高二數(shù)學(xué)必修5數(shù)列通項(xiàng)公式的求法歸納(精)

數(shù)列通項(xiàng)公式的四大題型

類型一：觀察分析法（已知前幾項(xiàng)，寫通項(xiàng)公式）

具體方法有：

(1)聯(lián)想比較法。如由-1，2，-3，4，-5，聯(lián)想到數(shù)列-1，1，-1，1，和1，2，3，4，5，，

可得an(1)nn；

由3，6，11，18，27，聯(lián)想到數(shù)列1，4，9，16，25，，可得ann22；由,,,13572n1,可知該數(shù)列中各項(xiàng)分式的分子為2n-1,而分母比分子多4，故an.

579112n3(2)逐差法。如1，3，5，7，9，，可發(fā)現(xiàn)：3-1=5-3=7-5=9-7=2，于是歸納得an2n1.(3)逐商法.如1，3，9，27，81，可發(fā)現(xiàn)

3927813,于是歸納可得an3n1.13927(4)待定系數(shù)法.如：3，6，11，18，27，38，，一次逐差得數(shù)列3，5，7，9，11，，二次逐差得數(shù)列2，2，2，2，，一般地，逐差k次后可得常數(shù)列，則通項(xiàng)公式可設(shè)為k次多項(xiàng)式.可以猜想通項(xiàng)公式為anan2bnc.令n=1,2,3,得

a+b+c=3○14a+2b+c=6○29a+3b+c=11○3聯(lián)立○1○2○3可得a=1,b=0,c=2.經(jīng)檢驗(yàn)適合，故ann22.

類型二：定義法

直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目．

2例1．等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，且a1,a3,a9成等比數(shù)列，S5a5．求數(shù)列an的通項(xiàng)公

式.

解：設(shè)數(shù)列an公差為d(d0)

2∵a1,a3,a9成等比數(shù)列，∴a3a1a9，即(a12d)2a1(a18d)d2a1d

∵d0，∴a1d………………………………①

2∵S5a5∴5a154d(a14d)2…………②2由①②得：a133333

，d∴an(n1)n55555點(diǎn)評(píng)：利用定義法求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)要注意不用錯(cuò)定義，設(shè)法求出首項(xiàng)與公差（公比）后再寫出通項(xiàng)。

類型三：前n項(xiàng)和法（已知前n項(xiàng)和，求通項(xiàng)公式）若已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系，求數(shù)列an的通項(xiàng)an可用公式anS1n1求解。

SnSn1n2例2．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn2an(1)n,n1．求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：由a1S12a11a11

naSS2(aa)2(1),n2nnn1nn1當(dāng)時(shí)，有

an2an12(1)n1,

an12an22(1)n2,……，a22a12.

an2n1a12n1(1)2n2(1)22(1)n1

2n1(1)n[(2)n1(2)n2(2)]2n12[1(2)n1](1)3n2[2n2(1)n1].3

經(jīng)驗(yàn)證a11也滿足上式，所以an2n2[2(1)n1]3點(diǎn)評(píng)：利用公式anSnn1求解時(shí)，要注意對(duì)n分類討論，但若能合寫時(shí)一定要合并．

SSn2n1n類型四：由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)法

對(duì)于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通常可以通過遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題，有時(shí)也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列。

題型1：遞推公式為an1anf(n)

解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an1anf(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。例3.已知數(shù)列an滿足a1解：由條件知：an1an11，an1an2，求an。2nn11112nnn(n1)nn1分別令n1,2,3,,(n1)，代入上式得(n1)個(gè)等式累加之，即

(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)

1111111(1)()()()

22334n1n所以ana11113111a1，an1（n2）n22n2na131311=滿足上式故an2212n題型2：遞推公式為an1f(n)an解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為

an1f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。an2nan，求an。，an13n1例4.已知數(shù)列an滿足a1解：由條件知

an1n，分別令n1,2,3,,(n1)，代入上式得(n1)個(gè)等式累乘之，即ann1aaa2a3a4123n11nn

na1a2a3an1234a1n又a122，an（n2）33na122滿足上式故an33n注：由an1f(n)an和a1確定的遞推數(shù)列an的通項(xiàng)還可以如下求得：

所以anf(n1)an1，an1f(n2)an2，，a2f(1)a1依次向前代入，得

anf(n1)f(n2)f(1)a1，

題型三、形如

an1panqanp的遞推式

解法：取倒法構(gòu)造輔助數(shù)列例5：

數(shù)列an滿足:a11,an1求an通項(xiàng)公式解：an

an,2an1

an112a11n122an11anan1an111是以為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列a1an

題型4、遞推式：an1panfn

解法：只需構(gòu)造數(shù)列bn，消去fn帶來的差異．其中fn有多種不同形式

①fn為常數(shù)，即遞推公式為an1panq（其中p，q均為常數(shù)，(pq(p1)0)）。解法：轉(zhuǎn)化為：an1tp(ant)，其中tq，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。1p例6.已知數(shù)列an中，a11，an12an3，求an.

解：設(shè)遞推公式an12an3可以轉(zhuǎn)化為an1t2(ant)即an12antt3.故遞推公式為

an132(an3),令bnan3，則b1a134,且

bn1an132.所以bn是以b14為首項(xiàng)，2為bnan3公比的等比數(shù)列，則bn42n12n1,所以an2n13.②fn為一次多項(xiàng)式，即遞推公式為an1panrns

解法：轉(zhuǎn)化為：an1[A(n1)B]p[an(AnB)]，其中A，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例7．設(shè)數(shù)列an：a14,an3an12n1,(n2)，求an.

解：設(shè)bnanAnB，則anbnAnB，將an,an1代入遞推式，得

bnAnB3bn1A(n1)B2n13bn1(3A2)n(3B3A1)

A3A2B3B3A1A1B1取bnann1…（１）則bn3bn1,又b16，故bn63n123n代入（１）得

an23nn1

備注：本題也可由an3an12n1,an13an22(n1)1（n3）兩式相減得

anan13(an1an2)2轉(zhuǎn)化為bnpbn1q求之.

③f(n)為n的二次式，則可設(shè)bnanAn2BnC;

題型5：遞推公式為an1panqn（其中p，q均為常數(shù)，(pq(p1)(q1)0)）。（或

an1panrqn,其中p，q,r均為常數(shù)）

解法：該類型較題型3要復(fù)雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以qn1，得：引入輔助數(shù)列bn（其中bn例8.已知數(shù)列an中，a1解：在an1an1pan1qn1qqnqanp1bb），得：再應(yīng)用類型3的方法解決。n1nnqqq511n1,an1an()，求an。632112an()n1兩邊乘以2n1得：2n1an1(2nan)132322bn1,應(yīng)用例7解法得：bn32()n33令bn2nan，則bn所以anbn1n1n3()2()n232題型5：遞推公式為an2pan1qan（其中p，q均為常數(shù)）。解法：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an2san1t(an1san)其中s，t滿足法求解。

例9.已知數(shù)列an中，a11,a22,an2解：由an2stp，再應(yīng)用前面類型3的方

stq21an1an，求an。3321an1an可轉(zhuǎn)化為an2san1t(an1san)33即an221sts1s3(st)an1stan31或tst13t131s1s這里不妨選用3，大家可以試一試），則1（當(dāng)然也可選用t3t111an2an1(an1an)an1an是以首項(xiàng)為a2a11，公比為的等比數(shù)列,所以

331an1an()n1,應(yīng)用類型1的方法，分別令n1,2,3,,(n1)，代入上式得(n1)個(gè)等式累加之，即

311()n11113ana1()0()1()n2

133313又a11，所以an731n1()。4

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數(shù)列通項(xiàng)公式的求法

編輯：張杰201*.12.15

一、定義法

直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目．

2例1．等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，且a1,a3,a9成等比數(shù)列，S5a5．求數(shù)列an的通項(xiàng)公

式.

解：設(shè)數(shù)列an公差為d(d0)

2∵a1,a3,a9成等比數(shù)列，∴a3a1a9，即(a12d)2a1(a18d)d2a1d

∵d0，∴a1d………………………………①

2∵S5a5∴5a154d(a14d)2…………②2由①②得：a133333，d∴an(n1)n】55555點(diǎn)評(píng)：利用定義法求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)要注意不用錯(cuò)定義，設(shè)法求出首項(xiàng)與公差（公比）后再寫出通項(xiàng)。

二、公式法

若已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系，求數(shù)列an的通項(xiàng)an可用公式anS1n1求解。

SSn2n1n例2．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn2an(1)n,n1．求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：由a1S12a11a11

naSS2(aa)2(1),n2nnn1nn1當(dāng)時(shí)，有

an2an12(1)n1,

an12an22(1)n2,……，a22a12.

an2n1a12n1(1)2n2(1)22(1)n12n1(1)n[(2)n1(2)n2(2)]2n12[1(2)n1](1)3n2[2n2(1)n1].3

經(jīng)驗(yàn)證a11也滿足上式，所以an2n2[2(1)n1]點(diǎn)評(píng)：利用公式an三、由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)法

Snn1求解時(shí)，要注意對(duì)n分類討論，但若能合寫時(shí)一定要合并．

SnSn1n2對(duì)于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通�？梢酝ㄟ^遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題，有時(shí)也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列。

類型1遞推公式為an1anf(n)

解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an1anf(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。例3.已知數(shù)列an滿足a1解：由條件知：an1an11，an1an2，求an。2nn1111

n2nn(n1)nn1分別令n1,2,3,,(n1)，代入上式得(n1)個(gè)等式累加之，即

(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)

1111111(1)()()()

22334n1n所以ana11類型2

（1）遞推公式為an1f(n)an解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為

111131a1，an1n22n2nan1f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。an2nan，求an。，an13n1例4.已知數(shù)列an滿足a1解：由條件知

an1n，分別令n1,2,3,,(n1)，代入上式得(n1)個(gè)等式累乘之，即ann1aaa2a3a4123n11nn

na1a2a3an1234a1n又a122，an33n注：由an1f(n)an和a1確定的遞推數(shù)列an的通項(xiàng)還可以如下求得：

所以anf(n1)an1，an1f(n2)an2，，a2f(1)a1依次向前代入，得

anf(n1)f(n2)f(1)a1，類型3

遞推式：an1panfn

解法：只需構(gòu)造數(shù)列bn，消去fn帶來的差異．其中fn有多種不同形式

①fn為常數(shù)，即遞推公式為an1panq（其中p，q均為常數(shù)，(pq(p1)0)）。解法：轉(zhuǎn)化為：an1tp(ant)，其中tq，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。1p例5.已知數(shù)列an中，a11，an12an3，求an.

解：設(shè)遞推公式an12an3可以轉(zhuǎn)化為an1t2(ant)即an12antt3.故遞推公式為

an132(an3),令bnan3，則b1a134,且

bn1an132.所以bn是以b14為首項(xiàng)，2為bnan3公比的等比數(shù)列，則bn42n12n1,所以an2n13.②fn為一次多項(xiàng)式，即遞推公式為an1panrns例6．設(shè)數(shù)列an：a14,an3an12n1,(n2)，求an.

解：設(shè)bnanAnB，則anbnAnB，將an,an1代入遞推式，得

bnAnB3bn1A(n1)B2n13bn1(3A2)n(3B3A1)

A3A2B3B3A1A1B1取bnann1…（１）則bn3bn1,又b16，故bn63n123n代入（１）得

an23nn1

備注：本題也可由an3an12n1,an13an22(n1)1（n3）兩式相減得

anan13(an1an2)2轉(zhuǎn)化為bnpbn1q求之.

③f(n)為n的二次式，則可設(shè)bnanAn2BnC;類型4

遞推公式為an1panqn（其中p，q均為常數(shù)，(pq(p1)(q1)0)）。（或an1panrqn,其中p，q,r均為常數(shù)）

解法：該類型較類型3要復(fù)雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以qn1，得：引入輔助數(shù)列bn（其中bnan1pan1nn1qqqqanp1bb），得：再應(yīng)用類型3的方法解決。n1nqqqn例7.已知數(shù)列an中，a1解：在an1511,an1an()n1，求an。632112an()n1兩邊乘以2n1得：2n1an1(2nan)132322bn1,應(yīng)用例7解法得：bn32()n33令bn2nan，則bn1所以an類型5

bn1n1n3()2()n232遞推公式為an2pan1qan（其中p，q均為常數(shù)）。

解法：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an2san1t(an1san)其中s，t滿足法求解。

例8.已知數(shù)列an中，a11,a22,an2解：由an2stp，再應(yīng)用前面類型3的方

stq21an1an，求an。3321an1an可轉(zhuǎn)化為an2san1t(an1san)33即an221sts1s3(st)an1stan31或tst13t131s1s這里不妨選用3，大家可以試一試），則1（當(dāng)然也可選用t3t111an2an1(an1an)an1an是以首項(xiàng)為a2a11，公比為的等比數(shù)列,所以

331an1an()n1,應(yīng)用類型1的方法，分別令n1,2,3,,(n1)，代入上式得(n1)個(gè)等式累加之，即

311()n11113ana1()0()1()n2

133313又a11，所以an731n1()。4

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