高考復(fù)習(xí)經(jīng)典方法技巧總結(jié)系列
高三一輪復(fù)習(xí)講座一----集合與簡易邏輯
一、復(fù)習(xí)要求
1、理解集合及表示法,掌握子集,全集與補(bǔ)集,子集與并集的定義;2、掌握含絕對值不等式及一元二次不等式的解法;
3、理解邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義,會熟練地轉(zhuǎn)化四種命題,掌握反證法;
4、理解充分條件,必要條件及充要條件的意義,會判斷兩個命題的充要關(guān)系;5、學(xué)會用定義解題,理解數(shù)形結(jié)合,分類討論及等價變換等思想方法。
則p“,逆否命題為”若非q則非p“。其中互為逆否的兩個命題同真假,即等價。因此,四種命題為真的個數(shù)只能是偶數(shù)個。
5、充分條件與必要條件
(1)定義:對命題“若p則q”而言,當(dāng)它是真命題時,p是q的充分條件,q是p的必要條件,當(dāng)它的逆命題為真時,q是p的充分條件,p是q的必要條件,兩種命題均為真時,稱p是q的充要條件;
(2)在判斷充分條件及必要條件時,首先要分清哪個命題是條件,哪個命題是結(jié)論,其次,結(jié)論要分四種情況說明:充分不必要條件,必要不充分條件,充分且必要條件,既不充分又不必要條件。從集合角度看,若記滿足條件p的所有對象組成集合A,滿足條件q的所有對象組成集合q,則當(dāng)AB時,p是q的充分條件。BA時,p是q的充分條件。A=B時,p是q的充要條件;
(3)當(dāng)p和q互為充要時,體現(xiàn)了命題等價轉(zhuǎn)換的思想。
6、反證法是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要方法。會用反證法證明一些代數(shù)命題。
7、集合概念及其基本理論是近代數(shù)學(xué)最基本的內(nèi)容之一。學(xué)會用集合的思想處理數(shù)學(xué)問題。
二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)
1、集合的概念:
(1)集合中元素特征,確定性,互異性,無序性;(2)集合的分類:
①按元素個數(shù)分:有限集,無限集;
②按元素特征分;數(shù)集,點(diǎn)集。如數(shù)集{y|y=x2},表示非負(fù)實(shí)數(shù)集,點(diǎn)集{(x,y)|y=x2}表示開口向上,以y軸為對稱軸的拋物線;
(3)集合的表示法:
①列舉法:用來表示有限集或具有顯著規(guī)律的無限集,如N+={0,1,2,3,};②描述法。
2、兩類關(guān)系:
(1)元素與集合的關(guān)系,用或表示;
(2)集合與集合的關(guān)系,用,,=表示,當(dāng)AB時,稱A是B的子集;當(dāng)AB時,稱
三、典型例題
例1、已知集合M={y|y=x+1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},求M∩N。
解題思路分析:
在集合運(yùn)算之前,首先要識別集合,即認(rèn)清集合中元素的特征。M、N均為數(shù)集,不能誤認(rèn)為是點(diǎn)集,從而解方程組。其次要化簡集合,或者說使集合的特征明朗化。M={y|y=x2+1,x∈R}={y|y≥1},N={y|y=x+1,x∈R}={y|y∈R}
∴M∩N=M={y|y≥1}
說明:實(shí)際上,從函數(shù)角度看,本題中的M,N分別是二次函數(shù)和一次函數(shù)的值域。一般地,集合{y|y=f(x),x∈A}應(yīng)看成是函數(shù)y=f(x)的值域,通過求函數(shù)值域化簡集合。此集合與集合{(x,y)|y=x2+1,x∈R}是有本質(zhì)差異的,后者是點(diǎn)集,表示拋物線y=x2+1上的所有點(diǎn),屬于圖形范疇。集合中元素特征與代表元素的字母無關(guān),例{y|y≥1}={x|x≥1}。
例2、已知集合A={x|x2-3x+2=0},B+{x|x2-mx+2=0},且A∩B=B,求實(shí)數(shù)m范圍。解題思路分析:
化簡條件得A={1,2},A∩B=BBA
根據(jù)集合中元素個數(shù)集合B分類討論,B=φ,B={1}或{2},B={1,2}當(dāng)B=φ時,△=m-8當(dāng)B={1}或{2}時,當(dāng)B={1,2}時,∴m=3
01m20或42m20,m無解
充分性:設(shè)a,b滿足17a+4b=11∴b1117a4
1117a4012m122
代入方程:axy整理得:(y114
綜上所述,m=3或22m22
說明:分類討論是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想,全面地挖掘題中隱藏條件是解題素質(zhì)的一個重要方面,如本題當(dāng)B={1}或{2}時,不能遺漏△=0。
例3、用反證法證明:已知x、y∈R,x+y≥2,求證x、y中至少有一個大于1。解題思路分析:
假設(shè)xA、SBAB、S=BAC、SB=AD、SB=A
9、方程mx+2x+1=0至少有一個負(fù)根的充要條件是A、0
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高三一輪復(fù)習(xí)講座二----函數(shù)
一、復(fù)習(xí)要求
1、函數(shù)的定義及通性;2、函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用。
(2)單調(diào)性:研究函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)結(jié)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間,單調(diào)區(qū)間應(yīng)是定義域的子集。
判斷函數(shù)單調(diào)性的方法:①定義法,即比差法;②圖象法;③單調(diào)性的運(yùn)算性質(zhì)(實(shí)質(zhì)上是不等式性質(zhì));④復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷法則。
函數(shù)單調(diào)性是單調(diào)區(qū)間上普遍成立的性質(zhì),是單調(diào)區(qū)間上恒成立的不等式。
函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)性質(zhì)中最活躍的性質(zhì),它的運(yùn)用主要體現(xiàn)在不等式方面,如比較大小,解抽象函數(shù)不等式等。
(3)周期性:周期性主要運(yùn)用在三角函數(shù)及抽象函數(shù)中,是化歸思想的重要手段。
求周期的重要方法:①定義法;②公式法;③圖象法;④利用重要結(jié)論:若函數(shù)f(x)滿足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a≠b,則T=2|a-b|。
(4)反函數(shù):函數(shù)是否是有反函數(shù)是函數(shù)概念的重要運(yùn)用之一,在求反函數(shù)之前首先要判斷函數(shù)是否具備反函數(shù),函數(shù)f(x)的反函數(shù)f(x)的性質(zhì)與f(x)性質(zhì)緊密相連,如定義域、值域互換,具有相同的單調(diào)性等,把反函數(shù)f(x)的問題化歸為函數(shù)f(x)的問題是處理反函數(shù)問題的重要思想。
設(shè)函數(shù)f(x)定義域為A,值域為C,則f[f(x)]=x,x∈Af[f(x)]=x,x∈C2、函數(shù)的圖象
函數(shù)的圖象既是函數(shù)性質(zhì)的一個重要方面,又能直觀地反映函數(shù)的性質(zhì),在解題過程中,充分發(fā)揮圖象的工具作用。
圖象作法:①描點(diǎn)法;②圖象變換。應(yīng)掌握常見的圖象變換。
4、本單常見的初等函數(shù);一次函數(shù),二次函數(shù),反比例函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù)。在具體的對應(yīng)法則下理解函數(shù)的通性,掌握這些具體對應(yīng)法則的性質(zhì)。分段函數(shù)是重要的函數(shù)模型。
對于抽象函數(shù),通常是抓住函數(shù)特性是定義域上恒等式,利用賦值法(變量代換法)解題。聯(lián)系到具體的函數(shù)模型可以簡便地找到解題思路,及解題突破口。
應(yīng)用題是函數(shù)性質(zhì)運(yùn)用的重要題型。審清題意,找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系,把握好模型是解應(yīng)用題的關(guān)鍵。
5、主要思想方法:數(shù)形結(jié)合,分類討論,函數(shù)方程,化歸等。
-1-1
-1-1二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)
1、函數(shù)的概念:
(1)映射:設(shè)非空數(shù)集A,B,若對集合A中任一元素a,在集合B中有唯一元素b與之對應(yīng),則稱從A到B的對應(yīng)為映射,記為f:A→B,f表示對應(yīng)法則,b=f(a)。若A中不同元素的象也不同,則稱映射為單射,若B中每一個元素都有原象與之對應(yīng),則稱映射為滿射。既是單射又是滿射的映射稱為一一映射。
(2)函數(shù)定義:函數(shù)就是定義在非空數(shù)集A,B上的映射,此時稱數(shù)集A為定義域,象集C={f(x)|x∈A}為值域。定義域,對應(yīng)法則,值域構(gòu)成了函數(shù)的三要素,從邏輯上講,定義域,對應(yīng)法則決定了值域,是兩個最基本的因素。逆過來,值域也會限制定義域。
求函數(shù)定義域,通過解關(guān)于自變量的不等式(組)來實(shí)現(xiàn)的。要熟記基本初等函數(shù)的定義域,通過四則運(yùn)算構(gòu)成的初等函數(shù),其定義域是每個初等函數(shù)定義域的交集。復(fù)合函數(shù)定義域,不僅要考慮內(nèi)函數(shù)的定義域,還要考慮到外函數(shù)對應(yīng)法則的要求。理解函數(shù)定義域,應(yīng)緊密聯(lián)系對應(yīng)法則。函數(shù)定義域是研究函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)和前提。
函數(shù)對應(yīng)法則通常表現(xiàn)為表格,解析式和圖象。其中解析式是最常見的表現(xiàn)形式。求已知類型函數(shù)解析式的方法是待定系數(shù)法,抽象函數(shù)的解析式常用換元法及湊合法。
求函數(shù)值域是函數(shù)中常見問題,在初等數(shù)學(xué)范圍內(nèi),直接法的途徑有單調(diào)性,基本不等式及幾何意義,間接法的途徑為函數(shù)與方程的思想,表現(xiàn)為△法,反函數(shù)法等,在高等數(shù)學(xué)范圍內(nèi),用導(dǎo)數(shù)法求某些函數(shù)最值(極值)更加方便。
在中學(xué)數(shù)學(xué)的各個部分都存在著求取值范圍這一典型問題,它的一種典型處理方法就是建立函數(shù)解析式,借助于求函數(shù)值域的方法。
2、函數(shù)的通性
(1)奇偶性:函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是判斷函數(shù)奇偶性的必要條件,在利用定義判斷時,f(x)1(f(x)應(yīng)在化簡解析式后進(jìn)行,同時靈活運(yùn)用定義域的變形,如f(x)f(x)0,
f(x)三、典型例題
例1、已知f(x)的值。
分析:
1≠0)。
奇偶性的幾何意義是兩種特殊的圖象對稱。
函數(shù)的奇偶性是定義域上的普遍性質(zhì),定義式是定義域上的恒等式。利用奇偶性的運(yùn)算性質(zhì)可以簡化判斷奇偶性的步驟。
2x3-1
,函數(shù)y=g(x)圖象與y=f(x+1)的圖象關(guān)于直線y=x對稱,求g(11)x利用數(shù)形對應(yīng)的關(guān)系,可知y=g(x)是y=f(x+1)的反函數(shù),從而化g(x)問題為已知f(x)!遹=f(x+1)∴x+1=f(y)∴x=f(y)-1
∴y=f(x+1)的反函數(shù)為y=f(x)-1即g(x)=f(x)-1∴g(11)=f(11)-1=
-1-1
-1則f(x)+g(x)=(a-1)x+bx+c-3a10由已知f(x)+g(x)為奇函數(shù)
c30a1∴
c32
32∴f(x)=x+bx+3
下面通過確定f(x)在[-1,2]上何時取最小值來確定b,分類討論。
2評注:函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系是互為逆運(yùn)算的關(guān)系,當(dāng)f(x)存在反函數(shù)時,若b=f(a),則a=f(b)。
例2、設(shè)f(x)是定義在(-∞,+∞)上的函數(shù),對一切x∈R均有f(x)+f(x+2)=0,當(dāng)-1f(a+b)=f(a)f(b),(1)求證:f(0)=1;
(2)求證:對任意的x∈R,恒有f(x)>0;(3)證明:f(x)是R上的增函數(shù);
(4)若f(x)f(2x-x)>1,求x的取值范圍。分析:
(1)令a=b=0,則f(0)=[f(0)]∵f(0)≠0∴f(0)=1(2)令a=x,b=-x則f(0)=f(x)f(-x)∴f(x)1f(x)2
2例5、已知lgx+lgy=2lg(x-2y),求log分析:
2x的值。y在化對數(shù)式為代數(shù)式過程中,全面挖掘x、y滿足的條件
x0,y0由已知得x2y0
2xy(x2y)∴x=4y,∴l(xiāng)ogx4y22xlogy44
例6、某工廠今年1月,2月,3月生產(chǎn)某產(chǎn)品分別為1萬件,1.2萬件,1.3萬件,為了估測以后每個月的產(chǎn)量,以這三個月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù),用一個函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份數(shù)x的關(guān)系,模擬函數(shù)可選用y=ab+c(其中a,b,c為常數(shù))或二次函數(shù),已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬件,請問用哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好?并說明理由。
分析:
設(shè)f(x)=px+qx+r(p≠0)f(1)pqr1則f(2)4p2qr1
f(3)9p3qr1.3p0.05∴q0.35
r0.72
x由已知x>0時,f(x)>1>0當(dāng)x0,f(-x)>010∴f(x)f(x)又x=0時,f(0)=1>0∴對任意x∈R,f(x)>0
(3)任取x2>x1,則f(x2)>0,f(x1)>0,x2-x1>0∴
f(x2)f(x2)f(x1)f(x2x1)1f(x1)∴f(x2)>f(x1)∴f(x)在R上是增函數(shù)
(4)f(x)f(2x-x)=f[x+(2x-x)]=f(-x+3x)又1=f(0),f(x)在R上遞增∴由f(3x-x)>f(0)得:3x-x>0∴0∴g(4)=-0.8×0.54
+1.4=1.35∵|1.35-1.37|b>cB、a>c>bC、b>c>aD、c>b>a2、方程loga(x2)x(a>0且a≠1)的實(shí)數(shù)解的個數(shù)是A、0B、1C、2D、3
3、y(1)|1x|3的單調(diào)減區(qū)間是
A、(-∞,1)B、(1,+∞)C、(-∞,-1)∪(1,+∞)D、(-∞,+∞)3、函數(shù)ylog1(x24x12)的值域為
2A、(-∞,3]B、(-∞,-3]C、(-3,+∞)D、(3,+∞)4、函數(shù)y=log2|ax-1|(a≠b)的圖象的對稱軸是直線x=2,則a等于
A、112B、2C、2D、-2
6、有長度為24的材料用一矩形場地,中間加兩隔墻,要使矩形的面積最大,則隔壁的長度為
A、3B、4C、6D、12(二)填空題
7、已知定義在R的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x),且當(dāng)0≤x≤1時,f(x)=x,則
f(152)=__________。8、已知y=loga(2-x)是x的增函數(shù),則a的取值范圍是__________。9、函數(shù)f(x)定義域為[1,3],則f(x2
+1)的定義域是__________。
10、函數(shù)f(x)=x2-bx+c滿足f(1+x)=f(1-x),且f(0)=3,則f(bx)與f(cx
)的大小關(guān)系是
__________。
11、已知f(x)=log2
23x+3,x∈[1,9],則y=[f(x)]+f(x)的最大值是__________。
12、已知A={y|y=x2
-4x+6,y∈N},B={y|y=-x2
-2x+18,y∈N},則A∩B中所有元素的和是__________。
13、若φ(x),g(x)都是奇函數(shù),f(x)=mφ(x)+ng(x)+2在(0,+∞)上有最大值,則f(x)在(-∞,0)上最小值為__________。
14、函數(shù)y=log22(x+1)(x>0)的反函數(shù)是__________。
15、求值:
11xabxac11xbcxba11xcaxcb=__________。
(三)解答題16、若函數(shù)f(x)ax1x2c的值域為[-1,5],求a,c。
17、設(shè)定義在[-2,2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減,若f(1-m)
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