二次函數(shù)知識點總結(jié)[1]

二次函數(shù)知識點

一、二次函數(shù)概念：

1．二次函數(shù)的概念：一般地，形如yax2bxc（a，的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這b，c是常數(shù)，a0）里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)a0，而b，c可以為零．二次函數(shù)的定義域是全體實a的絕對值越大，拋物線的開口越小。

三、二次函數(shù)圖象的平移

1.平移步驟：

⑴頂點式y(tǒng)axhk，“左加右減，上加下減”．方法二：

⑴yaxbxc:向上平移m個單位，

22yax2bxc變成yax2bxcm（或yax2bxcm）

⑵yaxbxc向左（右）平移m個單位----，yaxbxc變成

22ya(xm)2b(xm)c

五、二次函數(shù)yax2bxc圖象的畫法

七、二次函數(shù)解析式的表示方法

1.一般式：yax2bxc（a，b，c為常數(shù)，a0）；2.頂點式：ya(xh)2k（a，h，k為常數(shù)，a0）；

3.兩根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是拋物線與x軸兩交點的橫坐標）.三種形式可以互化.

九、二次函數(shù)圖象的對稱

二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達1.關(guān)于x軸對稱

2yaxbx關(guān)于cx軸對稱后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是yaxhk；

222.關(guān)于y軸對稱

2bx關(guān)于cy軸對稱后，得到的解析式是yax2bxc；yaxyaxhk關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是yaxhk；

223.關(guān)于原點對稱

2bx關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是cyax2bxc；yax1

kyaxhk；yaxh關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是

224.關(guān)于頂點對稱-----先變頂點式

yaxhk關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是yaxhk．

225.關(guān)于點m，n對稱

yaxhk關(guān)于點m，n對稱后，得到的解析式是yaxh2m2nk

22

十、二次函數(shù)與一元二次方程：

b24ac①圖象與x軸交于兩點Ax1，.0，Bx2，0(x1x2)，ABx2x1a②當0時，圖象與x軸只有一個交點；

③當0時，圖象與x軸沒有交點.

1"當a0時，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實數(shù)，都有y0；2"當a0時，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實數(shù)，都有y0．

2

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一元二次函數(shù)知識點匯總

1.定義：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常數(shù)，a0)，那么y叫做x的一元二次函數(shù).2.二次函數(shù)yax2的性質(zhì)

(1)拋物線yax2（a0）的頂點是原點，對稱軸是y軸.(2)函數(shù)yax2的圖像與a的符號關(guān)系：

時拋物線開口向上頂點為其最低點；②當a0時拋物線開口向下頂點為其最高點3.二次函數(shù)yax2bxc的圖像是對稱軸平行于(包括重合)y軸的拋物線.

0①當a4.二次函數(shù)yax2222bxc用配方法可化成：yaxhk的形式，其中hb，k4acb.

2a4a5.拋物線yaxbxc的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.①a決定拋物線的開口方向：

當a0時，開口向上；當a0時，開口向下；a越小，拋物線的開口越大，a越大，拋物線的開口越小。②對稱軸為平行于y軸(或重合)的直線，記作xh.特別地，y軸記作直線x0.③定點是拋物線的最值點[最大值(a0時)或最小值(a0時)]，坐標為(h,k)。6.求拋物線的頂點、對稱軸的方法

2bb4acbb4acb2(1)公式法：yaxbxcax，∴頂點是.（，），對稱軸是直線x2a2a4a2a4a22(2)配方法：運用配方法將拋物線的解析式化為yaxhk的形式，得到頂點為(h,k)，對稱軸是xh.

2(3)運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以拋物線上縱坐標相等的兩個點

連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.

★用配方法求得的頂點，再用公式法或?qū)ΨQ性進行驗證，才能做到萬無一失★7.拋物線yax2bxc中，a,b,c的作用

(1)a決定開口方向及開口大小，這與yax2中的a完全一樣.

(2)b和a共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線yax2bxc的對稱軸是直線x①b0時，對稱軸為y軸；②ba2b2a,故：

0時,對稱軸在y軸左側(cè)；③ba0時,對稱軸在y軸右側(cè).

(3)c的大小決定拋物線yaxbxc與y軸交點的位置.

2當x0時，yc，∴拋物線yaxbxc與y軸有且只有一個交點(0，c)：

①c0，拋物線經(jīng)過原點;②c0,與y軸交于正半軸；③c0,與y軸交于負半軸.以上三點中，當結(jié)論和條件互換時仍成立.如拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，則ba0.

8.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

①yax；②yaxk；③yaxh；④yaxhk；⑤yaxbxc.圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標2x0(y軸)yax(0,0)22222yax2k2當a0時開口向上a0時k當開口向下x0(y軸)xhxhxb2a(0,k)(h,0)(h,k)2yaxhyaxh2yax2bxc4acb，(2a4ab)

9.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

(1)一般式：yax2bxc.已知圖像上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式.(2)頂點式：yaxhk.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.

2(3)交點式：已知圖像與x軸的交點坐標x1、x2，通常選用交點式：yaxx1xx2.10.直線與拋物線的交點（或稱二次函數(shù)與一次函數(shù)關(guān)系）(1)y軸與拋物線yax2bxc得交點為(0,c)

(2)與y軸平行的直線xh與拋物線yax2bxc有且只有一個交點(h,ah(3)拋物線與x軸的交點

ax22bhc).

二次函數(shù)yax2bxc的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標x1、x2，是對應一元二次方程

bxc0的兩個實數(shù)根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：①有兩個交點0拋物線與x軸相交；

②有一個交點(頂點在x軸上)0拋物線與x軸相切；③沒有交點0拋物線與x軸相離.(4)平行于x軸的直線與拋物線的交點

同(3)一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為k，則橫坐標是ax2bxck的兩個實數(shù)根.而根的存在情況仍如(3)一樣由根的判別式判定。(5)一次函數(shù)ykxnk0的圖像l與二次函數(shù)yax2bxca0的圖像G的交點，由方程組

ykxn的解的數(shù)目來確定：2yaxbxc①方程組有兩組不同的解時l與G有兩個交點;

②方程組只有一組解時l與G只有一個交點；③方程組無解時l與G沒有交點.

(6)拋物線與x軸兩交點之間的距離：若拋物線yax2bxc與x軸兩交點為Ax1，由于0，Bx2，0，

bcxx,xxx1、x2是方程axbxc0的兩個根，故由韋達定理知：1212aa2ABx1x2x1x22x1x224x1x24cbaa2b4aca2a

11．二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：

22(1)一元二次方程0axbxc就是二次函數(shù)yaxbxc當函數(shù)y的值為0時的情況．(2)二次函數(shù)yaxbxc的圖象與x軸的交點有三種情況：有兩個交點、有一個交點、沒有交點；

當二次函數(shù)yaxbxc的圖象與x軸有交點時，交點的橫坐標就是當y0時自變量x的值，即一元二次方程axbxc0的根．

22(3)當二次函數(shù)yaxbxc的圖象與x軸有兩個交點時，則一元二次方程yaxbxc有兩個不

2相等的實數(shù)根；當二次函數(shù)yaxbxc的圖象與x軸有一個交點時，則一元二次方程

222axbxc0有兩個相等的實數(shù)根；當二次函數(shù)yaxbxc的圖象與x軸沒有交點時，則一元

22二次方程axbxc0沒有實數(shù)根12.二次函數(shù)的應用：

(1)二次函數(shù)常用來解決最優(yōu)化問題，這類問題實際上就是求函數(shù)的最大(小)值。一般而言，最大(小)值會在頂點處取得，達到最大(小)值時的x即為頂點橫坐標值，最大(小)值也就是頂點縱坐標值。(2)二次函數(shù)的應用包括以下方面：分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系；運用二次函數(shù)的知識解決實際問題中的最大(小)值．

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