高二數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)--必修5
平邑實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)必修5知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
高中數(shù)學(xué)必修5知識(shí)點(diǎn)
第二章:數(shù)列
1、數(shù)列:按照一定順序排列著的一列數(shù).2、數(shù)列的項(xiàng):數(shù)列中的每一個(gè)數(shù).3、有窮數(shù)列:項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列.4、無(wú)窮數(shù)列:項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列.5、遞增數(shù)列:從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.6、遞減數(shù)列:從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.7、常數(shù)列:各項(xiàng)相等的數(shù)列.
8、擺動(dòng)數(shù)列:從第2項(xiàng)起,有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng),有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.9、數(shù)列的通項(xiàng)公式:表示數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系的公式.
10、數(shù)列的遞推公式:表示任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系的公式.11、如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),則這個(gè)數(shù)列稱為等差
數(shù)列,這個(gè)常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差.
12、由三個(gè)數(shù)a,,b組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列,則稱為a與b的等差
中項(xiàng).若bac2S奇S偶an,
S奇S偶nn1(其中S奇nan,S偶n1an).
17、如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù),則這個(gè)數(shù)列稱為等比
數(shù)列,這個(gè)常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比.18、在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,則G稱為a與b的等比中項(xiàng).若
2Gab,則稱G為a與b的等比中項(xiàng).
19、若等比數(shù)列an的首項(xiàng)是a1,公比是q,則ana1qn1.20、通項(xiàng)公式的變形:①anamqnm;②a1anqn1;③qn1ana1;④qnmanam.
21、若an是等比數(shù)列,且mnpq(m、n、p、q*),則amanapaq;若an是等比數(shù)列,且2npq(n、p、q*),則anapaq;下角標(biāo)成等差數(shù)列的項(xiàng)仍是等比數(shù)列;連續(xù)m項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列成等比數(shù)列。
na1q122、等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和的公式:Sna11qnaaq.
1nq11q1q2,則稱b為a與c的等差中項(xiàng).
13、若等差數(shù)列an的首項(xiàng)是a1,公差是d,則ana1n1d.
通項(xiàng)公式的變形:①anamnmd;②a1ann1d;③dnana1d1;⑤danamnmana1n1;④
.q1時(shí),Sna11qa11qq,即常數(shù)項(xiàng)與q項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)。
nn*14、若an是等差數(shù)列,且mnpq(m、n、p、q),則amanapaq;若an*是等差數(shù)列,且2npq(n、p、q),則2anapaq;下角標(biāo)成等差數(shù)列的項(xiàng)
23、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì):①若項(xiàng)數(shù)為2nn*,則SS偶奇q.
仍是等差數(shù)列;連續(xù)m項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列成等差數(shù)列。15、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式:①Snna1an2n②SnmSnqSm.③Sn,S2nSn,S3nS2n成等比數(shù)列.
;②Snna1nn12d.
16、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì):①若項(xiàng)數(shù)為2nn*,則
S2nnanan1,且
SnSn124、an與Sn的關(guān)系:anS1n2n1
S偶S奇nd,
S奇S偶anan1.②若項(xiàng)數(shù)為2n1n*,則S2n12n1an,且
第1頁(yè)共4頁(yè)常見方法總結(jié)
一、求通項(xiàng)公式的方法:
1、由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式:待定系數(shù)法
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(2)anan1anan1形式,同除以anan1,構(gòu)造倒數(shù)為等差數(shù)列;
例如:anan12anan1,則列。
(3)anqan1m形式,q1,方法:構(gòu)造:anxqan1x為等比數(shù)列;
例如:an2an12,通過(guò)待定系數(shù)法求得:an22an12,即an2等比,公比為2。
(4)anqan1pnr形式:構(gòu)造:anxnyqan1xn1y為等比數(shù)列;(5)anqan1pn形式,同除pn,轉(zhuǎn)化為上面的幾種情況進(jìn)行構(gòu)造;
因?yàn)閍nqan1pn,則
anpnanan1anan121an11,即為以-2為公差的等差數(shù)anan1①若相鄰兩項(xiàng)相減后為同一個(gè)常數(shù)設(shè)為anknb,列兩個(gè)方程求解;②若相鄰兩項(xiàng)相減兩次后為同一個(gè)常數(shù)設(shè)為anan2bnc,列三個(gè)方程求解;
n③若相鄰兩項(xiàng)相減后相除后為同一個(gè)常數(shù)設(shè)為anaq程求解;
2、由遞推公式求通項(xiàng)公式:
b,q為相除后的常數(shù),列兩個(gè)方
qan1ppn11,若
qp1轉(zhuǎn)化為(1)的方法,若不為1,轉(zhuǎn)化
①若化簡(jiǎn)后為an1and形式,可用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式代入求解;②若化簡(jiǎn)后為an1anf(n),形式,可用疊加法求解;
③若化簡(jiǎn)后為an1anq形式,可用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式代入求解;
④若化簡(jiǎn)后為an1kanb形式,則可化為(an1x)k(anx),從而新數(shù)列{anx}是等比數(shù)列,用等比數(shù)列求解{anx}的通項(xiàng)公式,再反過(guò)來(lái)求原來(lái)那個(gè)。(其中x是用待定系數(shù)法來(lái)求得)3、由求和公式求通項(xiàng)公式:
①a1S1②anSnSn1③檢驗(yàn)a1是否滿足an,若滿足則為an,不滿足用分段函數(shù)寫。4、其他
(1)anan1fn形式,fn便于求和,方法:迭加;
例如:anan1n1有:anan1n1a2a13a3a24anan1n1各式相加得ana134n1a1為(3)的方法
二、等差數(shù)列的求和最值問(wèn)題:(二次函數(shù)的配方法;通項(xiàng)公式求臨界項(xiàng)法)
①若②若ak0,則Sn有最大值,當(dāng)n=k時(shí)取到的最大值k滿足d0a0k1a10a10ak0,則Sn有最小值,當(dāng)n=k時(shí)取到的最大值k滿足d0a0k1三、數(shù)列求和的方法:
①疊加法:倒序相加,具備等差數(shù)列的相關(guān)特點(diǎn)的,倒序之后和為定值;
②錯(cuò)位相減法:適用于通項(xiàng)公式為等差的一次函數(shù)乘以等比的數(shù)列形式,如:an2n13;
n③分式時(shí)拆項(xiàng)累加相約法:適用于分式形式的通項(xiàng)公式,把一項(xiàng)拆成兩個(gè)或多個(gè)的差的形式。如:an1nn11n1n1,an12n12n1111等;
22n12n1④一項(xiàng)內(nèi)含有多部分的拆開分別求和法:適用于通項(xiàng)中能分成兩個(gè)或幾個(gè)可以方便求和的部
n分,如:an2n1等;
四、綜合性問(wèn)題中
①等差數(shù)列中一些在加法和乘法中設(shè)一些數(shù)為ad和ad類型,這樣可以相加約掉,相乘為平方差;
②等比數(shù)列中一些在加法和乘法中設(shè)一些數(shù)為aq和aq類型,這樣可以相乘約掉。
n4n12第2頁(yè)共4頁(yè)平邑實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)必修5知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
高中數(shù)學(xué)必修5知識(shí)點(diǎn)
第一章:解三角形
1、正弦定理:在C中,a、b、c分別為角、、C的對(duì)邊,R為C的外接圓的
sinC2、正弦定理的變形公式:①a2Rsin,b2Rsin,c2RsinC;
③設(shè)p、q、r、s為正整數(shù),且pqrs,1°.若{an}是等差數(shù)列,則
apaqaras;2°.若{an}是等比數(shù)列,則apaqaras;
④順次n項(xiàng)和性質(zhì):
1°.若{an}是公差為d等差數(shù)列,則ak,k1nn2n
半徑,則有
asina2Rbsinc2R.
kn1ak,2
a組成公差為nd的等差數(shù)列;
kk2n13n②sin,sinb2R,sinCc2R;(正弦定理變形經(jīng)常用在有三角函數(shù)的等式中)
abcabsincsinC2n2°.若{an}是公差為q的等比數(shù)列,則ak,k1kn1ak,n
a組成公差為q的等比數(shù)列.
kk2n13n③a:b:csin:sin:sinC;④3、三角形面積公式:SCsinsinsinCsin111bcsinabsinCacsin.222.
(注意:當(dāng)q=-1,n為偶數(shù)時(shí)這個(gè)結(jié)論不成立)
⑤若{an}是等比數(shù)列,則順次n項(xiàng)的乘積:a1a2an,an1an2a2n,a2n1a2n2a3n組成公比這qn的等比數(shù)列.⑥若{an}是公差為d的等差數(shù)列,
1°.若n為奇數(shù),則Snna中且S奇S偶a中(注:a中指中項(xiàng),即a中an1,而S奇、
224、余弦定理:在C中,有a2b2c22bccos,b2a2c22accos,
cab2abcosC.
2225、余弦定理的推論:cosbca2bc222,cosacb2ac222,cosCabc2ab222.
S偶指所有奇數(shù)項(xiàng)、所有偶數(shù)項(xiàng)的和);2°.若n為偶數(shù),則S偶S奇定義遞推公式通項(xiàng)公式等差數(shù)列an1andanan1dnd2.
等比數(shù)列;anamnmdan1anq(q0)6、設(shè)a、b、c是C的角、、C的對(duì)邊,則:①若a2b2c2,則C90為直角三角形;②若abc,則C90為銳角三角形;③若abc,則C90為鈍角三角形.
222222anan1qana1qG;anamqnm(a1,q0)ana1(n1)d第二章:數(shù)列
中項(xiàng)n1①首尾項(xiàng)性質(zhì):設(shè)數(shù)列{an}:a1,a2,a3,,an,
1°.若{an}是等差數(shù)列,則a1ana2an1a3an2;
前n項(xiàng)和Aankank2k0ankank(ankank0)(n,kN*,nSnn2(a1an))(n,kN*,nk0)2°.若{an}是等比數(shù)列,則a1ana2an1a3an2.
②中項(xiàng)及性質(zhì):1°.設(shè)a,A,b成等差數(shù)列,則A稱a、b的等差中項(xiàng),且A2°.設(shè)a,G,b成等比數(shù)列,則G稱a、b的等比中項(xiàng),且Gab.
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ab2;
Snna1n(n1)2dna1(q1)Sna1qna1anq1(q2)1q1q重要性質(zhì)amanapaqamanapaq其中mnpq平邑實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)必修5知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
第三章:不等式
1、ab0ab;ab0ab;ab0ab.
比較兩個(gè)數(shù)的大小可以用相減法;相除法;平方法;開方法;倒數(shù)法等等。
2、不等式的性質(zhì):①abba;②ab,bcac;③abacbc;
④ab,c0acbc,ab,c0acbc;⑤ab,cdacbd;⑥ab0,cd0acbd;⑦ab0ab⑧ab0n②若0,x0y0C0,則點(diǎn)x0,y0在直線xyC0的下方.9、在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線xyC0.
①若0,則xyC0表示直線xyC0上方的區(qū)域;xyC0表示直線xyC0下方的區(qū)域.
②若0,則xyC0表示直線xyC0下方的區(qū)域;xyC0表示直線xyC0上方的區(qū)域.
10、線性約束條件:由x,y的不等式(或方程)組成的不等式組,是x,y的線性約束條件.目標(biāo)函數(shù):欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x,y的解析式.
線性目標(biāo)函數(shù):目標(biāo)函數(shù)為x,y的一次解析式.
線性規(guī)劃問(wèn)題:求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問(wèn)題.
nnn,n1;
anbn,n1.
3、一元二次不等式:只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式.4、二次函數(shù)的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關(guān)系:
判別式b4ac
201*
二次函數(shù)yaxbxc
2可行解:滿足線性約束條件的解x,y.
可行域:所有可行解組成的集合.
最優(yōu)解:使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解.
有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根
有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根
a0的圖象
11、設(shè)a、b是兩個(gè)正數(shù),則平均數(shù).
ab2稱為正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù),ab稱為正數(shù)a、b的幾何
一元二次方程axbxc0
2a0的根
axbxc0
一元二次不等式的解集
2x1,2b2ax1x2b2a
沒(méi)有實(shí)數(shù)根
x1a0
axbxc0
2x2
12、均值不等式定理:若a0,b0,則ab2ab,即13、常用的基本不等式:
Rab2ab.
xxx1或xx2bxx
2a①ab2aba,bR;②ab222ab22222a,bR;
2a0
xx1xx2
5、二元一次不等式:含有兩個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式.
6、二元一次不等式組:由幾個(gè)二元一次不等式組成的不等式組.
7、二元一次不等式(組)的解集:滿足二元一次不等式組的x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對(duì)
ababab③ab;④a0,b022214、極值定理:設(shè)x、y都為正數(shù),則有
a,bR.
s42⑴若xys(和為定值),則當(dāng)xy時(shí),積xy取得最大值.p.
x,y,所有這樣的有序數(shù)對(duì)x,y構(gòu)成的集合.
8、在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線xyC0,坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)x0,y0.
①若0,x0y0C0,則點(diǎn)x0,y0在直線xyC0的上方.
⑵若xyp(積為定值),則當(dāng)xy時(shí),和xy取得最小值2第4頁(yè)共4頁(yè)
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必修5知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
1、正弦定理:在C中,a、b、c分別為角、、C的對(duì)邊,R為C的外接圓的半徑,則有
asinbsincsinC2R.
2、正弦定理的變形公式:①a2Rsin,b2Rsin,c2RsinC;②sin④
a2R,sinb2R,sinCabsinc2R;③a:b:csin:sin:sinC;
csinCabcsinsinsinCsin.
(正弦定理主要用來(lái)解決兩類問(wèn)題:1、已知兩邊和其中一邊所對(duì)的角,求其余的量。2、已知兩角和一邊,求其余的量。)
⑤對(duì)于已知兩邊和其中一邊所對(duì)的角的題型要注意解的情況。(一解、兩解、無(wú)解三中情況)如:在三角形ABC中,已知a、b、A(A為銳角)求B。具體的做法是:數(shù)形結(jié)合思想畫出圖:法一:把a(bǔ)擾著C點(diǎn)旋轉(zhuǎn),看所得軌跡以AD有無(wú)交點(diǎn):當(dāng)無(wú)交點(diǎn)則B無(wú)解、當(dāng)有一個(gè)交點(diǎn)則B有一解、當(dāng)有兩個(gè)交點(diǎn)則B有兩個(gè)解。法二:是算出CD=bsinA,看a的情況:當(dāng)a但不能到達(dá),在岸邊選取相距3千米的C、D兩點(diǎn),并測(cè)得∠ACB=75O,∠BCD=45O,∠ADC=30O,
∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面內(nèi)),求兩目標(biāo)A、B之間的距離。本題解答過(guò)程略
附:三角形的五個(gè)“心”;重心:三角形三條中線交點(diǎn).
外心:三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn).內(nèi)心:三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn).垂心:三角形三邊上的高相交于一點(diǎn).7、數(shù)列:按照一定順序排列著的一列數(shù).8、數(shù)列的項(xiàng):數(shù)列中的每一個(gè)數(shù).9、有窮數(shù)列:項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列.10、無(wú)窮數(shù)列:項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列.
11、遞增數(shù)列:從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列(即:an+1>an).12、遞減數(shù)列:從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列(即:an+1④nana1d1;⑤danamnm.
21、若an是等差數(shù)列,且mnpq(m、n、p、q*),則amanapaq;若an是等差數(shù)列,且2npq(n、p、q*),則2anapaq.22、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式:①Snna1an2;②Snna1nn12d.③
sna1a2an
23、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì):①若項(xiàng)數(shù)為2nn*,則S2nnanan1,且S偶S奇nd,
S奇S偶anan1.
S奇S偶nn1②若項(xiàng)數(shù)為2n1n*,則S2n12n1an,且S奇S偶an,S偶n1an).
(其中S奇nan,
24、如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù),則這個(gè)數(shù)列稱為等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比.符號(hào)表示:
an1anq(注:①等比數(shù)列中不會(huì)出現(xiàn)值為0的項(xiàng);②同號(hào)位上
的值同號(hào))
注:看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法:
2①anan1q(n2,q為常數(shù),且0)②anan1an1(n2,anan1an10)
③ancqn(c,q為非零常數(shù)).
④正數(shù)列{an}成等比的充要條件是數(shù)列{logxan}(x1)成等比數(shù)列.
25、在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,則G稱為a與b的等比中項(xiàng).若Gab,
22則稱G為a與b的等比中項(xiàng).(注:由Gab不能得出a,G,b成等比,由a,G,bGab)
2n126、若等比數(shù)列an的首項(xiàng)是a1,公比是q,則ana1q.
27、通項(xiàng)公式的變形:①anamqnm;②a1anqn1;③qn1ana1;④qnmanam.
*28、若an是等比數(shù)列,且mnpq(m、n、p、q),則amanapaq;若an是等比
數(shù)列,且2npq(n、p、q*),則anapaq.
na1q129、等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和的公式:①Sna1qnaaq.②sn1n1q11q1q2a1a2an
30、對(duì)任意的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系:ans1a1(n1)snsn1(n2)
[注]:①ana1n1dnda1d(d可為零也可不為零→為等差數(shù)列充要條件(即常數(shù)列也是等差數(shù)列)→若d不為0,則是等差數(shù)列充分條件).②等差{an}前n項(xiàng)和Sndddd22AnBnna1n→
222可以為零也可不為零→為等差的充要條件→若
為零,則是等差數(shù)列的充分條件;若d不為零,則是等差數(shù)列的充分條件.
③非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列,也可為等差數(shù)列.(不是非零,即不可能有等比數(shù)列)..附:幾種常見的數(shù)列的思想方法:⑴等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,在d0時(shí),有最大值.如何確定使Sn取最大值時(shí)的n值,有兩種方法:
d2n2一是求使an0,an10,成立的n值;二是由Sn數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式與函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系如下:數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列數(shù)列等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式通項(xiàng)公式(a1d2)n利用二次函數(shù)的性質(zhì)求n的值.
對(duì)應(yīng)函數(shù)(時(shí)為一次函數(shù))(指數(shù)型函數(shù))對(duì)應(yīng)函數(shù)(時(shí)為二次函數(shù))等比數(shù)列(指數(shù)型函數(shù))我們用函數(shù)的觀點(diǎn)揭開了數(shù)列神秘的“面紗”,將數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和看成是關(guān)于n的函數(shù),為我們解決數(shù)列有關(guān)問(wèn)題提供了非常有益的啟示。例題:1、等差數(shù)列分析:因?yàn)?/p>
中,,則.
是等差數(shù)列,所以是關(guān)于n的一次函數(shù),
一次函數(shù)圖像是一條直線,則(n,m),(m,n),(m+n,)三點(diǎn)共線,
所以利用每?jī)牲c(diǎn)形成直線斜率相等,即,得=0(圖像如上),這里利用等差數(shù)
列通項(xiàng)公式與一次函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,并結(jié)合圖像,直觀、簡(jiǎn)潔。例題:2、等差數(shù)列
中,
,前n項(xiàng)和為
,若
,n為何值時(shí)
最大?
分析:等差數(shù)列前n項(xiàng)和可以看成關(guān)于n的二次函數(shù)=,
是拋物線=上的離散點(diǎn),根據(jù)題意,,
則因?yàn)橛笞畲蟆?/p>
最大值,故其對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖像開口向下,并且對(duì)稱軸為,即當(dāng)時(shí),
例題:3遞增數(shù)列,對(duì)任意正整數(shù)n,
遞增得到:
恒成立,設(shè)
恒成立,求
恒成立,即,則只需求出。
,因?yàn)槭沁f的最大值即
分析:構(gòu)造一次函數(shù),由數(shù)列恒成立,所以可,顯然
有最大值
對(duì)一切
對(duì)于一切
,所以看成函數(shù)
的取值范圍是:
構(gòu)造二次函數(shù),,它的定義域是
增數(shù)列,即函數(shù)為遞增函數(shù),單調(diào)增區(qū)間為,拋物線對(duì)稱軸,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)
為離散函數(shù),要函數(shù)單調(diào)遞增,就看動(dòng)軸與已知區(qū)間的位置。從對(duì)應(yīng)圖像上看,對(duì)稱軸的左側(cè)
在也可以(如圖),因?yàn)榇藭r(shí)B點(diǎn)比A點(diǎn)高。于是,
,得
⑵如果數(shù)列可以看作是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積,求此數(shù)列前n項(xiàng)和可依照等比數(shù)列前
n項(xiàng)和的推倒導(dǎo)方法:錯(cuò)位相減求和.例如:112,314,...(2n1)12n,...
⑶兩個(gè)等差數(shù)列的相同項(xiàng)亦組成一個(gè)新的等差數(shù)列,此等差數(shù)列的首項(xiàng)就是原兩個(gè)數(shù)列的第一個(gè)相同項(xiàng),
公差是兩個(gè)數(shù)列公差d1,d2的最小公倍數(shù).
2.判斷和證明數(shù)列是等差(等比)數(shù)列常有三種方法:(1)定義法:對(duì)于n≥2的任意自然數(shù),驗(yàn)證anan1(anan1)為同一常數(shù)。(2)通項(xiàng)公式法。(3)中項(xiàng)公式法:驗(yàn)證
2an1anan2(an1anan2)nN都成立。
2am03.在等差數(shù)列{an}中,有關(guān)Sn的最值問(wèn)題:(1)當(dāng)a1>0,d把①式兩邊同乘2后得
2sn=122232n2234n1②
用①-②,即:
123nsn=122232n2①
2sn=122232n2234n1②
得sn12222n22(12)12n1n23nn1n2n1
22n2n1n1(1n)22∴sn(n1)2n12
4.倒序相加法:類似于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.5.常用結(jié)論1):1+2+3+...+n=
n(n1)2212)1+3+5+...+(2n-1)=n3)12nn(n1)2223334)123n22216n(n1)(2n1)5)
1n(n1)1n1n1
1n(n2)1pq111()2nn21qp1p1q6)()(pq)
31、ab0ab;ab0ab;ab0ab.
32、不等式的性質(zhì):①abba;②ab,bcac;③abacbc;④ab,c0acbc,ab,c0acbc;⑤ab,cdacbd;
nd0acabdb0a⑥;⑦
⑧ab0
nnbn,n1;
anbn,n1.
33、一元二次不等式:只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式.34、含絕對(duì)值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式(高次不等式)的解法
穿根法(零點(diǎn)分段法)求解不等式:a0xa1xnn1a2xn2an0(0)(a00)
解法:①將不等式化為a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)>0(0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間;若不等式是“
由圖可看出不等式x23x26x80的解集為:
x|2x1,或x4
(x1)(x2)(x5)(x6)(x4)0的解集。
例題:求解不等式
解:略
一元二次不等式的求解:
特例①一元一次不等式ax>b解的討論;
②一元二次不等式ax+bx+c>0(a>0)解的討論.
二次函數(shù)yax22
000bxc有兩相異實(shí)根x1,x2(x1x2)(a0)的圖象一元二次方程ax2有兩相等實(shí)根x1x2b2abxc0a0的根2無(wú)實(shí)根Raxbxc0(a0)的解集axbxc0(a0)的解集2xxx或xx12bxx2axx1xx2對(duì)于a0(或
f(x)g(x)(2)轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)
1xf(x)g(x)0f(x)g(x)0;f(x)g(x)00g(x)0g(x)
f(x)例題:求解不等式:解:略例題:求不等式
xx11
1的解集。
3.含絕對(duì)值不等式的解法:基本形式:
①型如:|x|<a(a>0)的不等式的解集為:x|axa②型如:|x|>a(a>0)的不等式的解集為:x|xa,或xa變型:
其中-c3x23x23x2(x2)(x3)10xR③當(dāng)x2時(shí),(去絕對(duì)值符號(hào))原不等式化為:x2x292x9(x2)(x3)102x2由①②③得原不等式的解集為:x|112x9(注:是把①②③的解集并在一起)2y函數(shù)圖像法:
令f(x)|x2||x3|
2x1(x3)則有:f(x)5(3x2)
2x1(x2)f(x)=1051123o292x在直角坐標(biāo)系中作出此分段函數(shù)及f(x)10的圖像如圖11292由圖像可知原不等式的解集為:x|x4.一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的實(shí)根的分布常借助二次函數(shù)圖像來(lái)分析:y設(shè)ax2+bx+c=0的兩根為、,f(x)=ax2+bx+c,那么:0①若兩根都大于0,即0,0,則有0
0o對(duì)稱軸x=b2ax
0b0②若兩根都小于0,即0,0,則有2af(0)0y
11對(duì)稱軸x=b2aox
③若兩根有一根小于0一根大于0,即0,則有f(0)0
④若兩根在兩實(shí)數(shù)m,n之間,即mn,
0bnm則有2af(m)0of(n)0yoxymX=b2anx⑤若兩個(gè)根在三個(gè)實(shí)數(shù)之間,即mtn,
yf(m)0則有f(t)0
f(n)0
常由根的分布情況來(lái)求解出現(xiàn)在a、b、c位置上的參數(shù)
例如:若方程x2(m1)xm2m30有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根,求m的取值范圍。
4(m1)24(m22m3)00m1m1m3解:由①型得02(m1)00m1,或m32m2m3022omX=tb2anx所以方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根時(shí),m3。
又如:方程xxm10的一根大于1,另一根小于1,求m的范圍。
55220m(1)4(m1)02解:因?yàn)橛袃蓚(gè)不同的根,所以由21m122f(1)011m101m12235、二元一次不等式:含有兩個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式.
36、二元一次不等式組:由幾個(gè)二元一次不等式組成的不等式組.
37、二元一次不等式(組)的解集:滿足二元一次不等式組的x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對(duì)x,y,所有這樣的有序數(shù)對(duì)x,y構(gòu)成的集合.
38、在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線xyC0,坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)x0,y0.①若0,x0y0C0,則點(diǎn)x0,y0在直線xyC0的上方.②若0,x0y0C0,則點(diǎn)x0,y0在直線xyC0的下方.39、在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線xyC0.(一)由B確定:
①若0,則xyC0表示直線xyC0上方的區(qū)域;xyC0表示直線
xyC0下方的區(qū)域.
②若0,則xyC0表示直線xyC0下方的區(qū)域;xyC0表示直線
xyC0上方的區(qū)域.
(二)由A的符號(hào)來(lái)確定:
先把x的系數(shù)A化為正后,看不等號(hào)方向:
①若是“>”號(hào),則xyC0所表示的區(qū)域?yàn)橹本l:xyC0的右邊部分。②若是“線性規(guī)劃問(wèn)題:求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問(wèn)題.可行解:滿足線性約束條件的解x,y.可行域:所有可行解組成的集合.
最優(yōu)解:使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解.41、設(shè)a、b是兩個(gè)正數(shù),則
ab2稱為正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù),ab稱為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù).
ab2ab.
42、均值不等式定理:若a0,b0,則ab2ab,即
43、常用的基本不等式:①ab2aba,bR;②ab222ab222a,bR;③
abab2a0,b0;
2④
ab222ab2a,bR.
44、極值定理:設(shè)x、y都為正數(shù),則有:
⑴若xys(和為定值),則當(dāng)xy時(shí),積xy取得最大值
s42.⑵若xyp(積為定值),則當(dāng)xy時(shí),和xy取得最小值2例題:已知x解:∵x5454p.
14x5,求函數(shù)f(x)4x2的最大值。
,∴4x50
由原式可以化為:
f(x)4x55214x5(54x)154x3[(54x)154x]3(54x)154x3132
當(dāng)54x154x2,即(54x)1x1,或x32(舍去)時(shí)取到“=”號(hào)
也就是說(shuō)當(dāng)x1時(shí)有f(x)max2
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