高中導(dǎo)數(shù)題型總結(jié)
題型一:求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y5x4(2)y
(5)y2x33x5(6)yexcosx(7)y2x3lnx4(8)yxex
x23xlnxx2(9)yxlnx(10)y(11)ye(x1)(12)y
x1x1(3)yxx(4)y2sinx
題型二:求函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)
(1)求f(x)exx2在x0處的導(dǎo)數(shù);(2)求y2lnx
(3)已知f(x)f(1)x2x3,則f(1)_________;(4)已知f(x)2f(3)lnxx,則f(3)_________.
題型三:導(dǎo)數(shù)的物理意義的應(yīng)用
2已知物體的運動方程為s3t2(t是時間,s是位移),則物體在時刻t2時的速度為.
t題型四:導(dǎo)數(shù)與切線方程(導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用)
1.曲線yx3x2在點A(2,8)處的切線的斜率為______,切線方程是.2.若B(1,m)是yx3x2上的點,則曲線在點B處的切線方程是_________.3.若yx3x2在P處的切線平行于直線y7x1,則點P的坐標(biāo)是_____.
x24.若y3lnx的一條切線垂直于直線2xym0,則切點坐標(biāo)為______.
41在x1處的導(dǎo)數(shù);x5.已知曲線yx1在(3,2)處的切線與axym0垂直,則a.x16.已知直線yxm與曲線yx3x21相切,則切點P的坐標(biāo)為___________,m的值為_________.7.若曲線yh(x)在點(a,h(a))處切線方程為2xy10,那么()A.h(a)0B.h(a)0C.h(a)0D.h(a)的符號不定
8.曲線yx33x26x4的所有切線中,斜率最小的切線的方程是_____________.9.求曲線ylnx過點(0,1)的切線方程.10.求曲線yx2滿足下列條件的切線方程.(1)在點(1,1)處;(2)過點(1,0)處
題型四:導(dǎo)數(shù)與單調(diào)區(qū)間
1.函數(shù)f(x)x33x21的減區(qū)間為.2.函數(shù)yxex(x0)的單調(diào)遞增區(qū)間為.3.判斷函數(shù)yxcosxsinx在下面哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)()
3A.(,)B.(,)C.(,2)D.(0,)
22224.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象如圖所示,則f(x)的圖象可能是()
題型五:導(dǎo)數(shù)與極值、最值
1.函數(shù)yx312x5在x時取得極大值;在x時取得極小值.2.函數(shù)f(x)x32x23在[1,1]上的最大值是,最小值是.3.函數(shù)yxx(x0)的最大值為.4.函數(shù)yxex的最小值為.
5.函數(shù)f(x)x3ax24xb在x2時取得極值1,則a,b
6.已知f(x)2x36x2a(a為常數(shù))在[2,2]上有最大值是3,那么[2,2]在上的最小值是.
7.若f(x)x33ax23(a2)x1既有極大值又有極小值,求a的取值范圍為______________.
題型六:導(dǎo)數(shù)與零點,恒成立問題
1.判斷函數(shù)f(x)log2(x2)x在[1,3]上是否存在零點?
42.已知x[1,3],且ax34x21恒成立,則a的最大值為.
36.已知函數(shù)yx32x2mx在區(qū)間(0,1)上為減函數(shù),則m的取值范圍是___________.
7.已知函數(shù)ylnx2ax2在區(qū)間[1,2]上為增函數(shù),則a的取值范圍是___________
8.已知函數(shù)yx3ax2在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù),則a的取值范圍是___________
9.已知函數(shù)yexx2ax在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù),則a的取值范圍是___________
10.已知函數(shù)yax2lnx在區(qū)間[1,2]上為增函數(shù),則a的取值范圍是___________
111.已知函數(shù)f(x)x3x22xc,若對于x[1,2],不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范圍.
212.若函數(shù)f(x)x33xa有3個不同的零點,求實數(shù)a的取值范圍.5.是否存在實數(shù)m,使得函數(shù)f(x)x28x與g(x)6lnxm的圖像有且只有三個不同的交點?若存在求出m的范圍,若不存在說明理由.
(備用)已知函數(shù)y3x32x21在區(qū)間(m,0)上為減函數(shù),則m的取值范圍是__________.
題型七:綜合應(yīng)用題
1.已知x1是函數(shù)f(x)mx33(m1)x2nx1(m0)的一個極值點,(1)求m與n的關(guān)系式;(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)當(dāng)x[1,1]時,函數(shù)yf(x)的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3m,求m的取值范圍.
擴(kuò)展閱讀:高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)知識點歸納總結(jié)及例題
導(dǎo)數(shù)
考試內(nèi)容:
導(dǎo)數(shù)的背影.導(dǎo)數(shù)的概念.多項式函數(shù)的導(dǎo)數(shù).利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值.函數(shù)的最大值和最小值.考試要求:(1)了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實際背景.(2)理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.(3)掌握函數(shù),y=c(c為常數(shù))、y=xn(n∈N+)的導(dǎo)數(shù)公式,會求多項式函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(4)理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念,并會用導(dǎo)數(shù)求多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極大值、極小值及閉區(qū)間上的最大值和最小值.(5)會利用導(dǎo)數(shù)求某些簡單實際問題的最大值和最小值.
14.導(dǎo)數(shù)知識要點導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的幾何意義、物理意義常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的運算法則函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的極值函數(shù)的最值導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的運算導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.導(dǎo)數(shù)(導(dǎo)函數(shù)的簡稱)的定義:設(shè)x0是函數(shù)yf(x)定義域的一點,如果自變量x在x0處有增量x,則函數(shù)值y也引起相應(yīng)的增量yf(x0x)f(x0);比值yf(x0x)f(x0)稱為函數(shù)yf(x)在點x0到x0x之間的平均變化率;如果極限xxf(x0x)f(x0)y存在,則稱函數(shù)yf(x)在點x0處可導(dǎo),并把這個極限叫做limx0xx0xlim記作f"(x0)或y"|xx0,即f"(x0)=limyf(x)在x0處的導(dǎo)數(shù),
f(x0x)f(x0)y.limx0xx0x注:①x是增量,我們也稱為“改變量”,因為x可正,可負(fù),但不為零.
②以知函數(shù)yf(x)定義域為A,yf"(x)的定義域為B,則A與B關(guān)系為AB.2.函數(shù)yf(x)在點x0處連續(xù)與點x0處可導(dǎo)的關(guān)系:
⑴函數(shù)yf(x)在點x0處連續(xù)是yf(x)在點x0處可導(dǎo)的必要不充分條件.可以證明,如果yf(x)在點x0處可導(dǎo),那么yf(x)點x0處連續(xù).事實上,令xx0x,則xx0相當(dāng)于x0.
1于是limf(x)limf(x0x)lim[f(xx0)f(x0)f(x0)]
xx0x0x0lim[x0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)xf(x0)]limlimlimf(x0)f"(x0)0f(x0)f(x0).x0x0x0xxy|x|,當(dāng)x>0時,xx⑵如果yf(x)點x0處連續(xù),那么yf(x)在點x0處可導(dǎo),是不成立的.例:f(x)|x|在點x00處連續(xù),但在點x00處不可導(dǎo),因為yyy不存在.1;當(dāng)x<0時,1,故limx0xxx注:①可導(dǎo)的奇函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù).②可導(dǎo)的偶函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).
3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:
函數(shù)yf(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線yf(x)在點(x0,f(x))處的切線的斜率,也就是說,曲線yf(x)在點P(x0,f(x))處的切線的斜率是f"(x0),切線方程為
yy0f"(x)(xx0).
4.求導(dǎo)數(shù)的四則運算法則:
(uv)"u"v"yf1(x)f2(x)...fn(x)y"f1"(x)f2"(x)...fn"(x)
(uv)"vu"v"u(cv)"c"vcv"cv"(c為常數(shù))
vu"v"uu(v0)2vv"注:①u,v必須是可導(dǎo)函數(shù).
②若兩個函數(shù)可導(dǎo),則它們和、差、積、商必可導(dǎo);若兩個函數(shù)均不可導(dǎo),則它們的和、差、
積、商不一定不可導(dǎo).例如:設(shè)f(x)2sinx22,g(x)cosx,則f(x),g(x)在x0處均不可導(dǎo),但它們和xxf(x)g(x)sinxcosx在x0處均可導(dǎo).
5.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則:fx"((x))f"(u)"(x)或y"xy"uu"x復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可推廣到多個中間變量的情形.
6.函數(shù)單調(diào)性:
⑴函數(shù)單調(diào)性的判定方法:設(shè)函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),如果f"(x)>0,則yf(x)為增函數(shù);如果f"(x)<0,則yf(x)為減函數(shù).⑵常數(shù)的判定方法;
如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間I內(nèi)恒有f"(x)=0,則yf(x)為常數(shù).
注:①f(x)0是f(x)遞增的充分條件,但不是必要條件,如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0,有一個點例外即x=0時f(x)=0,同樣f(x)0是f(x)遞減的充分非必
2要條件.
②一般地,如果f(x)在某區(qū)間內(nèi)有限個點處為零,在其余各點均為正(或負(fù)),那么f(x)在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加(或單調(diào)減少)的.7.極值的判別方法:(極值是在x0附近所有的點,都有f(x)<f(x0),則f(x0)是函數(shù)f(x)的極大值,極小值同理)
當(dāng)函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)時,
①如果在x0附近的左側(cè)f"(x)>0,右側(cè)f"(x)<0,那么f(x0)是極大值;②如果在x0附近的左側(cè)f"(x)<0,右側(cè)f"(x)>0,那么f(x0)是極小值.
也就是說x0是極值點的充分條件是x0點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號,而不是f"(x)=0.此外,函數(shù)不
①可導(dǎo)的點也可能是函數(shù)的極值點.當(dāng)然,極值是一個局部概念,極值點的大小關(guān)系是不確定的,即有可能極大值比極小值。ê瘮(shù)在某一點附近的點不同).
②注①:若點x0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點,則f"(x)=0.但反過來不一定成立.對于可導(dǎo)函數(shù),其一點x0是極值點的必要條件是若函數(shù)在該點可導(dǎo),則導(dǎo)數(shù)值為零.例如:函數(shù)yf(x)x3,x0使f"(x)=0,但x0不是極值點.
②例如:函數(shù)yf(x)|x|,在點x0處不可導(dǎo),但點x0是函數(shù)的極小值點.
8.極值與最值的區(qū)別:極值是在局部對函數(shù)值進(jìn)行比較,最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值進(jìn)行比較.注:函數(shù)的極值點一定有意義.9.幾種常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù):
"I.C"0(C為常數(shù))(sinx)cosx(arcsinx)"11x2
(xn)"nxn1(nR)(cosx)"sinx(arccosx)"11x2
1"11"(arctanx)II.(lnx)(logax)logae
xxx21"(ex)"ex(ax)"axlna(arccotx)"III.求導(dǎo)的常見方法:①常用結(jié)論:(ln|x|)"1x21
(xa1)(xa2)...(xan)1.②形如y(xa1)(xa2)...(xan)或y兩
(xb1)(xb2)...(xbn)x邊同取自然對數(shù),可轉(zhuǎn)化求代數(shù)和形式.
③無理函數(shù)或形如yxx這類函數(shù),如yxx取自然對數(shù)之后可變形為lnyxlnx,對兩邊
y"1lnxxy"ylnxyy"xxlnxxx.求導(dǎo)可得yx3
導(dǎo)數(shù)中的切線問題
例題1:已知切點,求曲線的切線方程
曲線yx33x21在點(1,1)處的切線方程為()
例題2:已知斜率,求曲線的切線方程
與直線2xy40的平行的拋物線yx2的切線方程是()
注意:此題所給的曲線是拋物線,故也可利用法加以解決,即設(shè)切線方程為y2xb,代入yx2,得x22xb0,又因為0,得b1,故選D.
例題3:已知過曲線上一點,求切線方程
過曲線上一點的切線,該點未必是切點,故應(yīng)先設(shè)切點,再求切點,即用待定切點法.求過曲線yx32x上的點(1,1)的切線方程.
例題4:已知過曲線外一點,求切線方程
1求過點(2,0)且與曲線y相切的直線方程.
x4練習(xí)題:已知函數(shù)yx33x,過點A(016),作曲線yf(x)的切線,求此切線方程.看看幾個高考題
1.(201*全國卷Ⅱ)曲線yx在點1,1處的切線方程為2x122.(201*江西卷)設(shè)函數(shù)f(x)g(x)x,曲線yg(x)在點(1,g(1))處的切線方程為y2x1,則曲線yf(x)在點(1,f(1))處切線的斜率為
3.(201*寧夏海南卷)曲線yxe2x1在點(0,1)處的切線方程為。4.(201*浙江)(本題滿分15分)已知函數(shù)f(x)x(1a)xa(a2)xb(a,bR).(I)若函數(shù)f(x)的圖象過原點,且在原點處的切線斜率是3,求a,b的值;5.(201*北京)(本小題共14分)
設(shè)函數(shù)f(x)x3axb(a0).
(Ⅰ)若曲線yf(x)在點(2,f(x))處與直線y8相切,求a,b的值;
332x.1函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)
1.利用導(dǎo)數(shù)的符號來判斷函數(shù)單調(diào)性:一般地,設(shè)函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間可導(dǎo),
如果在這個區(qū)間內(nèi)f(x)0,則yf(x)為這個區(qū)間內(nèi)的;如果在這個區(qū)間內(nèi)f(x)0,則yf(x)為這個區(qū)間內(nèi)的。2.利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性的步驟:
(1)確定函數(shù)f(x)的定義域;(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù);
(3)解不等式f(x)>0,得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;解不等式f(x)<0,得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.
5""
【例題講解】
a)b)確定函數(shù)f(x)=2x3-6x2+7在哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù),哪個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù).
【課堂練習(xí)】
1.確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1)y=x3-9x2+24x(2)y=3x-x3
2.已知函數(shù)f(x)xlnx,則()
A.在(0,)上遞增B.在(0,)上遞減
求證:yx1在(,0)上是增函數(shù)。
311ee323.函數(shù)f(x)x3x5的單調(diào)遞增區(qū)間是_____________.
C.在0,上遞增D.在0,上遞減
6函數(shù)圖象及其導(dǎo)函數(shù)圖象31.函數(shù)yf(x)在定義域(,3)內(nèi)可導(dǎo),其圖象如
2圖,記yf(x)的導(dǎo)函數(shù)為yf(x),則不等式f(x)0的解集為_____________2.函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(//3,3),導(dǎo)函數(shù)2yf(x)
3f(x)在(,3)內(nèi)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)2的單調(diào)增區(qū)間是_____________
3.如圖為函數(shù)f(x)ax3bx2cxd的圖象,f"(x)為函數(shù)
f(x)的導(dǎo)函數(shù),則不等式xf"(x)0的解集為______
-3yo3x
4.若函數(shù)f(x)xbxc的圖象的頂點在第四象限,則其導(dǎo)函數(shù)f"(x)的圖象是()
25.函數(shù)yf(x)的圖象過原點且它的導(dǎo)函數(shù)f"(x)的圖象是如圖所示的一
條直線,則yf(x)圖象的頂點在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限6.(201*年廣東佛山)設(shè)f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),yf(x)的圖象如右圖所示,則yf(x)的圖象最有可能的是()
yyy2yyf(x)
yO12xO12A
xO12B
xO1CxO12Dx7.設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo),y=f(x)的圖象如下左圖所示,則導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖象可能
為()
78.(安微省合肥市201*年高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測文科)函數(shù)yf(x)的圖像如下右圖
所示,則yf(x)的圖像可能是
()9.(201*年3月廣東省深圳市高三年級第一次調(diào)研考試文科)已
yox(x)ax2bxc的圖象如右圖,則知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)ff(x)的圖象可能是()
10.(201*年浙江省寧波市高三“十校”聯(lián)考文科)如右圖所示是某一
容器的三視圖,現(xiàn)向容器中勻速注水,容器中水面的高度h隨時間t變化的可能圖象是()hhhOtOtO
(A)(B)(C)
正視圖側(cè)視圖h俯視圖tOt"(D)
11.(201*廣州二模文、理)已知二次函數(shù)fx的圖象如圖1所示,則其導(dǎo)函數(shù)f象大致形狀是()
x的圖
812.(201*湖南卷文)若函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù),則函數(shù)yf(x)...
在區(qū)間[a,b]上的圖象可能是yyy
()yoabxoA.B.C.D.
aobxa
obxa
bx13.(福建卷11)如果函數(shù)yf(x)的圖象如右圖,那么導(dǎo)
函數(shù)yf(x)的圖象可能是()
14.(201*年福建卷12)已知函數(shù)y=f(x),y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖,那么
y=f(x),y=g(x)的圖象可能是()
15.(201*珠海一模文、理)設(shè)f"(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),將yf(x)和yf"(x)的圖
像畫在同一個直角坐標(biāo)系中,不可能正確的是()
9A.
B.C.D.y
16.(湖南省株洲市201*屆高三第二次質(zhì)檢)已知函數(shù)
則()yf(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖像如下,函數(shù)f(x)有1個極大值點,1個極小值點
f(x)有2個極大值點,2個極小值點
函數(shù)f(x)有3個極大值點,1個極小值點函數(shù)f(x)有1個極大值點,3個極小值點
函數(shù)
1xx2x3Ox4x
17.(201*珠海質(zhì)檢理)函數(shù)f(x)的定義域為
(a,b),其導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)極小值點的個數(shù)是()
(A).1
(B).2(C).3(D).4
118.【湛江市文】函數(shù)f(x)lnxx2的圖象大致是
2yOyyyxOxOxOxA.B.C.D.
219.【珠海文】如圖是二次函數(shù)f(x)xbxa的部分圖
象,則函數(shù)g(x)lnxf(x)的零點所在的區(qū)間是()
111422C.(1,2)D.(2,3)
A.(,)B.(,1)
20.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(4)1.f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),已知函數(shù)yf(x)的圖象如右圖所示.若兩正數(shù)a,b滿足yb2的取值范圍是()f(2ab)1,則a210
Ox
1111)B.(,)3,C.(,3)D.(,3)A.(,22)ax3bx2cx在點x0處取得極大值5,
f"(x)的圖象經(jīng)過點(1,0),(2,0),如圖所
的值.11
3221.已知函數(shù)f(x其導(dǎo)函數(shù)y示.求:
(Ⅰ)x0的值;(Ⅱ)a,b,c
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