高考三角函數(shù)公式全面總結(jié)與典型題目應(yīng)用
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一、基本公式:
1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:sintan
coscoscotsin
cos1cot1cscsin1sectan222222sincos1sectan1csccot1
2、誘導(dǎo)公式:把k的三角函數(shù)化為的三角函數(shù),概括為:“奇變偶不變,符號(hào)看象限”
24、三角函數(shù)的公式:(一)基本關(guān)系
公式組一公式組二公式組三
sinxsin(2kx)sinxsinx()sinxsinxcscx=1tanx=sin2x+cos2x=1cosxcos(2kx)cosxcos(x)coxscosx22x=cosxsecx=11+tanx=secxtan(2kx)tanxtan(x)tanxsinxcot(2kx)cotxcot(x)coxttanxcotx=11+cot2x=csc2x公式組四公式組五公式組六sin(x)sinxsin(2x)sinxsin(x)sinxcos(x)cosxcos(2x)cosxcos(x)cosx
tan(x)tanxtan(2x)tanxtan(x)tanxcot(x)cotxcot(2x)cotxcot(x)cotx角與角之間的互換
公式組一公式組二cos()coscossinsinsin22sincoscos()coscossinsincos2cos2sin22cos2112sin2tan2sin()sincoscossinsin()sincoscossinsin
2tan1ta2n1cos2
2tan()tantan1coscos
1tantan22tantan1cossin1costan21cos1cossin1tantantan()公式組三公式組四公式組五2tansin21tan21tan2cos1tan22221sinsin2
1cossinsinsin21coscoscoscos2cossinsinsin2221sinsincoscos2coscos2coscossincos221cos()sin21sin()cos21tan()cot21cos()sin
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2tantan2
coscos2sinsinsin2sin22sincos221tan221tan()cot21sin()cos2sin15cos75624
sin75cos1562tan15cot7523.tan75cot15234
3、圖像的平移對(duì)函數(shù)y=Asin(ωx+)+k(A>0,0,≠0,k≠0),....ω.>...........
(1)振幅變換(縱向伸縮變換):是由A的變化引起的.A>1,伸長(zhǎng);A<1,縮短.(2)周期變換(橫向伸縮變換):是由ω的變化引起的.ω>1,縮短;ω<1,伸長(zhǎng).
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(3)相位變換(橫向平移變換):是由φ的變化引起的.>0,左移;<0,右移.(4)上下平移(縱向平移變換):是由k的變化引起的.k>0,上移;k<0,下移
兩角和與差的三角函數(shù)關(guān)系
sin()=sincoscossin
cos()=coscossinsin
和差化積公式tantantan()1tantan積化和差公式半角公式sin1[sin(+)+sin(-)]21cossin=[sin(+)-sin(-)]21coscos=[cos(+)+cos(-)]21sinsin=-[cos(+)-cos(-)]2sincos=21cos2,cos21cos2tan2sin1cos1cos=sin1cos1cos升冪公式1+cos=2cos1-cos=2sin1±sin=(sin1=sin2222222cos2)2
22sinsin-sin=2cos22coscos+cos=2cos22
sincos-cos=-2sin2212
tan+cot=sincossin2tan-cot=-2cot21+cos=2cos1-cos=2sin1±sin=(sin22sin+sin=2sincossin=2sin降冪公式+cos2cos21cos221cos22cos2sin2sin2+cos2=11sin22sincos=222cos2)2三倍角公式:sin33sin4sin;cos34cos3cos;
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高中數(shù)學(xué)第四章-三角函數(shù)
一、基本公式:
1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:sintan
coscoscotsin
cos1cot1cscsin1sectan
222222sincos1sectan1csccot12、誘導(dǎo)公式:
把k的三角函數(shù)化為的三角函數(shù),概括為:“奇變偶不變,符號(hào)看象限”2
4、三角函數(shù)的公式:
(一)基本關(guān)系
公式組二公式組三sinxsin(2kx)sinxsinxcscx=1tanx=sin2x+cos2x=1cosxcos2k(x)coxscosx2
x=cosxsecx=11+tanx=sec2xtan2k(x)tanxsinxco2tk(x)coxttanxcotx=11+cot2x=csc2x公式組一sinx()sinxcos(x)coxs
tan(x)tanxcot(x)coxt
公式組四公式組五公式組六sin(x)sinxsin(2x)sinxsin(x)sinxcos(x)cosxcos(2x)cosxcos(x)coxs
tan(x)tanxtan(2x)tanxtan(x)tanxcot(x)cotxcot(2x)cotxcot(x)coxt
(二)角與角之間的互換
公式組一公式組二cos()coscossinsinsin22sincos
cos()coscossinsincos2cos2sin22cos2112sin2
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sin()sincoscossintan2sin()sincoscossinsin2tan1tan2
21cos2tan()tantan1coscos
1tantan22tantan1cossin1costan21cos1cossin1tantantan()
公式組三公式組四公式組五2tansinsin15cos7562421tan21tan2cos1tan22221sinsin2
1cossinsinsin21coscoscoscos21sinsincoscos2sincos1cos()sin21sin()cos22tantan1tan
22sinsin2sinsinsin2cos2cos1tan()cot21cos()sin22tan(1)cot22sin22coscos2cos2cos21sin()cos2coscos2sin6242sin2sin75cos15,
tan15cot7523,.tan75cot1523
高中數(shù)學(xué)蘇教版必修4
注意:巧用勾股數(shù)求三角函數(shù)值可提高解題速度:(3,4,5);(6,8,10);(5,12,
13);(8,15,17);
四、三角函數(shù)圖像和性質(zhì)
1.周期函數(shù)定義
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定義對(duì)于函數(shù)f(x),如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí),f(xT)f(x)都成立,那么就把函數(shù)f(x)叫做周期函數(shù),不為零的常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.
請(qǐng)你判斷下列函數(shù)的周期
ysinxycosxy|cosx|ycos|x|y|sinx|y=tanxy=tan|x|y=|tanx|ysin|x|
例求函數(shù)f(x)=3sin(不大于1
注意理解函數(shù)周期這個(gè)概念,要注意不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期,如常
函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù))是周期函數(shù),其周期是異于零的實(shí)數(shù),但沒有最小正
周期.
kx)(k0)的周期。并求最小的正整數(shù)k,使他的周期53xR,那么函數(shù)f(x)的周期結(jié)論:如函數(shù)f(xk)f(xk)對(duì)于任意的xR,那么函數(shù)f(x)的對(duì)T=2k;如函數(shù)f(xk)f(kx)對(duì)于任意的稱軸是x2.圖像
(xk)(kx)k
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3、圖像的平移
對(duì)函數(shù)y=Asin(ωx+)+k(A>0,0,≠0,k≠0),其圖象的基本變換有:....ω.>...........(1)振幅變換(縱向伸縮變換):是由A的變化引起的.A>1,伸長(zhǎng);A<1,縮短.(2)周期變換(橫向伸縮變換):是由ω的變化引起的.ω>1,縮短;ω<1,伸長(zhǎng).(3)相位變換(橫向平移變換):是由φ的變化引起的.>0,左移;<0,右移.(4)上下平移(縱向平移變換):是由k的變化引起的.k>0,上移;k<0,下移
四、三角函數(shù)公式:
倍角公式sin2=2sincoscos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2tan22tan1tan
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兩角和與差的三角函數(shù)關(guān)系和差化積公式積化和差公式sincoscoscossinsin()=sincossinsincos()=costan()tantan1tantan半角公式1[sin(+)+sin(-)]21cossin=[sin(+)-sin(-)]21coscos=[cos(+)+cos(-)]21sinsin=-[cos(+)-cos(-)]2=sin21cos2,cos21cos2tan21cos1cossin=sin1cos1cos升冪公式1+cos=2cos2222sinsin-sin=2cos22coscos+cos=2cos22sincos-cos=-2sin2212tan+cot=sincossin2tan-cot=-2cot221+cos=2cossin+sin=2sincos1-cos=2sin1±sin=(sin1=sin22222cos2)2+cos2cossin=2sin降冪公式21cos221cos2cos22sin22sin2+cos2=1121-cos=2sinsin33sin三倍角公式:224sin;cos33sinsincos34cos=3cos2;cos1±sin=(sin五、三角恒等變換:22)2三角變換是運(yùn)算化簡(jiǎn)的過程中運(yùn)用較多的變換,提高三角變換能力,要學(xué)會(huì)創(chuàng)設(shè)條件,靈活運(yùn)用三角公式,掌握運(yùn)算,化簡(jiǎn)的方法和技能.常用的數(shù)學(xué)思想方法技巧如下:(1)角的變換:在三角化簡(jiǎn),求值,證明中,表達(dá)式中往往出現(xiàn)較多的相異角,可根據(jù)角
與角之間的和差,倍半,互補(bǔ),互余的關(guān)系,運(yùn)用角的變換,溝通條件與結(jié)論中角的
差異,使問題獲解,對(duì)角的變形如:①2是的二倍;4是2的二倍;是
2的二倍;
2是
4的二倍;3是
3的
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二倍;
3是
6的二倍;
22是
o4的二倍。
30o②1545306045;問:sin;
122oooocos12;
③();④
42(4);
⑤2()()(4)(4);等等
(2)函數(shù)名稱變換:三角變形中,常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)中正余弦是基礎(chǔ),通;、割為弦,變異名為同名。
(3)常數(shù)代換:在三角函數(shù)運(yùn)算,求值,證明中,有時(shí)需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值,例
如常數(shù)“1”的代換變形有:
1sincossectantancotsin90tan45
(4)冪的變換:降冪是三角變換時(shí)常用方法,對(duì)次數(shù)較高的三角函數(shù)式,一般采用降冪處
理的方法。常用降冪公式有:;。降冪并非絕對(duì),2222oos常用升冪化為有理式,常用升冪公式有時(shí)需要升冪,如對(duì)無理式1co有:;;
(5)公式變形:三角公式是變換的依據(jù),應(yīng)熟練掌握三角公式的順用,逆用及變形應(yīng)用。如:
1tan1tan___________;_______________;
1tan1tantantan____________;1tantan___________;tantan____________;1tantan___________;
2tan;1tan2;
tan20otan40o3tan20otan40o;
sincos=;asinbcos=;
;(其中tan)
1cos;1cos;
(6)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)運(yùn)算通常從:“角、名、形、冪”四方面入手;
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基本規(guī)則是:切割化弦,異角化同角,復(fù)角化單角,異名化同名,高次化低次,無理
化有理,和積互化,特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化。
如:sin50o(13tan10o);tancot;coscos24cos;
99935coscoscos;推廣:
777246coscoscos;推廣:
777
1.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
班級(jí)姓名
學(xué)習(xí)目標(biāo):
1、利用單位圓探究得到誘導(dǎo)公式五,六,并且概括得到誘導(dǎo)公式的特點(diǎn)。2、理解求任意角三角函數(shù)值所體現(xiàn)出來的化歸思想。3、能初步運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行求值與化簡(jiǎn)。教學(xué)重點(diǎn):
誘導(dǎo)公式的探究,運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行求值與化簡(jiǎn),提高對(duì)單位圓與三角函數(shù)關(guān)系的認(rèn)識(shí)。教學(xué)難點(diǎn):
誘導(dǎo)公式的靈活應(yīng)用教學(xué)過程:
一、復(fù)習(xí):1.復(fù)習(xí)誘導(dǎo)公式一、二、三、四;
2.對(duì)“函數(shù)名不變,符號(hào)看象限”的理解。
二、新課:
1、如圖,設(shè)任意角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(x,y),由于角終邊關(guān)于直線y=x對(duì)稱,角
-α的終邊與角α的2-α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P2與點(diǎn)P1關(guān)于直線y=x對(duì)稱,因此點(diǎn)2P2的坐標(biāo)是(y,x),于是,我們有sinα=y,cosα=x,cos(-α)=y,sin(-α)=x.
22從而得到誘導(dǎo)公式五:
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-α)=sinα,2sin(-α)=cosα.2cos(
2、提出問題
能否用已有公式得出
3、誘導(dǎo)公式六
+α的正弦、余弦與α的正弦、余弦之間的關(guān)系式?2+α)=cosα,2cos(+α)=-sinα.2Sin(4、用語言概括一下公式五、六:
±α的正弦(余弦)函數(shù)值,分別等于α的余弦(正弦)函數(shù)值,前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原2函數(shù)值的符號(hào).簡(jiǎn)記為“:函數(shù)名改變,符號(hào)看象限.”
作用:利用公式五或公式六,可以實(shí)現(xiàn)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化.5、提出問題
學(xué)了六組誘導(dǎo)公式后,能否進(jìn)一步用語言歸納概括誘導(dǎo)公式的特點(diǎn)?(奇變偶不變,符號(hào)看象限.)6、示例應(yīng)用
例1將下列三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)。
(1)sin
331(2)cos10021′(3)sin(4)tan32432′5
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例2、證明(1)sin(
33-α)=-cosα;(2)cos(-α)=-sinα.22變式練習(xí)求cos2(
)cos2()的值。4411sin(2a)cos(a)cos(a)cos(a)22例3化簡(jiǎn).
9cos(a)sin(3a)sin(a)sin(a)2
cos()2sin(2)cos(2)變式練習(xí)化簡(jiǎn)1、(1)
5sin()2
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tan(3600)(2)cos()
sin()2
2、已知sinα是方程5x-7x-6=0的根,且α為第三象限角,
2sin(a求
33)sin(a)tan2(2a)tan(a)22的值.
cos(a)cos(a)22
三、小結(jié)
應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)的一般步驟:
1用“”公式化為正角的三角函數(shù);
2用“2k+”公式化為[0,2]角的三角函數(shù);3用“±”或“四、作業(yè):習(xí)題1.3B組第1題
±α”公式化為銳角的三角函數(shù)2五、探究
1、習(xí)題1.3B組第2題
12、已知sin,sin()1,求sin(2)
3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
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一.【課標(biāo)要求】
1.能畫出y=sinx,y=cosx,y=tanx的圖像,了解三角函數(shù)的周期性;
2.借助圖像理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π],正切函數(shù)在(-π/2,π/2)上的性質(zhì)
(如單調(diào)性、最大和最小值、圖像與x軸交點(diǎn)等);
3.結(jié)合具體實(shí)例,了解y=Asin(wx+φ)的實(shí)際意義;能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出y=Asin
(wx+φ)的圖像,觀察參數(shù)A,w,φ對(duì)函數(shù)圖像變化的影響.
二.【命題走向】
近幾年高考降低了對(duì)三角變換的考查要求,而加強(qiáng)了對(duì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查,因?yàn)楹瘮?shù)的性質(zhì)是研究函數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容,是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和應(yīng)用技術(shù)學(xué)科的基礎(chǔ),又是解決生產(chǎn)實(shí)際問題的工具,因此三角函數(shù)的性質(zhì)是本章復(fù)習(xí)的重點(diǎn)。在復(fù)習(xí)時(shí)要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想,把圖象與性質(zhì)結(jié)合起來,即利用圖象的直觀性得出函數(shù)的性質(zhì),或由單位圓上線段表示的三角函數(shù)值來獲得函數(shù)的性質(zhì),同時(shí)也要能利用函數(shù)的性質(zhì)來描繪函數(shù)的圖象,這樣既有利于掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì),又能熟練地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法.
預(yù)測(cè)201*年高考對(duì)本講內(nèi)容的考察為:
1.題型為1道選擇題(求值或圖象變換),1道解答題(求值或圖像變換);
2.熱點(diǎn)問題是三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),特別是y=Asin(wx+φ)的圖象及其變換;
三.【要點(diǎn)精講】
1.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像
y=sinx-4-7-32-52-2-3-2-2y1-1y--2-32-2o3222523724xy=cosx-4-72-5-321-1o2322523724xyyy=tanxy=cotx-32--2o232x--2o2322x2.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:
ysinx的遞增區(qū)間是2k,2k(kZ),
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遞減區(qū)間是2k2,2k3(kZ);2ycosx的遞增區(qū)間是2k,2k(kZ),
遞減區(qū)間是2k,2k(kZ),
ytanx的遞增區(qū)間是k,k(kZ),
22(其中A0,0)3.函數(shù)yAsin(x)B最大值是AB,最小值是BA,周期是T初相是;其圖象的對(duì)稱軸是直線xk22,頻率是f,相位是x,2(kZ),凡是該圖象與直線yB的
交點(diǎn)都是該圖象的對(duì)稱中心.
4.由y=sinx的圖象變換出y=sin(ωx+)的圖象一般有兩個(gè)途徑,只有區(qū)別開這兩個(gè)途徑,才能靈活進(jìn)行圖象變換。
利用圖象的變換作圖象時(shí),提倡先平移后伸縮,但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn).無論哪種變形,請(qǐng)切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母x而言,即圖象變換要看“變量”起多大變化,而不是“角變化”多少。
途徑一:先平移變換再周期變換(伸縮變換)
先將y=sinx的圖象向左(>0)或向右(<0=平移||個(gè)單位,再將圖象上各點(diǎn)的
橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/p>
1倍(ω>0),便得y=sin(ωx+)的圖象.
途徑二:先周期變換(伸縮變換)再平移變換。
先將y=sinx的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南蛴?<0=平移
1倍(ω>0),再沿x軸向左(>0)或
||5.由y=Asin(ωx+)的圖象求其函數(shù)式:
個(gè)單位,便得y=sin(ωx+)的圖象。
給出圖象確定解析式y(tǒng)=Asin(ωx+)的題型,有時(shí)從尋找“五點(diǎn)”中的第一零點(diǎn)(-0)作為突破口,要從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置。..
6.對(duì)稱軸與對(duì)稱中心:
,ysinx的對(duì)稱軸為xk2,對(duì)稱中心為(k,0)kZ;
ycosx的對(duì)稱軸為xk,對(duì)稱中心為(k2,0);
對(duì)于yAsin(x)和yAcos(x)來說,對(duì)稱中心與零點(diǎn)相聯(lián)系,對(duì)稱軸與最
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值點(diǎn)聯(lián)系。
7.求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式,要特別注意A、的正負(fù).利用單調(diào)性三角函數(shù)大小一般要化為同名函數(shù),并且在同一單調(diào)區(qū)間;
8.求三角函數(shù)的周期的常用方法:
經(jīng)過恒等變形化成“yAsin(x)、yAcos(x)”的形式,在利用周期公式,另外還有圖像法和定義法.
9.五點(diǎn)法作y=Asin(ωx+)的簡(jiǎn)圖:
五點(diǎn)取法是設(shè)x=ωx+,由x取0、再描點(diǎn)作圖。
π3π、π、、2π來求相應(yīng)的x值及對(duì)應(yīng)的y值,22四.【典例解析】
題型1:三角函數(shù)的圖象
例1.(201*浙江理)已知a是實(shí)數(shù),則函數(shù)f(x)1asinax的圖象不可能是()...
解析對(duì)于振幅大于1時(shí),三角函數(shù)的周期為T求,它的振幅大于1,但周期反而大于了2.答案:D
2,a1,T2,而D不符合要a例2.(201*遼寧理,8)已知函數(shù)f(x)=Acos(x)的圖象如圖所示,f()22,則3f(0)=()
A.2211B.C.-D.3322答案C
題型2:三角函數(shù)圖象的變換
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1π例3.試述如何由y=sin(2x+)的圖象得到y(tǒng)=sinx的圖象.
331π解析:y=sin(2x+)
331π2倍橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的ysin(x)縱坐標(biāo)不變33π圖象向右平移個(gè)單位13ysinx縱坐標(biāo)不變33倍縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的ysinx橫坐標(biāo)不變另法答案:
1ππ1(1)先將y=sin(2x+)的圖象向右平移個(gè)單位,得y=sin2x的圖象;
336311(2)再將y=sin2x上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),得y=sinx的
33圖象;
1(3)再將y=sinx圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的3倍(橫坐標(biāo)不變),即可得到
3y=sinx的圖象。
例4.(201*山東卷理)將函數(shù)ysin2x的圖象向左平移所得圖象的函數(shù)解析式是().
個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位,4A.ycos2xB.y2cos2xC.y1sin(2x解析將函數(shù)ysin2x的圖象向左平移
4)D.y2sin2x個(gè)單位,得到函數(shù)ysin2(x)即
44ysin(2x2)cos2x的圖象,再向上平移1個(gè)單位,所得圖象的函數(shù)解析式為
y1cos2x2cos2x,故選B.
答案:B
【命題立意】:本題考查三角函數(shù)的圖象的平移和利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)解析式的基本知識(shí)和基本技能,學(xué)會(huì)公式的變形.
7.(201*山東卷文)將函數(shù)ysin2x的圖象向左平移象的函數(shù)解析式是().
個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位,所得圖422A.y2cosxB.y2sinxC.y1sin(2x4)D.ycos2x解析將函數(shù)ysin2x的圖象向左平移
個(gè)單位,得到函數(shù)ysin2(x)即
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ysin(2x2)cos2x的圖象,再向上平移1個(gè)單位,所得圖象的函數(shù)解析式為
y1cos2x2cos2x,故選A.
答案:A
【命題立意】:本題考查三角函數(shù)的圖象的平移和利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)解析式的基本知識(shí)和基本技能,學(xué)會(huì)公式的變形.
題型3:三角函數(shù)圖象的應(yīng)用
例5.已知電流I與時(shí)間t的關(guān)系式為IAsin(t)。(1)右圖是IAsin(t)(ω>0,||2)
在一個(gè)周期內(nèi)的圖象,根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求IAsin(t)的解析式;
I300(2)如果t在任意一段
1秒的時(shí)間內(nèi),電流150-1900o1180tIAsin(t)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正
-300整數(shù)值是多少?
解析:本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算能力和邏輯推理能力.
(1)由圖可知A=300。設(shè)t1=-
11,t2=,900180則周期T=2(t2-t1)=2(∴ω=
111+)=。180900752=150π。T11又當(dāng)t=時(shí),I=0,即sin(150π+)=0,
180180而||2,∴=
。6故所求的解析式為I300sin(150t(2)依題意,周期T≤
6)。
121,即≤,(ω>0)150150∴ω≥300π>942,又ω∈N*,
故最小正整數(shù)ω=943。
點(diǎn)評(píng):本題解答的開竅點(diǎn)是將圖形語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言.其中,讀圖、識(shí)圖、用圖是形數(shù)結(jié)合的有效途徑.
圖
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例6.(1)(201*遼寧卷理)已知函數(shù)f(x)=Acos(x)的圖象如圖所示,f()22,3則f(0)=()A.2211B.C.-D.3322
2π解析由圖象可得最小正周期為3于是f(0)=f(
2π2ππ7π
),注意到與關(guān)于對(duì)稱33212
2ππ2所以f()=-f()=
323答案B
(2)(201*寧夏海南卷理)已知函數(shù)y=sin(x+)(>0,-
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(2)由sin(cosx)>02kπ<cosx<2kπ+π(k∈Z)。又∵-1≤cosx≤1,∴0<cosx≤1。
ππ,2kπ+),k∈Z}。22點(diǎn)評(píng):求三角函數(shù)的定義域,要解三角不等式,常用的方法有二:一是圖象,二是三角函數(shù)線.
故所求定義域?yàn)閧x|x∈(2kπ-
6cos4x5cos2x1例8.已知函數(shù)f(x)=,求f(x)的定義域,判斷它的奇偶性,
cos2x并求其值域.
解析:由cos2x≠0得2x≠kπ+
2,解得x≠
k,k∈Z,所以f(x)的定義域?yàn)閧x|x24∈R且x≠
k,k∈Z},24因?yàn)閒(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
6cos4(x)5cos2(x)16cos4x5cos2x1且f(-x)==f(x)。cos(2x)cos2x所以f(x)是偶函數(shù)。又當(dāng)x≠
k(k∈Z)時(shí),246cos4x5cos2x1(2cos2x1)(3cos2x1)3cos2x1。f(x)=
cos2xcos2x11所以f(x)的值域?yàn)閧y|-1≤y
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3π9π≤x≤3kπ+(k∈Z),為單調(diào)減區(qū)間;88π2xπ3π由2kπ+≤-≤2kπ+。
23423kπ-
9π21π≤x≤3kπ+(k∈Z),為單調(diào)增區(qū)間。
883π9π∴遞減區(qū)間為[3kπ-,3kπ+],
883kπ+
遞增區(qū)間為[3kπ+(2)y=-|sin(x+kπ+
9π21π,3kπ+](k∈Z)。
88ππ3ππ)|的圖象的增區(qū)間為[kπ+,kπ+],減區(qū)間為[kπ-,4444π]。4-5434-4-yo4345474x
sinx
例10.(201*京皖春文,9)函數(shù)y=2的單調(diào)增區(qū)間是()A.[2kπ-
,2kπ+22](k∈Z)
B.[2kπ+
3,2kπ+22](k∈Z)
C.[2kπ-π,2kπ](k∈Z)
D.[2kπ,2kπ+π](k∈Z)
xsinx
解析:A;函數(shù)y=2為增函數(shù),因此求函數(shù)y=2的單調(diào)增區(qū)間即求函數(shù)y=sinx的單調(diào)增區(qū)間.
題型6:三角函數(shù)的奇偶性
例11.判斷下面函數(shù)的奇偶性:f(x)=lg(sinx+1sin2x)。
分析:判斷奇偶性首先應(yīng)看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,然后再看f(x)與f(-x)的關(guān)系。解析:定義域?yàn)镽,又f(x)+f(-x)=lg1=0,即f(-x)=-f(x),∴f(x)為奇函數(shù)。
點(diǎn)評(píng):定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要(但不充分)條件。例12.(201*上海春)關(guān)于x的函數(shù)f(x)=sin(x+)有以下命題:①對(duì)任意的,f(x)都是非奇非偶函數(shù);②不存在,使f(x)既是奇函數(shù),又是偶函數(shù);③存在,使f(x)是奇函數(shù);
④對(duì)任意的,f(x)都不是偶函數(shù)。
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其中一個(gè)假命題的序號(hào)是_____.因?yàn)楫?dāng)=_____時(shí),該命題的結(jié)論不成立.答案:①,kπ(k∈Z);或者①,
2+kπ(k∈Z);或者④,
2+kπ(k∈Z)
解析:當(dāng)=2kπ,k∈Z時(shí),f(x)=sinx是奇函數(shù)。當(dāng)=2(k+1)π,k∈Z時(shí)f(x)=-sinx仍是奇函數(shù)。當(dāng)=2kπ+
2,k∈Z時(shí),f(x)=cosx,或當(dāng)=2kπ-
2,k∈Z時(shí),
f(x)=-cosx,f(x)都是偶函數(shù).所以②和③都是正確的。無論為何值都不能使f(x)恒等于零。所以f(x)不能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。①和④都是假命題。
點(diǎn)評(píng):本題考查三角函數(shù)的奇偶性、誘導(dǎo)公式以及分析問題的能力,注意k∈Z不能不寫,否則不給分,本題的答案不惟一,兩個(gè)空全答對(duì)才能得分.
題型7:三角函數(shù)的周期性
例13.求函數(shù)y=sin6x+cos6x的最小正周期,并求x為何值時(shí),y有最大值。分析:將原函數(shù)化成y=Asin(ωx+)+B的形式,即可求解.
解析:y=sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)
323522
=1-3sinxcosx=1-sin2x=cos4x+。
488∴T=
π。2kπ(k∈Z)時(shí),ymax=1。2當(dāng)cos4x=1,即x=
例14.設(shè)f(x)asinxbcosx(0)的周期T,最大值f((1)求、a、b的值;
12)4,
(2)若、、為方程f(x)0的兩根,、、終邊不共線,求tan()的值。
解析:(1)f(x)a2b2sin(x),T,2,
又f(x)的最大值。
f(12)4,4a2b2①,且4asin22bcos②,1212由①、②解出a=2,b=3.
(2)f(x)2sin2x23cos2x4sin(2x4sin(23),f()f()0,
3)4sin(23),
232k23,或232k(23),
即k(、共線,故舍去),或k6,
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tan()tan(k6)3(kZ)。3點(diǎn)評(píng):方程組的思想是解題時(shí)常用的基本思想方法;在解題時(shí)不要忘記三角函數(shù)的
周期性。
題型8:三角函數(shù)的最值
例15.(201*安徽卷文)設(shè)函數(shù)則導(dǎo)數(shù)A.
的取值范圍是B.
2,其中,
x1C.D.
解析f(1)sinx3cosxsin3cos2sin()
325,選D0,sin(),1f(1)2,21232
例16.(201*江西卷理)若函數(shù)f(x)(13tanx)cosx,0x值為
A.1B.2C.31D.32答案:B
解析因?yàn)閒(x)(13tanx)cosx=cosx3sinx=2cos(x當(dāng)x
2,則f(x)的最大
3)3五.【思維總結(jié)】
是,函數(shù)取得最大值為2.故選B
1.?dāng)?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中重要的思想方法,在中學(xué)階段,對(duì)各類函數(shù)的研究都離不開圖象,很多函數(shù)的性質(zhì)都是通過觀察圖象而得到的.
2.作函數(shù)的圖象時(shí),首先要確定函數(shù)的定義域.
3.對(duì)于具有周期性的函數(shù),應(yīng)先求出周期,作圖象時(shí)只要作出一個(gè)周期的圖象,就可根據(jù)周期性作出整個(gè)函數(shù)的圖象。
4.求定義域時(shí),若需先把式子化簡(jiǎn),一定要注意變形時(shí)x的取值范圍不能發(fā)生變化。5.求三角函數(shù)式的最小正周期時(shí),要盡可能地化為只含一個(gè)三角函數(shù),且三角函數(shù)的次數(shù)為1的形式,否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。
6.函數(shù)的單調(diào)性是在定義域或定義域的某個(gè)子區(qū)間上考慮的,要比較兩三角函數(shù)值的大小一般先將它們化歸為同一單調(diào)區(qū)間的同名函數(shù)再由該函數(shù)的單調(diào)性來比較大小。
7.判斷y=-Asin(ωx+)(ω>0)的單調(diào)區(qū)間,只需求y=Asin(ωx+)的相反區(qū)間即可,一般常用數(shù)形結(jié)合.而求y=Asin(-ωx+)(-ω<0=單調(diào)區(qū)間時(shí),則需要先將x的系數(shù)變?yōu)檎,再設(shè)法求之.
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4.6正弦型三角函數(shù)練習(xí)
姓名:_________________班級(jí):________________
1.把函數(shù)y2sin(2x的
4)的圖象向右平移
,再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來81,則所得圖象的解析式是()23)B.y2sin(4x)C.y2sin4xD.y2sinxA.y2sin(4x88
2.已知函數(shù)yAsin(在一個(gè)周期內(nèi),當(dāng)xx)(A0,0)當(dāng)x12時(shí),取得最大值2,
7時(shí),取得最小值2,那么()121A.ysin(x)B.y2sin(2x)C.y2sin(2x)D.
2336xy2sin()
263.將函數(shù)yf(x)cosx的圖象上平移1個(gè)單位,得到的圖象再向右平移到y(tǒng)2sin2x的圖象,那么函數(shù)f(x)可以是()A.
個(gè)單位,最后得4cosxB.2cosxC.sinxD.2sinx
3個(gè)單位,或向左平移個(gè)單
884.把函數(shù)ysin(x)(其中為銳角)的圖象向右平移
位,都可使對(duì)應(yīng)的新函數(shù)成為奇函數(shù),則原函數(shù)的一條對(duì)稱軸方程是()A.x
5.函數(shù)y2sin的周期是______,函數(shù)y2|six的周期是______,函數(shù)x3n32
B.x
4C.x8D.x581y2|sixn3的|2周期是______,函數(shù)y2|sin3x2|的周期是______.
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6.f(x)是定義在R上的奇函數(shù),它的最小正周期為T,則f(
7.函數(shù)f(x)sinxsin(x
8、若函數(shù)f(x)asin(x
9、如圖,一個(gè)水輪的半徑為4m,水輪圓心O距離水面2m,已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)5圈,如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖中點(diǎn)P0)開始計(jì)算時(shí)間。(1)將點(diǎn)P距離水面的高度z(m)表示為時(shí)間t(s)的函數(shù);(2)點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約需要多少時(shí)間?
T)的值為______.24)的單調(diào)遞減區(qū)間為______________________.
對(duì)實(shí)數(shù)a之值為______.)3sin(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,
44x)((0,10.已知函數(shù)f(x)3sin(2函數(shù)f(x)的解析式.
11.已知函數(shù)f(x)4sinxsin(22)),其圖象向左平移
后關(guān)于y軸對(duì)稱.求出6x)cos2x.
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(1)求函數(shù)yf(32x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若f(x)acos2x對(duì)于xR恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
第28課時(shí):第四章三角函數(shù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式一.課題:同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式
二.教學(xué)目標(biāo):掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式;并能運(yùn)用這些公式
進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)與證明.三.教學(xué)重點(diǎn):公式的恰當(dāng)選用及利用公式時(shí)符號(hào)的正確選。模虒W(xué)過程:(一)主要知識(shí):
1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:(1)倒數(shù)關(guān)系:tancot1;
sincos,cot(2)商數(shù)關(guān)系:tan;cossin(3)平方關(guān)系:sin2cos21.
2.誘導(dǎo)公式,奇變偶不變,符號(hào)看象限.
(二)主要方法:
1.利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式時(shí)要細(xì)心觀察題目的特征,注意公式的合理選用,特別要注意開方時(shí)的符號(hào)選取,切割化弦是常用的方法;
2.學(xué)會(huì)利用方程的思想解三角題,對(duì)于sincos,sincos,sincos三個(gè)式子中,已知其中一個(gè)式子的值,可求其余兩個(gè)式子的值.(三)例題分析:
sintan例1.化簡(jiǎn)tan(cossin)
cotcsc分析:切割化弦是解本題的出發(fā)點(diǎn).
sinsinsin(cossin)cossin.解:原式cos1cossinsin例2.化簡(jiǎn)(1)sin()cos();
44311)的值.(2)已知2,cos(9),求cot(52解:(1)原式sin()cos[()]sin()sin()0.
4244433(2)cos()cos(9),∴cos,
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4sin4,tan,5cos31134∴cot()cot()tan.
223cossin例3.(1)若tan2,求值①;②2sin2sincoscos2.
cossin∵2,∴sin1sin6xcos6x(2)求值.
1sin4xcos4xsincos12322.解:(1)①原式sin121cos11②∵cos2,21tan31∴原式cos2(2tan2tan1)21.3(2)∵sin6xcos6x(sin2xcos2x)(sin4xsin2xcos2xcos4x)
(sin2xcos2x)23sin2xcos2x13sin2xcos2x.
又∵sin4xcos4x(sin2xcos2x)22sin2xcos2x12sin2xcos2x.
1sin6xcos6x3.∴原式441sinxcosx2例4.已知sin,cos是方程4x24mx2m10的兩個(gè)根,
32,求角2.
sincosm2m1解:∵sincos,代入(sincos)212sincos,
4216(m2m1)0得m32m1132,∴sincos0,,又242313312,,cos,又∵,∴sin2222sincosm
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5.6(四)鞏固練習(xí):
∴1.若f(cosx)cos2x,f(sin15)(D)
(A)1133(B)(C)(D)2222132.已知sincos(0),則tan.
54五.課后作業(yè):
一:三角函數(shù)線:
yyyMPr1xxcosxOM有向線段MP,OM,AT,BS分別稱作
r1yMPATtanAT角的正弦線,余弦線,正切線,余切線
xOMOAxOMBSBScotS2S1ByMPOBP11.sinP2oAT2T1π),試證明:sinα<α<tanα.2證明:如下圖,在平面直角坐標(biāo)系中作單位圓,設(shè)角α以x軸正半軸為始邊,終邊與單位圓交于P點(diǎn).例1:設(shè)α∈(0,
yPOMATx∵S△OPA<S扇形OPA<S△OAT,111∴|MP|<α<|AT|.∴sinα<α<tanα.222例2:求函數(shù)ylog211的定義域。sinx(2k,2k6][2k5,2k)
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二:點(diǎn)坐標(biāo)和三角比的關(guān)系
1.角α的終邊過點(diǎn)P(-8m,-6cos60°)
4且cosα=-,則m的值是___________。
58m4解:P(-8m,-3),cosα==-.
564m2911或m=-(舍去).22二:角的象限判定?
∴m=
例1:已知是第三象限角且cos20,問
是第幾象限角?2(kZ)
解:∵(2k1)(2k1)∴k則
222k3(kZ)4是第二或第四象限角2又∵cos0則是第二或第三象限角
22∴必為第二象限角2(可用圖分析判斷例2:.已知sin
34,cos=-,那么α的終邊在
5252A.第一象限B.第三或第四象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
247解析:sinα=2sincos=-<0,cosα=cos2-sin2=>0,
22252225∴α終邊在第四象限.
(需要算兩個(gè)三角比來確定象限)
三:如何確定角的象限。(象限角不包括坐標(biāo)軸)
(1)若sin0,
則角的終邊可能位于第三、第四象限,也可能位于y軸的非正半軸(2)若tan0,
則角的終邊可能位于第一或第三象限
四:三角比值范圍:1sin1;1cos1;
=2,3的范圍)A2B2AsinBcosA2B2
42mm3,cos,例1.已知m5m5是第四象限角,sin2
求m的值。
解:∵sin+cos=1∴(2
42m2m32)()1m5m5化簡(jiǎn),整理得:
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m(m8)0
輔助角公式
m10,(與是第四象限角不合)m28
例2.若cosxcosy1,則cos(xy)。1
asinbcosa2b2sin(arctgba)acosbsinabcos(arctg)ba22
例1.已知函數(shù)f(x)=asinx+bcosx(x∈R),且f()=2,
4f(x)的最大值是10,求a,b的值。
例2.使方程2sinx5cosx(C)
A.(,0)(0,)B.R
1有解的實(shí)數(shù)m的取值范圍是m111,]333五:sinAcos與tanA的互化應(yīng)用(弦化切割)例1:已知sin2cos,
sin4cos及sin22sincos的值。求
5sin2cossin4costan421解:sin2costan25sin2cos5tan2126C.(,][,)D.[13sin22sincostan22tan426sin2sincos222415sincostan12
強(qiáng)調(diào)(指出)技巧:1分子、分母是正余弦的一次(或二次)齊次式2“化1法”
2sincos5,求3cos2+4sin2的值。
sin3cos2sincos5∴cos0(否則2=5)解:∵
sin3cos2tan15解之得:tan=2∴
tan33(1tan2)42tan3(122)4227∴原式222251tan1tan1212例2:已知
例3:已知sin(+)=,sin()=求
2325tantan的值
解:∵sin(+)=∴sincos+cossin=①
223322sin()=∴sincoscossin=②
558tansincos15=
2tancossin4
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①+②:sincos=8
15①②:cossin=2
15sincos轉(zhuǎn)化應(yīng)用。六:sincos與sincos、3,求tancot及sincos的值。313解:將sincos兩邊平方,得:sincos
33125;tancot3(sincos)212sincos1
sincos33例:已知sincossincos153
七:關(guān)于開方的化簡(jiǎn)例1:1sin440
22解:原式1sin(36080)1sin802cos280cos80
例2:已知是第三象限角,化簡(jiǎn)解:原式1sin1sin
1sin1sin(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)
(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)2(1sin)21sin1sin|cos||cos|1sin21sin2是第三象限角,cos01sin1sin原式2tan(注意象限、符號(hào))
coscos八:“平方的化簡(jiǎn)及轉(zhuǎn)化應(yīng)用”例1、已知
asecctand,bsecdtanc,求證:a2b2c2d2
asecctand(1)證:由題設(shè):
bsecdtanc(2)22(1)2(2)2:(a2b2)sec(c2d2)tanc2d2
(a2b2)sec2(c2d2)sec2
a2b2c2d2xsincos(1)例2、消去式子中的:
ytancot(2)
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(1):x212sincossincosx2:由12(3)
由(2):ysincoscossin1sincossincos1y(4)
將(3)代入(4):y2x21(平方消去法)
例3、若sinxsiny22,則cosxcosy的取值范圍為_______________。令
cosxcosytt212(sinxsiny)2(cosxcosy)222cos(xy)4t2714142t[2,2]
九:倍角公式與誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用例1.已知cos(4x)3575,且4x4,求sin2x2sin2x1tanx的值.
解:由cos(4x)35,得sin2xcos[2(4x)]
[2cos2(4x)1]725,x(57574,4),2x(2,2)
由sin2x724sin2x2cos2x12825,得cos2x25.∴原式.11cos2x75sin2x例2.已知sin(x334)5,,4x4,則cos2x的值是.2425;
九:函數(shù)應(yīng)用
例1:若關(guān)于x的方程2cos2
(+x)sinx+a=0有實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
解:原方程變形為:2cos2xsinx+a=0即22sin2xsinx+a=0
∴a2sin2xsinx22(sinx124)178∵1≤sinx≤1
∴當(dāng)sinx1時(shí),a174min8;當(dāng)sinx1時(shí),amax1∴a的取值范圍是[178,1],
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例2:在ABC中,已知ABC,acosB,bcosA,csinC.(1)求ABC的外接圓半徑R和角C的值;(2)求abc的取值范圍.(1)由正弦定理,
cosBcosAsinC12R1,∴R,sin2Asin2B.sinAsinBsinC2∵ABC,∴2A2B,即AB2.∴C2.
4(2)∵abcsinAcosA12sinA1,A0,,∴abc2,21.
4例3:求函數(shù)yasinxacosxaR的最值。
ya2asinxcosxsinxcosx
t21設(shè)sinxcosxt,于是yata2,t2,2,aR,
22a21當(dāng)0a2,ta即sinxcosxa時(shí)ymin,t2,即
22sixncoxs2時(shí)ymaxa2a1;
22當(dāng)a2時(shí),t2,即sinxcosx2時(shí)ymina2a1;t2,即
22sinxcosx2時(shí)ymaxa2a1。
2十:常用形式轉(zhuǎn)換:
1tan(1)tan(a);
1tan41tantan(a)1tan4(2)tantantan(a)(1tantan)
(3)
1sin1sin=
sin|cos|(4)1sin|sin(5)tancot2cos2|
12sincossin2sin2xcos2x2cos2x(6)tgxctgx
sinxcosxsin2x
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sin)1cossin222cot222(7)21cossin2sin(sincos)2sin22sincos2222221sin40cos40cos80(8)cos20cos40cos80=sin20cos20cos40cos802sin20sin201*sin160sin80cos801848sin20sin202cos22sincos2cos(cos
三角恒等式的角的變換名稱的變換:
角的變換:不同角化為相同角;已知角轉(zhuǎn)化為結(jié)論所需角。名稱變換:弦化切割;切割化弦。
例1.已知:tg224tg2,求證:tgtg23sin。
53cos6tg2∵tg24tg,∴tg23tg1tg23sin22,又,故22233tg53cos14tg14tg1tg2tg22252221tg2tg23tg2命題得證。例2.已知tg例3.設(shè)
2,tg3,求cos的值
11,(1cos2)(1cos2),則tgtg的值為2312cos2()cos2()_________。
由cos2()cos2()4coscossinsin1;3;
(1cos2)(1cos2)4cos2cos2兩式相除得tgtg例
4.若
3.2433,且cos(),sin()2,,則
5522cos2=________。
=_______________。
34,cos(),∴cos2cos[()()]1,55332,,∴2又,結(jié)合cos21,故2,。22222由已知,sin()
先化簡(jiǎn)在求值
cos3xcosx例1.已知4sinx-6sinx-cosx+3cosx=0,x∈(0,),求的值。
1ctgx22
2解:∵4sin2x-6sinx-cos2x+3cosx=0,∴(2sinx+cosx)(2sinx-cosx)-3(2sinx-cosx)=0,
(2sinx-cosx)(2sinx+cosx-3)=0,∵2sinx+cosx-3≠0,
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2525cos3xcosx∴2sinx=cosx,ctgx=2,cosx=,∴=.
5251ctgx三角形形狀判定
例1.已知sinAcosB,則△ABC是()
(A)直角三角形或鈍角三角形;(B)等腰三角形;
(C)等邊三角形;(D)等腰或直角三角形例2.在ABC中,根據(jù)下列條件,判斷三角形的形狀:
(1)已知acosBbcosA,則ABC為______________________.
(2)已知cosA:cosBb:a,則ABC為________________________________.(3)已知
a2b2(1)等腰三角形(2)等腰三角形或直角三角形(3)等腰或直角三角形。
tgA,則ABC是______________。.tgB大邊對(duì)大角與sinA0的兩解性
例1.(1)在ABC中,已知a80,b100,A30,這樣的三角形可能有________個(gè).2
(2)在ABC中,已知a100,b80,A30,這樣的三角形可能有________個(gè).1
(3)在ABC中,已知a40,b100,A30,這樣的三角形可能有________個(gè).0
BB105,tgctg.
22313AB求:(1)cosAB的值;(2)cos的值.
2例2.在ABC中,cosA512BB103,得sinA,由tgctg,得sinB,13132235312456sinBsinAbaBAcosBcosAB而.
513565(1)由cosAB、C的對(duì)邊分別是a、b、c,且sinB例3.ABC中,角A、a:b:c________________.2:1:3或1:1:3
銳角三角形的充要條件。
31,sinC,則
22例1.已知銳角三角形ABC中,sin(AB),sin(AB).
(1)求tan(AB),(2)求證:tanA2tanB;(3)設(shè)AB=3,求AB邊上的高.
35153AB,sin(AB),2531(2)證明:sin(AB),sin(AB),
55(1)解:3tan(AB),
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3sinAcosBcosAsinB,sinAcosB51sinAcosBcosAsinB.cosAsinB5所以tanA2tanB.
(3)解:tan(AB)理得
2tan2B4tanB10.解得tanB2,5tanA2.1tanB53tanAtanB3,即,將tanA2tanB代入上式并整41tanAtanB42626,舍去負(fù)值得tanB,22tanA2tanB26.設(shè)AB邊上的高為CD.
則AB=AD+DB=
CDCD3CD.tanAtanB26由AB=3,得CD=26.所以AB邊上的高等于26.
銳角三角形
例1.已知k1、k2、k3為鈍角三角形的三條邊,且此三角形的最大角不超過120,
則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_______________.[,2)
邊角互化
1、在△ABC中,求證:sin212Asin2Bsin2C2cosAsinBsinC
1.已知函數(shù)f(x)loga(aax),(a0且a1),(1)
求f(x)的定義域和值域;(2)討論f(x)的單調(diào)性;(3)解方程
f(x22)f1(x)。
(2)(1)a1時(shí),DA(,1);0a1時(shí),DA(1,)。
(2)a1時(shí),f(x)在(,1)上遞減;0a1時(shí),f(x)在(1,)上遞減。(3)f1(x)loga(aax),f(x22)f1(x)loga(aax22)loga(aax)x2x20。
a1時(shí),x1(x2舍去);0a1時(shí),x2(x1舍去)。
2.已知函數(shù)f(x)log2(x1),并且g(x)值。
解:∵g(x)1f(3x),求函數(shù)p(x)g(x)f(x)的最大211f(3x),∴g(x)log2(3x1),
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213113x112139p(x)log2(3x1)log2(x1)log2log2log22,22222x12x148(x1)(x1)413∴當(dāng)x1,即x時(shí),p(x)maxlog23。
3323.已知函數(shù)f(x)loga(x21x),(a1)
1(1)求f(x)的定義域;(2)求f(x)的反函數(shù)f圍.
(3)求使得f(x)2的x的取值范(x);
解:(1)由x21x0,得x1,∴D(,1].(2)設(shè)yloga(x1x),得f21axax(x)(x0).
2(3)f(x)2,即loga(x21x)logaa2,∵a1,∴x21xa2,
xa2xa201a41a41a42222由x1(ax),得x.∵a1,∴x(,1].2222a2a2ax1x1別解:
f(x)2等價(jià)于當(dāng)f1(x)中的自變量x2時(shí),求f1(x)的范圍。易知f1(x)在[0,2)上單調(diào)遞減,∴f
4224.設(shè)s1,t1,mR,xlogstlogts,ylog4stlogtsm(logstlogts)。(1)將y表示成x的函數(shù)yf(x),并求出定義域;
1(2)f1(x)f1a2a21a4f1(x)1,即f(x)2中的x((0),1]。22a2(2)若關(guān)于x的方程f(x)0有唯一的實(shí)數(shù)根,求m的取值范圍。
224422解:(1)∵xlogstlogts,∴l(xiāng)og2stlogtsx2,logstlogts(x2)2,
∴y(x22)22m(x22)x4(m4)x2m2,x[2,)。
(2)令x2t4,則關(guān)于x的方程f(x)0等價(jià)于關(guān)于t的方程g(t)t2(m4)t2m20在g(4)0[4,)內(nèi)有唯一解!適280,∴只要g(4)0或4m即可,解得m1。
42a23a22a26a422xlog25.若函數(shù)yxlog2的值恒小于零,求實(shí)數(shù)a的取值
a20a20范圍。
220.令log2a23a2a20t,原不等式等價(jià)于ytx222xt10恒成立,
14t0t0a23a2a23a2t2,即log220∴a20a2084t(t1)0t2或t1,
3(a1)(a2)(a20)020a1或a2a(,1)(2,4)。(a4)(4a3)a20或3a4404a
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w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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