)P(B)使用全概率公式

　　P(B)=P(綠)P(B|綠)+P(A)P(B|A)=85%×20%+15%×80%=29%

　　最后得出 P(A|B)=80%×15%/29%=41%。

　　可以看出，最關(guān)鍵的步驟在于確定證人證詞為藍(lán)色的概率。

　　03

　　細(xì)解貝葉斯定理

　　貝葉斯定理求解出的貝葉斯概率與經(jīng)典概率是有區(qū)別的。

　　經(jīng)典概率基于概率論，在概率論中我們是基于已有的理論模型來(lái)推斷未知事件發(fā)生的概率;而貝葉斯概率則是基于統(tǒng)計(jì)學(xué)的，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中我們觀察數(shù)據(jù)，并推斷什么樣的理論模型可以解釋我們觀察到的數(shù)據(jù)。因此貝葉斯概率認(rèn)為概率是我們個(gè)人的主觀概念，表明我們對(duì)某個(gè)事物是否發(fā)生的相信程度，換句話說(shuō)，它解決的是來(lái)自外部的信息與我們大腦內(nèi)信念的交互關(guān)系。

　　上面采用了十分抽象的字母A、B表示事件，為了便于理解，我們采用另外一套字母體系：H和E(D)。其中H=hypothesis，E=evidence(或D=data)。如此一來(lái)，貝葉斯定理就可以表述為通過(guò)不斷的收集證據(jù)E(數(shù)據(jù)D)來(lái)強(qiáng)化對(duì)假設(shè)事件H的信心。因此，貝葉斯定理就表述為

　　P(H|E)=P(H)*P(E|H)/P(E)

　　P(H)—先驗(yàn)概率，又叫基礎(chǔ)概率，是無(wú)任何條件限制下事件H發(fā)生的概率

　　P(H|E)—后驗(yàn)概率

　　P(E|H)—條件似然

　　如果把H與~H看作兩類人，那么這兩類人針對(duì)同一件事會(huì)有不同的看法和傾

　　向，條件似然描述的就是這兩類不同的人針對(duì)事件E表現(xiàn)出的傾向概率。注意H

　　和~H兩者并不互斥，即P(E|H)+P(E|~H)≠1

　　P(E)—整體似然，在所有情況下證據(jù)E發(fā)生的概率，因?yàn)樗�起到歸一化的作用，所以又稱為歸一化常量。

　　具體計(jì)算過(guò)程可以解讀為后驗(yàn)比(Posterior odds ratio)=先驗(yàn)比(Prior odds ratio)×似然比(Likelihood ratio)1×似然比2×……，然后標(biāo)準(zhǔn)化。

　　采用另外一套字母體系后，最初提出的出租車問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為

　　目擊證人能正確分辨出肇事車輛顏色的概率是80%，錯(cuò)誤分辨出肇事車輛顏色的概率是20%，出租車輛是藍(lán)色的概率是15%，若目擊證人正確辨認(rèn)出肇事車輛的前提下，肇事車輛是藍(lán)色出租車的概率是多少?(理解為通過(guò)目擊證人來(lái)校正肇事車輛是藍(lán)色出租車這個(gè)先驗(yàn)事件的概率)

　　1. 這里的先驗(yàn)事件是肇事車輛是藍(lán)色出租車，先驗(yàn)概率P(A)=15%

　　2.“兩類人”就是能正確分辨兩種顏色和不能正確分辨兩種顏色的人，兩者是互斥的

　　因此，解題如下：

　　先驗(yàn)比=15%：(1-15%)=3/17

　　似然比=80%:20%=4

　　后驗(yàn)比=(3/17)×4=12/17

　　標(biāo)準(zhǔn)化后得后驗(yàn)概率=(12/17)/(12/17+1)=41%

　　在這個(gè)情境里，來(lái)自外部的信息就是出租車輛是藍(lán)色的概率，而目擊證人能正確分辨出租車輛的顏色則是我們大腦內(nèi)的信念，通過(guò)貝葉斯定理解決了兩者的交互關(guān)系。

　　04

　　貝葉斯定理的實(shí)際應(yīng)用

　　通過(guò)上述的描述，我們知道貝葉斯定理是統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)，但其實(shí)它在心理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、神經(jīng)科學(xué)等領(lǐng)域都有巨大潛力。因?yàn)檫@類問(wèn)題的研究對(duì)象往往具有極高的不確定性，是由大量較低一級(jí)單元組成的復(fù)雜系統(tǒng)。在這種情況下，我們可以采用貝葉斯建模(先驗(yàn)和似然)，將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和理論結(jié)合起來(lái)。

　　“裙子的顏色是黑色還是金色?”

　　和顏色相關(guān)的特征是反射率，黑色的物體代表反射率為0，白色的物體是1。反射光強(qiáng)既及入射光×反射率決定了我們看到的顏色，我們的眼睛只能檢測(cè)反射光強(qiáng)，而我們的物體識(shí)別問(wèn)題實(shí)際上是想找到反射率這個(gè)特征(與顏色相關(guān))。但我們的眼睛收集到的反射光強(qiáng)既包含反射率，又包含入射光的信息，因此我們看到的黑白灰的色彩實(shí)際上使我們的大腦根據(jù)先驗(yàn)和似然性做出的貝葉斯推斷。

　　這個(gè)例子中的先驗(yàn)就是我們?cè)谧匀唤缰�，根�?jù)時(shí)間現(xiàn)場(chǎng)的光線強(qiáng)度等對(duì)于入射光強(qiáng)做出的估計(jì)數(shù)值;而似然就是不同顏色物體的反射率，兩者結(jié)合就可以推出反射光強(qiáng)的后驗(yàn)分布，而這個(gè)分布的峰值，正是你最可能看到的顏色。

　　這個(gè)實(shí)驗(yàn)很好的解釋了每個(gè)人看到的裙子顏色和日常經(jīng)驗(yàn)里對(duì)現(xiàn)場(chǎng)光強(qiáng)的先驗(yàn)有關(guān)，而這也在告訴我們，我們看到的東西并非真實(shí)，因?yàn)槲覀兘邮艿男畔⒖偸怯邢薜�，我們�(cè)诓蛔杂X(jué)地做大量的腦補(bǔ)，這些腦補(bǔ)組成了我們最終看到的世界。

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