大一高等數(shù)學(xué)小公式來(lái)匯總
高等數(shù)學(xué)公式
導(dǎo)數(shù)公式:
(tgx)sec2x(ctgx)csc2x(secx)secxtgx(cscx)cscxctgx(ax)axlna1(logax)xlna基本積分表:
(arcsinx)11x21(arccosx)1x21(arctgx)1x21(arcctgx)1x2tgxdxlncosxCctgxdxlnsinxCsecxdxlnsecxtgxCcscxdxlncscxctgxCdx1xarctgCa2x2aadx1xalnx2a22axaCdx1axa2x22alnaxCdxxarcsinCa2x2a2ndx2cos2xsecxdxtgxCdx2sin2xcscxdxctgxCsecxtgxdxsecxCcscxctgxdxcscxCaxadxlnaCxshxdxchxCchxdxshxCdxx2a2ln(xx2a2)C2Insinxdxcosnxdx00n1In2nx2a22xadxxaln(xx2a2)C22x2a2222xadxxalnxx2a2C22x2a2x222axdxaxarcsinC22a22三角函數(shù)的有理式積分:
2u1u2x2dusinx, cosx, utg, dx
21u21u21u一些初等函數(shù):兩個(gè)重要極限:
exex雙曲正弦:shx2exex雙曲余弦:chx2shxexex雙曲正切:thxchxexexarshxln(xx21)archxln(xx21)11xarthxln21x
三角函數(shù)公式:誘導(dǎo)公式:
函數(shù)角A-α90°-α90°+α180°-α180°+α270°-α270°+α360°-α360°+αsinlimsinx1x0x1lim(1)xe2.718281828459045...xxcostg-tgαctgαctg-ctgαtgα-ctgαctgαtgα-ctgαctgα-sinαcosαcosαcosαsinαsinα-sinα-ctgα-tgα-cosα-tgα-sinα-cosαtgα-cosα-sinαctgα-cosαsinα-sinαcosαsinαcosα-tgαtgα-ctgα-tgα
和差角公式:和差化積公式:
sin()sincoscossincos()coscossinsintgtgtg()1tgtgctgctg1ctg()ctgctg
sinsin2sin22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin22cos倍角公式:
sin22sincoscos22cos2112sin2cos2sin2ctg21ctg22ctg2tgtg21tg2
半角公式:
sin33sin4sin3cos34cos33cos3tgtg3tg313tg2sintg
21cos1cos cos2221cos1cossin1cos1cossin ctg1cossin1cos21cossin1cosabc2R余弦定理:c2a2b22abcosCsinAsinBsinC2正弦定理:
反三角函數(shù)性質(zhì):arcsinx2arccosx arctgx2arcctgx
高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲(Leibniz)公式:
(uv)(n)k(nk)(k)Cnuvk0nu(n)vnu(n1)vn(n1)(n2)n(n1)(nk1)(nk)(k)uvuvuv(n)2!k!
中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用:
拉格朗日中值定理:f(b)f(a)f()(ba)f(b)f(a)f()柯西中值定理:F(b)F(a)F()曲率:
當(dāng)F(x)x時(shí),柯西中值定理就是拉格朗日中值定理;∥⒎止剑篸s1y2dx,其中ytg平均曲率:K.:從M點(diǎn)到M點(diǎn),切線斜率的傾角變化量;s:MM弧長(zhǎng)。sydM點(diǎn)的曲率:Klim.
23s0sds(1y)直線:K0;1半徑為a的圓:K.a定積分應(yīng)用相關(guān)公式:
功:WFs水壓力:FpAmm引力:Fk122,k為引力系數(shù)
rb1函數(shù)的平均值:yf(x)dxbaa1均方根:f2(t)dtbaa
bm(m1)2m(m1)(mn1)nxx (1x1)2!n!2n1x3x5xsinxx(1)n1 (x)3!5!(2n1)!(1x)m1mx微分方程的相關(guān)概念:
一階微分方程:yf(x,y) 或 P(x,y)dxQ(x,y)dy0可分離變量的微分方程:一階微分方程可以化為g(y)dyf(x)dx的形式,解法:g(y)dyf(x)dx 得:G(y)F(x)C稱為隱式通解。dyyf(x,y)(x,y),即寫(xiě)成的函數(shù),解法:dxxydydududxduy設(shè)u,則ux,u(u),分離變量,積分后將代替u,xdxdxdxx(u)ux齊次方程:一階微分方程可以寫(xiě)成即得齊次方程通解。一階線性微分方程:dy1、一階線性微分方程:P(x)yQ(x)dxP(x)dx當(dāng)Q(x)0時(shí),為齊次方程,yCeP(x)dxP(x)dx當(dāng)Q(x)0時(shí),為非齊次方程,y(Q(x)edxC)e
dy2、貝努力方程:P(x)yQ(x)yn,(n0,1)dx全微分方程:
如果P(x,y)dxQ(x,y)dy0中左端是某函數(shù)的全微分方程,即:uudu(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy0,其中:P(x,y),Q(x,y)
xyu(x,y)C應(yīng)該是該全微分方程的通解。二階微分方程:
f(x)0時(shí)為齊次d2ydyP(x)Q(x)yf(x),2dxdxf(x)0時(shí)為非齊次二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法:
(*)ypyqy0,其中p,q為常數(shù);求解步驟:1、寫(xiě)出特征方程:()r2prq0,其中r2,r的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)恰好是(*)式中y,y,y的系數(shù);2、求出()式的兩個(gè)根r1,r23、根據(jù)r1,r2的不同情況,按下表寫(xiě)出(*)式的通解:r1,r2的形式兩個(gè)不相等實(shí)根(p4q0)兩個(gè)相等實(shí)根(p24q0)一對(duì)共軛復(fù)根(p24q0)2(*)式的通解yc1er1xc2er2xy(c1c2x)er1xyex(c1cosxc2sinx)r1i,r2i4qp2p,22二階常系數(shù)非齊次線性微分方程ypyqyf(x),p,q為常數(shù)f(x)exPm(x)型,為常數(shù);f(x)ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型
(1)(a^x)(n)a^x(lna)^n(a0)(2)sin(kx)(n)k^nsin(kxn*/2)(3)cos(kx)(n)k^ncos(kxn*/2)(4)(x^m)(n)m(m1)....(mn1)x^(mn)(5)(lnx)(n)(1)^(n1)[(n1)!/(x^n)](6)萊布尼茲公式:(uv)(n)c(i,n)u(i)v(ni)i0n
曲率半徑1/k
中值定理。
1。洛爾定理
設(shè)函數(shù)f(x)滿足在[a,b]上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間(a,b)可導(dǎo),且f(a)f(b),則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn),使f"()02。拉格浪日定理
f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)可導(dǎo),則在(a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)使
f(b)f(a)f"()(ba)3.柯西中值定理
f(x),g(x)滿足在[a,b]連續(xù),在(a,b)可導(dǎo),且g(x)0,則在(a,b)內(nèi)至少存在一個(gè),使[f(b)f(a)]/[g(b)g(a)]f"()/g"()
4.臺(tái)勞公式
f(x)f(0)f"(0)x1/2!f""(0)x^2....1/n!f^(n)(0)x^nRn(x)5.五種常見(jiàn)函數(shù)的臺(tái)勞展開(kāi)
(1)e^x1x1/2!x^2.....1/n!x^n1/(n1)!x^(n1)e^(2)sinxx1/3!x^3...1/n!(x^n)sin(n/2)o(x^n)(3)cosx11/2!x^2....1/n!(x^n)cos(n/2)o(x^n)(4)
ln(1x)x1/2*x^21/3*x^3....(1)^(n1)1/n(x^n)o(x^n)
(5)
(1x)^m1mxm*(m1)/2!(x^2)...m(m1)...(mn1)/n!(x^n)o(x^n)
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高等數(shù)學(xué)公式
導(dǎo)數(shù)公式:
2(tgx)secx(arcsinx)(arccosx)(arctgx)11x11x22(ctgx)cscx11x22(secx)secxtgx(cscx)cscxctgx(a)alna(logaxxx)1xlna(arcctgx)11x2基本積分表:
三角函數(shù)的有理式積分:
tgxdxctgxdxsecaxalncosxClnsinxCcossindx2xxseccsc2xdxtgxCxdxctgxCdx22xdxlnsecxtgxCcscxdxlncscxctgxCdx2secxtgxdxcscxctgxdxaxsecxCcscxCCxdxadxxdx221a1arctglnlnxaCCCxaxaaxaxxadxaxlna222a12ashxdxchxdx2chxCshxCln(xxa)C2222ax2arcsinCdxxa222Insin02nxdxcos0nxdx2n1naaa2In2xa)CxaxaC2222sinx2u1uxadxxadxaxdx22222x2x2x2xaxaax2222222ln(xlnxarcsin22C2, cosx2x2du, utg, dx22
21u1u1/12
1u
一些初等函數(shù):兩個(gè)重要極限:
ee2ee2shxchx2xxxx雙曲正弦:shx雙曲余弦:chx雙曲正切:thxarshxln(xarchxln(xarthx12ln1x1xlimsinxx1xx01)e2.7182818284x
59045...lim(1xeeeexxxx
x1)x1)2三角函數(shù)公式:誘導(dǎo)公式:
函數(shù)角A-α90°-α90°+α180°-α180°+α270°-α270°+α360°-α360°+αsincostg-tgαctgαctg-ctgαtgα-ctgαctgαtgα-ctgαctgα-sinαcosαcosαcosαsinαsinα-sinα-ctgα-tgα-cosα-tgα-sinα-cosαtgα-cosα-sinαctgα-cosαsinα-sinαcosαsinαcosα-tgαtgα-ctgα-tgα
和差角公式:和差化積公式:
sin()sincoscossincos()coscossinsintg()tgtg1tgtgctgctg1ctgctgsinsin2sinsinsin2cos2cossin222coscos2coscoscos2sin2cossin2ctg()22
2/12
倍角公式:sin22sincoscos22cos112sincossinctg2tg2ctg12ctg2tg1tg222222sin33sin4sincos34cos3costg33tgtg13tg2333
半角公式:
sintg21cos21cos1cosasinA 1cossinbsinB cos ctg21cos21cos1cos22
1cossin22csin1cos2sin1cos正弦定理:
sinC2R余弦定理:cab2abcosC
反三角函數(shù)性質(zhì):arcsinx2arccosx arctgx2arcctgx
高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲(Leibniz)公式:
n(uv)u(n)Ck0knu(nk)v(k)(n)vnu(n1)vn(n1)2!u(n2)vn(n1)(nk1)k!
u(nk)v(k)uv(n)中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用:
拉格朗日中值定理:柯西中值定理:f(b)f(a)f()(ba)f()F()拉格朗日中值定理。f(b)f(a)F(b)F(a)
當(dāng)F(x)x時(shí),柯西中值定理就是曲率:
弧微分公式:平均曲率:Kdss1ydx,其中ytg.:從M點(diǎn)到M點(diǎn),切線斜率的傾角變sddsy(1y)232化量;s:MM弧長(zhǎng)。M點(diǎn)的曲率:直線:K0;Klims0.
半徑為a的圓:K
1a.3/
定積分的近似計(jì)算:
b矩形法:f(x)abban(y0y1yn1)梯形法:f(x)abba1[(y0yn)y1yn1]n2ba3n[(y0yn)2(y2y4yn2)4(y1y3yn1)]
拋物線法:f(x)a定積分應(yīng)用相關(guān)公式:
功:WFs水壓力:FpA引力:Fkm1m2r2,k為引力系數(shù)
函數(shù)的平均值:y1babbaa1bf(x)dx均方根:af(t)dt2空間解析幾何和向量代數(shù):空間2點(diǎn)的距離:向量在軸上的投影:dM1M2(x2x1)(y2y1)(z2z1)222PrjuABABcos,是AB與u軸的夾角。Prju(a1a2)Prja1Prja2ababcosaxbxaybyazbz,是一個(gè)數(shù)量?jī)上蛄恐g的夾角:cosk,axbxaybyazbzaxayazbxbybz222222icabaxbxjaybyaz,cabsin.例:線速度:bzaybycyazbzczvwr.ax向量的混合積:[abc](ab)cbxcx代表平行六面體的體積。abccos,為銳角時(shí),
4/12
平面的方程:1、點(diǎn)法式:A(xx0)B(yy0)C(zz0)0,其中n{A,B,C},M0(x0,y0,z0)AxByCzD0xaybzc1dAx0By0Cz0DABC空間直線的方程:2222、一般方程:3、截距世方程:平面外任意一點(diǎn)到該平面的距離:xx0mtxx0yy0zz0t,其中s{m,n,p};參數(shù)方程:yy0ntmnpzzpt02222二次曲面:1、橢球面:2、拋物面:3、雙曲面:?jiǎn)稳~雙曲面:雙葉雙曲面:xaxa2222xa222yb2zc1xy2p2qz(,p,q同號(hào))ybyb2222zczc22221(馬鞍面)1
多元函數(shù)微分法及應(yīng)用全微分:dzzxdxzydy duuxdxuydyuzdz全微分的近似計(jì)算:多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法zdzfx(x,y)xfy(x,y)y:dzzuzvzf[u(t),v(t)] dtutvtzzuzvzf[u(x,y),v(x,y)] xuxvx當(dāng)uu(x,y),vv(x,y)時(shí),duuxdxuydy dvvxdxvydy 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式:FFFdydydy隱函數(shù)F(x,y)0, x, 2(x)+(x)dxFyxFyyFydxdxFyFxzz隱函數(shù)F(x,y,z)0, , xFzyFz5/12
FF(x,y,u,v)0(F,G)隱函數(shù)方程組: JuG(u,v)G(x,y,u,v)0uuxuy1(F,G)v1(F,G) J(x,v)xJ(u,x)1(F,G)v1(F,G) J(y,v)yJ(u,y)FvFuGGuvFvGv
微分法在幾何上的應(yīng)用:
x(t)xx0yy0zz0空間曲線y(t)在點(diǎn)M(x0,y0,z0)處的切線方程:(t0)(t0)(t0)z(t)在點(diǎn)M處的法平面方程:若空間曲線方程為:(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0,GzGzFzFz,GxGxFxFxFyGyFyF(x,y,z)0,則切向量T{GyG(x,y,z)0}曲面F(x,y,z)0上一點(diǎn)M(x0,y0,z0),則:1、過(guò)此點(diǎn)的法向量:n{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}2、過(guò)此點(diǎn)的切平面方程3、過(guò)此點(diǎn)的法線方程::Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(yy0)Fz(x0,y0,z0)(zz0)0xx0Fx(x0,y0,z0)yy0Fy(x0,y0,z0)zz0Fz(x0,y0,z0)方向?qū)?shù)與梯度:
函數(shù)zf(x,y)在一點(diǎn)p(x,y)沿任一方向其中為x軸到方向l的轉(zhuǎn)角。函數(shù)zf(x,y)在一點(diǎn)p(x,y)的梯度:gradf(x,y)它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是單位向量。l多元函數(shù)的極值及其求法:f是gradf(x,y)在l上的投影。ffijxyl的方向?qū)?shù)為:flfxcosfysinf:gradf(x,y)e,其中ecosisinj,為l方向上的l
設(shè)fx(x0,y0)fy(x0,y0)0,令:fxx(x0,y0)A, fxy(x0,y0)B, fyy(x0,y0)CA0,(x0,y0)為極大值2ACB0時(shí),A0,(x0,y0)為極小值2則:值A(chǔ)CB0時(shí), 無(wú)極ACB20時(shí), 不確定
6/12
重積分及其應(yīng)用:
Df(x,y)dxdyDf(rcos,rsin)rdrdzz1dxdyxy22曲面zf(x,y)的面積ADx平面薄片的重心:xMMx(x,y)dD(x,y)dD, yMMyDDy(x,y)d(x,y)dD
x(x,y)d2平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:平面薄片(位于Fxf對(duì)于x軸IxDy(x,y)d, 對(duì)于y軸Iy2xoy平面)對(duì)z軸上質(zhì)點(diǎn)M(0,0,a),(a0)的引力:F{Fx,Fy,Fz},其中:, Fyf3D(x,y)xd222D(x,y)yd222, Fzfa3D(x,y)xd3(xya)2(xya)2(xya)2222柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo):
xrcos柱面坐標(biāo):yrsin, f(x,y,z)dxdydzzz其中:F(r,,z)f(rcos,rsin,z)xrsincos2球面坐標(biāo):yrsinsin, dvrdrsinddrrsindrddzrcos2F(r,,z)rdrddz,
r(,)f(x,y,z)dxdydz1MF(r,,)rsindrdd1M2dd00F(r,,)rsindr02重心:x轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:xdv, yydv, z1M2zdv, 其中Mx22dvIx(yz)dv, Iy22(xz)dv, Iz2(xy)dv曲線積分:
第一類曲線積分(對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分):x(t)設(shè)f(x,y)在L上連續(xù),L的參數(shù)方程為:, (t),則:y(t)Lf(x,y)dsxt22f[(t),(t)](t)(t)dt () 特殊情況:y(t)7/12
第二類曲線積分(對(duì)坐設(shè)L的參數(shù)方程為標(biāo)的曲線積分):x(t),則:y(t)P(x,y)dxLQ(x,y)dy{P[(t),L(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt兩類曲線積分之間的關(guān)L上積分起止點(diǎn)處切向量格林公式:系:PdxQdy的方向角。)dxdy(PcosLQcos)ds,其中和分別為(DQxPyPdxLQdy格林公式:(DQxPy)dxdy12PdxLQdyQP當(dāng)Py,Qx,即:2時(shí),得到xy平面上曲線積分與路徑1、G是一個(gè)單連通區(qū)域;無(wú)關(guān)的條件:D的面積:ADdxdyxdyLydx2、P(x,y),Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)減去對(duì)此奇點(diǎn)的積分,二元函數(shù)的全微分求積在Qx=Py注意方向相反。海襋x=Py。注意奇點(diǎn),如(0,0),應(yīng)
u(x,y)的全微分,其中:時(shí),PdxQdy才是二元函數(shù)(x,y)u(x,y)P(x,y)dx(x0,y0)Q(x,y)dy,通常設(shè)x0y00。曲面積分:
對(duì)面積的曲面積分:對(duì)坐標(biāo)的曲面積分:f(x,y,z)dsDxyf[x,y,z(x,y)]1zx(x,y)zy(x,y)dxdy22P(x,y,z)dydzDxyQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy,其中:號(hào);R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上側(cè)時(shí)取正P[x(y,z),y,z]dydz,取曲面的前側(cè)時(shí)取正Dyz
號(hào);號(hào)。QcosRcos)dsP(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxQ[x,y(z,x),z]dzdx,取曲面的右側(cè)時(shí)取正Dzx兩類曲面積分之間的關(guān)系:PdydzQdzdxRdxdy(Pcos高斯公式:
(PxQyRz)dvPdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)ds高斯公式的物理意義通量與散度:div0,則為消失...PQR散度:div,即:?jiǎn)挝惑w積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量,若xyz通量:AndsAnds(PcosQcosRcos)ds,因此,高斯公式又可寫(xiě)成:divAdvAnds8/12
斯托克斯公式曲線積分與曲面積分的關(guān)系:
(RyQz)dydz(PzRx)dzdx(dzdxyQQxPy)dxdycosxPPdxQdyRdzcoszR上式左端又可寫(xiě)成:dydzxPdxdyzRRycosyQ空間曲線積分與路徑無(wú)ixPjyQ關(guān)的條件:kzRQPRQP, , zzxxy
旋度:rotA向量場(chǎng)A沿有向閉曲線的環(huán)流量:PdxQdyRdzAtds常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù):
等比數(shù)列:1qq2qn11qn1q等差數(shù)列:123n調(diào)和級(jí)數(shù):112131n(n1)n2
是發(fā)散的級(jí)數(shù)審斂法:
1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法根植審斂法(柯西判別法):設(shè):limnn1時(shí),級(jí)數(shù)收斂un,則1時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散1時(shí),不確定1時(shí),級(jí)數(shù)收斂,則1時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散1時(shí),不確定散。2、比值審斂法:Un1Un
設(shè):limn3、定義法:snu1u2un;limsn存在,則收斂;否則發(fā)n交錯(cuò)級(jí)數(shù)u1u2u3u4(或u1u2u3,un0)的審斂法如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足unun1,那么級(jí)數(shù)收斂且其和limu0nn萊布尼茲定理:
su1,其余項(xiàng)rn的絕對(duì)值rnun1。絕對(duì)收斂與條件收斂:
9/12
(1)u1u2un,其中un為任意實(shí)數(shù);(2)u1u2u3un如果(2)收斂,則(1)肯定收斂,且稱為絕對(duì)如果(2)發(fā)散,而(1)收斂,則稱調(diào)和級(jí)數(shù): 級(jí)數(shù):1nn發(fā)散,而收斂;p1時(shí)發(fā)散 p1時(shí)收斂收斂級(jí)數(shù);(1)為條件收斂級(jí)數(shù)。n
(1)n收斂;12 p級(jí)數(shù):1np冪級(jí)數(shù):
23n1xxxx x1時(shí),收斂于x1時(shí),發(fā)散11x對(duì)于級(jí)數(shù)(3)a0a1x a2xanx,如果它不是僅在原點(diǎn)xR時(shí)收斂數(shù)軸上都收斂,則必存在R,使2n收斂,也不是在全xR時(shí)發(fā)散,其中R稱為收斂半徑。xR時(shí)不定
0時(shí),R求收斂半徑的方法:設(shè)liman1an,其中an,an1是(3)的系數(shù),則1n0時(shí),R時(shí),R0函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù):
函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù):余項(xiàng):Rnf(n1)f(x)f(x0)(xx0)(xx0)n1f(x0)2!(xx0)2f(n)(x0)n!(xx0)n()(n1)!,f(x)可以展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的f(0)2!2充要條件是:limRn0n
x00時(shí)即為麥克勞林公式:f(x)f(0)f(0)xxf(n)(0)n!xn一些函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù):
(1x)m1mxx3m(m1)2!x2xm(m1)(mn1)n!xn (1x1)
sinxx3!x52n15!(1)n1(2n1)! (x)歐拉公式:
ixixeecosx2cosxisinx 或ixixsinxee2eix
三角級(jí)數(shù):
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f(t)A0n1Ansin(ntn)a02(an1ncosnxbnsinnx)其中,a0aA0,anAnsinn,bnAncosn,tx。正交性:1,sinx,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意兩個(gè)不同項(xiàng)的乘積上的積分=0。在[,]
傅立葉級(jí)數(shù):
f(x)a02(an1ncosnxbnsinnx),周期21an其中1bn1 122f(x)cosnxdx (n0,1,2)f(x)sinnxdx (n1,2,3)1321421521622811222133214422
6(相加)224121212122(相減)12正弦級(jí)數(shù):an0,bn20f(x)sinnxdx n1,2,3 f(x)ba02nsinnx是奇函數(shù)余弦級(jí)數(shù):bn0,an0f(x)cosnxdx n0,1,2 f(x)ancosnx是偶函數(shù)周期為2l的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù):
f(x)a02(an1ncosnxlbnsinnxl),周期2ll1nxdx (n0,1,2)anf(x)coslll其中l(wèi)1nxbnf(x)sindx (n1,2,3)lll
微分方程的相關(guān)概念:
一階微分方程:yf(x,y) 或 P(x,y)dxQ(x,y)dy0:一階微分方程可以化為g(y)dyf(x)dx的形式,解法:可分離變量的微分方程g(y)dyyxf(x)dx 得:G(y)F(x)C稱為隱式通解。程可以寫(xiě)成dudx,ududxdydxf(x,y)(x,y),即寫(xiě)成dxxduyx的函數(shù),解法:yx
齊次方程:一階微分方設(shè)u,則dydxux(u),(u)u分離變量,積分后將代替u,即得齊次方程通解。一階線性微分方程:
1、一階線性微分方程:dydxP(x)yQ(x)P(x)dxyCe當(dāng)Q(x)0時(shí),為齊次方程,
P(x)dxP(x)dxdxC)e當(dāng)Q(x)0時(shí),為非齊次方程,2、貝努力方程:dydxy(Q(x)enP(x)yQ(x)y,(n0,1)11/12
全微分方程:
如果P(x,y)dxQ(x,y)dy0中左端是某函數(shù)的全微du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy0,其中:u(x,y)C應(yīng)該是該全微分方程的u分方程,即:uP(x,y),Q(x,y)xy
通解。二階微分方程:dydx22P(x)dydxQ(x)yf(x),f(x)0時(shí)為齊次f(x)0時(shí)為非齊次
二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法:
(*)ypyqy0,其中p,q為常數(shù);求解步驟:1、寫(xiě)出特征方程:()r2、求出()式的兩個(gè)根2prq0,其中r,r的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)恰好是r1,r22(*)式中y,y,y的系數(shù);3、根據(jù)r1,r2的不同情況,按下表寫(xiě)r1,r2的形式出(*)式的通解:
(*)式的通解兩個(gè)不相等實(shí)根(p24q0)兩個(gè)相等實(shí)根(p24q0)一對(duì)共軛復(fù)根(p24q0)r1i,r2iyc1er1xc2er2xy(c1c2x)eyexr1x(c1cosxc2sinx)p2,4qp22二階常系數(shù)非齊次線性微分方程ypyqyf(x),p,q為常數(shù)f(x)ePm(x)型,為常數(shù);f(x)e[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型xx
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