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高一數(shù)學(xué)必修四第二章 平面向量章末總結(jié)

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高一數(shù)學(xué)必修四第二章 平面向量章末總結(jié)

高一數(shù)學(xué)章末總結(jié)【人教版】

必修四平面向量

班級(jí):高一(13)班姓名:劉碧林

注:此總結(jié)所有內(nèi)容均為我個(gè)人所編,沒(méi)有任何抄襲現(xiàn)象,如與百度文庫(kù)中文件有絲毫雷同,純屬意外。

2.1平面向量的實(shí)際背景及基本概念

考點(diǎn)1向量的相關(guān)概念

※方法:明確向量及其相關(guān)概念的聯(lián)系和區(qū)別。①區(qū)分向量與數(shù)量:向量既強(qiáng)調(diào)大小,又強(qiáng)調(diào)方向,而數(shù)量只與大小有關(guān)。②明確向量與有向線段的區(qū)別:有向線段有三要素:起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度,只要起點(diǎn)不同,另外兩個(gè)要素相同也不是同一條有向線段,但決定向量的要素只有兩個(gè):大小與方向,與表示向量的有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)。③零向量和單位向量都是通過(guò)模的大小來(lái)確定的。零向量的方向是任意的。④平行向量也叫共線向量,當(dāng)兩共線向量的方向相同且模相等時(shí),兩向量為相等向量。

考點(diǎn)2向量的模

※方法:向量的模實(shí)質(zhì)是表示它的有向線段的長(zhǎng)度,因此求向量的模時(shí),首先要找到其對(duì)應(yīng)的有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn),再利用直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離,求的有向線段的長(zhǎng)。

考點(diǎn)3共線向量與相等向量

※方法:此問(wèn)題即為向量的計(jì)數(shù)問(wèn)題,將向量與幾何圖像相結(jié)合,把滿(mǎn)足題意的情形按照統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi),做到不重復(fù)不遺漏。

考點(diǎn)4向量的實(shí)際應(yīng)用

①尋找共線向量與相等向量

※方法:將生活中的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求向量的模的問(wèn)題,再通過(guò)求模的方法進(jìn)行求解。②證明向量相等

※方法:證明兩個(gè)非零向量相等,首先證明它們是共線向量,再證明它們的方向相同,且模相等。例題例1:下列四個(gè)命題:①若|a|=0,則a為零向量;②若|a|=|b|,則a=b或a=-b;③若a//b,則|a|=|b|;④若a=0,則-a=0.其中正確的有(B)。A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

【解析】②中兩個(gè)向量的模相等,只能說(shuō)明它們的長(zhǎng)度相等,并不意味著它們的方向是相同或相反的;③中兩個(gè)向量平行,只能說(shuō)明這兩個(gè)向量的方向相同或相反,對(duì)向量的模沒(méi)有要求,故只有①④正確。

例2:求證:以A(-4,-1,-9),B(-10,1,-6),C(-2,-4,-3)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形.

【解析】先利用空間兩點(diǎn)的距離公式分別求出AB,AC,BC的長(zhǎng),然后利用勾股定理進(jìn)行判定是否為直角三角形,以及長(zhǎng)度是否有相等,從而判定是否是等腰直角三角形.

例3:【解析】 2.2平面向量的線性運(yùn)算

考點(diǎn)1向量的線性運(yùn)算

①向量的加法、減法運(yùn)算

※方法:向量的基本運(yùn)算要抓住兩條主線,一是基于“形”,通過(guò)作出向量,運(yùn)用平行四邊形法則或三角形法則求和(或差);二是基于“數(shù)”,它是對(duì)上述操作的概括(或說(shuō)“形式化”),要熟練掌握AB+BC+CD=AD.(字母為黑體均表示向量)②向量的數(shù)乘運(yùn)算

※方法:關(guān)于實(shí)數(shù)與向量的積的有關(guān)運(yùn)算,可按照實(shí)數(shù)積的運(yùn)算方法進(jìn)行,不過(guò)是將向量符號(hào)a,b,c等看作一般字母符號(hào),其中向量數(shù)乘之間的和差運(yùn)算,相當(dāng)于合并同類(lèi)項(xiàng)或提取公因式,這里的“同類(lèi)項(xiàng)”與“公因式”指的是向量。③利用向量的線性運(yùn)算將向量線性表示

※方法:(1)充分利用平面幾何的一些結(jié)論,轉(zhuǎn)化為相等向量、相反向量、共線向量及比例關(guān)系,建立已知向量與未知向量有直接關(guān)系的向量來(lái)解決問(wèn)題。(2)注意幾何條件的應(yīng)用:如△ABC中,DE//BC→△ADE∽△ABC等。(3)此類(lèi)問(wèn)題直接轉(zhuǎn)化困難時(shí),可建立相關(guān)向量的方程求解。

④利用向量的線性運(yùn)算求參數(shù)

※方法:含有參數(shù)的向量線性運(yùn)算問(wèn)題,只需要把參數(shù)當(dāng)做已知條件,列出向量方程,根據(jù)向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算化簡(jiǎn)方程為已知形式,對(duì)比系統(tǒng)就可求出參數(shù)的值。

考點(diǎn)2共線問(wèn)題

①證明兩向量共線或三點(diǎn)共線

※方法:(1)證明兩向量a,b共線可直接利用向量共線的條件,判斷是否存在實(shí)數(shù)λ,使得b=λa(a≠0)。(2)證明三點(diǎn)共線時(shí)可分兩步,第一步證明兩個(gè)向量共線,第二步證明兩個(gè)向量都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)。②利用向量共線求各參數(shù)的取值

※方法:根據(jù)向量共線及題目中所給條件列出關(guān)于參數(shù)的方程,再解方程求出參數(shù)。

考點(diǎn)3向量的模的問(wèn)題

①利用加減運(yùn)算求向量的模

※方法:(1)理解向量的幾何意義,能準(zhǔn)確運(yùn)用向量的線性運(yùn)算。(2)恰當(dāng)構(gòu)造相關(guān)圖形,靈活運(yùn)用幾何性質(zhì)求解未知量。②求向量的模的取值范圍

※方法:靈活運(yùn)用公式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.

(1)在公式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|中,當(dāng)a與b的方向相反且|b|≤|a|時(shí),|a|-|b|=|a+b|;當(dāng)a與b的方向相同時(shí),|a+b|=|a|+|b|.(2)在公式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|中,當(dāng)a與b的方向相同且|b|≤|a|時(shí),|a|-|b|=|a-b|;當(dāng)a與b的方向相反時(shí),|a-b|=|a|+|b|.例題例1:【解析】例2:【解析】

2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

考點(diǎn)1平面向量基本定理的概念問(wèn)題

※方法:解關(guān)于平面向量基本定理的概念問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵是深刻理解平面向量基本定理,并注意定理中的一組基底是由兩個(gè)不共線的向量構(gòu)成。

考點(diǎn)2用基底表示向量

※方法:將不共線的向量作為基底表示其他向量的方法有兩種:第一種是利用向量的線性運(yùn)算及法則對(duì)所求向量不斷轉(zhuǎn)化,直至能用基底表示為止;第二種是列向量方程組,利用基底表示向量的唯一性求解。

考點(diǎn)3向量的夾角問(wèn)題

※方法:求向量的夾角時(shí),首先做出圖形,找到所要求的角,再結(jié)合圖形的特征以及幾何知識(shí)求出角度。

考點(diǎn)4求向量的坐標(biāo)

※方法:求向量的坐標(biāo)有兩種方法:其一是平移法,把向量的起點(diǎn)移至坐標(biāo)原點(diǎn),終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo);其二是用表示向量的有向線段的終點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)減去起點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)。例題例1:【解析】例2:【解析】

2.4平面向量的數(shù)乘積 2.5平面向量應(yīng)用舉例

考點(diǎn)1向量數(shù)量積得計(jì)算問(wèn)題

①利用向量數(shù)量積得定義解題

※方法:解此類(lèi)題應(yīng)嚴(yán)格按照向量數(shù)量積的定義ab=|a||b|cosα,注意家教的范圍為α∈[0°,180°]。a與b共線時(shí)有α=0°和α=180°兩種情況。主要應(yīng)用化歸的思想。②利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算解題

※方法:若題目中直接給出向量的坐標(biāo),則可直接利用公式ab=x1x2+y1y2進(jìn)行求解;若題目中涉及圖形的數(shù)量積的運(yùn)算,要充分利用向量終點(diǎn)坐標(biāo)與起點(diǎn)坐標(biāo)之差表示出向量坐標(biāo),再由向量坐標(biāo)運(yùn)算求解數(shù)量積。

考點(diǎn)2向量夾角計(jì)算問(wèn)題

※方法:先表示出兩向量的數(shù)量積及其模,再利用數(shù)量積的夾角公式計(jì)算即可。

考點(diǎn)3結(jié)論a⊥b→ab=0的應(yīng)用

※方法:對(duì)于非零向量a,b,a⊥b→ab=0,可用來(lái)證明兩向量垂直,或由兩向量垂直列方程求解向量,以及解決平面幾何圖形中有關(guān)垂直的問(wèn)題。

考點(diǎn)4利用向量的數(shù)量積判斷幾何圖形的形狀

※方法:判斷三角形或四邊形形狀時(shí),一般是由邊長(zhǎng)和角的關(guān)系來(lái)進(jìn)行判斷,充分利用向量的數(shù)量積公式求圖形的邊長(zhǎng)、角度,再根據(jù)幾何圖形的特征判斷圖形形狀。

考點(diǎn)5利用向量解決幾何中的垂直問(wèn)題

※方法:垂直問(wèn)題的解決,一般的思路是將目標(biāo)線段的垂直轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為0,而在此過(guò)程中,需運(yùn)用向量的線性運(yùn)算,將目標(biāo)向量用基底表示,通過(guò)基底的數(shù)量積運(yùn)算使問(wèn)題獲解。當(dāng)然基底的選取應(yīng)以能夠方便運(yùn)算為準(zhǔn),及它們的夾角是明確的,且長(zhǎng)度易知。

考點(diǎn)6利用向量解決幾何中的長(zhǎng)度與角度問(wèn)題

※方法:根據(jù)圖形已知向量表示出目標(biāo)向量,再求出目標(biāo)向量的模即為長(zhǎng)度,再根據(jù)公式可求出向量的夾角。例題例1:【解析】

例2:

【解析】

例3:【解析】

例4:

【解析】

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高一數(shù)學(xué)必修4第2章平面向量章末測(cè)試

一、選擇題

1.下列命題中,真命題的個(gè)數(shù)為(其中a≠0,b≠0)()①|(zhì)a|+|b|=|a+b|a與b方向相同②|a|+|b|=|a-b|a與b方向相反③|a+b|=|a-b|a與b有相等的模④|a|-|b|=|a-b|a與b方向相同

A.0B.1C.2D.3

2.(201*廣東文,5)若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),滿(mǎn)足條件(8a-b)c=30,則x=()A.6B.5C.4D.3

3.已知兩個(gè)力F1、F2的夾角為90°,它們的合力大小為10N,合力與F1的夾角為60°,則F1的大小為()A.53NB.5NC.10ND.52N

4.直角坐標(biāo)系xOy中,i、j分別是與x、y軸正方向同向的單位向量.若直角三角形ABC中,=2i+j,=3i+kj,則k的可能值個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

5.已知|a|=3|b|≠0,且關(guān)于x的方程2x2+2|a|x+3ab=0有實(shí)根,則a與b夾角的取值范圍是()πππ2ππ

0,B.,πC.,D.,πA.63336

6.(201*膠州三中)已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),λa+b與b垂直,則λ等于()A.-1B.1C.-2D.2

7.(201*新鄉(xiāng)市?)設(shè)平面內(nèi)有四邊形ABCD和點(diǎn)O,若=a,=b,=c,=d,且a+c=b+d,則四邊形ABCD為()

A.菱形B.梯形C.矩形D.平行四邊形

8.已知O為原點(diǎn),點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(a,0)、B(0,a),其中常數(shù)a>0,點(diǎn)P在線段AB上,且有=t(0≤t≤1),則的最大值為()

A.a(chǎn)B.2aC.3aD.a(chǎn)29.給出下列等式:

bab00②0a0③0ABBA④a①a⑤若a0,b0,則ab0,則a與b中至少有一個(gè)為0b0⑥a22⑦a與b是兩個(gè)單位向量,則ab

以上各式成立的是

A.①②③⑥⑦B.③④⑦C.②③④⑤D.③⑦

10已知a(5,2),b(4,3)c(x,y),若a2b3c0,則c的坐標(biāo)為8138C.(13,4)134A.(1,)B.(,)D.(,)

333833311.設(shè)i,j是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別于x軸,y軸方向相同的兩個(gè)單位向量,

O為坐標(biāo)原點(diǎn),若OA4i3j,OB3i4j,2OAOB的坐標(biāo)是

A.(1,2)B.(7,6)C.(5,0)D.(11,8)

bc(ab)//c,(bc)//a,則下列結(jié)論中12已知.a、、是兩兩不共線的非零向量,且不正確的是

A.a(chǎn)c與b共線B.a(chǎn)bc=0

C.a(chǎn)c與2b共線D.a(chǎn)2bc=0

二、填空題

13.已知=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-3-m).若點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形,則實(shí)數(shù)m應(yīng)滿(mǎn)足的條件為_(kāi)_______.

14.已知e1,e2是夾角為60°的兩個(gè)單位向量,a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,則a與b的夾角θ=________.15.已知a=(2,3),b=(-4,7),則b在a方向上的投影為_(kāi)_______.

16.已知點(diǎn)M是ABC的重心,AB=e1,ACe2用e1,e2表示MC_____

三、解答題

17.如右圖所示,在△AOB中,若A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(2,0),(-3,4),點(diǎn)C在AB上,且平分∠BOA,求點(diǎn)C的坐標(biāo).

18.在正方形ABCD中,E、F分別為AB、BC的中點(diǎn),求證:AF⊥DE.

19.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61,求a與b的夾角θ.

20.(10分)已知矩形ABCD,且AD=2AB,又△ADE為等腰直角三角形,F(xiàn)為ED的中點(diǎn),

EA=e1,EF=e2,以1,

ee2為基底,

試表示向量AF,AB,AD及BD.

c421.(10分)已知cmanb(23,2),a與c垂直,b與c的夾角120,且b求實(shí)數(shù)m,n的值及a與b的夾角

22.(12分)已知:

,a22,

a、b、c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量,其中

a=(1,2)

(Ⅰ)若|

c|25,且c//a,求

c的坐標(biāo);

垂直,求

(Ⅱ)若|b|=

5,且2a2b與aba與b的夾角θ.

答案

[解析]對(duì)于③當(dāng)a與b互相垂直時(shí),構(gòu)成矩形時(shí)才有|a+b|=|a-b|因此③錯(cuò),對(duì)于④當(dāng)a與b方向相同且|b|≤|a|時(shí)才有|a|-|b|=|a-b|因此④錯(cuò),①②正確,故選C.

2[答案]C

[解析](8a-b)c=(6,3)(3,x)=18+3x=30.∴x=4.故選C.3[答案]B

[解析]|F1|=|F|cos60°=5.4[答案]B

[解析]不妨取A(0,0),則B(2,1),C(3,k),=(1,k-1).當(dāng)AB⊥BC時(shí),=2+k-1=0,∴k=-1.當(dāng)AB⊥AC時(shí),=6+k=0,∴k=-6.當(dāng)AC⊥BC時(shí),=3+k2-k=0,無(wú)解.所以滿(mǎn)足要求的k的可能值有2個(gè).5[答案]B

[解析]∵關(guān)于x的方程2x2+2|a|x+3ab=0有實(shí)根,∴Δ=4|a|2-24ab≥0,即|a|2≥6ab.

∴|a|2≥6|a||b|cos〈a,b〉,又∵|a|=3|b|≠0.1∴cos〈a,b〉≤,

∵0≤〈a,b〉≤π,∴≤〈a,b〉≤π.

36[答案]C

[解析]λa+b=(λ+4,-3λ-2),∵λa+b與b垂直,∴(λ+4,-3λ-2)(4,-2)=4(λ

+4)-2(-3λ-2)=10λ+20=0,∴λ=-2.

7[答案]D

[解析]解法一:設(shè)AC的中點(diǎn)為G,則+=b+d=a+c=+=2,∴G為BD的中點(diǎn),∴四邊形ABCD的兩對(duì)角線互相平分,∴四邊形ABCD為平行四邊形.

解法二:=-=b-a,=-=d-c=-(b-a)=-,∴ABCD,∴四邊形ABCD為平行四邊形.8[答案]D[解析]∵=t,∴=+=+t(-)=(1-t)+t=(a-at,at)∴=a2(1-t),∵0≤t≤1,∴≤a2.9D10D11D12D1

13[答案]m∈R且m≠

2

[解析]若點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形,則這三點(diǎn)不共線.∵=(3,1),=(2-m,1-m),1

∴3(1-m)≠2-m,∴m≠.21

即實(shí)數(shù)m≠,滿(mǎn)足條件.

214[答案]120°

[解析]ab=(2e1+e2)(-3e1+2e2)7=-6|e1|2+e1e2+2|e2|2=-,

2|a|=(2e1+e2)2=7,|b|=(-3e1+2e2)2=7,ab1

cosθ==-,∴θ=120°.

|a||b|215[答案]

13ab13[解析]b在a方向上的投影為==13.

|a|13

1216.e1e2

33

17[解析]設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(x,y),由于cos∠AOC=cos∠BOC,且cos∠AOC=,cos∠BOC=,∴=,

(2,0)(x,y)(-3,4)(x,y)∴=,

25∴y=2x.①

又∵與共線,=(x+3,y-4),=(x-2,y),∴(x+3)y-(x-2)(y-4)=0,∴4x+5y-8=0.②

由①,②聯(lián)立解之得8

y=7.

48∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為7,7.

4

x=,7

18[證明]設(shè)=a,=b,則|a|=|b|,ab=0,

11

由條件知,=a,=b,

221

∴=-=a-b,

211

=+=+=a+b,

221a+1ba-b∴=22111

=a2+ab-ba-b2=0.242即,∴DE⊥AF.

19[解析]∵(2a-3b)(2a+b)=61,∴4a2-4ab-3b2=61.又|a|=4,|b|=3,∴ab=-6.

ab1∴cosθ==-.∴θ=120°.

|a||b|2

20.解答AF=e2-e1,AB=e2,AD=2e2-e1,BD=e2-e1

221.解答∵ac∴ac0又∵cmacnbc

cbccos120∴4n124∴n4且b1∴4b4()∴b2

222從而acma4bc∴ab2m又∵bcm(ab)4b

∴42m216∴m26∴m6

ab263當(dāng)m6時(shí),ab26∴cos∴

6ab222235當(dāng)m6時(shí),ab26∴cos∴

62因此m

22.解:(Ⅰ)設(shè)c(x,y),|c|25,x2y225,x2y220c//a,a(1,2),2xy0,y2x

x2x2y2x由2∴或∴c(2,4),或c(2,4)2y4y4xy206,n4,6;m6,n4,56(Ⅱ)(a2b)(2ab),(a2b)(2ab)2a3ab2b0,2|a|23ab2|b|20……(※)|a|25,|b|2(2255525),代入(※)中,253ab20ab

42245ab,cos2|a||b|552521

|a|5,|b|

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