學(xué)習(xí)復(fù)變心得

學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)心得

在這一學(xué)期，我學(xué)了復(fù)變函數(shù)這門課程，使我受益良多，也有挺多的學(xué)習(xí)心

得感受。所以，接下來，我想跟大家一起分享我的一些看法及心得。

我認(rèn)為，在接觸一門新的課程時(shí)，不妨先了解其發(fā)展歷史，這樣，對以后的深入學(xué)習(xí)也有一定的幫助，而且，在學(xué)了之后，也不至于連這一學(xué)科怎么來的，為何會產(chǎn)生都不清楚。所以，在老師的講解下及上網(wǎng)看的一些資料后，我也了解了一點(diǎn)點(diǎn)有關(guān)復(fù)變這門課程的發(fā)展歷史。

復(fù)變函數(shù)，又稱為復(fù)分析，是分析學(xué)的一個分支。它產(chǎn)生于十八世紀(jì)，其中，歐拉、拉普拉斯等幾位數(shù)學(xué)家對這門學(xué)科的產(chǎn)生做出了重大的貢獻(xiàn)。而到了十九世紀(jì)，這時(shí)，可以說是復(fù)變函數(shù)這門學(xué)科的黃金時(shí)期，在這段時(shí)期，它得到了全面的發(fā)展，是當(dāng)時(shí)公認(rèn)的最豐饒的一個數(shù)學(xué)分支，也是當(dāng)時(shí)的一個數(shù)學(xué)享受。其中，Riemann,Welerstrass及Cauchy這三位數(shù)學(xué)家為此作做了突出的貢獻(xiàn)。到了二十世紀(jì)，復(fù)變函數(shù)繼續(xù)發(fā)展，其研究領(lǐng)域也更加廣泛了。而我國的老一輩的數(shù)學(xué)家也是在這一方面做出了一些重大貢獻(xiàn)。

知道了復(fù)變函數(shù)這一學(xué)科簡單的發(fā)展歷程后，那么接下來，我給大家說說我在學(xué)習(xí)這門課程的一些感受吧。

復(fù)變函數(shù)這門課程是將數(shù)從實(shí)數(shù)域拓展到復(fù)數(shù)域，在一開始書中介紹了什么是復(fù)數(shù)及其一些簡單的四則運(yùn)算，而這些在中學(xué)時(shí)就已經(jīng)有過接觸了，所以，在一開始還是挺容易上手的。而接下來，講的就是復(fù)平面及復(fù)數(shù)的模跟輻角，還有就是復(fù)變函數(shù)的概念及其極限與連續(xù)。需要說一下的是，復(fù)變函數(shù)的概念跟實(shí)變函數(shù)概念的不同，實(shí)變函數(shù)是單值函數(shù)，而復(fù)變函數(shù)可以是單值函數(shù)也可以是多值函數(shù)，這對以后的深入學(xué)習(xí)還算比較重要的。

在學(xué)習(xí)接下來的第二章，主要講的是解析函數(shù)及初等多值函數(shù)。而在學(xué)習(xí)解析函數(shù)時(shí)，我覺得，最主要的就是掌握柯西黎曼方程，它對于解析函數(shù)的微分及解析的判定都有著重要作用，就是到了第三章的復(fù)變函數(shù)的積分也是會用到的，所以掌握它還是挺重要的。接下來就是初等多值函數(shù)，這一部分比較難，但也挺有意思的。在老師講解下及自己的研究后，對這一部分還是有點(diǎn)收獲的。學(xué)習(xí)這一部分的內(nèi)容，首先要理解為什么要對平面進(jìn)行切割，接著，就是要學(xué)會尋找支點(diǎn)及切割方法，還有就是那些輻角的變化也要搞清楚，只要將這幾點(diǎn)掌握了，

應(yīng)該就沒有大問題了。

而接下來的第三、第四章中，我覺得，第三章最主要的就是掌握柯西積分定理及其柯西積分公式，其中，柯西積分定理及其推理等能使我們免去繁瑣的計(jì)算過程，直接就知道答案。而柯西積分公式也是經(jīng)常會用到的，所以也是比較重要的。至于第四章的解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法，首先，就是要了解復(fù)級數(shù)的一些基本性質(zhì)，學(xué)會求冪級數(shù)的收斂性及其收斂半徑。還有，就是要了解一些初等函數(shù)的泰勒展式并利用它來求其他一些函數(shù)的泰勒展式。

在學(xué)習(xí)了復(fù)變函數(shù)的這些知識后，使我的知識范圍得到了拓展，學(xué)到了很多，我覺得，復(fù)變函數(shù)這門課程真的是很不錯。

擴(kuò)展閱讀：學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)的體會

淺談

復(fù)變函數(shù)在平面靜電場中的應(yīng)用

系別：電氣與電子工程系專業(yè)：電氣工程及其自動化

班級：0912091學(xué)號：091209151姓名：許志強(qiáng)

摘要

復(fù)變函數(shù)理論推動了許多學(xué)科的發(fā)展，在解決某些實(shí)際問題中也是強(qiáng)有力的工具，它的基礎(chǔ)內(nèi)容已成為理工科很多專業(yè)的必修課程。復(fù)變函數(shù)的主要內(nèi)容包括復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)的積分、級數(shù)、留數(shù)理論及其應(yīng)用、共形映射。在電磁學(xué)中，我們對電場的問題總是在一個三維的空間進(jìn)行討論，而電場中諸多的對稱性讓我們想到在一個剖切面進(jìn)行考慮問題，復(fù)變函數(shù)有時(shí)在平面解決問題的一個很好的工具。本文正是把電場中的問題變換成復(fù)變函數(shù)模型，進(jìn)而進(jìn)行分析。

關(guān)鍵詞：復(fù)變函數(shù)工具電磁學(xué)模型

1、電場中的一些問題化為復(fù)變函數(shù)模型

般的平面靜電場，我們選取一個有代表性的平面作為z平面，設(shè)D是電場中的一大單連通區(qū)域，如果D內(nèi)每一點(diǎn)電場強(qiáng)度

EExiEyEy0(1)的散度：divEEx

xy以C表示一光滑曲線，Ω是D所圍的有界區(qū)域，且由格林公式：

QEydxExdy(c

(x,y)ExEy)0xy上式表示沿閉曲線C的電通量，確定單值函數(shù)：

z(2)稱為電場的力函數(shù)，等值線Φ（x、y）=a（常數(shù)）叫電力線

電場的旋度:EE(3)rotEyx0類似有：

c(x,y)EydxExdyz0xyExdxEydy(EyxEx)0y上式表示沿閉曲線C所作的功，確定單值函數(shù):

(x,y)zExdxEydy(4)

0zΦ（x、y）稱為電場的勢函數(shù)，其等值線Φ（x、y）=b（常數(shù)）叫電勢線。

由(1)(3)得

Ex(Ey)xy(Ey)Exyx(5)

滿足C-R方程，故xiEy是D內(nèi)的全純函數(shù)EEf(zz))是D內(nèi)的全純函數(shù)同理，復(fù)勢)(i(z

且知f(z)與E滿足如下關(guān)系:

)iEyiEiE(z)(6)f"(zxxx應(yīng)當(dāng)指出:在多連同區(qū)域內(nèi),復(fù)勢可能是一個多值函數(shù),對于

此區(qū)域內(nèi)任意一條光滑曲線C,有iQc(Exyidy)cE(z)dz(7)iE)(dx其中ГQ分別是平面靜電場沿C的所做的功與電通量.2簡單初等函數(shù)表示平面靜電場的幾個例子

（一）考慮一足夠長(可以看成無限長)的均勻帶電直線所產(chǎn)生的電場,以λ表電荷的線密度,任取垂直于的一個平面為平

面,且原點(diǎn)在平面上,現(xiàn)來求此平面靜電場的電場強(qiáng)度和復(fù)勢.

分析如下:

庫倫定理知，點(diǎn)電荷q在相距其r處產(chǎn)生的電場:

則本題中:

Eq4r21|dE|1其中λ是點(diǎn)電荷的線密度，dh是直線上的長度微元，是真空介電常數(shù),所以，|dE|在z平面的投影為:推出

|E|4(r2h2)dhz|z|kcosdh(r2h2)kcosdh2kr(rh)22由于E的方向與z相同，其單位向量為所以電場強(qiáng)度E的初等復(fù)變函數(shù)的表示為:

Erz(8)|z||z|22kz2kz2k而根據(jù)(6)復(fù)勢為：(Ref(z)2(9)z)kargzza（常數(shù)）表示電力線(虛線)arg

(z)Imf(z)2klnz為勢函數(shù).表示等勢線（實(shí)線）.（如下圖所示）

|z|b

以C表示一原點(diǎn)為中心的一個圓周,則由(7)式得令即易知:

2k22iQE(z)dzdzkiicciQreid4kiiEre，則0zreiiQ0,Q因此,該點(diǎn)電荷C的環(huán)量為0,沿C的電通量為這與電場的環(huán)路定理和高斯定理相吻合.

(二)在Z平面的點(diǎn)..…處分別有電量為……的點(diǎn)電荷.求這些點(diǎn)電荷所形成的電場的電場強(qiáng)度和復(fù)勢.

分析如下:由上計(jì)算知：

Ej2kqjzzj,j1,2......,nfj(z)2kqjiln(zzj),j1,2......,nEEjj1j1nn根據(jù)電路的疊加原理,上述電荷所組成的電場的電場強(qiáng)度為:

復(fù)勢為：當(dāng)

2kqjzzjnwf(z)fj(z)2kiqjln(zzj)j1j1n

z1ia(a0)

z1ia,z2q,q

（即電偶極子），且在的點(diǎn)電荷的電量為，則由這兩異性的點(diǎn)電荷所形成的復(fù)勢為：

而力函數(shù)

ziawf(z)2kiqLnziazia(z)2kqargziaziaa當(dāng)argz(a為常數(shù))，電力線是經(jīng)過的圓周iaz1,z2又勢函數(shù)當(dāng)b為常數(shù)），等勢圓周.（見下圖）

(z)2qLn|zz1|zz線是2以

z1,z2

|zz1zia|||b,zzzia2為對稱

的Appolonius

3.用復(fù)變的方法處理靜電場的具體問題---平行板電容器所形成的電場.

考慮在平行板電容器內(nèi)部,而不是兩端附近的靜電場,那么可

以近似的把電場看成是均勻的.在兩端附近是不均勻的.但我們考慮一端附近的靜電場,可以忽略另一端的影響,那么可以把平行板電容器表示成兩個半平面的形狀,下圖就是垂直與一平行板的剖面圖.以表示平行板間的距離2h,又設(shè)它們的電勢分別為正負(fù)b（b大于0）

因此,要求出此平面靜電場的復(fù)勢wf(z),只有解如下邊值問題.即上圖中所示區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù),使它滿足邊界條件：且使

lim(z),lim(z),(z)Ref(z).zCzAzDzD

,zCEA(z)Imf(z){bb,zCBA實(shí)際上,這只要找出區(qū)域D到W平面上寬為2b的帶形區(qū)域G的共形映射（見下圖）

zf2()hh111dhh(Ln)

這樣我們就找到了從映射G到D的單葉解析函數(shù)：

wh將上式分成實(shí)部和虛部得：

zebwbb

分別在上式中取Φ=b常數(shù)，與ψ=a常數(shù)，便得電力線和等勢線的參數(shù)方程

由上式及(6)還求的電場強(qiáng)度：

hbxebb

dw1b1Eif"(z)iidziwdzhdw在此平行板電容器的內(nèi)部,即z接近A點(diǎn)，又w接近，故電

1eb場強(qiáng)度也就是接近勻強(qiáng)電場.當(dāng)z在平行板電容器一端Eih附近,即接近B或Ewbi時(shí)E趨于。上式的E值反映了電容器所形成的電場強(qiáng)度的大小情況.

參考文獻(xiàn)

西安交大，復(fù)變函數(shù)，第四版，高等教育出版社張玉民,戚伯云,電磁學(xué).科學(xué)出版社中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社201*

鄭建華,復(fù)變函數(shù).清華大學(xué)出版社.201*.1

聞國椿,殷慰萍,復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用.首都師范大學(xué)出版社.1999.7

b

總結(jié)

本文先把平面靜電場的一些問題化為復(fù)變函數(shù)的問題,然后用共形映射與邊值問題的方法處理這些問題.

通過著篇論文我學(xué)到了很多知識，對電場問題有了更多地了解，也更深刻地了解到變函數(shù)這個工具的強(qiáng)大力量。

同時(shí)也感謝秦老師給我提供這一鍛煉的機(jī)會，以及在寫論文初期同學(xué)給予的建議。

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