初三《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)201*.11.4
《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)
《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)
一、圓的概念
集合形式的概念:1、圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合;2、圓的外部:可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合;3、圓的內(nèi)部:可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合軌跡形式的概念:
1、圓:到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心,定長(zhǎng)為半徑的圓;
(補(bǔ)充)2、垂直平分線:到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線(也叫
中垂線);
3、角的平分線:到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線;
4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是:平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長(zhǎng)的兩條直線;
5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是:平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。
二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
1、點(diǎn)在圓內(nèi)dr點(diǎn)C在圓內(nèi);2、點(diǎn)在圓上dr點(diǎn)B在圓上;3、點(diǎn)在圓外dr點(diǎn)A在圓外;
三、直線與圓的位置關(guān)系
1、直線與圓相離dr無(wú)交點(diǎn);2、直線與圓相切dr有一個(gè)交點(diǎn);3、直線與圓相交dr有兩個(gè)交點(diǎn);
ArBdCdOrdd=rrd
四、圓與圓的位置關(guān)系
《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)
外離(圖1)無(wú)交點(diǎn)dRr;外切(圖2)有一個(gè)交點(diǎn)dRr;相交(圖3)有兩個(gè)交點(diǎn)RrdRr;內(nèi)切(圖4)有一個(gè)交點(diǎn)dRr;內(nèi)含(圖5)無(wú)交點(diǎn)dRr;
dR圖1rRdr圖2dR圖3r
d五、垂徑定理
圖4RrdrR圖5垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。
推論1:(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條;(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分弦所對(duì)的兩條。
(3)平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧以上共4個(gè)定理,簡(jiǎn)稱2推3定理:此定理中共5個(gè)結(jié)論中,只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論,即:
①AB是直徑②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即:在⊙O中,∵AB∥CD∴弧AC弧BD
六、圓心角定理
COABCBADOED《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)
圓心角定理:同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弦相等,所對(duì)的弧相等,弦心距相等。此定理也稱1推3定理,即上述四個(gè)結(jié)論中,
只要知道其中的1個(gè)相等,則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論,即:①AOBDOE;②ABDE;
③OCOF;④弧BA弧BD
七、圓周角定理
1、圓周角定理:同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半。即:∵AOB和ACB是弧AB所對(duì)的圓心角和圓周角∴AOB2ACB2、圓周角定理的推論:
推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧是等弧;
即:在⊙O中,∵C、D都是所對(duì)的圓周角∴CD
推論2:半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角;圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓,所對(duì)的弦是直徑。
即:在⊙O中,∵AB是直徑或∵C90∴C90∴AB是直徑
推論3:若三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個(gè)三角形是直角三角形。
即:在△ABC中,∵OCOAOB
∴△ABC是直角三角形或C90
BOCAOEFDCBCBOADCBOACBOAA注:此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論:在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。
八、圓內(nèi)接四邊形
《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)
圓的內(nèi)接四邊形定理:圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ),外角等于它的內(nèi)對(duì)角。即:在⊙O中,
∵四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形
∴CBAD180BD180DAEC
九、切線的性質(zhì)與判定定理
(1)切線的判定定理:過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線;兩個(gè)條件:過半徑外端且垂直半徑,二者缺一不可即:∵M(jìn)NOA且MN過半徑OA外端∴MN是⊙O的切線
OCDBAE(2)性質(zhì)定理:切線垂直于過切點(diǎn)的半徑(如上圖)推論1:過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。推論2:過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理:
即:①過圓心;②過切點(diǎn);③垂直切線,三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。
十、切線長(zhǎng)定理切線長(zhǎng)定理:
從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng)相等,這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。
即:∵PA、PB是的兩條切線∴PAPB
PBMANOPO平分BPA
十一、圓冪定理
BOPCADA《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)
(1)相交弦定理:圓內(nèi)兩弦相交,交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。即:在⊙O中,∵弦AB、CD相交于點(diǎn)P,∴PAPBPCPD
(2)推論:如果弦與直徑垂直相交,那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。
即:在⊙O中,∵直徑ABCD,∴CEAEBE
(3)切割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線,切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。即:在⊙O中,∵PA是切線,PB是割線∴PAPCPB
(4)割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線,這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等(如上圖)。
即:在⊙O中,∵PB、PE是割線∴PCPBPDPE
十二、兩圓公共弦定理
圓公共弦定理:兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓的公共弦。
如圖:O1O2垂直平分AB。
即:∵⊙O1、⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)∴O1O2垂直平分AB十三、圓的公切線兩圓公切線長(zhǎng)的計(jì)算公式:
(1)公切線長(zhǎng):RtO1O2C中,AB2CO12O1O22CO22;
(2)外公切線長(zhǎng):CO2是半徑之差;內(nèi)公切線長(zhǎng):CO2是半徑之和。十四、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算
C22CBOEDAADPCOBEAO1BO2的
ACO2BO1-5-
OBAD《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)
(1)正三角形
在⊙O中△ABC是正三角形,有關(guān)計(jì)算在RtBOD中進(jìn)行:OD:BD:OB1:3:2;
(2)正四邊形
同理,四邊形的有關(guān)計(jì)算在RtOAE中進(jìn)行,OE:AE:OA1:1:2:
十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式1、扇形:(1)弧長(zhǎng)公式:lABOACEDnR;180OSlnR21(2)扇形面積公式:SlR
3602Bn:圓心角R:扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑l:扇形弧長(zhǎng)S:扇形面積
2、圓柱:
(1)圓柱側(cè)面展開圖
2S表S側(cè)2S底=2rh2r
ADD1母線長(zhǎng)底面圓周長(zhǎng)B(2)圓柱的體積:Vrh
(2)圓錐側(cè)面展開圖
O2CB1C1(1)S表S側(cè)S底=Rrr
212(2)圓錐的體積:Vrh
3ARCrB
擴(kuò)展閱讀:初三《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)201*.11.4
新初四暑期圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)周若楠
一、圓的概念
集合形式的概念:1、圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合;2、圓的外部:可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合;3、圓的內(nèi)部:可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合軌跡形式的概念:
1、圓:到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心,定長(zhǎng)為半徑的圓;
(補(bǔ)充)2、垂直平分線:到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線(也叫中垂線);3、角的平分線:到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線;
4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是:平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長(zhǎng)的兩條直線;5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是:平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。
二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
1、點(diǎn)在圓內(nèi)dr點(diǎn)C在圓內(nèi);2、點(diǎn)在圓上dr點(diǎn)B在圓上;3、點(diǎn)在圓外dr點(diǎn)A在圓外;
三、直線與圓的位置關(guān)系
1、直線與圓相離dr無(wú)交點(diǎn);2、直線與圓相切dr有一個(gè)交點(diǎn);3、直線與圓相交dr有兩個(gè)交點(diǎn);
ArBdCdOrdd=rrd
四、圓與圓的位置關(guān)系
外離(圖1)無(wú)交點(diǎn)dRr;外切(圖2)有一個(gè)交點(diǎn)dRr;相交(圖3)有兩個(gè)交點(diǎn)RrdRr;內(nèi)切(圖4)有一個(gè)交點(diǎn)dRr;內(nèi)含(圖5)無(wú)交點(diǎn)dRr;
新初四暑期圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)周若楠
dR圖1rR圖2drdR圖3r
d五、垂徑定理
圖4RrdrR圖5垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。
推論1:(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條;(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分弦所對(duì)的兩條;
(3)平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧
以上共4個(gè)定理,簡(jiǎn)稱2推3定理:此定理中共5個(gè)結(jié)論中,只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論,即:①AB是直徑②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。
A推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即:在⊙O中,∵AB∥CD∴弧AC弧BD
六、圓心角定理
圓心角定理:同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弦相等,所對(duì)的弧相等,弦心距相等。此定理也稱1推3定理,即上述四個(gè)結(jié)論中,
ECOADOBCBED只要知道其中的1個(gè)相等,則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論,
F即:①AOBDOE;②ABDE;
③OCOF;④弧BA弧BD
AODC
-2-
B新初四暑期圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)周若楠
七、圓周角定理
1、圓周角定理:同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半。即:∵AOB和ACB是弧AB所對(duì)的圓心角和圓周角∴AOB2ACB
BOAC2、圓周角定理的推論:
推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧是等;即:在⊙O中,∵C、D都是所對(duì)的圓周角∴CD
BDCOAC推論2:半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角;圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓,所對(duì)的弦是直徑。即:在⊙O中,∵AB是直徑或∵C90∴C90∴AB是直徑
CBOA推論3:若三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個(gè)三角形是直角三角形。即:在△ABC中,∵OCOAOB
∴△ABC是直角三角形或C90
注:此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論:在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。
八、圓內(nèi)接四邊形
圓的內(nèi)接四邊形定理:圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ),外角等于它的內(nèi)對(duì)角。即:在⊙O中,
∵四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形
∴CBAD180BD180DAEC
九、切線的性質(zhì)與判定定理
(1)切線的判定定理:過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線;兩個(gè)條件:過半徑外端且垂直半徑,二者缺一不可即:∵M(jìn)NOA且MN過半徑OA外端
MANOBOACDBAE新初四暑期圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)周若楠
∴MN是⊙O的切線(2)性質(zhì)定理:切線垂直于過切點(diǎn)的半徑(如上圖)推論1:過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。推論2:過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理:
即:①過圓心;②過切點(diǎn);③垂直切線,三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。
十、切線長(zhǎng)定理切線長(zhǎng)定理:
從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng)相等,這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即:∵PA、PB是的兩條切線∴PAPBPO平分BPA
PBO
十一、圓冪定理(此定理需要掌握,課本沒有,可能做題要涉及)(1)相交弦定理:圓內(nèi)兩弦相交,交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。即:在⊙O中,∵弦AB、CD相交于點(diǎn)P,∴PAPBPCPD
CBOPADA(2)推論:如果弦與直徑垂直相交,那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。即:在⊙O中,∵直徑ABCD,
BCOEAD∴CEAEBE
(3)切割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線,切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。
PD2AEO即:在⊙O中,∵PA是切線,PB是割線∴PAPCPB
2CB(4)割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線,這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等(如上圖)。即:在⊙O中,∵PB、PE是割線∴PCPBPDPE
新初四暑期圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)周若楠
十二、兩圓公共弦定理
圓公共弦定理:兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓的的公共弦。如圖:O1O2垂直平分AB。
即:∵⊙O1、⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)∴O1O2垂直平分AB十三、圓的公切線兩圓公切線長(zhǎng)的計(jì)算公式:
(1)公切線長(zhǎng):RtO1O2C中,ABCOO1O2CO2;
(2)外公切線長(zhǎng):CO2是半徑之差;內(nèi)公切線長(zhǎng):CO2是半徑之和。十四、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算(1)正三角形
在⊙O中△ABC是正三角形,有關(guān)計(jì)算在RtBOD中進(jìn)行:
OBAC22122AO1BO2ACO2BO1OD:BD:OB1:3:2;
DBCO(2)正四邊形
同理,四邊形的有關(guān)計(jì)算在RtOAE中進(jìn)行,OE:AE:OA1:1:2:
(3)正六邊形
同理,六邊形的有關(guān)計(jì)算在RtOAB中進(jìn)行,AB:OB:OA1:3:2.
十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式1、扇形:(1)弧長(zhǎng)公式:lAAEDOBAnR;180OSlnR21lR(2)扇形面積公式:S3602Bn:圓心角R:扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑l:扇形弧長(zhǎng)S:扇形面積
新初四暑期圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)周若楠
2、圓柱:
(1)圓柱側(cè)面展開圖
S表S側(cè)2S底=2rh2r2
(2)圓柱的體積:Vr2h
(2)圓錐側(cè)面展開圖
(1)S表S側(cè)S底=Rrr2
(2)圓錐的體積:V123rh
ADD1母線長(zhǎng)底面圓周長(zhǎng)BCC1B1ORCArB
友情提示:本文中關(guān)于《初三《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)201*.11.4》給出的范例僅供您參考拓展思維使用,初三《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)201*.11.4:該篇文章建議您自主創(chuàng)作。
來源:網(wǎng)絡(luò)整理 免責(zé)聲明:本文僅限學(xué)習(xí)分享,如產(chǎn)生版權(quán)問題,請(qǐng)聯(lián)系我們及時(shí)刪除。