高一數(shù)學(xué)必修二總結(jié)
高中數(shù)學(xué)必修二復(fù)習(xí)基本概念
公理1:如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線(xiàn)上的所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。公理2:如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線(xiàn)。公理3:過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn),有且只有一個(gè)平面。推論1:經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)和這條直線(xiàn)外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面。推論2:經(jīng)過(guò)兩條相交直線(xiàn),有且只有一個(gè)平面。推論3:經(jīng)過(guò)兩條平行直線(xiàn),有且只有一個(gè)平面。公理4:平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行。
等角定理:如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同,那么這兩個(gè)角相等。
空間兩直線(xiàn)的位置關(guān)系:
空間兩條直線(xiàn)只有三種位置關(guān)系:平行、相交、異面1、按是否共面可分為兩類(lèi):(1)共面:平行、相交(2)異面:
異面直線(xiàn)的定義:不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)或既不平行也不相交。
異面直線(xiàn)判定定理:用平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線(xiàn),與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)。
兩異面直線(xiàn)所成的角:范圍為(0°,90°)esp.空間向量法兩異面直線(xiàn)間距離:公垂線(xiàn)段(有且只有一條)esp.空間向量法2、若從有無(wú)公共點(diǎn)的角度看可分為兩類(lèi):
(1)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)相交直線(xiàn);(2)沒(méi)有公共點(diǎn)平行或異面
直線(xiàn)和平面的位置關(guān)系:
直線(xiàn)和平面只有三種位置關(guān)系:在平面內(nèi)、與平面相交、與平面平行①直線(xiàn)在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)②直線(xiàn)和平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)
直線(xiàn)與平面所成的角:平面的一條斜線(xiàn)和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角。esp.空間向量法(找平面的法向量)
規(guī)定:a、直線(xiàn)與平面垂直時(shí),所成的角為直角,b、直線(xiàn)與平面平行或在平面內(nèi),所成的角為0°角
由此得直線(xiàn)和平面所成角的取值范圍為[0°,90°]
最小角定理:斜線(xiàn)與平面所成的角是斜線(xiàn)與該平面內(nèi)任一條直線(xiàn)所成角中的最小角三垂線(xiàn)定理及逆定理:如果平面內(nèi)的一條直線(xiàn),與這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)的射影垂直,那么它也與這條斜線(xiàn)垂直esp.直線(xiàn)和平面垂直
直線(xiàn)和平面垂直的定義:如果一條直線(xiàn)a和一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都垂直,我們就說(shuō)直線(xiàn)a和平面互相垂直.直線(xiàn)a叫做平面的垂線(xiàn),平面叫做直線(xiàn)a的垂面。直線(xiàn)與平面垂直的判定定理:如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直,那么這條直線(xiàn)垂直于這個(gè)平面。
直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩條直線(xiàn)同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直線(xiàn)平行。③直線(xiàn)和平面平行沒(méi)有公共點(diǎn)
直線(xiàn)和平面平行的定義:如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn),那么我們就說(shuō)這條直線(xiàn)和這個(gè)平面平行。
直線(xiàn)和平面平行的判定定理:如果平面外一條直線(xiàn)和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行,那么這條直線(xiàn)和這個(gè)平面平行。
直線(xiàn)和平面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行,經(jīng)過(guò)這條直線(xiàn)的平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線(xiàn)和交線(xiàn)平行。
兩個(gè)平面的位置關(guān)系:
(1)兩個(gè)平面互相平行的定義:空間兩平面沒(méi)有公共點(diǎn)(2)兩個(gè)平面的位置關(guān)系:
兩個(gè)平面平行-----沒(méi)有公共點(diǎn);兩個(gè)平面相交-----有一條公共直線(xiàn)。a、平行
兩個(gè)平面平行的判定定理:如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行。
兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交,那么交線(xiàn)平行。b、相交二面角
(1)半平面:平面內(nèi)的一條直線(xiàn)把這個(gè)平面分成兩個(gè)部分,其中每一個(gè)部分叫做半平面。(2)二面角:從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值范圍為[0°,180°]
(3)二面角的棱:這一條直線(xiàn)叫做二面角的棱。(4)二面角的面:這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。
(5)二面角的平面角:以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn),在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線(xiàn),這兩條射線(xiàn)所成的角叫做二面角的平面角。(6)直二面角:平面角是直角的二面角叫做直二面角。esp.兩平面垂直
兩平面垂直的定義:兩平面相交,如果所成的角是直二面角,就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直。記為⊥
兩平面垂直的判定定理:如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn),那么這兩個(gè)平面互相垂直
兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平面互相垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面。Attention:
二面角求法:直接法(作出平面角)、三垂線(xiàn)定理及逆定理、面積射影定理、空間向量之法向量法(注意求出的角與所需要求的角之間的等補(bǔ)關(guān)系)多面體棱柱
棱柱的定義:有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形,并且每?jī)蓚(gè)四邊形的公共邊都互相平行,這些面圍成的幾何體叫做棱柱。棱柱的性質(zhì)
(1)側(cè)棱都相等,側(cè)面是平行四邊形
(2)兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形(3)過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面(對(duì)角面)是平行四邊形棱錐
棱錐的定義:有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,這些面圍成的幾何體叫做棱錐棱錐的性質(zhì):
(1)側(cè)棱交于一點(diǎn)。側(cè)面都是三角形
(2)平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠(yuǎn)棱錐高的比的平方正棱錐
正棱錐的定義:如果一個(gè)棱錐底面是正多邊形,并且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面的中心,這樣的棱錐叫做正棱錐。正棱錐的性質(zhì):
(1)各側(cè)棱交于一點(diǎn)且相等,各側(cè)面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等,它叫做正棱錐的斜高。(3)多個(gè)特殊的直角三角形esp:
a、相鄰兩側(cè)棱互相垂直的正三棱錐,由三垂線(xiàn)定理可得頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的垂心。
b、四面體中有三對(duì)異面直線(xiàn),若有兩對(duì)互相垂直,則可得第三對(duì)也互相垂直。且頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的垂心。
直線(xiàn)與方程
(1)直線(xiàn)的傾斜角
定義:x軸正向與直線(xiàn)向上方向之間所成的角叫直線(xiàn)的傾斜角。特別地,當(dāng)直線(xiàn)與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此,傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°
(2)直線(xiàn)的斜率
①定義:傾斜角不是90°的直線(xiàn),它的傾斜角的正切叫做這條直線(xiàn)的斜率。直線(xiàn)的斜率常用k表示。即ktan。斜率反映直線(xiàn)與軸的傾斜程度。
當(dāng)90,180時(shí),k0;
當(dāng)0,90時(shí),k0;
當(dāng)90時(shí),k不存在。
②過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率公式:ky2y1(x1x2)
x2x1注意下面四點(diǎn):
(1)當(dāng)x1x2時(shí),公式右邊無(wú)意義,直線(xiàn)的斜率不存在,傾斜角為90°;(2)k與P1、P2的順序無(wú)關(guān);
(3)以后求斜率可不通過(guò)傾斜角而由直線(xiàn)上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得;(4)求直線(xiàn)的傾斜角可由直線(xiàn)上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。
(3)直線(xiàn)方程
①點(diǎn)斜式:yy1k(xx1)直線(xiàn)斜率k,且過(guò)點(diǎn)x1,y1注意:當(dāng)直線(xiàn)的斜率為0°時(shí),k=0,直線(xiàn)的方程是y=y1。
當(dāng)直線(xiàn)的斜率為90°時(shí),直線(xiàn)的斜率不存在,它的方程不能用點(diǎn)斜式表示.但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1,所以它的方程是x=x1。
②斜截式:ykxb,直線(xiàn)斜率為k,直線(xiàn)在y軸上的截距為b③兩點(diǎn)式:④截矩式:
yy1xx1(x1x2,y1y2)直線(xiàn)兩點(diǎn)x1,y1,x2,y2
y2y1x2x1xy1ab其中直線(xiàn)l與x軸交于點(diǎn)(a,0),與y軸交于點(diǎn)(0,b),即l與x軸、y軸的截距分別為a,b。
⑤一般式:AxByC0(A,B不全為0)
1各式的適用范圍注意:○
2特殊的方程如:平行于x軸的直線(xiàn):yb(b為常數(shù))○;
平行于y軸的直線(xiàn):xa(a為常數(shù));
(4)直線(xiàn)系方程:即具有某一共同性質(zhì)的直線(xiàn)(一)平行直線(xiàn)系
平行于已知直線(xiàn)A0xB0yC00(A0,B0是不全為0的常數(shù))的直線(xiàn)系:
A0xB0yC0(C為常數(shù))
(二)垂直直線(xiàn)系
垂直于已知直線(xiàn)A0xB0yC00(A0,B0是不全為0的常數(shù))的直線(xiàn)系:
B0xA0yC0(C為常數(shù))
(三)過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)系①斜率為k的直線(xiàn)系:y②過(guò)兩條直線(xiàn)l1:y0kxx0,直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)x0,y0;
l2:A2xB2yC20的交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程為A1xB1yC10,
,其中直線(xiàn)l2不在直線(xiàn)系中。A1xB1yC1A2xB2yC20(為參數(shù))
(5)兩直線(xiàn)平行與垂直
當(dāng)l1:yk1xb1,l2:yk2xb2時(shí),
l1//l2k1k2,b1b2;l1l2k1k21
注意:利用斜率判斷直線(xiàn)的平行與垂直時(shí),要注意斜率的存在與否。
(6)兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)
l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20相交
A1xB1yC10交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組的一組解。AxByC02方程組無(wú)解l1//l2;方程組有無(wú)數(shù)解l1與l2重合
(7)兩點(diǎn)間距離公式:設(shè)A(x1,y1),(是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn),Bx2,y2)則|AB|(x2x1)2(y2y1)2
(8)點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式:一點(diǎn)Px0,y0到直線(xiàn)l1:AxByC0的距離dAx0By0C
A2B2(9)兩平行直線(xiàn)距離公式
在任一直線(xiàn)上任取一點(diǎn),再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離進(jìn)行求解。
圓的方程
(1)標(biāo)準(zhǔn)方程xaybr2,圓心
22a,b,半徑為r;
22(2)一般方程x2y2DxEyF0
DE,半徑為r1D2E24F當(dāng)DE4F0時(shí),方程表示圓,此時(shí)圓心為,222當(dāng)DE4F0時(shí),表示一個(gè)點(diǎn);當(dāng)DE4F0時(shí),方程不表示任何圖形。
(3)求圓方程的方法:一般都采用待定系數(shù)法:先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件,若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F(xiàn);
另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì):如弦的中垂線(xiàn)必經(jīng)過(guò)原點(diǎn),以此來(lái)確定圓心的位置。
直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系
直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系有相離,相切,相交三種情況:
(1)設(shè)直線(xiàn)l:AxByC0,圓C:xa2yb2r2,圓心Ca,b到l的距離為
dAaBbC,則有dA2B22222rl與C相離;drl與C相切;drl與C相交
(2)過(guò)圓外一點(diǎn)的切線(xiàn):①k不存在,驗(yàn)證是否成立②k存在,設(shè)點(diǎn)斜式方程,用圓心到該直線(xiàn)距離=半徑,求解k,得到方程【一定兩解】
(3)過(guò)圓上一點(diǎn)的切線(xiàn)方程:圓(x-a)2+(y-b)2=r2,圓上一點(diǎn)為(x0,y0),則過(guò)此點(diǎn)的切線(xiàn)方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2
圓與圓的位置關(guān)系
通過(guò)兩圓半徑的和(差),與圓心距(d)之間的大小比較來(lái)確定。
2設(shè)圓C1:xa1yb12r2,C2:xa22yb22R2兩圓的位置關(guān)系常通過(guò)兩圓半徑的和(差),與圓心距(d)之間的大小比較來(lái)確定。當(dāng)dRr時(shí)兩圓外離,此時(shí)有公切線(xiàn)四條;
當(dāng)dRr時(shí)兩圓外切,連心線(xiàn)過(guò)切點(diǎn),有外公切線(xiàn)兩條,內(nèi)公切線(xiàn)一條;當(dāng)RrdRr時(shí)兩圓相交,連心線(xiàn)垂直平分公共弦,有兩條外公切線(xiàn);當(dāng)dRr時(shí),兩圓內(nèi)切,連心線(xiàn)經(jīng)過(guò)切點(diǎn),只有一條公切線(xiàn);當(dāng)dRr時(shí),兩圓內(nèi)含;當(dāng)d0時(shí),為同心圓。
注意:已知圓上兩點(diǎn),圓心必在中垂線(xiàn)上;已知兩圓相切,兩圓心與切點(diǎn)共線(xiàn)圓的輔助線(xiàn)一般為連圓心與切線(xiàn)或者連圓心與弦中點(diǎn)
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高中數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)
一、直線(xiàn)與方程
(1)直線(xiàn)的傾斜角
定義:x軸正向與直線(xiàn)向上方向之間所成的角叫直線(xiàn)的傾斜角。特別地,當(dāng)直線(xiàn)與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此,傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°(2)直線(xiàn)的斜率
①定義:傾斜角不是90°的直線(xiàn),它的傾斜角的正切叫做這條直線(xiàn)的斜率。直線(xiàn)的斜率常用k表示。即ktan。斜率反映直線(xiàn)與軸的傾斜程度。
當(dāng)0,90時(shí),k0;當(dāng)90,180時(shí),k0;當(dāng)90時(shí),k不存在。
yy1(x1x2)②過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率公式:k2x2x1注意下面四點(diǎn):(1)當(dāng)x1x2時(shí),公式右邊無(wú)意義,直線(xiàn)的斜率不存在,傾斜角為90°;(2)k與P1、P2的順序無(wú)關(guān);(3)以后求斜率可不通過(guò)傾斜角而由直線(xiàn)上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得;
(4)求直線(xiàn)的傾斜角可由直線(xiàn)上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。(3)直線(xiàn)方程
①點(diǎn)斜式:yy1k(xx1)直線(xiàn)斜率k,且過(guò)點(diǎn)x1,y1
注意:當(dāng)直線(xiàn)的斜率為0°時(shí),k=0,直線(xiàn)的方程是y=y1。
當(dāng)直線(xiàn)的斜率為90°時(shí),直線(xiàn)的斜率不存在,它的方程不能用點(diǎn)斜式表示.但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1,所以它的方程是x=x1。
②斜截式:ykxb,直線(xiàn)斜率為k,直線(xiàn)在y軸上的截距為b③兩點(diǎn)式:④截矩式:
yy1y2y1xayxx1x2x1(x1x2,y1y2)直線(xiàn)兩點(diǎn)x1,y1,x2,y2
1b其中直線(xiàn)l與x軸交于點(diǎn)(a,0),與y軸交于點(diǎn)(0,b),即l與x軸、y軸的截距分別為a,b。
⑤一般式:AxByC0(A,B不全為0)
1各式的適用范圍○2特殊的方程如:注意:○
平行于x軸的直線(xiàn):yb(b為常數(shù));平行于y軸的直線(xiàn):xa(a為常數(shù));(5)直線(xiàn)系方程:即具有某一共同性質(zhì)的直線(xiàn)(一)平行直線(xiàn)系
平行于已知直線(xiàn)A0xB0yC00(A0,B0是不全為0的常數(shù))的直線(xiàn)系:
A0xB0yC0(C為常數(shù))
(二)過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)系
()斜率為k的直線(xiàn)系:yy0kxx0,直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)x0,y0;
()過(guò)兩條直線(xiàn)l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20的交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程為
,其中直線(xiàn)l2不在直線(xiàn)系中。A1xB1yC1A2xB2yC20(為參數(shù))(6)兩直線(xiàn)平行與垂直
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當(dāng)l1:yk1xb1,l2:yk2xb2時(shí),l1//l2k1k2,b1b2;l1l2k1k21
注意:利用斜率判斷直線(xiàn)的平行與垂直時(shí),要注意斜率的存在與否。(7)兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)
l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20相交交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組A1xB1yC10的一組解。
A2xB2yC20方程組無(wú)解l1//l2;方程組有無(wú)數(shù)解l1與l2重合(8)兩點(diǎn)間距離公式:設(shè)A(x1,y1),B是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn),(x2,y2)則|AB|(x2x1)2(y2y1)2
(9)點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式:一點(diǎn)Px0,y0到直線(xiàn)l1:AxByC0的距離d(10)兩平行直線(xiàn)距離公式
在任一直線(xiàn)上任取一點(diǎn),再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離進(jìn)行求解。
Ax0By0CAB22
二、圓的方程
1、圓的定義:平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓,定點(diǎn)為圓心,定長(zhǎng)為圓的
半徑。
2、圓的方程
(1)標(biāo)準(zhǔn)方程xaybr2,圓心a,b,半徑為r;
22(2)一般方程x2y2DxEyF0當(dāng)DE2224F0時(shí),方程表示圓,此時(shí)圓心為22D2,1E,半徑為r22D2E24F
當(dāng)DE4F0時(shí),表示一個(gè)點(diǎn);當(dāng)DE4F0時(shí),方程不表示任何圖
形。
(3)求圓方程的方法:一般都采用待定系數(shù)法:先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件,若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F(xiàn);
另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì):如弦的中垂線(xiàn)必經(jīng)過(guò)原點(diǎn),以此來(lái)確定圓心的位置。3、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系:
直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系有相離,相切,相交三種情況,基本上由下列兩種方法判斷:
(1)設(shè)直線(xiàn)l:AxByC0,圓C:xa2yb2r2,圓心Ca,b到l的距離為
dAaBbCAB222,則有drl與C相離;drl與C相切;drl與C相交
22(2)設(shè)直線(xiàn)l:AxByC0,圓C:xaybr2,先將方程聯(lián)立消元,得到一個(gè)一元二次方程之后,令其中的判別式為,則有
0l與C相離;0l與C相切;0l與C相交
2注:如果圓心的位置在原點(diǎn),可使用公式xx0yy0r去解直線(xiàn)與圓相切的問(wèn)題,其中x0,y0表示切點(diǎn)坐標(biāo),r表示半徑。
(3)過(guò)圓上一點(diǎn)的切線(xiàn)方程:
22①圓x2+y2=r,圓上一點(diǎn)為(x0,y0),則過(guò)此點(diǎn)的切線(xiàn)方程為xx0yy0r(課本命題).
2222
②圓(x-a)+(y-b)=r,圓上一點(diǎn)為(x0,y0),則過(guò)此點(diǎn)的切線(xiàn)方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r(課本命題的推廣).
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4、圓與圓的位置關(guān)系:通過(guò)兩圓半徑的和(差),與圓心距(d)之間的大小比較來(lái)確定。設(shè)圓C1:xa12yb12r2,C2:xa22yb22R2兩圓的位置關(guān)系常通過(guò)兩圓半徑的和(差),與圓心距(d)之間的大小比較來(lái)確定。當(dāng)dRr時(shí)兩圓外離,此時(shí)有公切線(xiàn)四條;
當(dāng)dRr時(shí)兩圓外切,連心線(xiàn)過(guò)切點(diǎn),有外公切線(xiàn)兩條,內(nèi)公切線(xiàn)一條;當(dāng)RrdRr時(shí)兩圓相交,連心線(xiàn)垂直平分公共弦,有兩條外公切線(xiàn);當(dāng)dRr時(shí),兩圓內(nèi)切,連心線(xiàn)經(jīng)過(guò)切點(diǎn),只有一條公切線(xiàn);當(dāng)dRr時(shí),兩圓內(nèi)含;當(dāng)d0時(shí),為同心圓。
三、立體幾何初步
1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征
(1)棱柱:定義:有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形,且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共
邊都互相平行,由這些面所圍成的幾何體。
分類(lèi):以底面多邊形的邊數(shù)作為分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱柱ABCDEA"B"C"D"E"或用對(duì)角線(xiàn)的端點(diǎn)字母,如五棱柱
"AD
幾何特征:兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且
相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。
(2)棱錐
定義:有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,由這些面所圍成的幾何體
分類(lèi):以底面多邊形的邊數(shù)作為分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等
表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱錐PABCDE
幾何特征:側(cè)面、對(duì)角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似,其相似比等于頂點(diǎn)到
截面距離與高的比的平方。
(3)棱臺(tái):定義:用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐,截面和底面之間的部分分類(lèi):以底面多邊形的邊數(shù)作為分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等
"""""表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱臺(tái)PABCDE
幾何特征:①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)(4)圓柱:定義:以矩形的一邊所在的直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特征:①底面是全等的圓;②母線(xiàn)與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側(cè)面展開(kāi)圖
是一個(gè)矩形。
(5)圓錐:定義:以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何
體"""""第3頁(yè)
幾何特征:①底面是一個(gè)圓;②母線(xiàn)交于圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。(6)圓臺(tái):定義:用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐,截面和底面之間的部分幾何特征:①上下底面是兩個(gè)圓;②側(cè)面母線(xiàn)交于原圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)弓形。(7)球體:定義:以半圓的直徑所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸,半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征:①球的截面是圓;②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。2、空間幾何體的三視圖
定義三視圖:正視圖(光線(xiàn)從幾何體的前面向后面正投影);側(cè)視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)
注:正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和長(zhǎng)度;俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度;
側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和寬度。
3、空間幾何體的直觀圖斜二測(cè)畫(huà)法
斜二測(cè)畫(huà)法特點(diǎn):①原來(lái)與x軸平行的線(xiàn)段仍然與x平行且長(zhǎng)度不變;
②原來(lái)與y軸平行的線(xiàn)段仍然與y平行,長(zhǎng)度為原來(lái)的一半。
4、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積
(1)幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。
(2)特殊幾何體表面積公式(c為底面周長(zhǎng),h為高,h為斜高,l為母線(xiàn))
"S直棱柱側(cè)面積S正棱臺(tái)側(cè)面積12chS圓柱側(cè)2rhS正棱錐側(cè)面積(c1c2)h"S圓臺(tái)側(cè)面積(rR)l
12ch"S圓錐側(cè)面積rl
S圓柱表2rrlS圓錐表rrlS圓臺(tái)表r2rlRlR2
(3)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式V柱ShV圓柱ShV臺(tái)13(S""21rhV錐ShV圓錐1r2h
33SSS)hV圓臺(tái)13(S"SSS)h"13(rrRR)h
22(4)球體的表面積和體積公式:V球4、空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系
=43R3;S
球面=4R2
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(1)平面
①平面的概念:A.描述性說(shuō)明;B.平面是無(wú)限伸展的;
②平面的表示:通常用希臘字母α、β、γ表示,如平面α(通常寫(xiě)在一個(gè)銳角內(nèi));
也可以用兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來(lái)表示,如平面BC。
③點(diǎn)與平面的關(guān)系:點(diǎn)A在平面內(nèi),記作A;點(diǎn)A不在平面內(nèi),記作A點(diǎn)與直線(xiàn)的關(guān)系:點(diǎn)A的直線(xiàn)l上,記作:A∈l;點(diǎn)A在直線(xiàn)l外,記作Al;
直線(xiàn)與平面的關(guān)系:直線(xiàn)l在平面α內(nèi),記作lα;直線(xiàn)l不在平面α內(nèi),記作lα。(2)公理1:如果一條直線(xiàn)的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線(xiàn)是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。
(即直線(xiàn)在平面內(nèi),或者平面經(jīng)過(guò)直線(xiàn))
應(yīng)用:檢驗(yàn)桌面是否平;判斷直線(xiàn)是否在平面內(nèi)
用符號(hào)語(yǔ)言表示公理1:Al,Bl,A,Bl(3)公理2:經(jīng)過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面。
推論:一直線(xiàn)和直線(xiàn)外一點(diǎn)確定一平面;兩相交直線(xiàn)確定一平面;兩平行直線(xiàn)確定一平面。
公理2及其推論作用:①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)②它是證明平面重合的依據(jù)(4)公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)
符號(hào):平面α和β相交,交線(xiàn)是a,記作α∩β=a。
符號(hào)語(yǔ)言:PABABl,Pl公理3的作用:
①它是判定兩個(gè)平面相交的方法。
②它說(shuō)明兩個(gè)平面的交線(xiàn)與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系:交線(xiàn)必過(guò)公共點(diǎn)。③它可以判斷點(diǎn)在直線(xiàn)上,即證若干個(gè)點(diǎn)共線(xiàn)的重要依據(jù)。(5)公理4:平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行(6)空間直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系
①異面直線(xiàn)定義:不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)②異面直線(xiàn)性質(zhì):既不平行,又不相交。
③異面直線(xiàn)判定:過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線(xiàn)與平面內(nèi)不過(guò)該店的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)④異面直線(xiàn)所成角:直線(xiàn)a、b是異面直線(xiàn),經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O,分別引直線(xiàn)a’∥a,b’∥b,則把直線(xiàn)a’和b’所成的銳角(或直角)叫做異面直線(xiàn)a和b所成的角。兩條異面直線(xiàn)所成角的范圍是(0°,90°],若兩條異面直線(xiàn)所成的角是直角,我們就說(shuō)這兩條異面直線(xiàn)互相垂直。說(shuō)明:(1)判定空間直線(xiàn)是異面直線(xiàn)方法:①根據(jù)異面直線(xiàn)的定義;②異面直線(xiàn)的判定定理(2)在異面直線(xiàn)所成角定義中,空間一點(diǎn)O是任取的,而和點(diǎn)O的位置無(wú)關(guān)。②求異面直線(xiàn)所成角步驟:
A、利用定義構(gòu)造角,可固定一條,平移另一條,或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置,頂點(diǎn)選在特殊的位置上。B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來(lái)求角
(7)等角定理:如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行,那么這兩角相等或互補(bǔ)。(8)空間直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系
直線(xiàn)在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn).
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三種位置關(guān)系的符號(hào)表示:aαa∩α=Aa∥α
(9)平面與平面之間的位置關(guān)系:平行沒(méi)有公共點(diǎn);α∥β
相交有一條公共直線(xiàn)。α∩β=b
5、空間中的平行問(wèn)題
(1)直線(xiàn)與平面平行的判定及其性質(zhì)
線(xiàn)面平行的判定定理:平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)一條直線(xiàn)平行,則該直線(xiàn)與此平面平行。
線(xiàn)線(xiàn)平行線(xiàn)面平行
線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行,經(jīng)過(guò)這條直線(xiàn)的平面和這個(gè)平面相交,
那么這條直線(xiàn)和交線(xiàn)平行。線(xiàn)面平行線(xiàn)線(xiàn)平行
(2)平面與平面平行的判定及其性質(zhì)兩個(gè)平面平行的判定定理
(1)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行
(線(xiàn)面平行→面面平行),
(2)如果在兩個(gè)平面內(nèi),各有兩組相交直線(xiàn)對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)平面平行。(線(xiàn)線(xiàn)平行→面面平行),
(3)垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行,兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理
(1)如果兩個(gè)平面平行,那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行。(面面平行→線(xiàn)面平行)(2)如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交,那么它們的交線(xiàn)平行。(面面平行→線(xiàn)線(xiàn)平行)7、空間中的垂直問(wèn)題
(1)線(xiàn)線(xiàn)、面面、線(xiàn)面垂直的定義①兩條異面直線(xiàn)的垂直:如果兩條異面直線(xiàn)所成的角是直角,就說(shuō)這兩條異面直線(xiàn)互相垂直。②線(xiàn)面垂直:如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(xiàn)垂直,就說(shuō)這條直線(xiàn)和這個(gè)平面垂直。
③平面和平面垂直:如果兩個(gè)平面相交,所成的二面角(從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形)是直二面角(平面角是直角),就說(shuō)這兩個(gè)平面垂直。(2)垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理①線(xiàn)面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理:如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直,那么這條直線(xiàn)垂直這個(gè)平面。性質(zhì)定理:如果兩條直線(xiàn)同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直線(xiàn)平行。②面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理
判定定理:如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn),那么這兩個(gè)平面互相垂直。性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平面互相垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面。
9、空間角問(wèn)題
(1)直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角
①兩平行直線(xiàn)所成的角:規(guī)定為0。
②兩條相交直線(xiàn)所成的角:兩條直線(xiàn)相交其中不大于直角的角,叫這兩條直線(xiàn)所成的角。③兩條異面直線(xiàn)所成的角:過(guò)空間任意一點(diǎn)O,分別作與兩條異面直線(xiàn)a,b平行的直線(xiàn)a,b,形成兩條相交直線(xiàn),這兩條相交直線(xiàn)所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線(xiàn)所成的角。
(2)直線(xiàn)和平面所成的角
①平面的平行線(xiàn)與平面所成的角:規(guī)定為0。②平面的垂線(xiàn)與平面所成的角:規(guī)定為90。③平面的斜線(xiàn)與平面所成的角:平面的一條斜線(xiàn)和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫做這條直線(xiàn)和這個(gè)平面所成的角。
求斜線(xiàn)與平面所成角的思路類(lèi)似于求異面直線(xiàn)所成角:“一作,二證,三計(jì)算”。
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在“作角”時(shí)依定義關(guān)鍵作射影,由射影定義知關(guān)鍵在于斜線(xiàn)上一點(diǎn)到面的垂線(xiàn),在解題時(shí),注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息:(1)斜線(xiàn)上一點(diǎn)到面的垂線(xiàn);(2)過(guò)斜線(xiàn)上的一點(diǎn)或過(guò)斜線(xiàn)的平面與已知面垂直,由面面垂直性質(zhì)易得垂線(xiàn)。(3)二面角和二面角的平面角①二面角的定義:從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線(xiàn)叫做二面角的棱,這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn),在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射.....線(xiàn),這兩條射線(xiàn)所成的角叫二面角的平面角。③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。
兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角,那么這兩個(gè)平面垂直;反過(guò)來(lái),如果兩個(gè)平面垂直,那么所成的二面角為直二面角④求二面角的方法
定義法:在棱上選擇有關(guān)點(diǎn),過(guò)這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線(xiàn)得到平面角垂面法:已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線(xiàn)時(shí),過(guò)兩垂線(xiàn)作平面與兩個(gè)面的交線(xiàn)所成的角為二面角的平面角7、空間直角坐標(biāo)系
(1)定義:如圖,OBCDD,A,B,C,是單位正方體.以A為原點(diǎn),分別以O(shè)D,OA,,OB的方向?yàn)檎较颍⑷龡l數(shù)軸x軸.y軸.z軸。這時(shí)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz.
1)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)2)x軸,y軸,z軸叫做坐標(biāo)軸.3)過(guò)每?jī)蓚(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)面。
(2)右手表示法:令右手大拇指、食指和中指相互垂直時(shí),可能形成的位置。大拇指指向?yàn)閤軸正方向,食指指向?yàn)閥軸正向,中指指向則為z軸正向,這樣也可以決定三軸間的相位置。
(3)任意點(diǎn)坐標(biāo)表示:空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來(lái)表示,有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做點(diǎn)M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),記作M(x,y,z)(x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo),y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo),z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo))
(4)空間兩點(diǎn)距離坐標(biāo)公式:d(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2
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