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數(shù)學(xué)必修5復(fù)習(xí)小結(jié)

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數(shù)學(xué)必修5復(fù)習(xí)小結(jié)

遠東二中導(dǎo)學(xué)稿★高二數(shù)學(xué)必修五★知識復(fù)習(xí)小結(jié)專稿“解三角形”復(fù)習(xí)與小結(jié)

1、三角函數(shù)知識儲備:

(1)任意角三角函數(shù)的定義①三角函數(shù)定義②定義域

③三角函數(shù)值在各個象限的符號(2)同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式:平方關(guān)系商數(shù)關(guān)系倒數(shù)關(guān)系(3)誘導(dǎo)公式

(4)正、余弦函數(shù)與正切函數(shù)的關(guān)系

(5)兩角和與差的正弦,余弦、正切公式(6)二倍角的正弦、余弦、正切公式(7)半角公式(8)降冪公式(9)輔助角公式2、正余弦定理及應(yīng)用解斜三角形時可用的定理公式余弦定理222a=b+c-2bccosA222b=a+c-2accosB222c=b+a-2bacosC正弦定理三角形面積公式適用類型(1)已知三邊(2)已知兩邊及其夾角備注類型(1)(2)有解時只有一解備注:1、判斷三角形解的情況的方法2、正余弦定理的作用“不等式”小結(jié)復(fù)習(xí)1、不等式解法(1)一元二次不等式解法(圖像法):(2)絕對值不等式解法:(3)分式不等式解法:

(4)高次不等式的解法(穿線法):(5)含參不等式的解法(分類討論):2、重要不等式:

22

如果a、b∈R,那么a+b≥2ab(當且僅當a=b時取“=”號)

3、基本不等式:

代數(shù)意義:幾何意義:數(shù)列意義:

4、四個平均數(shù)大小關(guān)系:5、利用基本不等式求最值:

x、y都是正數(shù)時

(1)若x+y=s(和為定值),則當_______________時,積__________________.(2)若xy=p(積為定值),則當_______________時,和__________________.(3)利用基本不等式求最值時必須滿足三個條件:一正二定三相等【典型題】導(dǎo)學(xué)稿第31期,認真領(lǐng)會5、圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題的基本步驟:【關(guān)鍵】體會(1)平行直線系中縱截距與目標函數(shù)的關(guān)系;(2)uyb的幾何意義:;xa22(3)w(xa)(yb)的幾何意義:。數(shù)列復(fù)習(xí)與小結(jié)

一、方法總結(jié)

1.數(shù)列是特殊的函數(shù),有些題目可結(jié)合函數(shù)知識去解決,體現(xiàn)了函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合的思想.

2.等差、等比數(shù)列中,a1、an、n、d(q)、Sn“知三求二”,體現(xiàn)了方程(組)的思想、整體思想,有時用到換元法.

3.求等比數(shù)列的前n項和時要考慮公比是否等于1,公比是字母時要進行討論,體現(xiàn)了分類討論的思想.

4.數(shù)列求和的基本方法有:公式法,倒序相加法,錯位相減法,裂項法,累加法,等價轉(zhuǎn)化等.

二、等差數(shù)列1相關(guān)公式:

(1)定義:an1and(n1,d為常數(shù))

(2)通項公式:①ana1(n1)d【推導(dǎo)方法】②

(2)前n項和公式:

①Snn(a1an)n(n1)d【推導(dǎo)方法】②Snna1222.等差數(shù)列{an}的一些性質(zhì)

(1)對于任意正整數(shù)n,都有an1ana2a1(2)對于任意的整數(shù)p,q,r,s,如果pqrs,那么apaqaras(3)對于任意的正整數(shù)n>1,有2anan1an1(4)等差中項:

(5)等距和性:Sn是等差數(shù)列an的前n項和,則Sk,S2kSk,S3kS2k仍成等差數(shù)列,即S3m3(S2mSm)(6)對于任意的非零實數(shù)b,數(shù)列{ban}是等差數(shù)列,則{an}是等差數(shù)列(7)已知{bn}是等差數(shù)列,則{anbn}也是等差數(shù)列(8){a2n},{a2n1},{a3n},{a3n1},{a3n2}等都是等差數(shù)列3.等差數(shù)列的判定方法:

(1)定義法:(2)等差中項法:

(3)通項公式法:(4)前n項和法:三、等比數(shù)列1相關(guān)公式:

(1)定義:

an1q(n1,q0)an(2)通項公式:①ana1qn1【推導(dǎo)方法】

②anamqnmq1na1(3)前n項和公式:Sna1(1qn)q11q2.等比數(shù)列{an}的一些性質(zhì)(1)對于任意的正整數(shù)n,均有

an1a2ana1(2)對于任意的正整數(shù)p,q,r,s,如果pqrs,則apaqaras(3)對于任意的正整數(shù)n>1,有anan1an1(4)等比中項:(5)等距和性:Sn是等比數(shù)列an的前n項和,

①當q=-1且k為偶數(shù)時,Sk,S2kSk,S3kS2k不是等比數(shù)列.②當q≠-1或k為奇數(shù)時,Sk,S2kSk,S3kS2k仍成等比數(shù)列2(6)對于任意的非零實數(shù)b,{ban}也是等比數(shù)列(7)已知{bn}是等比數(shù)列,則{anbn}也是等比數(shù)列(8)如果an0,則{logaan}是等差數(shù)列(9)數(shù)列{logaan}是等差數(shù)列,則{an}是等比數(shù)列(10){a2n},{a2n1},{a3n},{a3n1},{a3n2}等都是等比數(shù)列3.等比數(shù)列的判定方法:

(1)定義法:(2)等差中項法:

(3)通項公式法:(4)前n項和法:

四、常見數(shù)列求和方法(1)公式法:(2)分組求和法:(3)裂項相消法:①

111

n(n1)nn1②

(4)錯位相減法

擴展閱讀:高中數(shù)學(xué)必修5知識點總結(jié)(精品)

必修5知識點總結(jié)

1、正弦定理:在C中,a、b、c分別為角、、C的對邊,R為C的外接圓的半徑,則有

asinbsincsinC2R.

2、正弦定理的變形公式:①a2Rsin,b2Rsin,c2RsinC;②sin④

a2R,sinb2R,sinCabsinc2R;③a:b:csin:sin:sinC;

csinCabcsinsinsinCsin.

(正弦定理主要用來解決兩類問題:1、已知兩邊和其中一邊所對的角,求其余的量。2、已知兩角和一邊,求其余的量。)

⑤對于已知兩邊和其中一邊所對的角的題型要注意解的情況。(一解、兩解、無解三中情況)如:在三角形ABC中,已知a、b、A(A為銳角)求B。具體的做法是:數(shù)形結(jié)合思想畫出圖:法一:把a擾著C點旋轉(zhuǎn),看所得軌跡以AD有無交點:當無交點則B無解、當有一個交點則B有一解、當有兩個交點則B有兩個解。法二:是算出CD=bsinA,看a的情況:當a但不能到達,在岸邊選取相距3千米的C、D兩點,并測得∠ACB=75O,∠BCD=45O,∠ADC=30O,

∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面內(nèi)),求兩目標A、B之間的距離。本題解答過程略

附:三角形的五個“心”;重心:三角形三條中線交點.

外心:三角形三邊垂直平分線相交于一點.內(nèi)心:三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點.垂心:三角形三邊上的高相交于一點.7、數(shù)列:按照一定順序排列著的一列數(shù).8、數(shù)列的項:數(shù)列中的每一個數(shù).9、有窮數(shù)列:項數(shù)有限的數(shù)列.10、無窮數(shù)列:項數(shù)無限的數(shù)列.

11、遞增數(shù)列:從第2項起,每一項都不小于它的前一項的數(shù)列(即:an+1>an).12、遞減數(shù)列:從第2項起,每一項都不大于它的前一項的數(shù)列(即:an+1④nana1d1;⑤danamnm.

21、若an是等差數(shù)列,且mnpq(m、n、p、q*),則amanapaq;若an是等差數(shù)列,且2npq(n、p、q*),則2anapaq.22、等差數(shù)列的前n項和的公式:①Snna1an2;②Snna1nn12d.③

sna1a2an

23、等差數(shù)列的前n項和的性質(zhì):①若項數(shù)為2nn*,則S2nnanan1,且S偶S奇nd,

S奇S偶anan1.

S奇S偶nn1②若項數(shù)為2n1n*,則S2n12n1an,且S奇S偶an,S偶n1an).

(其中S奇nan,

24、如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù),則這個數(shù)列稱為等比數(shù)列,這個常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比.符號表示:

an1anq(注:①等比數(shù)列中不會出現(xiàn)值為0的項;②同號位上

的值同號)

注:看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法:

2①anan1q(n2,q為常數(shù),且0)②anan1an1(n2,anan1an10)

③ancqn(c,q為非零常數(shù)).

④正數(shù)列{an}成等比的充要條件是數(shù)列{logxan}(x1)成等比數(shù)列.

25、在a與b中間插入一個數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,則G稱為a與b的等比中項.若Gab,

22則稱G為a與b的等比中項.(注:由Gab不能得出a,G,b成等比,由a,G,bGab)

2n126、若等比數(shù)列an的首項是a1,公比是q,則ana1q.

27、通項公式的變形:①anamqnm;②a1anqn1;③qn1ana1;④qnmanam.

*28、若an是等比數(shù)列,且mnpq(m、n、p、q),則amanapaq;若an是等比

數(shù)列,且2npq(n、p、q*),則anapaq.

na1q129、等比數(shù)列an的前n項和的公式:①Sna1qnaaq.②sn1n1q11q1q2a1a2an

30、對任意的數(shù)列{an}的前n項和Sn與通項an的關(guān)系:ans1a1(n1)snsn1(n2)

[注]:①ana1n1dnda1d(d可為零也可不為零→為等差數(shù)列充要條件(即常數(shù)列也是等差數(shù)列)→若d不為0,則是等差數(shù)列充分條件).②等差{an}前n項和Sndddd22AnBnna1n→

222可以為零也可不為零→為等差的充要條件→若

為零,則是等差數(shù)列的充分條件;若d不為零,則是等差數(shù)列的充分條件.

③非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列,也可為等差數(shù)列.(不是非零,即不可能有等比數(shù)列)..附:幾種常見的數(shù)列的思想方法:⑴等差數(shù)列的前n項和為Sn,在d0時,有最大值.如何確定使Sn取最大值時的n值,有兩種方法:

d2n2一是求使an0,an10,成立的n值;二是由Sn數(shù)列通項公式、求和公式與函數(shù)對應(yīng)關(guān)系如下:數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列數(shù)列等差數(shù)列前n項和公式通項公式(a1d2)n利用二次函數(shù)的性質(zhì)求n的值.

對應(yīng)函數(shù)(時為一次函數(shù))(指數(shù)型函數(shù))對應(yīng)函數(shù)(時為二次函數(shù))等比數(shù)列(指數(shù)型函數(shù))我們用函數(shù)的觀點揭開了數(shù)列神秘的“面紗”,將數(shù)列的通項公式以及前n項和看成是關(guān)于n的函數(shù),為我們解決數(shù)列有關(guān)問題提供了非常有益的啟示。例題:1、等差數(shù)列分析:因為

中,,則.

是等差數(shù)列,所以是關(guān)于n的一次函數(shù),

一次函數(shù)圖像是一條直線,則(n,m),(m,n),(m+n,)三點共線,

所以利用每兩點形成直線斜率相等,即,得=0(圖像如上),這里利用等差數(shù)

列通項公式與一次函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系,并結(jié)合圖像,直觀、簡潔。例題:2、等差數(shù)列

中,

,前n項和為

,若

,n為何值時

最大?

分析:等差數(shù)列前n項和可以看成關(guān)于n的二次函數(shù)=,

是拋物線=上的離散點,根據(jù)題意,,

則因為欲求最大。

最大值,故其對應(yīng)二次函數(shù)圖像開口向下,并且對稱軸為,即當時,

例題:3遞增數(shù)列,對任意正整數(shù)n,

遞增得到:

恒成立,設(shè)

恒成立,求

恒成立,即,則只需求出。

,因為是遞的最大值即

分析:構(gòu)造一次函數(shù),由數(shù)列恒成立,所以可,顯然

有最大值

對一切

對于一切

,所以看成函數(shù)

的取值范圍是:

構(gòu)造二次函數(shù),,它的定義域是

增數(shù)列,即函數(shù)為遞增函數(shù),單調(diào)增區(qū)間為,拋物線對稱軸,因為函數(shù)f(x)

為離散函數(shù),要函數(shù)單調(diào)遞增,就看動軸與已知區(qū)間的位置。從對應(yīng)圖像上看,對稱軸的左側(cè)

也可以(如圖),因為此時B點比A點高。于是,

,得

⑵如果數(shù)列可以看作是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應(yīng)項乘積,求此數(shù)列前n項和可依照等比數(shù)列前

n項和的推倒導(dǎo)方法:錯位相減求和.例如:112,314,...(2n1)12n,...

⑶兩個等差數(shù)列的相同項亦組成一個新的等差數(shù)列,此等差數(shù)列的首項就是原兩個數(shù)列的第一個相同項,

公差是兩個數(shù)列公差d1,d2的最小公倍數(shù).

2.判斷和證明數(shù)列是等差(等比)數(shù)列常有三種方法:(1)定義法:對于n≥2的任意自然數(shù),驗證anan1(anan1)為同一常數(shù)。(2)通項公式法。(3)中項公式法:驗證

2an1anan2(an1anan2)nN都成立。

2am03.在等差數(shù)列{an}中,有關(guān)Sn的最值問題:(1)當a1>0,d把①式兩邊同乘2后得

2sn=122232n2234n1②

用①-②,即:

123nsn=122232n2①

2sn=122232n2234n1②

sn12222n22(12)12n1n23nn1n2n1

22n2n1n1(1n)22∴sn(n1)2n12

4.倒序相加法:類似于等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法.5.常用結(jié)論1):1+2+3+...+n=

n(n1)2212)1+3+5+...+(2n-1)=n3)12nn(n1)2223334)123n22216n(n1)(2n1)5)

1n(n1)1n1n1

1n(n2)1pq111()2nn21qp1p1q6)()(pq)

31、ab0ab;ab0ab;ab0ab.

32、不等式的性質(zhì):①abba;②ab,bcac;③abacbc;④ab,c0acbc,ab,c0acbc;⑤ab,cdacbd;

nd0acabdb0a⑥;⑦

⑧ab0

nnbn,n1;

anbn,n1.

33、一元二次不等式:只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式.34、含絕對值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式(高次不等式)的解法

穿根法(零點分段法)求解不等式:a0xa1xnn1a2xn2an0(0)(a00)

解法:①將不等式化為a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)>0(0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間;若不等式是“

由圖可看出不等式x23x26x80的解集為:

x|2x1,或x4

(x1)(x2)(x5)(x6)(x4)0的解集。

例題:求解不等式

解:略

一元二次不等式的求解:

特例①一元一次不等式ax>b解的討論;

②一元二次不等式ax+bx+c>0(a>0)解的討論.

二次函數(shù)yax22

000bxc有兩相異實根x1,x2(x1x2)(a0)的圖象一元二次方程ax2有兩相等實根x1x2b2abxc0a0的根2無實根Raxbxc0(a0)的解集axbxc0(a0)的解集2xxx或xx12bxx2axx1xx2對于a0(或

f(x)g(x)(2)轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)

1xf(x)g(x)0f(x)g(x)0;f(x)g(x)00g(x)0g(x)

f(x)例題:求解不等式:解:略例題:求不等式

xx11

1的解集。

3.含絕對值不等式的解法:基本形式:

①型如:|x|<a(a>0)的不等式的解集為:x|axa②型如:|x|>a(a>0)的不等式的解集為:x|xa,或xa變型:

其中-c3x23x23x2(x2)(x3)10xR③當x2時,(去絕對值符號)原不等式化為:x2x292x9(x2)(x3)102x2由①②③得原不等式的解集為:x|112x9(注:是把①②③的解集并在一起)2y函數(shù)圖像法:

令f(x)|x2||x3|

2x1(x3)則有:f(x)5(3x2)

2x1(x2)f(x)=1051123o292x在直角坐標系中作出此分段函數(shù)及f(x)10的圖像如圖11292由圖像可知原不等式的解集為:x|x4.一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的實根的分布常借助二次函數(shù)圖像來分析:y設(shè)ax2+bx+c=0的兩根為、,f(x)=ax2+bx+c,那么:0①若兩根都大于0,即0,0,則有0

0o對稱軸x=b2ax

0b0②若兩根都小于0,即0,0,則有2af(0)0y

11

對稱軸x=b2aox

③若兩根有一根小于0一根大于0,即0,則有f(0)0

④若兩根在兩實數(shù)m,n之間,即mn,

0bnm則有2af(m)0of(n)0yoxymX=b2anx⑤若兩個根在三個實數(shù)之間,即mtn,

yf(m)0則有f(t)0

f(n)0

常由根的分布情況來求解出現(xiàn)在a、b、c位置上的參數(shù)

例如:若方程x2(m1)xm2m30有兩個正實數(shù)根,求m的取值范圍。

4(m1)24(m22m3)00m1m1m3解:由①型得02(m1)00m1,或m32m2m3022omX=tb2anx所以方程有兩個正實數(shù)根時,m3。

又如:方程xxm10的一根大于1,另一根小于1,求m的范圍。

55220m(1)4(m1)02解:因為有兩個不同的根,所以由21m122f(1)011m101m12235、二元一次不等式:含有兩個未知數(shù),并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式.

36、二元一次不等式組:由幾個二元一次不等式組成的不等式組.

37、二元一次不等式(組)的解集:滿足二元一次不等式組的x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對x,y,所有這樣的有序數(shù)對x,y構(gòu)成的集合.

38、在平面直角坐標系中,已知直線xyC0,坐標平面內(nèi)的點x0,y0.①若0,x0y0C0,則點x0,y0在直線xyC0的上方.②若0,x0y0C0,則點x0,y0在直線xyC0的下方.39、在平面直角坐標系中,已知直線xyC0.(一)由B確定:

①若0,則xyC0表示直線xyC0上方的區(qū)域;xyC0表示直線

xyC0下方的區(qū)域.

②若0,則xyC0表示直線xyC0下方的區(qū)域;xyC0表示直線

xyC0上方的區(qū)域.

(二)由A的符號來確定:

先把x的系數(shù)A化為正后,看不等號方向:

①若是“>”號,則xyC0所表示的區(qū)域為直線l:xyC0的右邊部分。②若是“線性規(guī)劃問題:求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題.可行解:滿足線性約束條件的解x,y.可行域:所有可行解組成的集合.

最優(yōu)解:使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解.41、設(shè)a、b是兩個正數(shù),則

ab2稱為正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù),ab稱為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù).

ab2ab.

42、均值不等式定理:若a0,b0,則ab2ab,即

43、常用的基本不等式:①ab2aba,bR;②ab222ab222a,bR;③

abab2a0,b0;

2④

ab222ab2a,bR.

44、極值定理:設(shè)x、y都為正數(shù),則有:

⑴若xys(和為定值),則當xy時,積xy取得最大值

s42.⑵若xyp(積為定值),則當xy時,和xy取得最小值2例題:已知x解:∵x5454p.

14x5,求函數(shù)f(x)4x2的最大值。

,∴4x50

由原式可以化為:

f(x)4x55214x5(54x)154x3[(54x)154x]3(54x)154x3132

當54x154x2,即(54x)1x1,或x32(舍去)時取到“=”號

也就是說當x1時有f(x)max2

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