高數(shù)下公式總結(jié)
高等數(shù)學(xué)下冊(cè)公式總結(jié)
1、N維空間中兩點(diǎn)之間的距離公式:p(x1,x2,...,xn),Q(y1,y2,...,yn)的距離
PQ(x1y1)2(x2y2)2...(xnyn)22、多元函數(shù)zf(x,y)求偏導(dǎo)時(shí),對(duì)誰(shuí)求偏導(dǎo),就意味著其它的變量都暫時(shí)
看作常量。比如,就可以了。
z表示對(duì)x求偏導(dǎo),計(jì)算時(shí)把y當(dāng)作常量,只對(duì)x求導(dǎo)x2z2z3、二階混合偏導(dǎo)數(shù)在偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件下與求導(dǎo)次序無(wú)關(guān),即。xyyx4、多元函數(shù)zf(x,y)的全微分公式:dzzzdxdy。xy5、復(fù)合函數(shù)zf(u,v),u(t),v(t),其導(dǎo)數(shù)公式:
dzzduzdv。dtudtvdtFXdy,Fy分別表示對(duì)x,y6、隱函數(shù)F(x,y)=0的求導(dǎo)公式:,其中FxdXFy求偏導(dǎo)數(shù)。方程組的情形:{F(x,y,u,v)0的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)是:
G(x,y,u,v)0FFxvGGuvxv,xxFFuvGGuvFFuxGGuux,yFFuvGGuvFFyvGGyvFFuvGGuv,
v。yFFuvGGuvFFyuGGuy7、曲線的參數(shù)方程是:x(t),y(t),z(t),則該曲線過(guò)點(diǎn)
M(x0,y0,z0)的法平面方程是:
(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0
切線方程是:
(xx0)(yy0)(zz0)。(t0)(t0)(t0)8、曲面方程F(x,y,z)=0在點(diǎn)M(x0,y0,z0)處的法線方程是:
(xx0)(yy0)(zz0),F(xiàn)xFyFz(xx0)Fy(yy0)Fz(zz0)0。切平面方程是:Fx9、求多元函數(shù)z=f(x,y)極值步驟:
第一步:求出函數(shù)對(duì)x,y的偏導(dǎo)數(shù),并求出各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)為零時(shí)的對(duì)應(yīng)的x,y的值第二步:求出fxx(x0,y0)A,fxy(x0,y0)B,fyy(x0,y0)C
第三步:判斷AC-B2的符號(hào),若AC-B2大于零,則存在極值,且當(dāng)A小于零是極大值,當(dāng)A大于零是極小值;若AC-B2小于零則無(wú)極值;若AC-B2等于零則無(wú)法判斷10、二重積分的性質(zhì):(1)(2)(3)
kf(x,y)dkf(x,y)d
DD[f(x,y)g(x,y)]df(x,y)dg(x,y)d
DDDDD1D2f(x,y)df(x,y)df(x,y)d
(4)若f(x,y)g(x,y),則(5)
f(x,y)dg(x,y)d
DDds,其中s為積分區(qū)域D的面積
D(6)mf(x,y)M,則ms(7)積分中值定理:
f(x,y)dMs
Df(x,y)dsf(,),其中(,)是區(qū)域D中的點(diǎn)
DdP2(y)11、雙重積分總可以化簡(jiǎn)為二次積分(先對(duì)y,后對(duì)x的積分或先對(duì)x,后對(duì)y的積分形式)
bP2(x)f(x,y)ddxDaP1(x)f(x,y)dydycP1(y)f(x,y)dx,有的積分可以隨意選擇積分次序,
但是做題的復(fù)雜性會(huì)出現(xiàn)不同,這時(shí)選擇積分次序就比較重要,主要依據(jù)通過(guò)積分區(qū)域和被積函數(shù)來(lái)確定
12、雙重積分轉(zhuǎn)化為二次積分進(jìn)行運(yùn)算時(shí),對(duì)誰(shuí)積分,就把另外的變量都看成常量,可以按照求一元函數(shù)定積分的方法進(jìn)行求解,包括湊微分、換元、分步等方法13、曲線、曲面積分:
(1)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算方法:設(shè)函數(shù)f(x,y)在曲線弧L上有定義且連續(xù),L的參數(shù)方程為
x(t)y(t),(t),則
Lf(x,y)dsf[(t),(t)]2(t)2(t)dt
(2)格林公式:
(DQP)dxdyPdxQdyxyLL14、向量的加法與數(shù)乘運(yùn)算:a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),則有ka(kx1,ky1,kz1),xyzab(x1x2,y1y2,z1z2),若ab,則111
x2y2z215、向量的模、數(shù)量積、向量積:若a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),則向量a的模長(zhǎng)222ax1y1z1;數(shù)量積(向量之間可以交換順序,其結(jié)果是一個(gè)數(shù)值)ab=
bax1x2y1y2z1z2=baabcosa,b,其中a,b表示向量b,a的夾角,且
若ab,則有ab=0;向量積(向量之間不可以交換順序,其結(jié)果仍是一個(gè)向量)
ijkabx1y1z1(y1z2y2z1)i(x2z1x1z2)j(x1y2x2y1)k,其中i,j,k是x軸、
x2y2z2y軸、z軸的方向向量
16、常數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)unu1u2u3...un...,令snu1u2u3...un稱為無(wú)
n1窮級(jí)數(shù)的部分和,若limsns,則稱改級(jí)數(shù)收斂,否則稱其為發(fā)散的。其中關(guān)于無(wú)窮級(jí)數(shù)
x的一個(gè)必要非充分地定理是:若un收斂,則必有l(wèi)imun0
n1x17、三種特殊的無(wú)窮級(jí)數(shù):(1)調(diào)和級(jí)數(shù)1是發(fā)散的,無(wú)須證明就可以直接引用n1nn(2)幾何級(jí)數(shù)aq,當(dāng)q1時(shí)收斂,當(dāng)q1時(shí)發(fā)散
n1(3)p級(jí)數(shù)1,當(dāng)p1時(shí)收斂,當(dāng)p1時(shí)發(fā)散pn1nn118、正項(xiàng)級(jí)數(shù)un的判斂方法:
(1)比較判斂法:若存在兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)un,vn,且有vnun,若un收斂,則vn收
n1n1斂;若vn發(fā)散,則un發(fā)散
(2)比較判斂法的極限形式:若limunl,(l0),則un和vn具有相同的斂散性
xvnun1l,若l1,則原級(jí)數(shù)收斂,若l1,則原級(jí)
xun(3)比值判斂法:對(duì)于un,limn1數(shù)發(fā)散
19、交錯(cuò)級(jí)數(shù)(1)n1n1un的判斂方法:同時(shí)滿足unun1及l(fā)imun0,則級(jí)數(shù)收斂,否
x則原級(jí)數(shù)發(fā)散
20、絕對(duì)收斂和條件收斂:對(duì)于un,若un收斂,則稱其絕對(duì)收斂;若un發(fā)散,
n1n1
n1但是un收斂,則稱其條件收斂
n121、函數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)形如:un(x)u1(x)u2(x)u3(x)...un(x)...,通常討論的是
n1冪級(jí)數(shù)形如:anxa0a1xa2xa3x...anx...,
n0n23n(1)收斂半徑及收斂區(qū)間:liman11,則收斂半徑R,收斂區(qū)間則為(R,R),但
xan是要注意的是,收斂區(qū)間的端點(diǎn)是否收斂需要用常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂方法驗(yàn)證
(2n1)xnn-1x(2)幾種常見(jiàn)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式:e,sinx,(-1)n0n!n1(2n1)!x11x2nnx,(1)nxn,cosx(1)n01xn0(2n)!1xn0n22、常微分方程的類型及解題方法:
(1)可分離變量的微分方程:yf(x,y),總是可以分離變量化簡(jiǎn)為式,然后等式兩邊同時(shí)積分,即可求出所需的解
(2)齊次方程:yf(x,y),不同的是,等式右端的式子總是可以化簡(jiǎn)為f()的形式,令
dydx的形f(y)f(x)yxyu,則原方程化簡(jiǎn)為可分離變量方程形式uxuf(u)來(lái)求解x(3)一階線性微分方程:形如yp(x)yf(x)的方程,求解時(shí)首先求出該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程yp(x)y0的解ycQ(x),然后使用常熟變易法,令cu(x),把原方程的解
yu(x)Q(x)帶入原方程,求出u(x),再帶入yu(x)Q(x)中,即求出所需的解
(4)全微分方程:形如p(x,y)dxQ(x,y)dy0的方程,只要滿足
xyp(x,y)Q(x,y),yx則稱其為全微分方程,其解為u0p(x,y)dxQ(x,y)dy
0(5)二階微分方程的可降階的三種微分方程:
第一種:yf(x)的形式,只需對(duì)方程連續(xù)兩次積分就可以求出方程的解
第二種:yf(x,y)的形式,首先令yz,則原方程降階為可分離變量的一階微分方程zf(x,z)的形式,繼續(xù)求解即可
第三種:yf(y,y)的形式,同樣令yz,由于yzdzdzdydzy,所以dxdydxdy原方程轉(zhuǎn)化為一階微分方程
dzzf(y,z)的形式,繼續(xù)求解即可dy(6)二階常系數(shù)齊次微分方程:ypyqy0,求解時(shí)首先求出該方程對(duì)應(yīng)的特征方
r1x程r2prq0的解r1,r2,若實(shí)根rc2er2x;若實(shí)根r1r2,則解1r2,則解為yc1e為y(c1c2x)e1;若為虛根abi,則解為yeax(c1cosbxc2sinbx)
rx(8)二階常系數(shù)非齊次微分方程:ypyqyPm(x)e,求解時(shí)先按(7)的方法求其
rx對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解y1,然后設(shè)出原方程的特解y=xQm(x)erx,其中Qm(x)是和P含有相應(yīng)的未知系數(shù),而k根據(jù)特征方程的解r1,r2與r的關(guān)系取值,m(x)同次的多項(xiàng)式,若r與特征根不相等,則k取0;若r和一個(gè)特征根相等,則k取1;若r和特征根都相等,則k取2,將特解代入原方程求出相應(yīng)的未知系數(shù),最終原方程的解即通解加上特解,即
kyy1y
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高等數(shù)學(xué)(一)教案期末總復(fù)習(xí)
第八章向量與解析幾何
向量代數(shù)定義與運(yùn)算的幾何表達(dá)定義向量模有大小、有方向.記作a或AB向量a的模記作a在直角坐標(biāo)系下的表示aaxiayjazk(ax,ay,az)axprjxa,ayprjya,azprjzaaax2ay2az2和差cabca-b單位向量cabaxbx,ayby,azbzaa0,則eaa設(shè)a與x,y,z軸的夾角分別為,,,則方向余弦分別為cos,cos,cosea(ax,ay,az)axayaz222方向余弦aaacosx,cosy,coszaaaea(cos,cos,cos)cos2+cos2cos21點(diǎn)乘(數(shù)量積)ababcos,為向量a與b的夾角abaxbxaybyazbziabaxbxjaybykazbzcabsin叉乘(向量積)為向量a與b的夾角cab向量c與a,b都垂直定理與公式垂直平行abab0a//bab0abaxbxaybyazbz0a//bcosaxayazbxbybz2222交角余弦ab兩向量夾角余弦cosab向量a在非零向量b上的投影axbxaybyazbzaxayazbxbybz22投影abprjbaacos(ab)bprjbaaxbxaybyazbzbxbybz222平面法向量n{A,B,C}點(diǎn)M0(x0,y0,z0)方程名稱一般式方程形式及特征直線方向向量T{m,n,p}點(diǎn)M0(x0,y0,z0)方程名稱一般式方程形式及特征A1xB1yC1zD10A2xB2yC2zD20AxByCzD0
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點(diǎn)法式A(xx0)B(yy0)C(zz0)0xx1yy1y2y1y3y1zz1z2z10z3z1點(diǎn)向式三點(diǎn)式x2x1x3x1參數(shù)式xx0yy0zz0mnpxx0mtyy0ntzzpt0xx0yy0zz0x1x0y1y0z1z0截距式面面垂直面面平行線面垂直xyz1abcA1A2B1B2C1C20A1B1C1A2B2C2ABCmnp兩點(diǎn)式線線垂直線線平行線面平行m1m2n1n2p1p20m1n1p1m2n2p2AmBnCp0點(diǎn)面距離M0(x0,y0,z0)AxByCzD0面面距離AxByCzD10AxByCzD20dAx0By0Cz0DABC222dD1D2ABC222面面夾角n1{A1,B1,C1}n2{A2,B2,C2}cos|A1A2B1B2C1C2|A1B1C1A2B2C2222222線線夾角s1{m1,n1,p1}s2{m2,n2,p2}線面夾角s{m,n,p}n{A,B,C}AmBnCpA2B2C2m2n2p2cosm1m2n1n2p1p2222m12n12p12m2n2p2sinx(t),y(t),z(t),切“線”方程:切向量xx0yy0zz0(t0)(t0)(t0)空間(t)曲線:T((t0),(t0),(t0))法平“面”方程:(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0切“線”方程:y(x)切向量T(1,(x),(x))z(x)xx0yy0zz01(x0)(x0)法平“面”方程:(xx0)(x0)(yy0)(x0)(zz0)0法向量空間F(x,y,z)0曲面:切平“面”方程:Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fx(x0,y0,z0)(yy0)n(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))n(fx(x0,y0),fy(x0,y0),1)Fx(x0,y0,z0)(zz0)0法“線“方程:xx0yy0zz0Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)切平“面”方程:zf(x,y)fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(yy0)(zz0)0
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或n(fx(x0,y0),fy(x0,y0),1)法“線“方程:xx0yy0zz0fx(x0,y0)fy(x0,y0)1第十章重積分
重積分計(jì)算方法(1)利用直角坐標(biāo)系X型Y型積分類型二重積分典型例題f(x,y)dxdydxDab2(x)1(x)f(x,y)dyf(x,y)dxf(x,y)dxdyDdcdy2(y)1(y)Ifx,ydD(2)利用極坐標(biāo)系使用原則(1)積分區(qū)域的邊界曲線易于用極坐標(biāo)方程表示(含圓弧,直線段);(2)被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量表示較簡(jiǎn)單(含(xy),22平面薄片的質(zhì)量質(zhì)量=面密度面積為實(shí)數(shù))f(cos,sin)ddDd2()1()f(cos,sin)d0202(3)利用積分區(qū)域的對(duì)稱性與被積函數(shù)的奇偶性當(dāng)D關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí),(關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí),有類似結(jié)論)0I2f(x,y)dxdyD1計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)f(x,y)對(duì)于x是奇函數(shù),即f(x,y)f(x,y)f(x,y)對(duì)于x是偶函數(shù),即f(x,y)f(x,y)D1是D的右半部分1.畫出積分區(qū)域2.選擇坐標(biāo)系標(biāo)準(zhǔn):域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)軸,被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離3.確定積分次序原則:積分區(qū)域分塊少,累次積分好算為妙
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4.確定積分限方法:圖示法先積一條線,后掃積分域5.計(jì)算要簡(jiǎn)便注意:充分利用對(duì)稱性,奇偶性三重積分投影法(1)利用直角坐標(biāo)截面法投影f(x,y,z)dVdxaby2(x)y1(x)dyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dzxrcos(2)利用柱面坐標(biāo)yrsinzz相當(dāng)于在投影法的基礎(chǔ)上直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)適用范圍:1積分區(qū)域表面用柱面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單;如旋轉(zhuǎn)體○If(x,y,z)dv空間立體物的質(zhì)量質(zhì)量=密度面積22222被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)變量易分離.如f(xy)f(xz)○f(x,y,z)dVdzdabr2()r1()f(cos,sin,z)dxcosrsincos(3)利用球面坐標(biāo)ysinrsinsinzrcosdvr2sindrdd適用范圍:1積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單;如,球體,錐體.○2被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時(shí)變量易分離.如,f(xyz)○222Idd11222(,)1(,)f(sincos,sinsin,cos)2sind(4)利用積分區(qū)域的對(duì)稱性與被積函數(shù)的奇偶性
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第十一章曲線積分與曲面積分
曲線積分與曲面積分積分類型參數(shù)法(轉(zhuǎn)化為定積分)第一類曲線積分(1)L:y(x)IIf(x,y)ds計(jì)算方法典型例題bx(t)2(t)Iaf(x,y(x))1y"(x)dx曲形構(gòu)件的質(zhì)量(2)L:y(t)質(zhì)量=線密度Lf((t),(t))"2(t)"2(t)dt弧長(zhǎng)(3)rr()xr()cos()L:yr()sinIf(r()cos,r()sin)r2()r"2()d平面第二類曲線積分(1)參數(shù)法(轉(zhuǎn)化為定積分)x(t)L:(t單調(diào)地從到)y(t)LPdxQdy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt(2)利用格林公式(轉(zhuǎn)化為二重積分)條件:①L封閉,分段光滑,有向(左手法則圍成平面區(qū)域D)②P,Q具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)結(jié)論:LPdxQdy(DQP)dxdyxy滿足條件直接應(yīng)用IPdxQdy應(yīng)用:有瑕點(diǎn),挖洞L不是封閉曲線,添加輔助線變力沿曲線所做的功(3)利用路徑無(wú)關(guān)定理(特殊路徑法)等價(jià)條件:①Q(mào)P②xy③PdxQdy0LLPdxQdy與路徑無(wú)關(guān),與起點(diǎn)、終點(diǎn)有關(guān)④PdxQdy具有原函數(shù)u(x,y)(特殊路徑法,偏積分法,湊微分法)(4)兩類曲線積分的聯(lián)系IPdxQdy(PcosQcos)dsLL空間第二類曲線積分(1)參數(shù)法(轉(zhuǎn)化為定積分)PdxQdyRdz{P[(t),(t),(t)](t)Q[(t),(t),(t)](t)R[(t),(t),(t)](t)}dtIPdxQdyRdz(2)利用斯托克斯公式(轉(zhuǎn)化第二類曲面積分)L條件:①L封閉,分段光滑,有向②P,Q,R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)
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變力沿曲線所做的功PdxQdyRdzL結(jié)論:QpRQPR()dydz()dzdx()dxdyyzzxxy滿足條件直接應(yīng)用應(yīng)用:不是封閉曲線,添加輔助線第一類曲面積分投影法:zz(x,y)投影到xoy面If(x,y,z)dv曲面薄片的質(zhì)量Dxy質(zhì)量=面密度類似的還有投影到y(tǒng)oz面和zox面的公式面積(1)投影法Pdydzp(x(y,z),y,z)dydz1○Dyz:zz(x,y),為的法向量與x軸的夾角前側(cè)取“+”,cos0;后側(cè)取“”,cos0Qdzdxp(x,y(x,z),z)dzdx2第二類曲面積分○Dyz:yy(x,z),為的法向量與y軸的夾角右側(cè)取“+”,cos0;左側(cè)取“”,cos02If(x,y,z)dvf(x,y,z(x,y))1zx2zydxdyIPdydzQdzdxR3QdxdyQ(x,y,z(x,y))dxdy○Dyz流體流向曲面一側(cè)的流量:xx(y,z),為的法向量與x軸的夾角上側(cè)取“+”,cos0;下側(cè)取“”,cos0(2)高斯公式右手法則取定的側(cè)條件:①封閉,分片光滑,是所圍空間閉區(qū)域的外側(cè)②P,Q,R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)結(jié)論:PdydzQdzdzRdxdy(PQR)xyz應(yīng)用:滿足條件直接應(yīng)用不是封閉曲面,添加輔助面(3)兩類曲面積分之間的聯(lián)系PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dS轉(zhuǎn)換投影法:dydz(
所有類型的積分:
z)dxdyxdzdx(z)dxdyy1定義:四步法分割、代替、求和、取極限;○
2性質(zhì):對(duì)積分的范圍具有可加性,具有線性性;○
3對(duì)坐標(biāo)的積分,積分區(qū)域?qū)ΨQ與被積函數(shù)的奇偶性!
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第十二章級(jí)數(shù)
高等數(shù)學(xué)(一)教案期末總復(fù)習(xí)
1若級(jí)數(shù)收斂,各項(xiàng)同乘同一常數(shù)仍收斂○2兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)的和差仍收斂○用收斂定義,limsn存在n注:一斂、一散之和必發(fā)散;兩散和、差必發(fā)散.3去掉、加上或改變級(jí)數(shù)有限項(xiàng)不改變其收斂性○4若級(jí)數(shù)收斂則對(duì)這級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所成○一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的級(jí)數(shù)仍收斂,且其和不變。常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)推論如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散則原來(lái)級(jí)數(shù)也發(fā)散注:收斂級(jí)數(shù)去括號(hào)后未必收斂.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)5(必要條件)如果級(jí)數(shù)收斂則limu0○nn0常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)萊布尼茨判別法若unun1且limun0,則(1)n1unnn1收斂比較判別法un和vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),且unvn.若vn收斂,則un也收斂;若un發(fā)散,則vn也發(fā)散.1若un和vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),且limunl,則○n正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法的極限形式vn2若l0,v收0l,un與vn同斂或同散;○n3如果l斂,un也收斂;○比值判別法根值判別法,vn發(fā)散,un也發(fā)散。uun是正項(xiàng)級(jí)數(shù),limn1,limnun,則1時(shí)收nnun斂;1()時(shí)發(fā)散;1時(shí)可能收斂也可能發(fā)散.收斂性an0n1,0;R,0;R0,.xn,liman1,Rnan缺項(xiàng)級(jí)數(shù)用比值審斂法求收斂半徑1在收斂域I上連續(xù);○2在收斂域(R,R)內(nèi)可導(dǎo),3且可逐項(xiàng)求導(dǎo);○s(x)的性質(zhì)○無(wú)窮級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)和函數(shù)和函數(shù)s(x)在收斂域I上可積分,且可逐項(xiàng)積分.(R不變,收斂域可能變化).展成冪級(jí)數(shù)直接展開:泰勒級(jí)數(shù)間接展開:六個(gè)常用展開式11xn(1x1)exxn(x)1xn1n1n!T2T2lf(x)傅立葉級(jí)數(shù)1a0(ancosnxbnsinnx)a02n1f(x)dxan1f(x)cosnxdxbn1f(x)sinnxdx收斂定理x是連續(xù)點(diǎn),收斂于f(x);x是間斷點(diǎn),收斂于1[f(x)f(x)]2周期延拓f(x)為奇函數(shù),正弦級(jí)數(shù),奇延拓;f(x)為偶函數(shù),余弦級(jí)數(shù)、偶延拓.
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