【人教版】初中數(shù)學(xué)九年級(jí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：28銳角三角函數(shù)

【人教版】初中數(shù)學(xué)九年級(jí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

28銳角三角函數(shù)

【編者按】本章內(nèi)容主要學(xué)習(xí)正弦、余弦和正切等銳角三角函數(shù)的概念以及研究直角三角形中的邊角關(guān)系和解直角三角形的內(nèi)容。通過本章的學(xué)習(xí)應(yīng)該掌握銳角三角函數(shù)以及直角三角函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容。一、目標(biāo)與要求

1.通過實(shí)例認(rèn)識(shí)直角三角形的邊角關(guān)系，即銳角三角函數(shù)（sinA，cosA，tanA），記憶30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函數(shù)值，并會(huì)由一個(gè)特殊角的三角函數(shù)值說出這個(gè)角；2.會(huì)使用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值會(huì)求它的對(duì)應(yīng)的銳角．3.運(yùn)用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．

4.理解直角三角形中邊與邊的關(guān)系，角與角的關(guān)系和邊與角的關(guān)系，會(huì)運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、以及銳角三角函數(shù)解直角三角形，并會(huì)用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題；初步感受高等數(shù)學(xué)中的微積分思想．

5.通過綜合運(yùn)用勾股定理，直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形，逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力．

6.能綜合運(yùn)用直角三角形的勾股定理與邊角關(guān)系解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．二、重點(diǎn)與難點(diǎn)1．重點(diǎn)

（1）銳角三角函數(shù)的概念和直角三角形的解法，特殊角的三角函數(shù)值也很重要，應(yīng)該牢牢記�。�

（2）能夠運(yùn)用三角函數(shù)解直角三角形，并解決與直角三角形有關(guān)的實(shí)際問題．2．難點(diǎn)

（1）銳角三角函數(shù)的概念．

（2）經(jīng)歷探索30°，45°，60°角的三角函數(shù)值的過程，鍛煉學(xué)生觀察、分析，解決問題的能力．三、知識(shí)框架

四、知識(shí)點(diǎn)、概念總結(jié)1.Rt△ABC中

∠A的對(duì)邊

(1)∠A的對(duì)邊與斜邊的比值是∠A的正弦，記作sinA＝斜邊∠A的鄰邊

(2)∠A的鄰邊與斜邊的比值是∠A的余弦，記作cosA＝斜邊∠A的對(duì)邊

(3)∠A的對(duì)邊與鄰邊的比值是∠A的正切，記作tanA＝∠A的鄰邊∠A的鄰邊

(4)∠A的鄰邊與對(duì)邊的比值是∠A的余切，記作cota＝∠A的對(duì)邊2.特殊值的三角函數(shù)：

a30°45°60°3.互余角的三角函數(shù)間的關(guān)系

sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα,

tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα.4.同角三角函數(shù)間的關(guān)系平方關(guān)系：

sin(α)+cos(α)=1tan(α)+1=sec(α)cot(α)+1=csc(α)積的關(guān)系：

sinα=tanαcosαcosα=cotαsinαtanα=sinαsecα

222222

sinacosatanacota1222323222123313313

cotα=cosαcscαsecα=tanαcscαcscα=secαcotα倒數(shù)關(guān)系：

tanαcotα=1sinαcscα=1

cosαsecα=15.三角函數(shù)值

（1）特殊角三角函數(shù)值（2）0°～90°的任意角的三角函數(shù)值，查三角函數(shù)表。（3）銳角三角函數(shù)值的變化情況（i）銳角三角函數(shù)值都是正值（ii）當(dāng)角度在0°～90°間變化時(shí)，正弦值隨著角度的增大（或減�。┒�增大（或減小）余弦值隨著角度的增大（或減�。┒鴾p�。ɑ蛟龃螅┱�切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減�。┯嗲兄惦S著角度的增大（或減�。┒鴾p小（或增大）（iii）當(dāng)角度在0°≤∠A≤90°間變化時(shí)，0≤sinα≤1,1≥cosA≥0,當(dāng)角度在0°0.特殊的三角函數(shù)值（包含90度角）sinAcosAtanAcotA0°010None30°1/2√3/2√3/3√345°√2/2√2/21160°√3/21/2√3√3/390°10None06.解直角三角形的基本類型

解直角三角形的基本類型及其解法如下表：

類型兩邊已知條件兩直角邊a、b解法c=a2b2，tanA=a，∠B=90°-∠Ab一直角邊a，斜邊cb=c2a2，sinA=a，∠B=90°-∠Ac一邊一銳角一直角邊a，銳角A∠B=90°-∠A，b=acotA，c=asinA斜邊c，銳角A∠B=90°-∠A，a=csinA，b=ccosA7.仰角、俯角

當(dāng)我們進(jìn)行測(cè)量時(shí)，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，在水平線下方的角叫做俯角．

（參考教材：初中數(shù)學(xué)九年級(jí)人教版）

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【人教版】初中數(shù)學(xué)九年級(jí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

【編者按】本章內(nèi)容主要學(xué)習(xí)正弦、余弦和正切等銳角三角函數(shù)的概念以及研究直角三角形中的邊角關(guān)系和解直角三角形的內(nèi)容。通過本章的學(xué)習(xí)

應(yīng)該掌握銳角三角函數(shù)以及直角三角函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容。

一、目標(biāo)與要求

1.通過實(shí)例認(rèn)識(shí)直角三角形的邊角關(guān)系，即銳角三角函數(shù)（sinA，cosA，tanA），記憶30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函數(shù)值，并會(huì)由一

個(gè)特殊角的三角函數(shù)值說出這個(gè)角；

2.會(huì)使用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值會(huì)求它的對(duì)應(yīng)的銳角．

3.運(yùn)用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．

4.理解直角三角形中邊與邊的關(guān)系，角與角的關(guān)系和邊與角的關(guān)系，會(huì)運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、以及銳角三角函數(shù)解直角三角

形，并會(huì)用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題；初步感受高等數(shù)學(xué)中的微積分思想．

5.通過綜合運(yùn)用勾股定理，直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形，逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力．

6.能綜合運(yùn)用直角三角形的勾股定理與邊角關(guān)系解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．

二、重點(diǎn)與難點(diǎn)

1．重點(diǎn)

（1）銳角三角函數(shù)的概念和直角三角形的解法，特殊角的三角函數(shù)值也很重要，應(yīng)該牢牢記住．

（2）能夠運(yùn)用三角函數(shù)解直角三角形，并解決與直角三角形有關(guān)的實(shí)際問題．

2．難點(diǎn)

（1）銳角三角函數(shù)的概念．

（2）經(jīng)歷探索30°，45°，60°角的三角函數(shù)值的過程，鍛煉學(xué)生觀察、分析，解決問題的能力．

三、知識(shí)框架

四、知識(shí)點(diǎn)、概念總結(jié)

1.Rt△ABC中

∠A的對(duì)邊

斜邊∠A的鄰邊

斜邊

(1)∠A的對(duì)邊與斜邊的比值是∠A的正弦，記作sinA＝

(2)∠A的鄰邊與斜邊的比值是∠A的余弦，記作cosA＝2

(3)∠A的對(duì)邊與鄰邊的比值是∠A的正切，記作tanA＝

∠A的對(duì)邊∠A的鄰邊∠A的鄰邊

∠A的對(duì)邊

(4)∠A的鄰邊與對(duì)邊的比值是∠A的余切，記作cota＝

2.特殊值的三角函數(shù)：

asinacosatanacota30°123233345°2222121160°323333.互余角的三角函數(shù)間的關(guān)系

sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα,

tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα.

4.同角三角函數(shù)間的關(guān)系

平方關(guān)系：

22

sin(α)+cos(α)=1

22

tan(α)+1=sec(α)

22

cot(α)+1=csc(α)

積的關(guān)系：

sinα=tanαcosα

cosα=cotαsinα

tanα=sinαsecα

cotα=cosαcscα

secα=tanαcscα

cscα=secαcotα

倒數(shù)關(guān)系：

tanαcotα=1

sinαcscα=1

cosαsecα=1

5.三角函數(shù)值

（1）特殊角三角函數(shù)值3

（2）0°～90°的任意角的三角函數(shù)值，查三角函數(shù)表。（3）銳角三角函數(shù)值的變化情況（i）銳角三角函數(shù)值都是正值（ii）當(dāng)角度在0°～90°間變化時(shí)，正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減�。┯嘞抑惦S著角度的增大（或減�。┒鴾p�。ɑ蛟龃螅┱�切值隨著角度的增大（或減�。┒�增大（或減�。┯嗲兄惦S著角度的增大（或減�。┒鴾p小（或增大）（iii）當(dāng)角度在0°≤∠A≤90°間變化時(shí)，0≤sinα≤1,1≥cosA≥0,當(dāng)角度在0°0.特殊的三角函數(shù)值（包含90度角）0°30°45°60°90°sinA01/2√2/2√3/21cosA1√3/2√2/21/20tanA0√3/31√3NonecotANone√31√3/306.解直角三角形的基本類型

解直角三角形的基本類型及其解法如下表：

類型已知條件解法兩邊兩直角邊a、b一直角邊a，斜邊c一邊一銳角一直角邊a，銳角Aa，∠B=90°-∠Abab=c2a2，sinA=，∠B=90°-∠Aca∠B=90°-∠A，b=acotA，c=sinAc=a2b2，tanA=斜邊c，銳角A∠B=90°-∠A，a=csinA，b=ccosA7.仰角、俯角

當(dāng)我們進(jìn)行測(cè)量時(shí)，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，在水平線下方的角叫做俯角．（參考教材：初中數(shù)學(xué)九年級(jí)人教版）4

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