高考數(shù)學導數(shù)題型歸納(文科) (2)

導數(shù)題型歸納

首先，關于二次函數(shù)的不等式恒成立的主要解法：1、分離變量；2變更主元；3根分布；4判別式法5、二次函數(shù)區(qū)間最值求法：（1）對稱軸（重視單調(diào)區(qū)間）與定義域的關系（2）端點處和頂點是最值所在其次，分析每種題型的本質(zhì)，你會發(fā)現(xiàn)大部分都在解決“不等式恒成立問題”以及“充分應用數(shù)形結(jié)合思想”，創(chuàng)建不等關系求出取值范圍。

最后，同學們在看例題時，請注意尋找關鍵的等價變形和回歸的基礎一、基礎題型：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值；不等式恒成立；1、此類問題提倡按以下三個步驟進行解決：

第一步：令f"(x)0得到兩個根；第二步：畫兩圖或列表；第三步：由圖表可知；

其中不等式恒成立問題的實質(zhì)是函數(shù)的最值問題，2、常見處理方法有三種：

第一種：分離變量求最值-----用分離變量時要特別注意是否需分類討論（>0,=0,

第三種：構(gòu)造函數(shù)求最值

題型特征：f(x)g(x)恒成立h(x)f(x)g(x)0恒成立；從而轉(zhuǎn)化為第一、二種題型例3:已知函數(shù)f(x)x3ax2圖象上一點P(1,b)處的切線斜率為3，g(x)x（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）當x[1,4]時，求f(x)的值域；

（Ⅲ）當x[1,4]時，不等式f(x)g(x)恒成立，求實數(shù)t的取值范圍。

思路1：要使f(x)g(x)恒成立，只需h(x)0，即t(x22x)2x6分離變量思路2：二次函數(shù)區(qū)間最值

二、題型一：已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍

解法1：轉(zhuǎn)化為f"(x)0或f"(x)0在給定區(qū)間上恒成立，回歸基礎題型

解法2：利用子區(qū)間；首先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間，然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集；做題時一定要看清楚“在（m,n）上是減函數(shù)”與“函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（a,b）”，要弄清楚兩句話的區(qū)別：前者是后者的子集

例4：已知aR，函數(shù)f(x)3t62x(t1)x3(t0)213a12xx(4a1)x．122（Ⅰ）如果函數(shù)g(x)f(x)是偶函數(shù)，求f(x)的極大值和極小值；（Ⅱ）如果函數(shù)f(x)是(,)上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

131x(2a)x2(1a)x(a0).32（I）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（II）若f(x)在[0，1]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。子集思想

例5、已知函數(shù)f(x)

三、題型二：根的個數(shù)問題

題1函數(shù)f(x)與g(x)（或與x軸）的交點======即方程根的個數(shù)問題解題步驟

第一步：畫出兩個圖像即“穿線圖”（即解導數(shù)不等式）和“趨勢圖”即三次函數(shù)的大致趨勢“是先增后減再增”還是“先減后增再減”；

第二步：由趨勢圖結(jié)合交點個數(shù)或根的個數(shù)寫不等式（組）；主要看極大值和極小值與0的關系；第三步：解不等式（組）即可；

13(k1)21xx，g(x)kx，且f(x)在區(qū)間(2,)上為增函數(shù)．323(1)求實數(shù)k的取值范圍；(2)若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)k的取值范圍．

例6、已知函數(shù)f(x)

12x2xc2（1）若x1是f(x)的極值點且f(x)的圖像過原點，求f(x)的極值；

12（2）若g(x)bxxd，在（1）的條件下，是否存在實數(shù)b，使得函數(shù)g(x)的圖像與函數(shù)f(x)的圖像

2恒有含x1的三個不同交點？若存在，求出實數(shù)b的取值范圍；否則說明理由。

例7、已知函數(shù)f(x)ax3

題2：切線的條數(shù)問題====以切點x0為未知數(shù)的方程的根的個數(shù)

例7、已知函數(shù)f(x)ax3bx2cx在點x0處取得極小值－4，使其導數(shù)f"(x)0的x的取值范圍為(1,3)，求：（1）f(x)的解析式；（2）若過點P(1,m)可作曲線yf(x)的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．

題3：已知f(x)在給定區(qū)間上的極值點個數(shù)則有導函數(shù)=0的根的個數(shù)解法：根分布或判別式法例8、

例9、已知函數(shù)f(x)a3121xx，(aR,a0)（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）令g(x)＝x4＋f（x）（x∈R）

432有且僅有3個極值點，求a的取值范圍．

其它例題：

（a0）1、（最值問題與主元變更法的例子）.已知定義在R上的函數(shù)f(x)ax32ax2b在區(qū)間2,1上的

最大值是5，最小值是－11.

（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的解析式；（Ⅱ）若t[1,1]時，f(x）tx0恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.

23xax2bxc3(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在x1時有極值且在函數(shù)圖象上的點(0,1)處的切線與直線3xy0平行,求f(x)的解

2、（根分布與線性規(guī)劃例子）已知函數(shù)f(x)析式；

(Ⅱ)當f(x)在x(0,1)取得極大值且在x(1,2)取得極小值時,設點M(b2,a1)所在平面區(qū)域為S,經(jīng)過原點的直線L將S分為面積比為1:3的兩部分,求直線L的方程.

323、（根的個數(shù)問題）已知函數(shù)f(x)axbx(c3a2b)xd(a0)的圖象如圖所示。

（Ⅰ）求c、d的值；

（Ⅱ）若函數(shù)f(x)的圖象在點(2,f(2))處的切線方程為3xy110，求函數(shù)f(x)的解析式；（Ⅲ）若x05,方程f(x)8a有三個不同的根，求實數(shù)a的取值范圍。

13xax2x1(aR)3（1）若函數(shù)f(x)在xx1,xx2處取得極值，且x1x22，求a的值及f(x)的單調(diào)區(qū)間；

4、（根的個數(shù)問題）已知函數(shù)f(x)（2）若a

1125，討論曲線f(x)與g(x)x(2a1)x(2x1)的交點個數(shù)．226x32105、（簡單切線問題）已知函數(shù)f(x)2圖象上斜率為3的兩條切線間的距離為，函數(shù)

5a3bxg(x)f(x)2．3

a（Ⅰ）若函數(shù)g(x)在x1處有極值，求g(x)的解析式；

（Ⅱ）若函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,1]上為增函數(shù)，且bmb4g(x)在區(qū)間[1,1]上都成立，求實數(shù)m的取值范圍．

2

擴展閱讀：高考數(shù)學導數(shù)題型歸納(文科) (1)

文科導數(shù)題型歸納

請同學們高度重視：

首先，關于二次函數(shù)的不等式恒成立的主要解法：1、分離變量；2變更主元；3根分布；4判別式法5、二次函數(shù)區(qū)間最值求法：（1）對稱軸（重視單調(diào)區(qū)間）與定義域的關系（2）端點處和頂點是最值所在

其次，分析每種題型的本質(zhì)，你會發(fā)現(xiàn)大部分都在解決“不等式恒成立問題”以及“充分應用數(shù)形結(jié)合思想”，創(chuàng)建不等關系求出取值范圍。

最后，同學們在看例題時，請注意尋找關鍵的等價變形和回歸的基礎

一、基礎題型：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值；不等式恒成立；

1、此類問題提倡按以下三個步驟進行解決：第一步：令f"(x)0得到兩個根；第二步：畫兩圖或列表；第三步：由圖表可知；

其中不等式恒成立問題的實質(zhì)是函數(shù)的最值問題，2、常見處理方法有三種：

第一種：分離變量求最值-----用分離變量時要特別注意是否需分類討論（>0,=0,解法一：從二次函數(shù)的區(qū)間最值入手：等價于gmax(x)0

g(0)g(3)030m209m330解法二：分離變量法：

∵當x0時,g(x)x2mx330恒成立,當0x3時,g(x)x2mx30恒成立

等價于mx3x3x2x3x的最大值（0x3）恒成立，

而h(x)xm2

（0x3）是增函數(shù)，則hmax(x)h(3)2

(2)∵當m2時f(x)在區(qū)間a,b上都為“凸函數(shù)”則等價于當m2時g(x)xmx30恒成立

2變更主元法

再等價于F(m)mxx230在m2恒成立（視為關于

F(2)0F(2)0m的一次函數(shù)最值問題）

20x2x31x122xx30ba2

-22請同學們參看201*第三次周考：例2：設函數(shù)f(x)13x2ax323axb(0a1,bR)

2（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；

（Ⅱ）若對任意的x[a1,a2],不等式f(x)a恒成立，求a的取值范圍.

（二次函數(shù)區(qū)間最值的例子）

解：（Ⅰ）f(x)x4ax3ax3axa0a1

22

f(x)a3aa3a令f(x)0,得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（a,3a）令f(x)0,得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（－，a）和（3a，+）

∴當x=a時，f(x)極小值=34ab;當x=3a時，f(x)3極大值

=b.

22（Ⅱ）由|f(x)|≤a，得：對任意的x[a1,a2],ax4ax3aa恒成立①

則等價于g(x)這個二次函數(shù)gmax(x)agmin(x)ag(x)x24ax3a2的對稱軸x2a

0a1,a1aa2a（放縮法）

即定義域在對稱軸的右邊，g(x)這個二次函數(shù)的最值問題：單調(diào)增函數(shù)的最值問題。

g(x)x4ax3a在[a1,a2]上是增函數(shù).g(x)maxg(a2)2a1.g(x)ming(a1)4a4.22∴

a1,x2aa2

于是，對任意x[a1,a2]，不等式①恒成立，等價于

g(a2)4a4a,4解得a1.g(a1)2a1a5又0a1,∴

45a1.

點評：重視二次函數(shù)區(qū)間最值求法：對稱軸（重視單調(diào)區(qū)間）與定義域的關系

第三種：構(gòu)造函數(shù)求最值

題型特征：f(x)g(x)恒成立h(x)f(x)g(x)0恒成立；從而轉(zhuǎn)化為第一、二種題型

例3；已知函數(shù)f(x)x3ax2圖象上一點P(1,b)處的切線斜率為3，

g(x)x3t62x(t1)x32(t0)

（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）當x[1,4]時，求f(x)的值域；

（Ⅲ）當x[1,4]時，不等式f(x)g(x)恒成立，求實數(shù)t的取值范圍。

f/(1)3a3解：（Ⅰ）f(x)3x2ax∴，解得

b2b1a（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)在[1,0]上單調(diào)遞增，在[0,2]上單調(diào)遞減，在[2,4]上單調(diào)遞減

/2又f(1)4,f(0)0,f(2)4,f(4)16∴f(x)的值域是[4,16]（Ⅲ）令h(x)f(x)g(x)t2x(t1)x32x[1,4]

2思路1：要使f(x)g(x)恒成立，只需h(x)0，即t(x2x)2x6分離變量思路2：二次函數(shù)區(qū)間最值

二、題型一：已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍解法1：轉(zhuǎn)化為f"(x)0或f"(x)0在給定區(qū)間上恒成立，回歸基礎題型解法2：利用子區(qū)間（即子集思想）；首先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間，然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集；

做題時一定要看清楚“在（m,n）上是減函數(shù)”與“函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（a,b）”，要弄清楚兩句話的區(qū)別：前者是后者的子集

例4：已知aR，函數(shù)f(x)112x3a12x(4a1)x．

2（Ⅰ）如果函數(shù)g(x)f(x)是偶函數(shù)，求f(x)的極大值和極小值；（Ⅱ）如果函數(shù)f(x)是(,解：f(x))上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

14x(a1)x(4a1).

1123x3x，f(x)2（Ⅰ）∵f(x)是偶函數(shù)，∴a1.此時f(x)14x3，

2令f(x)0，解得：x23.列表如下：

xf(x)f(x)(－∞,－2+遞增3)－203(－23,23)－遞減230(23,+∞)+遞增極大值極小值可知：f(x)的極大值為f(23)43，f(x)的極小值為f(23)43.（Ⅱ）∵函數(shù)f(x)是(,∴f(x))上的單調(diào)函數(shù)，

14x(a1)x(4a1)0，在給定區(qū)間

22R上恒成立判別式法

則(a1)414(4a1)a2a0，解得：0a2.

2綜上，a的取值范圍是{a0a2}.

例5、已知函數(shù)f(x)13x312(2a)x(1a)x(a0).

2（I）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（II）若f(x)在[0，1]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。子集思想

2（I）f(x)x(2a)x1a(x1)(x1a).

21、當a0時,f(x)(x1)0恒成立,當且僅當x1時取“=”號，f(x)在(,)單調(diào)遞增。2、當a0時,由f(x)0,得x11,x2a1,且x1x2,

f(x)-1a-1,(1,單調(diào)增區(qū)間：(,1)a,1)單調(diào)增區(qū)間：(1a1是上述增區(qū)間的子（II）當f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,則0,集：

1、a0時，f(x)在(,)單調(diào)遞增符合題意2、0,1a1,，a10a1綜上，a的取值范圍是[0，1]。

三、題型二：根的個數(shù)問題

題1函數(shù)f(x)與g(x)（或與x軸）的交點======即方程根的個數(shù)問題解題步驟

第一步：畫出兩個圖像即“穿線圖”（即解導數(shù)不等式）和“趨勢圖”即三次函數(shù)的大致趨勢“是先增后減再增”還是“先減后增再減”；第二步：由趨勢圖結(jié)合交點個數(shù)或根的個數(shù)寫不等式（組）；主要看極大值和極小值與

0的關

系；

第三步：解不等式（組）即可；例6、已知函數(shù)f(x)13x3(k1)2x，g(x)213kx，且f(x)在區(qū)間(2,)上為增函數(shù)．

（1）求實數(shù)k的取值范圍；

（2）若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)k的取值范圍．

2解：（1）由題意f(x)x(k1)x∵f(x)在區(qū)間(2,)上為增函數(shù)，

2∴f(x)x(k1)x0在區(qū)間(2,)上恒成立（分離變量法）

即k1x恒成立，又x2，∴k12，故k1∴k的取值范圍為k1（2）設h(x)f(x)g(x)h(x)x2x33(k1)2x2kx13，

(k1)xk(xk)(x1)

2令h(x)0得xk或x1由（1）知k1，

①當k1時，h(x)(x1)0，h(x)在R上遞增，顯然不合題意②當k1時，h(x)，h(x)隨x的變化情況如下表：

x(,k)(k,1)kh(x)h(x)1(1,)k60極大值3130極小值k12k22由于

k120，欲使f(x)與g(x)的圖象有三個不同的交點，即方程h(x)0有三個不同的實根，故需k36k22130，即(k1)(k2k1，解得k12k2)0∴2k2k203

綜上，所求k的取值范圍為k13

根的個數(shù)知道，部分根可求或已知。例7、已知函數(shù)f(x)ax312x2xc

2（1）若x1是f(x)的極值點且f(x)的圖像過原點，求f(x)的極值；（2）若g(x)12bxxd，在（1）的條件下，是否存在實數(shù)b，使得函數(shù)g(x)的圖像與函數(shù)f(x)的

高考資源網(wǎng)2圖像恒有含x1的三個不同交點？若存在，求出實數(shù)b的取值范圍；否則說明理由。

解：（1）∵f(x)的圖像過原點，則f(0)0c0f(x)3ax2x2，

又∵x1是f(x)的極值點，則f(1)3a120a1

2f(x)3xx2(3x2)(x1)0

23227f(x)-123f極大值(x)f(1)32)f極小值(x)f(

（2）設函數(shù)g(x)的圖像與函數(shù)f(x)的圖像恒存在含x1的三個不同交點，

等價于f(x)g(x)有含x1的三個根，即：f(1)g(1)dx3312(b1)

12x2x122122bxx12212(b1)整理得：

即：x(b1)xx(b1)0恒有含x1的三個不等實根

12(b1)xx2（計算難點來了：）h(x)x312(b1)0有含x1的根，

則h(x)必可分解為(x1)(二次式)0，故用添項配湊法因式分解，

xxx32212(b1)xx212(b1)0

1122x(x1)(b1)xx(b1)0

22x(x1)121(b1)x22x(b1)0210)b(1)x十字相乘法分解：x2(x1)(b1x121(x1)x(b1)x(b1)0

22x312(b1)xx221212(b1)0恒有含x1的三個不等實根(b1)0有兩個不等于-1的不等實根。

等價于x12(b1)x112(b1)4(b1)042b(,1)(1,3)(3,)(1)21(b1)1(b1)022

題2：切線的條數(shù)問題====以切點x0為未知數(shù)的方程的根的個數(shù)

32例7、已知函數(shù)f(x)axbxcx在點x0處取得極小值－4，使其導數(shù)f"(x)0的x的取值范圍

為(1,3)，求：（1）f(x)的解析式；（2）若過點P(1,m)可作曲線yf(x)的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．

（1）由題意得：f"(x)3ax2bxc3a(x1)(x3),(a0)

∴在(,1)上f"(x)0；在(1,3)上f"(x)0；在(3,)上f"(x)0因此f(x)在x01處取得極小值4

∴abc4①，f"(1)3a2bc0②，f"(3)27a6bc0③

a132由①②③聯(lián)立得：b6，∴f(x)x6x9x

c9,（2）設切點Q(t,f(t))，yf(t)f(t)(xt)

2

y(3t12t9)(xt)(t6t9t)(3t12t9)xt(3t12t9)t(t6t9)(3t12t9)xt(2t6t)過(1,m)m(3t12t9)(1)2t6tg(t)2t2t12t9m0

3223222222232令g"(t)6t6t126(tt2)0，求得：t1,t2，方程g(t)0有三個根。需：g(1)023129m0m16g(2)01612249m0m1122故：11m16；因此所求實數(shù)m的范圍為：(11,16)

題3：已知f(x)在給定區(qū)間上的極值點個數(shù)則有導函數(shù)=0的根的個數(shù)

解法：根分布或判別式法

例8、

17

解：函數(shù)的定義域為R（Ⅰ）當m＝4時，f(x)＝x3－x2＋10x，

322

f(x)＝x－7x＋10，令f(x)0，解得x5,或x2.

令f(x)0，解得2x5

可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,2)和（5，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間為2,5．（Ⅱ）f(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6,

要使函數(shù)y＝f(x)在（1，＋∞）有兩個極值點,f(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6=0的根在（1，＋∞）

根分布問題：

1(m3)24(m6)0;則f(1)1(m3)m60;，解得m＞3m31.2

例9、已知函數(shù)f(x)a3x312x，(aR,a0)（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）令g(x)＝

214x4＋f

（x）（x∈R）有且僅有3個極值點，求a的取值范圍．解：（1）f(x)axxx(ax1)

"當a0時，令f(x)0解得x"21a或x0，令f(x)0解得1a,0).

"1ax0，

所以f(x)的遞增區(qū)間為(,1a)(0,)，遞減區(qū)間為(1a當a0時，同理可得f(x)的遞增區(qū)間為(0，)，遞減區(qū)間為(,0)(1a,).

（2）g(x)314x24a3x312x有且僅有3個極值點

222g(x)xaxxx(xax1)=0有3個根，則x0或xax10，a2

2方程xax10有兩個非零實根，所以a40,

2a2或a而當a2或a2時可證函數(shù)yg(x)有且僅有3個極值點

其它例題：

1、（最值問題與主元變更法的例子）.已知定義在R上的函數(shù)f(x)ax32ax2b（a0）在區(qū)間2,1上的最大值是5，最小值是－11.

（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的解析式；

（Ⅱ）若t[1,1]時，f(x）tx0恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.解：（Ⅰ）f(x)ax2axb,f(x)3ax4axax(3x4)

"令f(x)=0,得x10,x232"2432,1

因為a0，所以可得下表：xf(x)"2,0+00極大0,1-f(x)因此f(0)必為最大值,∴f（0）5因此b5，f(2)16a5,f(1)a5,f(1)f(2)，

32即f(2)16a511，∴a1，∴f(x）x2x5.

22（Ⅱ）∵f(x)3x4x，∴f(x）tx0等價于3x4xtx0，

2令g(t)xt3x4x，則問題就是g(t)0在t[1,1]上恒成立時，求實數(shù)x的取值范圍，

3x25x0g(1)0為此只需，即2，

g（1)0xx0解得0x1，所以所求實數(shù)x的取值范圍是[0，1].2、（根分布與線性規(guī)劃例子）

（1）已知函數(shù)f(x)23xaxbxc

32(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在x1時有極值且在函數(shù)圖象上的點(0,1)處的切線與直線3xy0平行,求

f(x)的解析式；

(Ⅱ)當f(x)在x(0,1)取得極大值且在x(1,2)取得極小值時,設點M(b2,a1)所在平

面區(qū)域為S,經(jīng)過原點的直線L將S分為面積比為1:3的兩部分,求直線L的方程.解：(Ⅰ).由f(x)2x22axb,函數(shù)f(x)在x1時有極值,

∴2ab20∵f(0)1∴c1又∵f(x)在(0,1)處的切線與直線3xy0平行,∴f(0)b3故a∴f(x)23x312

12x3x1…………………….7分

2)取得極小值,

2(Ⅱ)解法一:由f(x)2x22axb及f(x)在x(0,1)取得極大值且在x(1,f(0)0∴f(1)0即

f(2)0b02ab20令M(x,4ab80xb2y),則

ya1x20ay1∴∴2yx20故點M所在平面區(qū)域S為如圖△ABC,

bx24yx60易得A(2,0),B(2,1),C(2,2),D(0,1),E(0,32),SABC2

同時DE為△ABC的中位線,SDEC∴所求一條直線L的方程為:

x0

13S四邊形ABED

另一種情況設不垂直于x軸的直線L也將S分為面積比為1:3的兩部分,設直線L方程為ykx,它與AC,BC分別交于F、G,則k0,S四邊形DEGF1

由ykx2yx20ykx4yx60得點F的橫坐標為:xF22k164k1

由得點G的橫坐標為:xG12326

∴S四邊形DEGFSOGESOFD解得:k124k112122k1121即16k2k50

2或k58(舍去)故這時直線方程為:y12x

綜上,所求直線方程為:x0或yx.…………….………….12分

2)取得極小值,

2(Ⅱ)解法二:由f(x)2x2axb及f(x)在x(0,1)取得極大值且在x(1,∴f(0)0b0f(1)0即2ab20令M(x,4ab80f(2)0xb2y),則

ya1x20ay1∴∴2yx20故點M所在平面區(qū)域S為如圖△ABC,

bx24yx60易得A(2,0),B(2,1),C(2,2),D(0,1),E(0,32),SABC2

同時DE為△ABC的中位線,SDEC13S四邊形ABED∴所求一條直線L的方程為:x0

12x,設直線BO與AC交于H,

另一種情況由于直線BO方程為:y1yx由得直線L與AC交點為:H(1,22yx201*)

∵SABC2,SDEC121221212,SABHSABOSAOH12211221212

∴所求直線方程為:x0或yx

323、（根的個數(shù)問題）已知函數(shù)f(x)axbx(c3a2b)xd(a0)的圖象如圖所示。

（Ⅰ）求c、d的值；

（Ⅱ）若函數(shù)f(x)的圖象在點(2,f(2))處的切線方程為3xy110，求函數(shù)f(x)的解析式；

（Ⅲ）若x05,方程f(x)8a有三個不同的根，求實數(shù)a的取值范圍。解：由題知：f(x)3ax2bx+c-3a-2b

（Ⅰ）由圖可知函數(shù)f(x)的圖像過點(0,3)，且f1=0

d3

3a2bc3a2b0c0d32

得（Ⅱ）依題意

f2=3且f(2)=5

12a4b3a2b3解得a=1,b=68a4b6a4b35所以f(x)=x36x2+9x+3

（Ⅲ）依題意f(x)=ax3+bx2(3a+2b)x+3(a＞0)

2

fx=3ax+2bx3a2b由f5=0b=9a

①

若方程f(x)=8a有三個不同的根，當且僅當滿足f(5)＜8a＜f(1)②由①②得25a+3＜8a＜7a+3所以當

111111＜a＜3

＜a＜3時，方程f(x)=8a有三個不同的根。12分

13xaxx1(aR)

324、（根的個數(shù)問題）已知函數(shù)f(x)（1）若函數(shù)f(x)在xx1,xx2處取得極值，且x1x22，求a的值及f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若a12，討論曲線f(x)與g(x)12x(2a1)x256(2x1)的交點個數(shù)．

解：（1）f"(x)x22ax1

x1x22a,x1x21

x1x2(x1x2)4x1x224a42

2a02分

22f(x)x2ax1x1

令f(x)0得x1,或x1令f(x)0得1x1

∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,1)，(1,)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1,1)5分（2）由題f(x)g(x)得

即

13x(a133313xaxx1160

163212x(2a1)x256

12)x2ax1222令(x)x(a2)x2ax(2x1)6分

(x)x(2a1)x2a(x2a)(x1)

令(x)0得x2a或x17分

a12

當2a2即a1時

x2(2,1)1(x)－(x)8a92a

此時，8a920，a0，有一個交點；9分12當2a2即1ax時，

(2,2a)22a023a(32a)2(2a,1)1(x)(x)2328a92＋16aa(32a)929160,

9169a0時，有兩個交點；當8a0，且a0即21619當0a時，8a0，有一個交點．13分

2291綜上可知，當a或0a時，有一個交點；

1629a0時，有兩個交點．14分當16∴當8a0即1a時,有一個交點；

5、（簡單切線問題）已知函數(shù)f(x)g(x)f(x)3bxxa32圖象上斜率為3的兩條切線間的距離為

2105，函數(shù)

3．2a（Ⅰ）若函數(shù)g(x)在x1處有極值，求g(x)的解析式；

（Ⅱ）若函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,1]上為增函數(shù)，且bmb4g(x)在區(qū)間[1,1]上都成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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