人教版數(shù)學(xué)必修五知識點總結(jié)

新人教A版數(shù)學(xué)必修五知識要點總結(jié)

第一章解三角形

1、內(nèi)角和定理：（1）三角形三角和為，任意兩角和與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余．（2）銳角三角形三內(nèi)角都是銳角三內(nèi)角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方．

2、正弦定理：

abc2R（R為三角形外接圓的半徑）．

sinAsinBsinC(1)a:b:csinA:sinB:sinC;(2)a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC（3）解三角形：已知三角形的幾個元素求另外幾個元素的過程。

可求其它邊和角已知兩角和任意一邊，，可求其它元素已知兩邊和一邊的對角注意：已知兩邊一對角，求解三角形，若用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩解．

b2c2a2cosA2bca2b2c22bccosA222acb2223、余弦定理：（求邊）bac2accosB或（求角）cosB2acc2a2b22abcosC222cosCabc2ab已知兩邊一角求第三邊．已知三邊求所有三個角（注:常用余弦定理鑒定三角形的類型）已知兩邊和一邊對角，求其它12absinC1abc14、三角形面積公式：SahabcsinA．

224R1acsinB25、解三角形應(yīng)用

（1）在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角；視線在水平線下方的角叫俯角。

（2）從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向的水平角叫方位角。（3）坡面與水平面所成的二面角度數(shù)的正切值叫做坡度。（4）解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：

分析→建模→求解→檢驗新人教A版數(shù)學(xué)必修五知識要點總結(jié)

第二章數(shù)列

1．數(shù)列的通項、數(shù)列的項數(shù)，遞推公式與遞推數(shù)列，數(shù)列的通項與數(shù)列的前n項和公式的關(guān)系：an,(n1)SSS,(n2)1nn1（必要時請分類討論）．

注意：an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1；an2．等差數(shù)列{an}中：

（1）等差數(shù)列公差的取值與等差數(shù)列的單調(diào)性．

anan1a2a1．

an1an2a1d0數(shù)列單調(diào)遞增，可知d的取值為dR.d0數(shù)列為常數(shù)列d0數(shù)列單調(diào)遞減（2）ana1(n1)dam(nm)d；pqmnapaqaman．（3）1an2bn、{kan}也成等差數(shù)列．

（4）在等差數(shù)列{an}中，若amn,anm(mn),則amn0.（5）a1a2am,akak1akm1,仍成等差數(shù)列．（6）Snn(a1an)n(n1)ddSd，Snn2(a1)n，an2n1，，Snna1。

2n12222amS2m1.bmT2m1an（7）若Sn,Tn分別為等差數(shù)列,bn的前項和，則兩數(shù)列第m項之比（8）若an為等差數(shù)列，則其前m項和、中間m項和、后m項和Sm,S2mSm,S3mS2m成等差數(shù)列。

（9）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項和的最大值是所有非負項之和；

“首負”的遞增等差數(shù)列中，前n項和的最小值是所有非正項之和；

（10）兩數(shù)的等差中項惟一存在．在遇到三數(shù)或四數(shù)成等差數(shù)列時，�？紤]選用“中項關(guān)系”轉(zhuǎn)化求解．

（11）判定數(shù)列是否是等差數(shù)列的主要方法有：定義法、中項法、通項法、和式法、圖像法（也就是說數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件主要有這五種形式）．新人教A版數(shù)學(xué)必修五知識要點總結(jié)

3．等比數(shù)列{an}中：

（1）等比數(shù)列的符號特征（全正或全負或一正一負），等比數(shù)列的首項、公比與等比數(shù)列的單調(diào)性．

（2）ana1qn1amqnm；pqmnbpbqbmbn．（3）{an}、{bn}成等比數(shù)列{|an|}、an,aa1、，{ka}abb2nnnn成等比數(shù)列．nn（4）a1a2am,akak1akm1,成等比數(shù)列．

na1(q1)na1(q1)a1n（5）Sna1anqa1(1qn)．a(chǎn)1q(q1)(q1)1q1q1q1q特別：anbn(ab)(an1an2ban3b2abn2bn1)．

（6）若an為等比數(shù)列，則其前m項和、中間m項和、后m項和Sm,S2mSm,S3mS2m成等比數(shù)列。

（7）“首大于1”的正值遞減等比數(shù)列中，前n項積的最大值是所有大于或等于1的項的積；“首小于1”的正值遞增等比數(shù)列中，前n項積的最小值是所有小于或等于1的項的積；

（8）有限等比數(shù)列中，若總項數(shù)為偶數(shù)，則“偶數(shù)項和”＝“奇數(shù)項和”與“公比”的積；若總項數(shù)為奇數(shù)，則“奇數(shù)項和”＝“首項”加上“公比”與“偶數(shù)項和”積的和．

（9）等比中項要么不存在，要么僅當實數(shù)a,b同號時存在，且必有一對Gab．（10）判定是否是等比數(shù)列的方法：定義法、中項法、通項法、和式法。4．等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系

（1）如果數(shù)列{an}成等差數(shù)列，那么數(shù)列{An}（An總有意義）必成等比數(shù)列．（2）如果數(shù)列{an}成等比數(shù)列，那么數(shù)列{loga|an|}(a0,a1)必成等差數(shù)列．（3）如果數(shù)列{an}既成等差又成等比，那么數(shù)列{an}是非零常數(shù)數(shù)列；但反之不成立。（4）如果兩等差數(shù)列有公共項，那么由他們的公共項順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，5．數(shù)列求和的常用方法：

（1）公式法：①等差數(shù)列求和公式（三種形式），

②等比數(shù)列求和公式（三種形式），

aa新人教A版數(shù)學(xué)必修五知識要點總結(jié)

2222③123n1n(n1)，123n1n(n1)(2n1)，

26135(2n1)n2，135(2n1)(n1)2．

（2）分組求和法：常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和．（3）倒序相加法；（4）錯位相減法；（5）裂項相消法：①

1111，②1(11)，

n(n1)nn1n(nk)knnk特別聲明：運用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查公比與1的關(guān)系，必要時分類討論．

三、不等式

1．（1）求不等式的解集，務(wù)必用集合的形式表示；不等式解集的端點值往往是不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點值．

（2）解分式不等式fxaa0（移項通分，等價為分子分母相乘大于或小于0）；gx（3）含有兩個絕對值的不等式（一般是根據(jù)定義分類討論、平方轉(zhuǎn)化或換元轉(zhuǎn)化）；（4）解含參不等式常分類等價轉(zhuǎn)化，必要時需分類討論．注意：按參數(shù)討論，最后按參數(shù)取值分別說明其解集，但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集．

2．利用重要不等式ab2ab以及變式ab(ab)等求函數(shù)的最值時，務(wù)必注意a，

22bR，且“等號成立”時的條件是積ab或和a＋b其中之一應(yīng)是定值（一正二定三相等）．

22ababab2（根據(jù)目標不等式左右的運算結(jié)構(gòu)選用）3．常用不等式：2211aba、b、cR，abcabbcca（當且僅當abc時，取等號）4．比較大小的方法和證明不等式的方法主要有：差比較法、商比較法、函數(shù)性質(zhì)法、綜合法、分析法

5．含絕對值不等式的性質(zhì)：

222a、b同號或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|；a、b異號或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|．

6．不等式的恒成立問題

若不等式fxA在區(qū)間D上恒成立,則等價于在區(qū)間D上fxminA若不等式fxB在區(qū)間D上恒成立,則等價于在區(qū)間D上fxmaxB

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必修5知識點總結(jié)

1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對邊，R為C的外接圓的半徑，則有

asinbsincsinC2R．

2、正弦定理的變形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；②sin④

a2R，sinb2R，sinCabsinc2R；③a:b:csin:sin:sinC；

csinCabcsinsinsinCsin．

（正弦定理主要用來解決兩類問題：1、已知兩邊和其中一邊所對的角，求其余的量。2、已知兩角和一邊，求其余的量。）

⑤對于已知兩邊和其中一邊所對的角的題型要注意解的情況。（一解、兩解、無解三中情況）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A為銳角）求B。具體的做法是：數(shù)形結(jié)合思想畫出圖：法一：把a擾著C點旋轉(zhuǎn)，看所得軌跡以AD有無交點：當無交點則B無解、當有一個交點則B有一解、當有兩個交點則B有兩個解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情況：當a但不能到達，在岸邊選取相距3千米的C、D兩點，并測得∠ACB=75O,∠BCD=45O,∠ADC=30O,

∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面內(nèi))，求兩目標A、B之間的距離。本題解答過程略

附：三角形的五個“心”；重心：三角形三條中線交點.

外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點.內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點.垂心：三角形三邊上的高相交于一點.7、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù)．8、數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)．9、有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列．10、無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列．

11、遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數(shù)列（即：an+1>an）．12、遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數(shù)列（即：an+1④nana1d1；⑤danamnm．

21、若an是等差數(shù)列，且mnpq（m、n、p、q*），則amanapaq；若an是等差數(shù)列，且2npq（n、p、q*），則2anapaq．22、等差數(shù)列的前n項和的公式：①Snna1an2；②Snna1nn12d．③

sna1a2an

23、等差數(shù)列的前n項和的性質(zhì)：①若項數(shù)為2nn*，則S2nnanan1，且S偶S奇nd，

S奇S偶anan1．

S奇S偶nn1②若項數(shù)為2n1n*，則S2n12n1an，且S奇S偶an，S偶n1an）．

（其中S奇nan，

24、如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比．符號表示：

an1anq（注：①等比數(shù)列中不會出現(xiàn)值為0的項；②同號位上

的值同號）

注：看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：

2①anan1q(n2,q為常數(shù),且0)②anan1an1(n2，anan1an10)

③ancqn(c,q為非零常數(shù)).

④正數(shù)列{an}成等比的充要條件是數(shù)列{logxan}（x1）成等比數(shù)列.

25、在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，則G稱為a與b的等比中項．若Gab，

22則稱G為a與b的等比中項．（注：由Gab不能得出a，G，b成等比，由a，G，bGab）

2n126、若等比數(shù)列an的首項是a1，公比是q，則ana1q．

27、通項公式的變形：①anamqnm；②a1anqn1；③qn1ana1；④qnmanam．

*28、若an是等比數(shù)列，且mnpq（m、n、p、q），則amanapaq；若an是等比

數(shù)列，且2npq（n、p、q*），則anapaq．

na1q129、等比數(shù)列an的前n項和的公式：①Sna1qnaaq．②sn1n1q11q1q2a1a2an

30、對任意的數(shù)列{an}的前n項和Sn與通項an的關(guān)系：ans1a1(n1)snsn1(n2)

[注]：①ana1n1dnda1d（d可為零也可不為零→為等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)列也是等差數(shù)列）→若d不為0，則是等差數(shù)列充分條件）.②等差{an}前n項和Sndddd22AnBnna1n→

222可以為零也可不為零→為等差的充要條件→若

為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若d不為零，則是等差數(shù)列的充分條件.

③非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不可能有等比數(shù)列）．．附：幾種常見的數(shù)列的思想方法：⑴等差數(shù)列的前n項和為Sn，在d0時，有最大值.如何確定使Sn取最大值時的n值，有兩種方法：

d2n2一是求使an0,an10，成立的n值；二是由Sn數(shù)列通項公式、求和公式與函數(shù)對應(yīng)關(guān)系如下：數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列數(shù)列等差數(shù)列前n項和公式通項公式(a1d2)n利用二次函數(shù)的性質(zhì)求n的值.

對應(yīng)函數(shù)（時為一次函數(shù)）（指數(shù)型函數(shù)）對應(yīng)函數(shù)（時為二次函數(shù)）等比數(shù)列（指數(shù)型函數(shù)）我們用函數(shù)的觀點揭開了數(shù)列神秘的“面紗”，將數(shù)列的通項公式以及前n項和看成是關(guān)于n的函數(shù)，為我們解決數(shù)列有關(guān)問題提供了非常有益的啟示。例題：1、等差數(shù)列分析：因為

中，，則.

是等差數(shù)列，所以是關(guān)于n的一次函數(shù)，

一次函數(shù)圖像是一條直線，則（n,m）,(m,n),(m+n,)三點共線，

所以利用每兩點形成直線斜率相等，即，得=0（圖像如上），這里利用等差數(shù)

列通項公式與一次函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，并結(jié)合圖像，直觀、簡潔。例題：2、等差數(shù)列

中，

，前n項和為

，若

，n為何值時

最大？

分析：等差數(shù)列前n項和可以看成關(guān)于n的二次函數(shù)=，

是拋物線=上的離散點，根據(jù)題意，，

則因為欲求最大。

最大值，故其對應(yīng)二次函數(shù)圖像開口向下，并且對稱軸為，即當時，

例題：3遞增數(shù)列，對任意正整數(shù)n，

遞增得到：

恒成立，設(shè)

恒成立，求

恒成立，即，則只需求出。

，因為是遞的最大值即

分析：構(gòu)造一次函數(shù)，由數(shù)列恒成立，所以可，顯然

有最大值

對一切

對于一切

，所以看成函數(shù)

的取值范圍是：

構(gòu)造二次函數(shù)，，它的定義域是

增數(shù)列，即函數(shù)為遞增函數(shù)，單調(diào)增區(qū)間為,拋物線對稱軸，因為函數(shù)f(x)

為離散函數(shù)，要函數(shù)單調(diào)遞增，就看動軸與已知區(qū)間的位置。從對應(yīng)圖像上看，對稱軸的左側(cè)

在

也可以（如圖），因為此時B點比A點高。于是，

，得

⑵如果數(shù)列可以看作是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應(yīng)項乘積，求此數(shù)列前n項和可依照等比數(shù)列前

n項和的推倒導(dǎo)方法：錯位相減求和.例如：112,314,...(2n1)12n,...

⑶兩個等差數(shù)列的相同項亦組成一個新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項就是原兩個數(shù)列的第一個相同項，

公差是兩個數(shù)列公差d1，d2的最小公倍數(shù).

2.判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：(1)定義法:對于n≥2的任意自然數(shù),驗證anan1(anan1)為同一常數(shù)。(2)通項公式法。(3)中項公式法:驗證

2an1anan2(an1anan2)nN都成立。

2am03.在等差數(shù)列｛an｝中,有關(guān)Sn的最值問題：(1)當a1>0,d把①式兩邊同乘2后得

2sn=122232n2234n1②

用①-②，即：

123nsn=122232n2①

2sn=122232n2234n1②

得

sn12222n22(12)12n1n23nn1n2n1

22n2n1n1(1n)22∴sn(n1)2n12

4.倒序相加法:類似于等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法.5.常用結(jié)論1）:1+2+3+...+n=

n(n1)2212）1+3+5+...+(2n-1)=n3）12nn(n1)2223334）123n22216n(n1)(2n1)5）

1n(n1)1n1n1

1n(n2)1pq111()2nn21qp1p1q6）()(pq)

31、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

32、不等式的性質(zhì)：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；

nd0acabdb0a⑥；⑦

⑧ab0

nnbn,n1；

anbn,n1．

33、一元二次不等式：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式．34、含絕對值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式（高次不等式）的解法

穿根法（零點分段法）求解不等式：a0xa1xnn1a2xn2an0(0)(a00)

解法：①將不等式化為a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)>0(0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“

由圖可看出不等式x23x26x80的解集為：

x|2x1,或x4

(x1)(x2)(x5)(x6)(x4)0的解集。

例題：求解不等式

解：略

一元二次不等式的求解：

特例①一元一次不等式ax>b解的討論；

②一元二次不等式ax+bx+c>0(a>0)解的討論.

二次函數(shù)yax22

000bxc有兩相異實根x1,x2(x1x2)（a0）的圖象一元二次方程ax2有兩相等實根x1x2b2abxc0a0的根2無實根Raxbxc0(a0)的解集axbxc0(a0)的解集2xxx或xx12bxx2axx1xx2對于a0(或

f(x)g(x)（2）轉(zhuǎn)化為整式不等式（組）

1xf(x)g(x)0f(x)g(x)0;f(x)g(x)00g(x)0g(x)

f(x)例題：求解不等式：解：略例題：求不等式

xx11

1的解集。

3.含絕對值不等式的解法：基本形式：

①型如：|x|＜a(a＞0)的不等式的解集為：x|axa②型如：|x|＞a(a＞0)的不等式的解集為：x|xa,或xa變型：

其中-c3x23x23x2(x2)(x3)10xR③當x2時，（去絕對值符號）原不等式化為：x2x292x9(x2)(x3)102x2由①②③得原不等式的解集為：x|112x9（注：是把①②③的解集并在一起）2y函數(shù)圖像法：

令f(x)|x2||x3|

2x1(x3)則有：f(x)5(3x2)

2x1(x2)f(x)=1051123o292x在直角坐標系中作出此分段函數(shù)及f(x)10的圖像如圖11292由圖像可知原不等式的解集為：x|x4.一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的實根的分布常借助二次函數(shù)圖像來分析：y設(shè)ax2+bx+c=0的兩根為、，f(x)=ax2+bx+c,那么：0①若兩根都大于0，即0,0，則有0

0o對稱軸x=b2ax

0b0②若兩根都小于0，即0,0，則有2af(0)0y

11

對稱軸x=b2aox

③若兩根有一根小于0一根大于0，即0，則有f(0)0

④若兩根在兩實數(shù)m,n之間，即mn，

0bnm則有2af(m)0of(n)0yoxymX=b2anx⑤若兩個根在三個實數(shù)之間，即mtn，

yf(m)0則有f(t)0

f(n)0

常由根的分布情況來求解出現(xiàn)在a、b、c位置上的參數(shù)

例如：若方程x2(m1)xm2m30有兩個正實數(shù)根，求m的取值范圍。

4(m1)24(m22m3)00m1m1m3解：由①型得02(m1)00m1,或m32m2m3022omX=tb2anx所以方程有兩個正實數(shù)根時，m3。

又如：方程xxm10的一根大于1，另一根小于1，求m的范圍。

55220m(1)4(m1)02解：因為有兩個不同的根，所以由21m122f(1)011m101m12235、二元一次不等式：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式．

36、二元一次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組．

37、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對x,y，所有這樣的有序數(shù)對x,y構(gòu)成的集合．

38、在平面直角坐標系中，已知直線xyC0，坐標平面內(nèi)的點x0,y0．①若0，x0y0C0，則點x0,y0在直線xyC0的上方．②若0，x0y0C0，則點x0,y0在直線xyC0的下方．39、在平面直角坐標系中，已知直線xyC0．（一）由B確定：

①若0，則xyC0表示直線xyC0上方的區(qū)域；xyC0表示直線

xyC0下方的區(qū)域．

②若0，則xyC0表示直線xyC0下方的區(qū)域；xyC0表示直線

xyC0上方的區(qū)域．

（二）由A的符號來確定：

先把x的系數(shù)A化為正后，看不等號方向：

①若是“>”號，則xyC0所表示的區(qū)域為直線l:xyC0的右邊部分。②若是“線性規(guī)劃問題：求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題．可行解：滿足線性約束條件的解x,y．可行域：所有可行解組成的集合．

最優(yōu)解：使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解．41、設(shè)a、b是兩個正數(shù)，則

ab2稱為正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，ab稱為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)．

ab2ab．

42、均值不等式定理：若a0，b0，則ab2ab，即

43、常用的基本不等式：①ab2aba,bR；②ab222ab222a,bR；③

abab2a0,b0；

2④

ab222ab2a,bR．

44、極值定理：設(shè)x、y都為正數(shù)，則有：

⑴若xys（和為定值），則當xy時，積xy取得最大值

s42．⑵若xyp（積為定值），則當xy時，和xy取得最小值2例題：已知x解：∵x5454p．

14x5，求函數(shù)f(x)4x2的最大值。

，∴4x50

由原式可以化為：

f(x)4x55214x5(54x)154x3[(54x)154x]3(54x)154x3132

當54x154x2，即(54x)1x1，或x32(舍去）時取到“=”號

也就是說當x1時有f(x)max2

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