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高中數(shù)學(xué)必修五第一章《解三角形》知識(shí)點(diǎn)歸納及單元測(cè)試題

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高中數(shù)學(xué)必修五第一章《解三角形》知識(shí)點(diǎn)歸納及單元測(cè)試題

第一章解三角形單元測(cè)試

一選擇題:

1.已知△ABC中,A30,C105,b8,則等于()A4B42C43D452.△ABC中,B45,C60,c1,則最短邊的邊長(zhǎng)等于()

1663A3B2C2D2

3.長(zhǎng)為5、7、8的三角形的最大角與最小角之和為()A90°B120°C135°D150°

abc4.△ABC中,cosAcosBcosC,則△ABC一定是()

A直角三角形B鈍角三角形C等腰三角形D等邊三角形

5.△ABC中,B60,bac,則△ABC一定是()A銳角三角形B鈍角三角形C等腰三角形D等邊三角形

6.△ABC中,∠A=60°,a=6,b=4,那么滿足條件的△ABC()A有一個(gè)解B有兩個(gè)解C無解D不能確定

2S163,則A等于()

7.△ABC中,b8,c83,ABCA30B60C30或150D60或120

abc8.△ABC中,若A60,a3,則sinAsinBsinC等于()

13A2B2C3D2

C的平分線CD把三角形面積分成3:2兩部分,9.△ABC中,A:B1:2,則cosA()

113ABCD032410.如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長(zhǎng)度,則這個(gè)新的三角形的形狀為()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D由增加的長(zhǎng)度決定11在200米高的山頂上,測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°、60°,則塔高為()A.

4004003米B.米C.201*米D.200米3312海上有A、B兩個(gè)小島相距10海里,從A島望C島和B島成60°的視角,從B島望C島和

A島成75°的視角,則B、C間的距離是()

A.10海里B.5海里C.56海里D.53海里二、填空題:

13.在△ABC中,如果sinA:sinB:sinC2:3:4,那么cosC等于。

14.在△ABC中,已知b503,c150,B30,則邊長(zhǎng)a。

15.在鈍角△ABC中,已知a1,b2,則最大邊c的取值范圍是。

6016.三角形的一邊長(zhǎng)為14,這條邊所對(duì)的角為,另兩邊之比為8:5,則這個(gè)三角形的

面積為。

三、解答題:

cosAb417(本題10分)在△ABC中,已知邊c=10,又知cosBa3,求邊a、b的長(zhǎng)。

18(本題12分)在△ABC中,已知2abc,sinAsinBsinC,試判斷△ABC的形狀。

2

19(本題12分)在銳角三角形中,邊a、b是方程x-23x+2=0的兩根,角A、B滿足:2sin(A+B)-3=0,求角C的度數(shù),邊c的長(zhǎng)度及△ABC的面積。

20(本題12分)在奧運(yùn)會(huì)壘球比賽前,C國(guó)教練布置戰(zhàn)術(shù)時(shí),要求擊球手以與連結(jié)本壘及游擊手的直線成15°的方向把球擊出,根據(jù)經(jīng)驗(yàn)及測(cè)速儀的顯示,通常情況下球速為游擊手最大跑速的4倍,問按這樣的布置,游擊手能不能接著球?(如圖所示)

2高中數(shù)學(xué)必修五第一章解三角形知識(shí)點(diǎn)歸納

1、三角形三角關(guān)系:A+B+C=180°;C=180°(A+B);2、三角形三邊關(guān)系:a+b>c;a-b中一邊所對(duì)的角的題型要注意解的情況(一解、兩解、三解))7、三角形面積公式:

111abcr(abc)SCbcsinabsinCacsin.=2R2sinAsinBsinC===

2224R2p(pa)(pb)(pc)

8、余弦定理:在C中,有abc2bccos,bac2accos,

222222c2a2b22abcosC.

b2c2a2a2c2b2a2b2c29、余弦定理的推論:cos,cos,cosC.

2bc2ab2ac10、余弦定理主要解決的問題:

①已知兩邊和夾角,求其余的量。②已知三邊求角)

11、如何判斷三角形的形狀:判定三角形形狀時(shí),可利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化,統(tǒng)一成邊的形式或角的形式

設(shè)a、b、c是C的角、、C的對(duì)邊,則:①若abc,則C90;②若abc,則C90;③若abc,則C90.12、三角形的五心:

垂心三角形的三邊上的高相交于一點(diǎn)重心三角形三條中線的相交于一點(diǎn)外心三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn)內(nèi)心三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn)

旁心三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個(gè)角的外角平分線交于一點(diǎn)

222222222第一章解三角形單元測(cè)試參考答案

一、選擇題

BABDDCCACAC二、填空題(44)13114、1003或50315、5c316、4034三、解答題15、(本題8分)解:由

cosAbsinBbcosAsinB,,可得,變形為sinAcosA=sinBcosB

sinAcosBacosBsinAa∴sin2A=sin2B,又∵a≠b,∴2A=π-2B,∴A+B=由a+b=10和

222

.∴△ABC為直角三角形.2b4,解得a=6,b=8。a3abcab2R得:sinA,sinB,sinAsinBsinC2R2R16、(本題8分)解:由正弦定理

sinCc。2R2sinAsinBsinC可得:(a)2bc,即:a2bc。所以由

2R2R2R又已知2abc,所以4a2(bc)2,所以4bc(bc)2,即(bc)20,因而bc。故由2abc得:2abb2b,ab。所以abc,△ABC

為等邊三角形。17、(本題9分)

解:由2sin(A+B)-3=0,得sin(A+B)=

3

,∵△ABC為銳角三角形2

2

∴A+B=120°,C=60°,又∵a、b是方程x-23x+2=0的兩根,∴a+b=23,

1133

∴c=6,SABCabsinC=×2×=。

2222ab=2,∴c=a+b-2abcosC=(a+b)-3ab=12-6=6,

1133

∴c=6,SABCabsinC=×2×=。

2222

18、(本題9分)

解:設(shè)游擊手能接著球,接球點(diǎn)為B,而游擊手從點(diǎn)A跑出,本壘為O點(diǎn)(如圖所示).設(shè)從擊出球到接著球的時(shí)間為t,球速為v,則∠AOB=15°,OB=vt,AB在∴

△AOB

中,由正弦定理,得2222

vt。4OBABsinOABsin15,

OBvt62sin1562而ABvt/44(62)2843841.741,即sin∠OAB>1,∴這樣的∠OAB不存在,因此,游擊手不

sinOAB能接著球.

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1.已知△ABC中,A30,C105,b8,則等于()A4B42C43D452.△ABC中,B45,C60,c1,則最短邊的邊長(zhǎng)等于()

6631A3B2C2D2

3.長(zhǎng)為5、7、8的三角形的最大角與最小角之和為()A90°B120°C135°D150°

abc4.△ABC中,cosAcosBcosC,則△ABC一定是()

A直角三角形B鈍角三角形C等腰三角形D等邊三角形

5.△ABC中,B60,bac,則△ABC一定是()A銳角三角形B鈍角三角形C等腰三角形D等邊三角形

6.△ABC中,∠A=60°,a=6,b=4,那么滿足條件的△ABC()A有一個(gè)解B有兩個(gè)解C無解D不能確定

2S1637.△ABC中,b8,c83,ABC,則A等于()

A30B60C30或150D60或120

abcA608.△ABC中,若,a3,則sinAsinBsinC等于()

31A2B2C3D29.△ABC中,A:B1:2,則cosA()C的平分線CD把三角形面積分成3:2兩部分,113ABCD032410.如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長(zhǎng)度,則這個(gè)新的三角形的形狀為()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D由增加的長(zhǎng)度決定

11.在△ABC中,如果sinA:sinB:sinC2:3:4,那么cosC等于。

12.在△ABC中,已知b503,c150,B30,則邊長(zhǎng)a。

13.在鈍角△ABC中,已知a1,b2,則最大邊c的取值范圍是。14.三角形的一邊長(zhǎng)為14,這條邊所對(duì)的角為60,另兩邊之比為8:5,則這個(gè)三角形的面積為。

cosAb4cosBa3,求邊a、b的長(zhǎng)。15在△ABC中,已知邊c=10,又知

高中數(shù)學(xué)必修五第一章解三角形知識(shí)點(diǎn)歸納

1、三角形三角關(guān)系:A+B+C=180°;C=180°(A+B);2、三角形三邊關(guān)系:a+b>c;a-b①若a2b2c2,則C90;②若a2b2c2,則C90;③若a2b2c2,則C90.12、三角形的五心:

垂心三角形的三邊上的高相交于一點(diǎn)重心三角形三條中線的相交于一點(diǎn)外心三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn)內(nèi)心三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn)

旁心三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個(gè)角的外角平分線交于一點(diǎn)

一、選擇題

BABDDCCACAC二、填空題(44)

13114、1003或50315、5c316、403415、(本題8分)

cosAbsinBbcosAsinB,可得,變形為sinAcosA=sinBcosB,sinAcosBacosBsinAa∴sin2A=sin2B,又∵a≠b,∴2A=π-2B,∴A+B=.∴△ABC為直角三角形.

2b4222

由a+b=10和,解得a=6,b=8。

a3解:由

16、(本題8分)

abcab,sinB,2R得:sinAsinAsinBsinC2R2R2ca2bc2。所以由sinAsinBsinC可得:(,即:abc。sinC)2R2R2R2R2222又已知2abc,所以4a(bc),所以4bc(bc),即(bc)0,因而bc。故由2abc得:2abb2b,ab。所以abc,△ABC

解:由正弦定理為等邊三角形。17、(本題9分)

解:由2sin(A+B)-3=0,得sin(A+B)=

3

,∵△ABC為銳角三角形2

2

∴A+B=120°,C=60°,又∵a、b是方程x-23x+2=0的兩根,∴a+b=23,

1331∴c=6,SABCabsinC=×2×=。

2222ab=2,∴c=a+b-2abcosC=(a+b)-3ab=12-6=6,1331∴c=6,SABCabsinC=×2×=。

22222

22

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