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高數(shù)下冊復(fù)習(xí)知識點總結(jié)

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高數(shù)下冊復(fù)習(xí)知識點總結(jié)

高數(shù)下冊復(fù)習(xí)知識點總結(jié):

8空間解析幾乎與向量代數(shù)

1.給定向量的坐標(biāo)表達(dá)式,如何表示單位向量、方向數(shù)與方向余弦、投影。

2.向量的數(shù)量積、向量積的定義式與坐標(biāo)式,掌握兩個向量垂直和平行的條件。

3.了解常用二次曲面的方程及其圖形,以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面方程?臻g曲線在坐

標(biāo)平面上的投影方程。

4.平面方程和直線方程及其求法。

5.平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角,利用平面、直線的相互關(guān)系(平行、

垂直、相交等)解決有關(guān)問題。

6.點到直線以及點到平面的距離。

9多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

1.有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的求解方法,偏導(dǎo)要求求到二階。2.復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t,隱函數(shù)求導(dǎo)公式和方法。

3.空間曲線的切線和法平面方程,空間曲面的切平面與法線方程;函數(shù)沿著一條直線的方向?qū)?shù)與梯度。

4.利用充分條件判斷函數(shù)的極值問題;利用拉格朗日乘子法(即條件極值)分析實際問題或給定函數(shù)的最值問題。

10重積分

1.二重積分直角坐標(biāo)交換積分次序;選擇合適的坐標(biāo)系計算二重積分。2.選擇合適的坐標(biāo)系計算三重積分。

3.利用二重積分計算曲面的面積;利用三重積分計算立體體積;4.利用質(zhì)心和轉(zhuǎn)動慣量公式求解問題。

11曲面積分與曲線積分

1.兩類曲線積分的計算與聯(lián)系;2.兩類曲面積分的計算與聯(lián)系;3.格林公式和高斯公式的應(yīng)用。 12曲面積分與曲線積分

1.常數(shù)項積分的斂散性判別:(1)正項級數(shù);(2)交錯級數(shù);(3)一般級數(shù)2.冪級數(shù)的收斂域(1)標(biāo)準(zhǔn)型(2)非標(biāo)準(zhǔn)型

冪級數(shù)的和函數(shù),冪級數(shù)展開3.傅里葉級數(shù)的和函數(shù)以及展開式

擴(kuò)展閱讀:高數(shù)下冊總復(fù)習(xí)知識點歸納(1)

高等數(shù)學(xué)(一)教案期末總復(fù)習(xí)

第八、九章向量代數(shù)與空間解析幾何總結(jié)

向量代數(shù)定義與運算的幾何表達(dá)定義向量模有大小、有方向.記作a或AB向量a的模記作a在直角坐標(biāo)系下的表示aaxiayjazk(ax,ay,az)axprjxa,ayprjya,azprjzaaax2ay2az2和差cabca-b單位向量cabaxbx,ayby,azbzaa0,則eaa設(shè)a與x,y,z軸的夾角分別為,,,則方向余弦分別為cos,cos,cosea(ax,ay,az)axayaz222方向余弦aaacosx,cosy,coszaaaea(cos,cos,cos)cos2+cos2cos21點乘(數(shù)量積)ababcos,為向量a與b的夾角abaxbxaybyazbziabaxbxjaybykazbzcabsin叉乘(向量積)為向量a與b的夾角cab向量c與a,b都垂直定理與公式垂直平行abab0abaxbxaybyazbz0a//bcosa//bab0axayazbxbybz2222交角余弦ab兩向量夾角余弦cosab向量a在非零向量b上的投影axbxaybyazbzaxayazbxbybz22投影prjbaacos(ab)abbprjbaaxbxaybyazbzbxbybz222平面法向量n{A,B,C}點M0(x0,y0,z0)方程名稱一般式點法式方程形式及特征直線方向向量T{m,n,p}點M0(x0,y0,z0)方程名稱一般式點向式方程形式及特征A1xB1yC1zD10A2xB2yC2zD20AxByCzD0A(xx0)B(yy0)C(zz0)0

xx0yy0zz0mnp高等數(shù)學(xué)(一)教案期末總復(fù)習(xí)

xx1三點式y(tǒng)y1y2y1y3y1zz1z2z10z3z1兩點式線線垂直線線平行線面平行參數(shù)式x2x1x3x1截距式面面垂直面面平行線面垂直xyz1abcA1A2B1B2C1C20A1B1C1A2B2C2ABCmnpxx0mtyy0ntzzpt0xx0yy0zz0x1x0y1y0z1z0m1m2n1n2p1p20m1n1p1m2n2p2AmBnCp0點面距離M0(x0,y0,z0)AxByCzD0面面距離AxByCzD10AxByCzD20dAx0By0Cz0DABC222dD1D2ABC222面面夾角n1{A1,B1,C1}n2{A2,B2,C2}cos|A1A2B1B2C1C2|A1B1C1A2B2C2222222線線夾角s1{m1,n1,p1}s2{m2,n2,p2}線面夾角s{m,n,p}n{A,B,C}AmBnCpA2B2C2m2n2p2cosm1m2n1n2p1p2222m12n12p12m2n2p2sinx(t),y(t),z(t),切“線”方程:切向量xx0yy0zz0(t0)(t0)(t0)空間(t)曲線:T((t0),(t0),(t0))法平“面”方程:(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0切“線”方程:y(x)切向量z(x)T(1,(x),(x))xx0yy0zz01(x0)(x0)法平“面”方程:(xx0)(x0)(yy0)(x0)(zz0)0法向量切平“面”方程:Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fx(x0,y0,z0)(yy0)F(x,y,z)0空間曲面:n(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))n(fx(x0,y0),fy(x0,y0),1)Fx(x0,y0,z0)(zz0)0法“線“方程:xx0yy0zz0Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)切平“面”方程:fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(yy0)(zz0)0法“線“方程:

zf(x,y)或n(fx(x0,y0),fy(x0,y0),1)xx0yy0zz0fx(x0,y0)fy(x0,y0)1高等數(shù)學(xué)(一)教案期末總復(fù)習(xí)

第十章總結(jié)

重積分計算方法(1)利用直角坐標(biāo)系X型Y型積分類型二重積分典型例題f(x,y)dxdydxDab2(x)1(x)f(x,y)dyf(x,y)dxP141例1、例3f(x,y)dxdyDdcdy2(y)1(y)Ifx,ydD(2)利用極坐標(biāo)系使用原則(1)積分區(qū)域的邊界曲線易于用極坐標(biāo)方程表示(含圓弧,直線段);(2)被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量表示較簡單(含(x2y2),平面薄片的質(zhì)量質(zhì)量=面密度面積為實數(shù))P147例5f(cos,sin)ddDd2()1()f(cos,sin)d0202(3)利用積分區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性當(dāng)D關(guān)于y軸對稱時,(關(guān)于x軸對稱時,有類似結(jié)論)0I2f(x,y)dxdyD1計算步驟及注意事項f(x,y)對于x是奇函數(shù),即f(x,y)f(x,y)f(x,y)對于x是偶函數(shù),即f(x,y)f(x,y)D1是D的右半部分P141例2應(yīng)用該性質(zhì)更方便1.畫出積分區(qū)域2.選擇坐標(biāo)系標(biāo)準(zhǔn):域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)軸,被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離3.確定積分次序原則:積分區(qū)域分塊少,累次積分好算為妙4.確定積分限方法:圖示法先積一條線,后掃積分域5.計算要簡便注意:充分利用對稱性,奇偶性

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三重積分(1)利用直角坐標(biāo)投影投影法截面法bay2(x)f(x,y,z)dVdxy1(x)dyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dzP159例1P160例2xrcos(2)利用柱面坐標(biāo)yrsinzz相當(dāng)于在投影法的基礎(chǔ)上直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)適用范圍:1積分區(qū)域表面用柱面坐標(biāo)表示時方程簡單;如旋轉(zhuǎn)體○If(x,y,z)dvP161例3空間立體物的質(zhì)量質(zhì)量=密度面積22222被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時變量易分離.如f(xy)f(xz)○f(x,y,z)dVdzdabr2()r1()f(cos,sin,z)dxcosrsincos(3)利用球面坐標(biāo)ysinrsinsinzrcosdvr2sindrdd適用范圍:1積分域表面用球面坐標(biāo)表示時方程簡單;如,球體,錐體.○P16510-(1)2222被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時變量易分離.如,f(xyz)○Idd11222(,)1(,)f(sincos,sinsin,cos)2sind(4)利用積分區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性

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第十一章總結(jié)

曲線積分與曲面積分積分類型參數(shù)法(轉(zhuǎn)化為定積分)第一類曲線積分(1)L:y(x)IIf(x,y)ds計算方法典型例題(t)Iaf(x,y(x))1y"(x)dx曲形構(gòu)件的質(zhì)量(2)L:y(t)質(zhì)量=線密度xr()cos弧長(3)rr()()L:f((t),(t))b"2(t)"2(t)dt2Lx(t)P189-例1P190-3yr()sinIf(r()cos,r()sin)r2()r"2()d平面第二類曲線積分(1)參數(shù)法(轉(zhuǎn)化為定積分)x(t)L:(t單調(diào)地從到)y(t)P196-例1、例2、例3、例4LPdxQdy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt(2)利用格林公式(轉(zhuǎn)化為二重積分)條件:①L封閉,分段光滑,有向(左手法則圍成平面區(qū)域D)②P,Q具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)結(jié)論:LPdxQdy(DQP)dxdyxy滿足條件直接應(yīng)用IPdxQdy應(yīng)用:有瑕點,挖洞L不是封閉曲線,添加輔助線變力沿曲線所做的功P205-例4P214-5(1)(4)(3)利用路徑無關(guān)定理(特殊路徑法)等價條件:①Q(mào)P②xy③PdxQdy0LLPdxQdy與路徑無關(guān),與起點、終點有關(guān)P211-例5、例6、例7④PdxQdy具有原函數(shù)u(x,y)(特殊路徑法,偏積分法,湊微分法)(4)兩類曲線積分的聯(lián)系IPdxQdy(PcosQcos)dsLL空間第二類曲線積分(1)參數(shù)法(轉(zhuǎn)化為定積分)PdxQdyRdz{P[(t),(t),(t)](t)Q[(t),(t),(t)](t)R[(t),(t),(t)](t)}dtIPdxQdyRdz(2)利用斯托克斯公式(轉(zhuǎn)化第二類曲面積分)L條件:①L封閉,分段光滑,有向②P,Q,R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)PdxQdyRdzL變力沿曲線所做結(jié)論:的功QpRQPR()dydz()dzdx()dxdyyzzxxyP240-例1

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應(yīng)用:滿足條件直接應(yīng)用不是封閉曲線,添加輔助線第一類曲面積分投影法:zz(x,y)投影到xoy面If(x,y,z)dv曲面薄片的質(zhì)量Dxy質(zhì)量=面密度類似的還有投影到y(tǒng)oz面和zox面的公式面積(1)投影法Pdydzp(x(y,z),y,z)dydz1○Dyz:zz(x,y),為的法向量與x軸的夾角前側(cè)取“+”,cos0;后側(cè)取“”,cos0Qdzdxp(x,y(x,z),z)dzdx2第二類曲面積分○Dyz:yy(x,z),為的法向量與y軸的夾角右側(cè)取“+”,cos0;左側(cè)取“”,cos02If(x,y,z)dvf(x,y,z(x,y))1zx2zydxdyP217-例1、例2P226-例2IPdydzQdzdxR3QdxdyQ(x,y,z(x,y))dxdy○Dyz流體流向曲面一側(cè)的流量:xx(y,z),為的法向量與x軸的夾角上側(cè)取“+”,cos0;下側(cè)取“”,cos0(2)高斯公式右手法則取定的側(cè)條件:①封閉,分片光滑,是所圍空間閉區(qū)域的外側(cè)②P,Q,R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)結(jié)論:PdydzQdzdzRdxdy(PQR)xyzP231-例1、例2應(yīng)用:滿足條件直接應(yīng)用不是封閉曲面,添加輔助面(3)兩類曲面積分之間的聯(lián)系PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dSP228-例3轉(zhuǎn)換投影法:dydz(

所有類型的積分:

z)dxdyxdzdx(z)dxdyy1定義:四步法分割、代替、求和、取極限;○

2性質(zhì):對積分的范圍具有可加性,具有線性性;○

3對坐標(biāo)的積分,積分區(qū)域?qū)ΨQ與被積函數(shù)的奇偶性。○

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第十二章總結(jié)

1若級數(shù)收斂,各項同乘同一常數(shù)仍收斂○

2兩個收斂級數(shù)的和差仍收斂○

用收斂定義,limsn存在

n注:一斂、一散之和必發(fā)散;兩散和、差必發(fā)散.

3去掉、加上或改變級數(shù)有限項不改變其收斂性○

4若級數(shù)收斂則對這級數(shù)的項任意加括號后所成○

般項級

數(shù)

的級數(shù)仍收斂,且其和不變。

常數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì)

推論如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散則原來級數(shù)也發(fā)散注:收斂級數(shù)去括號后未必收斂.

常數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì)

5(必要條件)如果級數(shù)收斂則limu0○nn0常

數(shù)項級數(shù)

交錯級數(shù)

萊布尼茨判別法

若unun1且limun0,則(1)n1unnn1收斂

比較判別法

un和vn都是正項級數(shù),且unvn.若vn收斂,則un也收斂;若un發(fā)散,則vn也發(fā)散.

1若un和vn都是正項級數(shù),且limunl,則○

n正

項級數(shù)

比較判別法的極限形式

vn2若l0,v收0l,un與vn同斂或同散;○n3如果l斂,un也收斂;○

比值判別法

根值判別法

,vn發(fā)散,un也發(fā)散。

uun是正項級數(shù),limn1,limnun,則1時收

nnun斂;1()時發(fā)散;1時可能收斂也可能發(fā)散.

收斂性

an0n1,0;R,0;R0,.xn,liman1,Rnan缺項級數(shù)用比值審斂法求收斂半徑

1在收斂域I上連續(xù);○2在收斂域(R,R)內(nèi)可導(dǎo),3且可逐項求導(dǎo);○s(x)的性質(zhì)○

無窮級數(shù)冪級數(shù)

和函數(shù)和函數(shù)s(x)在收斂域I上可積分,且可逐項積分.(R不變,收斂域可能變化).

展成冪級數(shù)直接展開:泰勒級數(shù)間接展開:六個常用展開式

11nxx(1x1)exn(x)1xn1n1n!T2

T2l1a0f(x)(ancosnxbnsinnx)a02n1f(x)dx

立葉級數(shù)

an1f(x)cosnxdxbn1f(x)sinnxdx收斂定理

x是連續(xù)點,收斂于f(x);x是間斷點,收斂于1[f(x)f(x)]

2周期延拓

f(x)為奇函數(shù),正弦級數(shù),奇延拓;f(x)為偶函數(shù),余弦級數(shù)、偶延拓.

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