高中數(shù)學數(shù)列題型總結學案,講義

結論：（1）在等差數(shù)列

（這里

中，當項數(shù)為偶數(shù)即

）；

時，

。

；項數(shù)為奇數(shù)時，，

（2）若等差數(shù)列、的前和分別為、，且，則.

【例】設{}與{}是兩個等差數(shù)列，它們的前項和分別為和，若，那么___________（答：

）

（3）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前

項和的最大值是所有非負項之和；“首負”的遞增等差數(shù)列中，前

項和的最小值是所

有非正項之和。法一：由不等式組于

確定出前多少項為非負（或非正）；法二：因等差數(shù)列前項是關

的二次函數(shù)，故可轉化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性。上述兩種方法是運用了哪種數(shù)學思想？（函

數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項嗎如（1）等差數(shù)列

中，

，

，問此數(shù)列前多少項和最大？并求此最大值。（答：前13項和最大，最大值為

169）；（2）若是等差數(shù)列，首項，則使前n項和

，

成立的最大正整數(shù)n是（答：4006）

若是等比數(shù)列，則、、成等比數(shù)列；若成等比數(shù)列，則、

成等比數(shù)列；若是等比數(shù)列，且公比，則數(shù)列，也是等比數(shù)列。當，且為

偶數(shù)時，數(shù)列如①已知

且

，是常數(shù)數(shù)列0，它不是等比數(shù)列。

，設數(shù)列

滿足

，且

，則

.（答：）；②在等比數(shù)列中，為其前n項和，若

，則

的值為______（答：40）。

如設等比數(shù)列的公比為，前項和為，若成等差數(shù)列，則的值為_____（答：－2）

在等比數(shù)列中，當項數(shù)為偶數(shù)時，；項數(shù)為奇數(shù)時，。如設數(shù)列的前項和為（），關于數(shù)列有下列三個命題：①若，則既是等差

數(shù)列又是等比數(shù)列；②若

些命題中，真命題的序號是（答：②③）

一.數(shù)列的通項的求法：

，則是等差數(shù)列；③若，則是等比數(shù)列。這

⑴公式法：①等差數(shù)列通項公式；②等比數(shù)列通項公式。

⑵已知求，用作差法：。

如①已知的前項和滿足，求（答：）；②數(shù)列滿足

，求（答：）

⑶已知求，用作商法：。

如數(shù)列中，對所有的都有，則______（答：）

⑷若求用累加法：。

如已知數(shù)列

滿足，，則=________（答：）

⑸已知

求，用累乘法：。

如已知數(shù)列中，，前項和，若，求（答：）

⑹已知遞推關系求（1）形如

，用構造法（構造等差、等比數(shù)列）。特別地，

、（

為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉化為公比為

的等比數(shù)列后，

再求。如①已知

）；

，求（答：）；②已知，求（答：

（2）形如的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項。

如①已知，求（答：）；②已知數(shù)列滿足=1，，

求（答：）

二.數(shù)列求和的常用方法：

（1）公式法：①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式，特別聲明：運用等比數(shù)列求和公式，務必檢查其公比與1的關系，必要時需分類討論.；③常用公式：

;;.

如①等比數(shù)列的前項和Sｎ＝2ｎ－１，則＝_____（答：）；②計算機是將信息轉換成

二進制數(shù)進行處理的。二進制即“逢2進1”，如表示二進制數(shù)，將它轉換成十進制形式是

，那么將二進制轉換成十進制數(shù)是_______（答：）

（2）分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和。如求：

（答：

）

（3）倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與組合數(shù)相關聯(lián)，則常可考慮選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前

和公式的推導方法）。

如①求證：；②已知，則

＝______（答：）

（4）錯位相減法：如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相乘構成，那么常選用錯位相減法（這也是等比數(shù)列前如（1）設

和公式的推導方法）。為等比數(shù)列，

，已知

，

，①求數(shù)列

的首項和公比；②

求數(shù)列的通項公式.（答：①，；②）；（2）設函數(shù)，數(shù)列滿足：，①求證：數(shù)列是等比數(shù)列；②令

，求函數(shù)在點處的導數(shù)，并比較與的

大小。（答：①略；②，當時，＝；當時，）

（5）裂項相消法：數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯(lián)，常選用裂項相消法求和.常用裂項有：

①；②；

③，；

④；⑤；

⑥.

如①求和：

Sｎ＝９，則n＝_____（答：99）；

（答：）；②在數(shù)列中，，且

（6）通項轉換法：先對通項進行變形，發(fā)現(xiàn)其內在特征，再運用分組求和法求和。

如①求數(shù)列1×4，2×5，3×6，，，前項和=（答：）；②求和：

（答：）

數(shù)列綜合題

{Sn/n}的結論

例1．已知數(shù)列{an}是公差d≠0的等差數(shù)列，其前n項和為Sn．

(2)過點Q1(1，a1)，Q2(2，a2)作直線L2，設l1與l2的夾角為θ，“萬能通項”，遞推公式，特殊數(shù)列的證明方法

例2．已知數(shù)列an中，Sn是其前n項和，并且Sn14an2(n1,2,),a11，

⑴設數(shù)列bnan12an(n1,2,)，求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列；

⑵設數(shù)列cnan2n,(n1,2,)，求證：數(shù)列cn是等差數(shù)列；

⑶求數(shù)列an的通項公式及前n項和。數(shù)列的求和方法例4、設a1=1,a2=

5323,an+2=

n53an+1-

23an(n=1,2,---),令bn=an+1-an(n=1,2---)求數(shù)列{bn}的通項公式，(2)求數(shù)列{nan}的前n項的和Sn。

解：bn()(n1,2,)

2n

故Tn9[1()]3n()933（II）

2n(3n)23n1n

從而Sna12a2nan3(12n)2Tn數(shù)列與集合和函數(shù)綜合

32n(n1)(3n)23n1n118例5．在直角坐標平面上有一點列P1(x1,y1),P2(x2,y2),Pn(xn,yn)，對一切正整數(shù)n，點Pn位于函數(shù)y3x的圖象上，且Pn的橫坐標構成以⑴求點Pn的坐標；

13452為首項，1為公差的等差數(shù)列xn。

⑶設Sx|x2xn,nN,n1,Ty|y4yn,n1，等差數(shù)列an的任一項anST，其中a1是ST中的最大數(shù)，265a10125，求an的通項公式。解：（1）xn52(n1)(1)n*32yn3xn1343n54,Pn(n32,3n54)

（3）an724n(nN).

例6．數(shù)列an中，a18,a42且滿足an22an1annN

*⑴求數(shù)列an的通項公式；

⑵設Sn|a1||a2||an|，求Sn；⑶設bn=均有Tn1n(12an)(nN),Tnb1b2bn(nN)，是否存在最大的整數(shù)m，使得對任意nN，

***m32成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由。

解：（1）an82(n1)102n.（2）故Sn（3）m的最大整數(shù)值是7。五、強化訓練

9nn22

n5n6

n9n406、若一個等差數(shù)列的前3項和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數(shù)列的項數(shù)為（A）A13B12C11D109、已知等差數(shù)列{an}滿足3a4=7a7,且

a1>0,Sn是{an}的前n項和，Sn取得最大值，則n=___9______.

22

11、設{an}是首項為1的正項數(shù)列，且（n+1）an+1-nan+an+1an=0,求它的通項公式是__1/n

12、已知數(shù)列{an}滿足a.1=1,an=a1+2a2+3a3+---+(n-1)an-1(n>1),則{an}的通項an=______a1=1;an=

n!2n2

13、定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。

已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a2，公和為5，那么a18的值為__3___，這個數(shù)列的前n項和Sn的計算公式為__當n為偶數(shù)時，Sn52n；當n為奇數(shù)時，Sn52n12

k

14.已知數(shù)列{an}中，a1=1，a2k=a2k-1+(-1),a2k+1=a2k+3,其中k=1,2,3，。

(1)求a3,a5；（2）求{an}的通項公式

n1K

解：（I）a3=3,a5=13.(II)當n為奇數(shù)時，an=

32n1n2(1)2123211;當n為偶數(shù)時，an(1)21.

22n15.在數(shù)列|an|，|bn|中，a1=2，b1=4，且an，bn，an1成等差數(shù)列，bn，an1，bn1成等比數(shù)列（nN）

（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測|an|，|bn|的通項公式，并證明你的結論；

*（Ⅱ）證明：

1a1b11a2b2…1anbn512．

解：（Ⅰ）由條件得2bnanan1，an1bnbn1由此可得

2a26，b29，a312，b316，a420，b425．猜測ann(n1)，bn(n1)

用數(shù)學歸納法證明：①當n=1時，由上可得結論成立．②假設當n=k時，結論成立，即

2akk(k1)，bk(k1)，那么當n=k+1時，

22ak12bkak2(k1)k(k1)(k1)(k2)，bk1ak2bk2(k2)．所以當n=k+1時，結論也成立．

2由①②，可知ann(n1)，bn(n1)對一切正整數(shù)都成立．（Ⅱ）

21a1b116512．

n≥2時，由（Ⅰ）知anbn(n1)(2n1)2(n1)n．

故

1a1b11a2b2…1anbn161111…

22334n(n1)1611111111111115綜上，原不等式成立．…22334nn1622n164

擴展閱讀：高中數(shù)學等差數(shù)列題型總結

一、等差數(shù)列

1、數(shù)列的概念

例1．根據(jù)數(shù)列前4項，寫出它的通項公式：（1）1，3，5，7；（2）

2122，

3132，

41422，

5152；（3）11*2n，

12*3，13*4，

14*5。

解析：（1）an=2n1；（2）an=如（1）已知an(n1)1n1；（3）an=

(1)n(n1)。

nn1562(nN)，則在數(shù)列{an}的最大項為__；

anbn12*（2）數(shù)列{an}的通項為an

，其中a,b均為正數(shù)，則an與an1的大小關系為___；

（3）已知數(shù)列{an}中，annn，且{an}是遞增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍；

2、等差數(shù)列的判斷方法：定義法an1and(d為常數(shù)）或an1ananan1(n2)。例2．設Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且Sn=n2，則{an}是（）A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列

S1(n1)1(n1)答案：B；解法一：an=，∴an=2n－1（n∈N）an2n1(n2)SnSn1(n2)又an+1－an=2為常數(shù)，

an1an2n12n1≠常數(shù)，∴{an}是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列.

解法二：如果一個數(shù)列的和是一個沒有常數(shù)項的關于n的二次函數(shù)，則這個數(shù)列一定是等差數(shù)列。練一練：設{an}是等差數(shù)列，求證：以bn=

a1a2annnN*為通項公式的數(shù)列{bn}為等差數(shù)列。

3、等差數(shù)列的通項：ana1(n1)d或anam(nm)d。4、等差數(shù)列的前n和：Snn(a1an)2，Snna1n(n1)2d。

例3：等差數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，若a2＋a4＋a15的值是一個確定的常數(shù)，則數(shù)列{an}中也為常數(shù)的項是()A．S7B．S8C．S13

D．S15

13×(a1＋a13)113

解析：設a2＋a4＋a15＝p(常數(shù))，∴3a1＋18d＝p，解a7＝p.∴S13＝＝13a7＝p.答案：C

3231

例4．等差數(shù)列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，則n為()

3A．48B．49C．50D．51

1212

解析：∵a2＋a5＝2a1＋5d＝4，則由a1＝得d＝，令an＝33＝＋(n－1)×，可解得n＝50.故選C.

3333如(1)等差數(shù)列{an}中，a1030，a2050，則通項an；

（2）首項為-24的等差數(shù)列，從第10項起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是______；例5：設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，a12＝－8，S9＝－9，則S16＝________.解析：S9＝9a5＝－9，∴a5＝－1，S16＝8(a5＋a12)＝－72.答案：－72

a11

例6：已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若0的n的最大值為()

a10A．11B．19C．20D．21

19(a1＋a19)20(a1＋a20)a11

解析：∵0，a11如（1）數(shù)列{an}中，anan112(n2,nN)，an2*32，前n項和Sn152，則a1＝＿，n＝；

（2）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn12nn，求數(shù)列{|an|}的前n項和Tn.5、等差中項：若a,A,b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項，且Aab2。

提醒：（1）等差數(shù)列的通項公式及前n和公式中，涉及到5個元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。

（2）為減少運算量，要注意設元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等差，可設為，a2d,ad,a,ad,a2d（公差為d）；偶數(shù)個數(shù)成等差，可設為，a3d,ad,ad,a3d,（公差為2d）6.等差數(shù)列的性質：常用結論

（1）前n項和為，則（m、n∈N*，且m≠n）。

（2）若m+n=p+q（m、n、p、q∈N*，且m≠n，p≠q），則（3）

，，

成等差數(shù)列。

。

（4）若an，bn是等差數(shù)列Sn，Tn為前n項和，則即Snf(n)，則an(2n1)anS2n1f(2n1)Tnbn(2n1)bnT2n1

ambmS2m1T2m1；

（5）①若a1＞0，d＜0，有最大值，可由不等式組來確定n；

②若a1＜0，d＞0，有最小值，可由不等式組（6）若an=m,am=n,(mn)則am+n=0（7）若an=m,am=n,(mn)則am+n=0

（8）若Sn=m,Sm=n,(mn)則Sm+n=—m—n重點：

來確定n，也可由前n項和公式來確定n。

（1）當公差d0時，等差數(shù)列的通項公式ana1(n1)ddna1d是關于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d；前n和

222（2）若公差d0，則為遞增等差數(shù)列，若公差d0，則為遞減等差數(shù)列，若公差d0，則為常數(shù)列。（3）當mnpq時,則有amanapaq，特別地，當mn2p時，則有aman2ap.

（4）若{an}、{bn}是等差數(shù)列，則{kan}、{kanpbn}(k、p是非零常數(shù))、{apnq}(p,qN)、

*Snna1n(n1)ddn(a12d)n是關于n的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.

Sn,S2nSn,S3nS2n，也成等差數(shù)列，而{an}成等比數(shù)列；若{an}是等比數(shù)列，且an0，則{lgan}是等差數(shù)列.

練一練：等差數(shù)列的前n項和為25，前2n項和為100，則它的前3n和為。

（5）在等差數(shù)列{an}中，當項數(shù)為偶數(shù)2n時，S偶－S奇nd；項數(shù)為奇數(shù)2n1時，S奇S偶a中，S2n1(2n1)a中aS（這里a中即an）；S奇:偶k(1):k。

練一練：項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列{an}中，奇數(shù)項和為80，偶數(shù)項和為75，求此數(shù)列的中間項與項數(shù).（6）若等差數(shù)列{an}、{bn}的前n和分別為An、Bn，且

AnBnf(n)，則

anbnSnTn(2n1)an(2n1)bn3n14n3A2n1B2n1anbnf(2n1).

___________；

練一練：設{an}與{bn}是兩個等差數(shù)列，它們的前n項和分別為Sn和Tn，若

，那么

(7)“首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項和的最大值是所有非負項之和；“首負”的遞增等差數(shù)列中，前n項和的最小值是所有非正an0確定出前多少項為非負（或非正）項之和。法一：由不等式組an0；法二：因等差數(shù)列前n項是關于n的二次或an10an10函數(shù)，故可轉化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性nN。上述兩種方法是運用了哪種數(shù)學思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項嗎？

練一練：等差數(shù)列{an}中，a125，S9S17，問此數(shù)列前多少項和最大？并求此最大值；例7．（1）設｛an｝（n∈N*）是等差數(shù)列，Sn是其前n項的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，則下列結論錯誤的是（）．．

A.d＜0B.a7＝0C.S9＞S5D.S6與S7均為Sn的最大值

（2）等差數(shù)列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為（）A.130B.170C.210D.260解析：（1）答案：C；由S5S8，得a8S5，即a6+a7+a8+a9>02（a7+a8）>0，由題設a7=0，a814．Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，a52,an430(n≥5，nN)，Sn=336，則n的值是.三、解答題

15．己知{an}為等差數(shù)列，a12,a23，若在每相鄰兩項之間插入三個數(shù)，使它和原數(shù)列的數(shù)構成一個新的等差數(shù)列，求：（1）原數(shù)列的第12項是新數(shù)列的第幾項？（2）新數(shù)列的第29項是原數(shù)列的第幾項？

16．數(shù)列an是首項為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，且第六項為正，第七項為負。（1）求數(shù)列公差；（2）求前n項和sn的最大值；（3）當sn0時，求n的最大值。

17．設等差數(shù)列{an}的前ｎ項的和為Sn,且S4=－62,S6=－75,求：

（1）{an}的通項公式an及前ｎ項的和Sn；（2）|a1|+|a2|+|a3|++|a14|.

18．已知數(shù)列an，首項a1=3且2an+1=SnSn－1(n≥2).（1）求證：{

*1Sn}是等差數(shù)列,并求公差；（2）求{an}的通項公式；

（3）數(shù)列{an}中是否存在自然數(shù)k0,使得當自然數(shù)k≥k0時使不等式ak>ak+1對任意大于等于k的自然數(shù)都成立,若存在求出最小

的k值,否則請說明理由.

選擇題：ABCCBDABDA填空題：11．8；12．3；13．24；14．21.

解答題：15．分析：應找到原數(shù)列的第n項是新數(shù)列的第幾項，即找出新、舊數(shù)列的對應關系。解：設新數(shù)列為

bn,則b1a12,b5a23,根據(jù)bnb1(n1)d,有b5b14d,即3=2+4d，∴d又ana1(n1)1n1(4n3)7414，∴

bn2(n1)14n74，

，∴anb4n3，即原數(shù)列的第n項為新數(shù)列的第4n－3項．（1）當n=12時，4n－3=4×12

dm1－3=45，故原數(shù)列的第12項為新數(shù)列的第45項；（2）由4n－3=29,得n=8，故新數(shù)列的第29項是原數(shù)列的第8項。說明：一般地，在公差為d的等差數(shù)列每相鄰兩項之間插入m個數(shù),構成一個新的等差數(shù)列，則新數(shù)列的公差為項是新數(shù)列的第n+(n－1)m=(m+1)n－m項．

a15d016．解：（1）a123，a60，a70，∴23d23d為整數(shù)，∴d4.a16d02.原數(shù)列的第n

56（2）sn23n（3）sn2n2n(n1)2(4)=23n2n(n1)=－2n25225n=－2(n25)2625，∴當n6時sn最大=78

4225n0時，0n，故n最大值為12.

d，依題意得4a16d62，解得：a1=－20,d=3。⑴

∴

17．解：設等差數(shù)列首項為

(a1an)n2a1，公差為

n(203n23)6a115d75ana1(n1)d3n23,Sn設ak0且ak12220230,得3k230,且3(k1)230,k(kZ),k7,即第7項之前均為負數(shù)333n243n⑵a120,d23,an的項隨著n的增大而增大|a1||a2||a3||a14|(a1a2a7)(a8a9a14)S142S7147.

18．分析：證1為等差數(shù)列，即證11d（d是常數(shù)）。解：⑴由已知當

SnSnSn1n2時2anSnSn1得:2(SnSn1)SnSn1(n2).{1Sn}是以1S11a113為首項,公差d122(SnSn1)SnSn111Sn1Sn112(n2)⑵

的等差數(shù)列。1Sn1S1(n1)d13(n1)(12)53n6,Sn653n(n2)

從而an12SnSn13(n1)(n2)，因此an18(3n5)(3n8)(n2)(3n5)(3n8)18⑶令akak10,即(3k2)(3k5)(3k8)0，可得23k53或k83。故只需取k3,則對

大于或等于3的一切自然數(shù)總有akak1成立,這樣的自然數(shù)存在最小值3。

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