復(fù)變函數(shù) 部分內(nèi)容的總結(jié)與習題

基本的冪級數(shù)展開式：11zz2zn(z1)1zz2zne1z(z)

2!n!zz3z2n1nsinzz(1)(z)

3!(2n1)!2nz2nzcosz1(1)(z)2!(2n)!冪級數(shù)的重要性質(zhì)：逐項求導(dǎo)

設(shè)f(z)01(zz0)2(zz0)2n(zz0)n則f(z)122(zz0)nn(zz0)n1

應(yīng)用：從已知函數(shù)的冪級數(shù)展開式求它的導(dǎo)數(shù)的冪級數(shù)展開式，例如，

112n112z3znz2(1z)1z求函數(shù)在指定點z0冪級數(shù)展開式:1.2.

1，z0b，abza1，z0b，ab2(za)(zb)33.，z0b，ab

za4.

zziizzi，提示：0z22z1(z1)2(z1)2z22z1zz21，z01提示：

(z1)(z2)(z1)(z2)z2z15.6.

1，z012z1

洛朗級數(shù)展開式{"Error":{"code":"8","Message":"badrequest","LogId":"1084180571"}}6.

1，0z22z(z2)1z(z2)37.

z0注意：在R1zR2內(nèi)展開的結(jié)果必須是zz0的正冪或負冪的和，即具有n，0z22(zz)形式。nn08.

1，0z222z(z2)9.

10z21

(z1)2(z2)10.求下列函數(shù)在孤立奇點的去心鄰域內(nèi)的洛朗展式：

ze，(z1)e，ze21z21z21z1111，(z1)e，z2sin，z2sin，(z1)2sin，

zz1z21z1111，(z1)2cos，(z22z)cosz2cos，z2coszz1zz

復(fù)變函數(shù)的積分

一、不解析函數(shù)的積分

利用曲線的參數(shù)方程，化成定積分計算。

起點是a，終點是b的直線段的參數(shù)方程:z(t)(1t)atb，0t1圓zar的參數(shù)方程：z(t)areit，0t2圓zr的參數(shù)方程：z(t)reit，0t2

設(shè)C是起點是1i，終點是23i的直線段或圓z1，計算1.2.3.4.

xdz，即Rezdz，

CCCydz，即Imzdz

Czdz

C(xiyC2)dz

二、解析函數(shù)在不閉合曲線上的積分，用原函數(shù)上下限計算，也可用參數(shù)方程化

定積分計算。1.

2iicoszdz

2.設(shè)C是圓z1從1到1反時針方向。z（11），lnz（ln10)是去掉原點和正實軸的復(fù)平面內(nèi)的單值解析函數(shù)分支，計算

Czdz，lnzdz

C三、解析函數(shù)在閉合曲線上的積分，用留數(shù)計算，等于曲線所圍成的區(qū)域內(nèi)所有奇點的留數(shù)之和乘以2i。1.

z1z1dz3z(z4)e6z2.2dz

z16z5z13.

z21zdz2sinz221z4.

z1(1zz)edz

無窮限廣義積分的計算

一、有理函數(shù)，分母在實軸上不等于0，分母比分子至少高二次，從到

積分，等于上半平面奇點的留數(shù)之和乘以2i。1.

x(x21)(x22x2)dx

2.

01x2dx41x二、在實軸上沒有零點的有理函數(shù)和三角函數(shù)的乘積公式當f(x)是偶函數(shù)時，f(x)cosxdxf(x)eixdx，

當f(x)是奇函數(shù)時，f(x)sinxdxif(x)eixdx

f(x)eixdx等于f(z)eiz在上半平面奇點的留數(shù)之和乘以2i。

xcosxx22x10dxxsinx2.dx

0x29

保形映射

1.映射的保角性指的是什么？什么映射具有保角性？

1.2.為什么分式線性函數(shù)具有保角性？

3.如果一個保形映射把ABC映射成FDE，那么BC映射成FDE的哪條邊？BA映射成FDE的哪條邊？

C

ED3030BAF

單葉（即一對一）解析函數(shù)的重要性質(zhì)：

把區(qū)域映射成區(qū)域，區(qū)域的邊界映射成邊界。

要確定映射成什么區(qū)域，首先確定它的邊界映射成什么曲線了。區(qū)域映射成曲線的內(nèi)或外，或左，或右。

問題：

z1一、對于w，回答以下問題。

z11.把實軸映射成什么？2.把實軸上[1,1]映射成什么？3.把實軸上[,1]映射成什么？4.把實軸上[1,]映射成什么？5.把z1映射成什么？6.把z1映射成什么？7.把z1映射成什么？

8.把半圓z1,Imz0映射成什么？9.把半圓z1,Imz0映射成什么？

10.把上半平面圓的外部區(qū)域z1,Imz0映射成什么？11.把虛軸Rez0映射成什么？

z1二、對于w，回答以下問題。

zi1.把實軸映射成什么？2.把虛軸映射成什么？3.把z1映射成什么？輻角

●下面的條件分別表示什么集合？

argz0，argz，argz4，arg(zi)4，arg(zi)5，0argz44，0argz，0argz2

4●求值（寫出實部、虛部）

0arg(zi)1i111i2i2i23i(13i)，(13i)/，esin(2i)，ecos(2i)，Lne，

22111212Ln(33i)

●求ez把區(qū)域映射成什么區(qū)域，就是求ez的模和輻角的取值范圍；●求lnz把區(qū)域映射成什么區(qū)域，就是求lnz的實部和虛部的取值范圍；

●下面的函數(shù)在什么點有導(dǎo)數(shù)？求出導(dǎo)數(shù)。

2z1，zn，zz，x2yi(y2x)z2●求z(t)對t的導(dǎo)數(shù)。

z(t)eit，z(t)t2it3

●設(shè)lnz（ln10）是Lnz的一個解析分支，問ln(1i)可能的兩個值是什么？●設(shè)lnz（ln12i）是Lnz的一個解析分支，問ln(1i)可能的兩個值是什么？

提示：兩種割線

擴展閱讀：關(guān)于復(fù)變函數(shù)積分求解總結(jié)

關(guān)于求積分的各種方法的總結(jié)

摘要：函數(shù)的積分問題是復(fù)變函數(shù)輪的主要內(nèi)容，也是其基礎(chǔ)部分，因此有必要總結(jié)歸納求積分的各種方法.其主要方法有：利用柯西積分定理，柯西積分公式和用留數(shù)定理求積分等方法.現(xiàn)將這些方法逐一介紹.關(guān)鍵詞：積分，解析，函數(shù)，曲線

1.利用定義求積分

例1、計算積分xyix2dz，積分路徑C是連接由0到1i的直線段.

c解：yx0x1為從點0到點1i的直線方程，于是

xyixdz2cxyixdxiy

201ixxixdxix

201*011iixdx1i3.

2.利用柯西積分定理求積分

柯西積分定理：設(shè)fz在單連通區(qū)域

D內(nèi)解析，C為D內(nèi)任一條周線，則

fzdzc0.

D柯西積分定理的等價形式：設(shè)C是一條周線，

DDC上解析，則fzdz0.

c為C之內(nèi)部，fz在閉域

例2、求coszzidz，其中C為圓周z3i1，

c解：圓周C為z3z1，被積函數(shù)的奇點為i，在C的外部，

于是，

coszzi在以C為邊界的閉圓z3i1上解析，

coszzidz0.

故由柯西積分定理的等價形式得c如果D為多連通區(qū)域，有如下定理：

設(shè)D是由復(fù)周線CC0C1C2Cn所構(gòu)成的有界多連通區(qū)域，fz在D內(nèi)解析，在DDC上連續(xù)，則fzdz0.

c例3.計算積分dzz16z3z1.

1分析：被積函數(shù)Fzz3z1在C上共有兩個奇點z0和z，在z1內(nèi)

31作兩個充分小圓周，將兩個奇點挖掉，新區(qū)域的新邊界就構(gòu)成一個復(fù)周線，可應(yīng)用上定理.

解：顯然，

1z3z11z33z1

為心，充分小半徑r16任作以z0與以z12:zr313的圓周1:zr及

，將二奇點挖去，新邊界構(gòu)成復(fù)周線C12C:z1.

dzz3z1z1z3z12dz

12z3z1z3z1

1dzdzdzz13dz3z11dzz2z3dz3z12

dzdzz1dz1z31dz221z3

0.

3.利用柯西積分公式求積分

設(shè)區(qū)域D的邊界是周線或復(fù)周線C，函數(shù)fz在D內(nèi)解析，在DDC上連續(xù)，則有fz12icfz2dzD，即fcd2ifz.

z例4.計算積分2zz1z1cdz的值，其中C:z2

解：因為fz2z2z1在z2上解析，

z1z2，由柯西積分公式得2zz1z22z12dz2i2zz1.

設(shè)區(qū)域D的邊界是周線或復(fù)周線C，函數(shù)fz在D內(nèi)解析，在DDC上連續(xù)，則函數(shù)fz在區(qū)域D內(nèi)有各階導(dǎo)數(shù)，并且有fnzdn12iczn!fzDn1,2即c例5.計算積分coszdzdn1zf2in!fnz.

czi3，其中C是繞i一周的周線.

解：因為cosz在z平面上解析，

所以e1coszczii.

dz32i2!cosz|ziicosi

e2例6.求積分c921d，其中C為圓周2.

解：

c921didc92

5

另外,若a為周線C內(nèi)部一點，則dzdz2icza

zacn0（n1，且n為整數(shù)）.

4.應(yīng)用留數(shù)定理求復(fù)積分

fz在復(fù)周線或周線C所圍的區(qū)域D內(nèi)，除a1,a2,an外解析，在閉域DDC上除a1,a2,an外連續(xù)，則fzdz2iResfz.

ck1zakn設(shè)a為fz的n階極點，fzzzan，其中z在點a解析，a0，則

Resfzzaa.

n1!5z2z2n1例7.計算積分zz12dz

解：被積函數(shù)fz5z2zz12在圓周z2的內(nèi)部只有一階極點z0及z1，

Resfzz05z2z22|z02

25z2Resfz||2z12z1z1zz因此，由留數(shù)定理可得

5z2z2zz12dz2i220.

例8.計算積分解：fzz13coszz1z3dz.

cosz只以z0為三階極點，

12Resfzz02!coszz0

由留數(shù)定理得coszz1z31dz2ii.

25.用留數(shù)定理計算實積分

某些實的定積分可應(yīng)用留數(shù)定理進行計算，尤其是對原函數(shù)不易直接求得的定積分和反常積分，常是一個有效的辦法，其要點是將它劃歸為復(fù)變函數(shù)的周線積分.5.1計算Rcos,sind型積分

02令ze，則cos2izz21，sinzz2i1，ddziz，

此時有0zz1zz1,Rcos,sindRz122idziz.例9.2dacos0a1

12解：令zei，則cosI2izz，d1dziz，

zzz1dz，其中aa21，aa21，

1,1,1，

應(yīng)用留數(shù)定理得I2a12.

若Rcos,sin為的偶函數(shù)，則Rcos,sind之值亦可用上述方法求之，

0因為此時Rcos,sind01Rcos,sind，仍然令ze.2i例10.計算taniad（a為實數(shù)且a0）

0分析：因為tania1eie2iai2iai11，

直接令e2iaiz，則dze2iai2id，

于是tania解：I11z1iz1.

iz12izcz11dz1dz2zz1cz1應(yīng)用留數(shù)定理，當a0時，Ii當a0時，Ii.5.2計算PxQxdx型積分

例11.計算xdx423xz24.

23424解：函數(shù)fz2323z在上半平面內(nèi)只有zi一個四階極點，

令ia，zat則fzz3444z4223z44

zaza

ta44443tt2a144a4at6at4att4322343223343t16a32a24at8att

211tt4423t168a32aResfzza1332a43

i5766即Resfzz23i133242i33

故

xdx423x242ii57662886.

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