一次函數(shù)單元知識總結例題精講與同步練習_教案

一次函數(shù)單元知識總結

【基本目標要求】

一、經(jīng)歷函數(shù)、一次函數(shù)等概念的抽象概括過程，體會函數(shù)的模型思想，發(fā)展學生的抽象思維能力．

二、初步理解函數(shù)的概念，了解函數(shù)的列表法、圖象法和解析法的表示方法．

三、經(jīng)歷利用一次函數(shù)及其圖象解決實際問題的過程，發(fā)展學生的數(shù)學應用能力；經(jīng)歷函數(shù)圖象信息的識別與應用過程，發(fā)展學生的形象思維能力．

四、能寫出實際問題中的一次函數(shù)、正比例函數(shù)的解析式，掌握它們的圖象及其性質，并利用它們解決簡單的實際問題．

【基礎知識導引】一、函數(shù)

1．函數(shù)的概念

一般地，在某個變化過程中，有兩個變量x和y，如果給定一個x值，相應地就確定了一個y值，那么我們稱y是x的函數(shù)(function)，其中x是自變量，y是因變量．2．函數(shù)值

對于自變量在取值范圍內的一個確定的值x=a，函數(shù)都有惟一確定的對應值，這個對應值，叫作當x=a時的函數(shù)值．

3．函數(shù)的表示法

(1)解析法；(2)列表法；(3)圖象法．

二、一次函數(shù)

1．定義若兩個變量x，y間的關系式可以表示成y=kx+b(k，b為常數(shù)，k≠0)的形式，則稱y是x的一次函數(shù)(1inearfunction)(x為自變量，y為因變量)．

2．圖象一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過點(0，b)且平行于直線y=kx的一條直線，b叫作直線y=kx+b在y軸上的截距．

3．性質當k>0時，y隨x的增大而增大；當k0時，它的圖象在第一、三象限內，y隨x的增大而增大；當k

(2)一次函數(shù)y=kx+b(k，b為常數(shù)，k≠0)的圖象是過(0，b)、(bk，0)兩點的一條直

線．

因此依據(jù)兩個獨立條件可確定k，b，即可求出一次函數(shù)．

(3)基本量是數(shù)學對象的一個本質概念，如正比例函數(shù)含有一個基本量k；一次函數(shù)含有兩個基本量k、b；確定一個平行四邊形需3個基本量；長方形和菱形的基本量是2；正方形的基本量是1；三角形的基本量是3．

二、每一個含一個字母的代數(shù)式都是這個字母的函數(shù)．如2x-1是x的函數(shù)．

【發(fā)散思維分析】

本章的主要內容有：函數(shù)，一次函數(shù)，一次函數(shù)的圖象，確定一次函數(shù)的表達式，一次函數(shù)圖象的應用．

本章從豐富多彩的問題情境中滲透函數(shù)的模型思想，從中建立概念，總結規(guī)律，促進其應用與拓展，讓學生從實際問題情境中抽象出函數(shù)以及一次函數(shù)的概念，進而探索出一次函數(shù)及其圖象的性質，最后利用一次函數(shù)及其圖象解決實際應用問題．

本章安排了逆向發(fā)散、解法發(fā)散和其他內容的發(fā)散思維題，逆向發(fā)散可化異為同，化生為熟，化繁為簡，變難為易，從而得到結論．

解法發(fā)散要進行一題多解，一題多變，一題多得的訓練，使學生思維具有流暢性、靈活性和獨創(chuàng)性，從而把復雜的問題簡單化，隱蔽的問題明朗化，抽象的問題直觀化，直到問題解決．

【知識結構網(wǎng)絡】

【典型熱點考題】

[題型發(fā)散]

例1選擇題把正確答案的代號填入題中括號內．

如圖6-19，OA、BA分別表示甲、乙兩名學生運動的一次函數(shù)圖象，圖中S和t分別表示運動路程和時間，根據(jù)圖象判斷快者的速度比慢者的速度每秒快()

(A)2.5米(B)2米(C)1.5米(D)1米

(201*年重慶市中考試題)

解由圖6-19得：將(8，64)分別代入S1v1t、S2v2t12得v18米/秒，v26.5米/秒，故本題應選(C)．

例2填空題

已知y與x+1成正比例，當x=5時，y=12，則y關于x的函數(shù)解析式是________．

(201*年溫州市中考試題)解設所求的函數(shù)解析式為y=k(x+1)①

將x=5，y=12代入①，得12=k(5+1)，所以k=2．故本題應填“y=2x+2”．

[綜合發(fā)散]

例3旅客乘車按規(guī)定可隨身攜帶一定重量的行李，如果超過規(guī)定，則需購買行李票．設行李票y(元)是行李重量x(千克)的一次函數(shù)，如圖6-20所示，求

(1)y與x之間的函數(shù)關系式；

(2)旅客最多可免費攜帶行李的重量．

(201*年甘肅省中考試題)

分析本題是以行李的重量為x軸，行李票價為y軸，由題意y是x的一次函數(shù)，通過對圖形的觀察知點(60，5)、(90，10)在此圖象上，并且此圖象與x軸的正半軸交于一點，故應用待定系數(shù)法求解.

解(1)設一次函數(shù)的關系式為y=kx+b.因為點(60，5)和(90，10)在此函數(shù)的圖象上，因此，得60k+b=5,90k+b=10.分別整理得：

b=5-60k.(1)b=10-90k.(2)比較(1)、(2)，得5-60k=10-90k，即30k=5，k得b=-5.所以y16x5

16x50.所以x≥30.

16.

因為x>0，y≥0，所以

1x5故此函數(shù)的解析式為y60(x30)(0x30)

(2)由(1)知00.3x-700，x

例5為了保護學生的視力，課桌椅的高度都是按一定的關系配套設計的.研究表明:假設課桌的高度為ycm，椅子的高度(不含靠背)為xcm，則y應是x的一次函數(shù).下表列出兩套符合條件的課桌椅的高度；

(1)請確定y與x的函數(shù)關系式(不要求寫出x的取值范圍)；

(2)現(xiàn)有一把高42.0cm的椅子和一張高78.2cm的課桌，它們是否配套？請通過計算說明理由.

(201*年吉林省中考試題)

解(1)設y=kx+b，則有

75.0=40.0k+b.(1)70.2=37.0k+b.(2)由(1)，得b=75.0-40.0k(3)由(2)，得b=70.2-37.0k(4)比較(3)、(4)，得

75.0-40.0k=70.2-37.0k，

即k=1.6，

將k=1.6代入(3)，得b=11.所以y=1.6x+11.

(2)當x=42.0時，y=1.6×42.0+11=78.2.

所以這套桌椅是配套的.

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教學內容：一次函數(shù)單元知識總結

【基本目標要求】

一、經(jīng)歷函數(shù)、一次函數(shù)等概念的抽象概括過程，體會函數(shù)的模型思想，發(fā)展學生的抽象思維能力．

二、初步理解函數(shù)的概念，了解函數(shù)的列表法、圖象法和解析法的表示方法．

三、經(jīng)歷利用一次函數(shù)及其圖象解決實際問題的過程，發(fā)展學生的數(shù)學應用能力；經(jīng)歷函數(shù)圖象信息的識別與應用過程，發(fā)展學生的形象思維能力．

四、能寫出實際問題中的一次函數(shù)、正比例函數(shù)的解析式，掌握它們的圖象及其性質，并利用它們解決簡單的實際問題．

【基礎知識導引】一、函數(shù)

1．函數(shù)的概念

一般地，在某個變化過程中，有兩個變量x和y，如果給定一個x值，相應地就確定了一個y值，那么我們稱y是x的函數(shù)(function)，其中x是自變量，y是因變量．2．函數(shù)值

對于自變量在取值范圍內的一個確定的值x=a，函數(shù)都有惟一確定的對應值，這個對應值，叫作當x=a時的函數(shù)值．3．函數(shù)的表示法

(1)解析法；(2)列表法；(3)圖象法．二、一次函數(shù)

1．定義若兩個變量x，y間的關系式可以表示成y=kx+b(k，b為常數(shù)，k≠0)的形式，則稱y是x的一次函數(shù)(1inearfunction)(x為自變量，y為因變量)．

2．圖象一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過點(0，b)且平行于直線y=kx的一條直線，b叫作直線y=kx+b在y軸上的截距．

3．性質當k>0時，y隨x的增大而增大；當k0時，它的圖象在第一、三象限內，y隨x的增大而增大；當k新課程網(wǎng)校[]全力打造一流免費網(wǎng)校！

(2)一次函數(shù)y=kx+b(k，b為常數(shù)，k≠0)的圖象是過(0，b)、(b，0)兩點的一條直k線．

因此依據(jù)兩個獨立條件可確定k，b，即可求出一次函數(shù)．

(3)基本量是數(shù)學對象的一個本質概念，如正比例函數(shù)含有一個基本量k；一次函數(shù)含有兩個基本量k、b；確定一個平行四邊形需3個基本量；長方形和菱形的基本量是2；正方形的基本量是1；三角形的基本量是3．

二、每一個含一個字母的代數(shù)式都是這個字母的函數(shù)．如2x-1是x的函數(shù)．

【發(fā)散思維分析】

本章的主要內容有：函數(shù)，一次函數(shù)，一次函數(shù)的圖象，確定一次函數(shù)的表達式，一次函數(shù)圖象的應用．

本章從豐富多彩的問題情境中滲透函數(shù)的模型思想，從中建立概念，總結規(guī)律，促進其應用與拓展，讓學生從實際問題情境中抽象出函數(shù)以及一次函數(shù)的概念，進而探索出一次函數(shù)及其圖象的性質，最后利用一次函數(shù)及其圖象解決實際應用問題．

本章安排了逆向發(fā)散、解法發(fā)散和其他內容的發(fā)散思維題，逆向發(fā)散可化異為同，化生為熟，化繁為簡，變難為易，從而得到結論．

解法發(fā)散要進行一題多解，一題多變，一題多得的訓練，使學生思維具有流暢性、靈活性和獨創(chuàng)性，從而把復雜的問題簡單化，隱蔽的問題明朗化，抽象的問題直觀化，直到問題解決．

【知識結構網(wǎng)絡】

【學習方法指導】

1．培養(yǎng)數(shù)形結合的思想方法，提高數(shù)形結合的能力

本章教材注重學生形象思維能力的培養(yǎng)，形象思維能力是數(shù)學思維能力的一個重要方面，而加強數(shù)形結合的教學是培養(yǎng)學生形象思維的一個重要渠道．數(shù)形結合的思想方法就是把數(shù)量關系與圖形結合起來進行思考分析的方法，它可以使抽象、復雜的問題變得直觀、簡單、明了．

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2．轉化的思想方法

把求函數(shù)值的問題轉化為求代數(shù)式的值的問題，把求函數(shù)關系式的問題轉化為列代數(shù)式的問題，把實際問題轉化為函數(shù)模型問題，從而利用函數(shù)的概念及性質解決實際問題．3．函數(shù)與方程的思想是本章的特點之一

【典型熱點考題】[題型發(fā)散]

例1選擇題把正確答案的代號填入題中括號內．

如圖6-19，OA、BA分別表示甲、乙兩名學生運動的一次函數(shù)圖象，圖中S和t分別表示運動路程和時間，根據(jù)圖象判斷快者的速度比慢者的速度每秒快()

(A)2.5米(B)2米(C)1.5米(D)1米

(201*年重慶市中考試題)

解由圖6-19得：將(8，64)分別代入S1v1t、S2v2t12得v18米/秒，

v26.5米/秒，故本題應選(C)．

例2填空題

已知y與x+1成正比例，當x=5時，y=12，則y關于x的函數(shù)解析式是________．

(201*年溫州市中考試題)

解設所求的函數(shù)解析式為y=k(x+1)①

將x=5，y=12代入①，得12=k(5+1)，所以k=2．故本題應填“y=2x+2”．

[綜合發(fā)散]

例3旅客乘車按規(guī)定可隨身攜帶一定重量的行李，如果超過規(guī)定，則需購買行李票．設行李票y(元)是行李重量x(千克)的一次函數(shù)，如圖6-20所示，求

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(1)y與x之間的函數(shù)關系式；

(2)旅客最多可免費攜帶行李的重量．

(201*年甘肅省中考試題)

分析本題是以行李的重量為x軸，行李票價為y軸，由題意y是x的一次函數(shù)，通過對圖形的觀察知點(60，5)、(90，10)在此圖象上，并且此圖象與x軸的正半軸交于一點，故應用待定系數(shù)法求解.

解(1)設一次函數(shù)的關系式為y=kx+b.因為點(60，5)和(90，10)在此函數(shù)的圖象上，因此，得60k+b=5,90k+b=10.分別整理得：

b=5-60k.(1)b=10-90k.(2)比較(1)、(2)，得5-60k=10-90k，即30k=5，k得b=-5.所以y1.61x561x50.所以x≥30.6因為x>0，y≥0，所以

1x5故此函數(shù)的解析式為y60(x30)(0x30)

(2)由(1)知0新課程網(wǎng)校[]全力打造一流免費網(wǎng)校！

(2)當y1y2時，0.265x201*0；(3)當y1y2時，0.265x>0.3x-700，x新課程網(wǎng)校[]全力打造一流免費網(wǎng)校！

要求寫出一個關系式.

2.(1)y=50+0.4x；(2)110.8元；(3)375分.3.(1)y=0.6x；(2)91.2元；(3)約333分.試一試

1.(1)選擇A類收費方式；(2)每月通話250分時，兩類收費方式所繳話費相等.習題6.3略習題6.4

1.略.2.增大.3.略.4.y=3x.習題6.5

3x.242.k，b1.

31.y

3.(1)y=7.5x+0.5；(2)75.5cm.習題6.6

1.約2.5千克.

2.(1)201*，3000；(2)6000，5000；(3)4噸；(4)大于4噸，小于4噸；(5)y=1000x，y=500x+201*.習題6.7

1.3000元，3500元，-500元.

2.(1)B；(2)90千米/時；(3)30千米；(4)132分.復習題

A組

1.A，F(xiàn)，G；B，E，I；C，D，H.2.(2).

3.y=0.6x+15.

4.y=-2x，3個空依次為2，0，-2.

5.(1)減��；(2)(,0)，(0,3)；(3)x323.26.(1)約5.1cm；(2)約11.4cm；(3)10天.

B組

1.略.

2.(1)v=5t+10；(2)60米.

3.(1)l2；(2)10米；(3)小明將贏得這場比賽.

C組

1.(1)略；(2)這些點近似地在一條直線上；(3)t=25-6.5；(4)約2.2℃.(本題各問答案不惟一.)

3北京今日學易科技有限公司網(wǎng)�？头�電話：010-87029231傳真：010-89313603第6頁共6頁

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