二次函數(shù)性質(zhì)知識點總結填空(非試卷)

二次函數(shù)性質(zhì)（復習）

潤州區(qū)教研室徐義明

一、教學目標

1、使學生進一步理解二次函數(shù)性質(zhì)及系數(shù)a、b、c及△與函數(shù)yax2bxc圖象之間的關系。

2、會求二次函數(shù)圖象與坐標軸交點，理解二次函數(shù)與二次方程、二次不等式之間關系。4、讓學生感受數(shù)形結合的思想，初步掌握數(shù)形結合解決問題的方法。

5、通過自主探究、合作交流活動，激發(fā)學生主動學習熱情以及與同伴合作的欲望。二、教學重點：二次函數(shù)性質(zhì)的應用；難點：對數(shù)形結合數(shù)學思想的感受。三、教學過程：教學內(nèi)容學生活動1、回顧并歸納總結二次函數(shù)性質(zhì)2、交流討論基礎練習。3、展示成果4提出問題討論交流教師活動1、引導學生歸納、總結二次函數(shù)性質(zhì)2、組織學生交流、討論，并參與、指導3、總結：方法和注意點（1）、增減性注意開口方向（2）、拋物線平移看頂點（3）、求與x軸、y軸交點的方法。(一）知識回顧1、填表ya(xh)2k(a0)yax2bxc(a0)對稱軸頂點最值增減性2、基礎訓練（1）拋物線y1(x2)2的對稱軸為，2頂點坐標為。當x=時，y取最值，此值為。當x2時，y隨x的增大而。（2）由拋物線y2112x怎樣平移得到y(tǒng)(X1)22。22（3）拋物線yxx2與x軸交點為與y軸交點為。（4）已知：函數(shù)y=4x-bx+5當x-2時，y隨x的增大而增大，則b的值為（5）如圖，函數(shù)y=ax+bx+c的圖像如圖所示，當x=時，y=0;當x時，y>0,當x時，y1．獨立(二）.問題探究思考問題1.函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，2．合作探究，2你能確定a、b、c及△=b-4ac的符號嗎？有規(guī)律嗎？3．小組交流4．班級展示（問題1A層面學生，問2問題2.已知：拋物線y=x-(a+2)x+9的頂點在坐標軸，求a的值.題2、3B層面學生）問題3.已知。對任意實數(shù)x,二次函數(shù)y=--x2+x+2m-1的值均為負數(shù)，求m的范圍。5．學生相互評價(三）課堂鞏固總結。1、函數(shù)yax2bxc的圖像如圖所示，則a、b、c符號為（）A、a0,b0,c0練習1獨立思考B、a0,b0,c0回答（A層次學生）C、a0,b0,c0D、a0,b0,c0練習222、直線yaxb與拋物線yaxb在同一坐標系中的圖像大致獨立思考，為（）同伴交流（B層次學生回答）問題1：1.巡視并指導學生討論2.幫助學生歸納規(guī)律：a－開口b－對稱軸（左同右異）c－與y軸交點△－與x軸交點個數(shù)問題2：強調(diào)分類討論。問題3：啟發(fā)學生應用數(shù)形結合分析問題。練習1重點檢查A層次學生掌握情況。練習2（1）a、b分別在兩函數(shù)圖象中幾何意義。（2）排除法方法（3）兩函數(shù)圖象的聯(lián)系3、已知：二次函數(shù)yax2bxc的圖像如圖，下列結論：（1）abc0；（2）abc0；(3)abc0；（4）b2ab其中正確的結論有（）A、1個B、2個C、3個D、4個4、函數(shù)yx2xm（m為常數(shù)）的圖像如圖，若xa時，y0，則xa1時，函數(shù)值（）A、y0B、0ymC、ymD、ym(四)、課堂小結：1．二次函數(shù)的性質(zhì)2．a(chǎn)、b、c及b24ac與函數(shù)yax2bxc圖象之間的關系。3．拋物線yax2bxc與坐標軸交點求法4．拋物線yaxbxc與x軸位置關系5.二次函數(shù)與一元二次方程的關系6．數(shù)形結合思想2練習3、4采用小組討論，同伴合作方式進行。學生對本節(jié)課進行歸納總結練習3啟發(fā)學生：（1）x=1時函數(shù)值等于什么？（2）圖中有那些信息？練習4啟發(fā)學生：（1）a的范圍是什么？（2）a-1的范圍是什么？（3）取特殊值a12進行判斷。引導學生歸納總結本節(jié)課內(nèi)容五、課后作業(yè)1、已知yax2bxc的圖象如圖所示，試判斷a,b,c的符號。2、直線yaxb和拋物線yx2axb在同一坐標系中的圖象，可能是（）3、已知，點(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)均在拋物線y2x24x1上，且1x1x2x31，則y1,y2,y3的大小關系為。4、已知，二次函數(shù)yx2(3m)x2m1的圖象不經(jīng)過第三象限，求m的范圍。

擴展閱讀：初中二次函數(shù)知識點總結與練習題

二次函數(shù)知識點總結

一、二次函數(shù)概念：

a0）b，c是常數(shù)，1．二次函數(shù)的概念：一般地，形如yax2bxc（a，的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這

c可以為零．二次函數(shù)的定義域是全體實里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)a0，而b，數(shù)．

2.二次函數(shù)yax2bxc的結構特征：

⑴等號左邊是函數(shù)，右邊是關于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2．

b，c是常數(shù)，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項．⑵a，二、二次函數(shù)的基本形式

1.二次函數(shù)基本形式：yax2的性質(zhì)：a的絕對值越大，拋物線的開口越小。

a的符號a0開口方向頂點坐標對稱軸向上00，00，性質(zhì)x0時，y隨x的增大而增大；x0時，y隨y軸x的增大而減��；x0時，y有最小值0．x0時，y隨x的增大而減小；x0時，y隨a0向下y軸x的增大而增大；x0時，y有最大值0．

2.yax2c的性質(zhì)：上加下減。

a的符號a0開口方向頂點坐標對稱軸向上c0，c0，性質(zhì)x0時，y隨x的增大而增大；x0時，y隨y軸x的增大而減�。粁0時，y有最小值c．x0時，y隨x的增大而減�。粁0時，y隨a0向下y軸x的增大而增大；x0時，y有最大值c．

3.yaxh的性質(zhì)：

左加右減。

2a的符號a0開口方向頂點坐標對稱軸向上0h，0h，性質(zhì)xh時，y隨x的增大而增大；xh時，y隨X=hx的增大而減��；xh時，y有最小值0．xh時，y隨x的增大而減小；xh時，y隨a0向下X=hx的增大而增大；xh時，y有最大值0．

1

4.yaxhk的性質(zhì)：

2a的符號a0開口方向頂點坐標對稱軸向上性質(zhì)xh時，y隨x的增大而增大；xh時，y隨h，kh，kX=hx的增大而減��；xh時，y有最小值k．xh時，y隨x的增大而減��；xh時，y隨a0向下X=hx的增大而增大；xh時，y有最大值k．三、二次函數(shù)圖象的平移1.平移步驟：

方法一：⑴將拋物線解析式轉化成頂點式y(tǒng)axhk，確定其頂點坐標h，k；⑵保持拋物線yax2的形狀不變，將其頂點平移到h，k處，具體平移方法如下：

向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k

五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)yaxbxc化為頂點式y(tǒng)a(xh)2k，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與y軸

2的交點0，c、以及0，c關于對稱軸對稱的點2h，c、與x軸的交點x1，0，x2，0（若與x軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）.

畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x軸的交點，與y軸的交點.

六、二次函數(shù)yax2bxc的性質(zhì)

b4acb2b1.當a0時，拋物線開口向上，對稱軸為x，頂點坐標為，．

2a4a2a當xbbb時，y隨x的增大而減��；當x時，y隨x的增大而增大；當x時，y有最小2a2a2a4acb2值．

4ab4acb2bb2.當a0時，拋物線開口向下，對稱軸為x，頂點坐標為，時，y隨．當x2a4a2a2a4acb2bb．x的增大而增大；當x時，y隨x的增大而減�。划攛時，y有最大值

2a2a4a七、二次函數(shù)解析式的表示方法

1.一般式：yax2bxc（a，b，c為常數(shù)，a0）；

2.頂點式：ya(xh)2k（a，h，k為常數(shù)，a0）；

3.兩根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是拋物線與x軸兩交點的橫坐標）.

注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只

有拋物線與x軸有交點，即b24ac0時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.

八、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關系

1.二次項系數(shù)a

二次函數(shù)yax2bxc中，a作為二次項系數(shù)，顯然a0．

⑴當a0時，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之a(chǎn)的值越小，開口越大；⑵當a0時，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之a(chǎn)的值越大，開口越大．

總結起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負決定開口方向，a的大小決定開口的大�。�2.一次項系數(shù)b

在二次項系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸．⑴在a0的前提下，

當b0時，當b0時，當b0時，b0，即拋物線的對稱軸在y軸左側；2ab0，即拋物線的對稱軸就是y軸；2ab0，即拋物線對稱軸在y軸的右側．2a⑵在a0的前提下，結論剛好與上述相反，即

3

當b0時，當b0時，當b0時，b0，即拋物線的對稱軸在y軸右側；2ab0，即拋物線的對稱軸就是y軸；2ab0，即拋物線對稱軸在y軸的左側．2a總結起來，在a確定的前提下，b決定了拋物線對稱軸的位置．

ab的符號的判定：對稱軸xb在y軸左邊則ab0，在y軸的右側則ab0，概括的說就是2a“左同右異”總結：

3.常數(shù)項c

⑴當c0時，拋物線與y軸的交點在x軸上方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為正；⑵當c0時，拋物線與y軸的交點為坐標原點，即拋物線與y軸交點的縱坐標為0；⑶當c0時，拋物線與y軸的交點在x軸下方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為負．總結起來，c決定了拋物線與y軸交點的位置．

b，c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的．總之，只要a，二次函數(shù)解析式的確定：

根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當?shù)男问�，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：

1.已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；

2.已知拋物線頂點或對稱軸或最大（�。┲担�一般選用頂點式；3.已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4.已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式．

九、二次函數(shù)圖象的對稱

二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達1.關于x軸對稱

ya2xbx關于cx軸對稱后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk關于x軸對稱后，得到的解析式是yaxhk；2.關于y軸對稱

ya2xbx關于cy軸對稱后，得到的解析式是yax2bxc；

22yaxhk關于y軸對稱后，得到的解析式是yaxhk；3.關于原點對稱

ya2xbx關于原點對稱后，得到的解析式是cyax2bxc；yaxh關于原點對稱后，得到的解析式是kyaxhk；4.關于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉180°）

2222b2yaxbx關于頂點對稱后，得到的解析式是cyaxbxc；

2a224

yaxhk關于頂點對稱后，得到的解析式是yaxhk．5.關于點m，n對稱

n對稱后，得到的解析式是yaxh2m2nkyaxhk關于點m，2222根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此a永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式．

十、二次函數(shù)與一元二次方程：

1.二次函數(shù)與一元二次方程的關系（二次函數(shù)與x軸交點情況）：

一元二次方程ax2bxc0是二次函數(shù)yax2bxc當函數(shù)值y0時的特殊情況.圖象與x軸的交點個數(shù)：

①當b24ac0時，圖象與x軸交于兩點Ax1，0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次b24ac方程axbxc0a0的兩根．這兩點間的距離ABx2x1.

a2②當0時，圖象與x軸只有一個交點；

③當0時，圖象與x軸沒有交點.

1"當a0時，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實數(shù)，都有y0；2"當a0時，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實數(shù)，都有y0．2.拋物線yax2bxc的圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c)；

3.二次函數(shù)常用解題方法總結：

⑴求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程；

⑵求二次函數(shù)的最大（�。┲敌枰�利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉化為頂點式；

⑶根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)yax2bxc中a，b，c的符號，或由二次函數(shù)中a，b，c的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結合；

⑷二次函數(shù)的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與x軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標.⑸與二次函數(shù)有關的還有二次三項式，二次三項式ax2bxc(a0)本身就是所含字母x的二次函數(shù)；下面以a0時為例，揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：

00拋物線與x軸有兩個交點拋物線與x軸只有一個交點拋物線與x軸無交點二次三項式的值可正、可零、可負一元二次方程有兩個不相等實根二次三項式的值為非負一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根二次三項式的值恒為正一元二次方程無實數(shù)根.5

圖像參考：

y=2x2y=x22y=x2y=2x2+2y=2x2y=2x2-4y=2x2y=2(x-4)2y=2(x-4)2-3

2y=-x2y=-x2y=-2x2

y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2

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十一、函數(shù)的應用

剎車距離二次函數(shù)應用何時獲得最大利潤

最大面積是多少二次函數(shù)考查重點與常見題型

1．考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關試題常出現(xiàn)在選擇題中，如：

已知以x為自變量的二次函數(shù)y(m2)x2m2m2的圖像經(jīng)過原點，則m的值是2．綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習題的特點是在同一直角坐標系內(nèi)考查

兩個函數(shù)的圖像，試題類型為選擇題，如：

2如圖，如果函數(shù)ykxb的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)ykxbx1的圖像大致是（）

yyyy110xo-1x0x0-1xABCD3．考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關習題出現(xiàn)的頻率很高，習題類型有中檔解答題和選

拔性的綜合題，如：已知一條拋物線經(jīng)過(0,3)，(4,6)兩點，對稱軸為x5，求這條拋物線的解析式。34．考查用配方法求拋物線的頂點坐標、對稱軸、二次函數(shù)的極值，有關試題為解答題，如：3

已知拋物線yax2bxc（a≠0）與x軸的兩個交點的橫坐標是－1、3，與y軸交點的縱坐標是－

2（1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標.

5．考查代數(shù)與幾何的綜合能力，常見的作為專項壓軸題。【例題經(jīng)典】

由拋物線的位置確定系數(shù)的符號

例1（1）二次函數(shù)yax2bxc的圖像如圖1，則點M(b,)在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

（2）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖2所示，則下列結論：①a、b同號；②當x=1和x=3時，函數(shù)值相等；③4a+b=0；④當y=-2時，x的值只能取0.其中正確的個數(shù)是（）A．1個B．2個C．3個D．4個

ca

(1)(2)

7

【點評】弄清拋物線的位置與系數(shù)a，b，c之間的關系，是解決問題的關鍵．

例2.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(-2，O)、(x1，0)，且1

（2）請你根據(jù)已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個適當?shù)臈l件，把原題補充完整。

點評：對于第（1）小題，要根據(jù)已知和結論中現(xiàn)有信息求出題中的二次函數(shù)解析式，就要把原來的結論“函數(shù)圖象的對稱軸是x=3”當作已知來用，再結合條件“圖象經(jīng)過點A（c，－2）”，就可以列出兩個方程了，而解析式中只有兩個未知數(shù)，所以能夠求出題中的二次函數(shù)解析式。對于第（2）小題，只要給出的條件能夠使求出的二次函數(shù)解析式是第（1）小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同的條件，可以考慮再給圖象上的一個任意點的坐標，可以給出頂點的坐標或與坐標軸的一個交點的坐標等。

[解答]（1）根據(jù)y12xbxc的圖象經(jīng)過點A（c，－2），圖象的對稱軸是x=3，2122cbcc2,得b3,122解得b3,

c2.12x3x2.圖象如圖所示。2所以所求二次函數(shù)解析式為y（2）在解析式中令y=0，得

12x3x20，解得x135,x235.2所以可以填“拋物線與x軸的一個交點的坐標是（3+5,0)”或“拋物線與x軸的一個交點的坐標是

(35,0).

令x=3代入解析式，得y所以拋物線y5,2125x3x2的頂點坐標為(3,),

225所以也可以填拋物線的頂點坐標為(3,)等等。

2函數(shù)主要關注：通過不同的途徑（圖象、解析式等）了解函數(shù)的具體特征；借助多種現(xiàn)實背景理解函數(shù)；將函數(shù)視為“變化過程中變量之間關系”的數(shù)學模型；滲透函數(shù)的思想；關注函數(shù)與相關知識的聯(lián)系。

用二次函數(shù)解決最值問題

例1已知邊長為4的正方形截去一個角后成為五邊形ABCDE（如圖），其中AF=2，BF=1．試在AB上求一點P，使矩形PNDM有最大面積．

【評析】本題是一道代數(shù)幾何綜合題，把相似三角形與二次函數(shù)的知識有機的結合在一起，能很好考查學生的綜合應用能力．同時，也給學生探索解題思路留下了思維空間．

例2某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間的關系如下表：

x（元）152030y（件）25201*若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)．（1）求出日銷售量y（件）與銷售價x（元）的函數(shù)關系式；

（2）要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價應定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？

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【解析】（1）設此一次函數(shù)表達式為y=kx+b．則15kb25,解得k=-1，b=40，即一次函數(shù)表達

2kb20式為y=-x+40．

（2）設每件產(chǎn)品的銷售價應定為x元，所獲銷售利潤為w元w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225．

產(chǎn)品的銷售價應定為25元，此時每日獲得最大銷售利潤為225元．

【點評】解決最值問題應用題的思路與一般應用題類似，也有區(qū)別，主要有兩點：（1）設未知數(shù)在“當某某為何值時，什么最大（或最小、最省）”的設問中，“某某”要設為自變量，“什么”要設為函數(shù)；（2）問的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．

例3.你知道嗎?平時我們在跳大繩時，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線．如圖所示，正在甩繩

的甲、乙兩名學生拿繩的手間距為4m，距地面均為1m，學生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m、2．5m處．繩子在甩到最高處時剛好通過他們的頭頂．已知學生丙的身高是1．5m，則學生丁的身高為(建立的平面直角坐標系如右圖所示)()

A．1．5mB．1．625mC．1．66mD．1．67m分析：本題考查二次函數(shù)的應用答案：B

二．二次函數(shù)部分

1．如圖所示是二次函數(shù)yaxbxc圖象的一部分，圖象過A點（3，0），二次函數(shù)圖象對稱軸為x1，

y給出四個結論：

①b4ac；②bc0；③2ab0；④a-b+c>0其中正確結論是（）A．②④

B．①③

C．②③

D．①④

Ox122xA(3，0)第1題圖

20)、(x1，2．已知二次函數(shù)yaxbxc的圖象與x軸交于點(2，0)，且1x12，與y軸的正半軸的2)的下方．下列結論：①4a2bc0；②ab0；③2ac0；④2ab10；③交點在(0，4a+c

4.把拋物線yx2向左平移1個單位，然后向上平移3個單位，則平移后拋物線的解析式為（）A．y(x1)23C．y(x1)23

2B．y(x1)23D．y(x1)23

5．把拋物線y＝ax+bx+c的圖象先向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得的圖象的解析式是y＝x－3x+5，則a+b+c=__________

6.圖6（1）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當水面在l時，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面2m，水面寬4m．如圖6（2）建立平面直角坐標系，則拋物線的關系式是（）A．y2x2B．y2x2C．y212D．yx

212x2

圖6（1）圖6（2）

7、如圖是拋物線yax2bxc的一部分，其對稱軸為直線x＝1，若其與x軸一交點為B（3，0），則由圖象可知，不等式axbxc＞0的解集是

第7題圖

28．根據(jù)下表中的二次函數(shù)yax2bxc的自變量x與函數(shù)y的對應值，可判斷該二次函數(shù)的圖象與x軸（）．

x11y0

7412

742

A．只有一個交點B．有兩個交點，且它們分別在y軸兩側C．有兩個交點，且它們均在y軸同側D．無交點

9．如圖，拋物線yax2bxc與x軸的一個交點A在點（-2，0）和（-1，0）之間（包括這兩點），頂點C是矩形DEFG上（包括邊界和內(nèi)部）的一個動點，則

(1)abc#.0(填“”或“”)；(1)a的取值范圍是#.

10（本小題滿分6分）

2

如圖二次函數(shù)yxbxc的圖象經(jīng)過A1，0和B3，0兩點，且交y軸于點C．

11

（1）試確定b、c的值；

（2）過點C作CD∥x軸交拋物線于點D，點M為此拋物線的頂點，試確定△MCD的形狀．

b4acb2參考公式：頂點坐標，

4a2a

11如圖，拋物線yaxx2yA0C

Bx3與x軸正半軸交于點A（3，0）.以OA為邊在x軸上方作正方形OABC，2延長CB交拋物線于點D，再以BD為邊向上作正方形BDEF.（1）求a的值.（2分）

（2）求點F的坐標.（5分）12．（本題滿分10分）

，2)．如圖，在平面直角坐標系中，OBOA，且OB2OA，點A的坐標是(1（1）求點B的坐標；

（2）求過點A、O、B的拋物線的表達式；

（3）連接AB，在（2）中的拋物線上求出點P，使得S△ABPS△ABO．13．（本小題滿分10分）

已知一元二次方程xpxq10的一根為2．（1）求q關于p的關系式；

（2）求證：拋物線yxpxq與x軸恒有兩個交點；

12

22yA1O1Bx

14．（10分）鞋子的“鞋碼”和鞋長（cm）存在一種換算關系，下表是幾組“鞋碼”與鞋長換算的對應數(shù)值：［注：“鞋碼”是表示鞋子大小的一種號碼］

鞋長（cm）鞋碼（號）

1622

1928

2132

2438

（1）設鞋長為x，“鞋碼”為y，試判斷點（x，y）在你學過的哪種函數(shù)的圖象上？（2）求x、y之間的函數(shù)關系式；

（3）如果某人穿44號“鞋碼”的鞋，那么他的鞋長是多少？15．（滿分8分）閱讀材料，解答問題．y例用圖象法解一元二次不等式：x2x30．解：設yx2x3，則y是x的二次函數(shù)．

22321a10，拋物線開口向上．

又當y0時，x2x30，解得x11，x23．

221123123x由此得拋物線yx2x3的大致圖象如圖所示．

觀察函數(shù)圖象可知：當x1或x3時，y0．

24（第22題）

x22x30的解集是：x1或x3．

（1）觀察圖象，直接寫出一元二次不等式：x2x30的解集是____________；（2）仿照上例，用圖象法解一元二次不等式：x10．（大致圖象畫在答題卡上）．．．

2213

以下是二次函數(shù)和相似結合的幾道經(jīng)典題：

16、（9分）如圖11，拋物線ya(x3)(x1)與x軸相交于A、B兩點（點A在點B右側），過點A的直線交拋物線于另一點C，點C的坐標為（-2，6）.

(1)求a的值及直線AC的函數(shù)關系式；(2)P是線段AC上一動點，過點P作y軸的平行線，交拋物線于點M，交x軸于點N.

①求線段PM長度的最大值；

②在拋物線上是否存在這樣的點M，使得△CMP與△APN相似？如果存在，請直接寫出一個M的坐標（不必寫解答過程）；如果不存在，請說明理由.

17.如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點D(0，73)，且頂點C的橫坐標為4，該圖象在x軸上截得的線段AB

9的長為6.

⑴求二次函數(shù)的解析式；

⑵在該拋物線的對稱軸上找一點P，使PA+PD最小，求出點P的坐標；

⑶在拋物線上是否存在點Q，使△QAB與△ABC相似？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．

14

18．（本題滿分10分）

如圖，拋物線的頂點為A（2，1），且經(jīng)過原點O，與x軸的另一個交點為B．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線上求點M，使△MOB的面積是△AOB面積的3倍；

（3）連結OA，AB，在x軸下方的拋物線上是否存在點N，使△OBN與△OAB相似？若存在，求出N點的坐標；若不存在，說明理由．

19．（本題滿分10分）

如圖，已知拋物線y＝過點C的直線y＝

yOABx32

x＋bx＋c與坐標軸交于A、B、C三點，A點的坐標為（－1，0），43x－3與x軸交于點Q，點P是線段BC上的一個動點，過P作PH⊥OB于點H．若4tPB＝5t，且0＜t＜1．

（1）填空：點C的坐標是_▲_，b＝_▲_，c＝_▲_；（2）求線段QH的長（用含t的式子表示）；

（3）依點P的變化，是否存在t的值，使以P、H、Q形與△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，說A15

CO為頂點的三角

yQHP明理由．

Bx

20．(本題滿分12分)

如圖，已知二次函數(shù)y212xbxc(c0)的圖象與x軸的正半軸相交于點A、B，與y軸2相交于點C，且OCOAOB．

(1)求c的值；

(2)若△ABC的面積為3，求該二次函數(shù)的解析式；

(3)設D是(2)中所確定的二次函數(shù)圖象的頂點，試問在直線AC上是否存在一點P使△PBD的周長最小?若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

21．（本小題滿分15分）

0)，將此三角板繞原，0)，B(0，3)，O(0，如圖，在平面直角坐標系中放置一直角三角板，其頂點為A(1點O順時針旋轉90°，得到△ABO．

（1）如圖，一拋物線經(jīng)過點A、B、B，求該拋物線解析式；

（2）設點P是在第一象限內(nèi)拋物線上一動點，求使四邊形PBAB的面積達到最大時點P的坐標及面積的最大值．y3

2B

1A16

A1OB12x

22．如圖，已知直線y11x1與y軸交于點A，與x軸交于點D，拋物線yx2bxc與直線交于22A、E兩點，與x軸交于B、C兩點，且B點坐標為(1，0)。

⑴求該拋物線的解析式；⑵動點P在軸上移動，當△PAE是直角三角形時，求點P的坐標P。⑶在拋物線的對稱軸上找一點M，使|AMMC|的值最大，求出點M的坐標

23．(本小題滿分12分)

如圖，已知拋物線yx4x3交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點E，點B的坐標為（1，0）．

（1）求拋物線的對稱軸及點A的坐標；

（2）在平面直角坐標系xoy中是否存在點P，與A、B、C三點構成一個平行四邊形？若存在，請寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）連結CA與拋物線的對稱軸交于點D，在拋物線上是否存在點M，使得直線CM把四邊形DEOC分成面積相等的兩部分？若存在，請求出直線CM的解析式；若不存在，請說明理由．

2y17

CDAEBOx

24．(本題滿分10分)如圖，拋物線y12xx2的頂點為A，與y軸交于點B．4Ay（1）求點A、點B的坐標．

（2）若點P是x軸上任意一點，求證：PAPB≤AB．（3）當PAPB最大時，求點P的坐標．

BOx

25．（13分）如圖，等腰梯形花圃ABCD的底邊AD靠墻，另三邊用長為40米的鐵欄桿圍成，設該花圃的腰AB的長為x米.

(1)請求出底邊BC的長（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若∠BAD=60°,該花圃的面積為S米2.

①求S與x之間的函數(shù)關系式（要指出自變量x的取

值范圍），并求當S=933時x的值；

②如果墻長為24米，試問S有最大值還是最小值？這個值是多少？

26．（本題滿分10分）

2，0)，與y軸的負半軸交于點C，如圖，已知拋物線yax2axb（a0）與x軸的一個交點為B(1頂點為D．

（1）直接寫出拋物線的對稱軸，及拋物線與x軸的另一個交點A的坐標；（2）以AD為直徑的圓經(jīng)過點C．①求拋物線的解析式；

②點E在拋物線的對稱軸上，點F在拋物線上，且以B，A，F(xiàn)，E四點為頂點的四邊形為平行四邊y形，求點F的坐標．

18

BOAx

27．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，將一塊腰長為5的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在兩坐標軸上，直角頂點C的坐標為（1，0），點B在拋物線yax2ax2上．

（1）點A的坐標為，點B的坐標為；（2）拋物線的關系式為；

（3）設（2）中拋物線的頂點為D，求△DBC的面積；

（4）將三角板ABC繞頂點A逆時針方向旋轉90°，到達△ABC的位置．請判斷點B、C是否在（2）中的拋物線上，并說明理由．

28.如圖11，已知二次函數(shù)y(xm)2km2的圖象與x軸相交于兩個不同的點A(x1，0)、B(x2，0)，與y軸的交點為C．設△ABC的外接圓的圓心為點P．

（1）求⊙P與y軸的另一個交點D的坐標；

（2）如果AB恰好為⊙P的直徑，且△ABC的面積等于5，求m和k的值．

19

29．如圖，直線y35x6分別與x軸、y軸交于A、B兩點；直線yx與AB交于點C，與過點A

44且平行于y軸的直線交于點D.點E從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿x軸向左運動.過點E作x軸的

垂線，分別交直線AB、OD于P、Q兩點，以PQ為邊向右作正方形PQMN.設正方形PQMN與△ACD重疊部分（陰影部分）的面積為S（平方單位），點E的運動時間為t（秒）.（1）求點C的坐標.（1分）

（2）當0

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