二次函數(shù)圖象及性質(zhì)知識(shí)總結(jié)
二次函數(shù)圖象及性質(zhì)知識(shí)總結(jié)
二次函數(shù)概念b,c是常數(shù),a0)的函數(shù),叫做二次函數(shù)。一般地,形如yax2bxc(a,定義域是全體實(shí)數(shù),圖像是拋物線解析式圖像的性質(zhì)a0開(kāi)口a0開(kāi)口bc為0時(shí)yax2向上.向下y軸b為0時(shí)yax2c向上向下y軸bc不為0時(shí)yax2bxc向上向下對(duì)稱軸頂點(diǎn)坐標(biāo)a0時(shí)yxb2a00,c0,b4acb2,2a4a有最小值a0時(shí)yX=0.時(shí)y最小值等于0X=0,時(shí)Y最小值等于c4acb2b當(dāng)x時(shí)。y有最小值.2a4a有最大值a0時(shí)開(kāi)口向上a0時(shí)開(kāi)口向下X=0.時(shí)X=0,時(shí)4acb2b當(dāng)x時(shí),y有最大值.y最大值等于0Y最大值等于c2a4ax0時(shí),y隨x的增大而增大;x0時(shí),b當(dāng)x時(shí),y隨x的增大而減。粁0時(shí),y隨x的增大而減;y有最小值0.2a當(dāng)xx0時(shí),y隨x的增大而減。粁0時(shí),b時(shí),y隨x的增大而增大2ab時(shí),y隨x的增大而增大;2ab時(shí),y隨x的增大而減小2ay隨x的增大而增大;x0時(shí),y有最大值0當(dāng)x當(dāng)x圖像畫法解析式的表示及圖像平移利用配方法將二次函數(shù)yax2bxc化為頂點(diǎn)式y(tǒng)a(xh)2k,確定其開(kāi)口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo),然后在對(duì)稱軸兩側(cè),左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為:c、以及0,c關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)2h,c、頂點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)0,0,x2,0(若與x軸沒(méi)有交點(diǎn),則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)).與x軸的交點(diǎn)x1,畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn):開(kāi)口方向,對(duì)稱軸,頂點(diǎn),與x軸的交點(diǎn),與y軸的交點(diǎn).1.一般式:yax2bxc2.頂點(diǎn)式:ya(xh)2k3.兩根式:ya(xx1)(xx2)k;在原有函數(shù)的2.平移⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)axhk,確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)h,2基礎(chǔ)上“h值正右移,負(fù)左移;k值正上移,負(fù)下移”.概括成八個(gè)字“左加右減,上加下減”①yaxbxc沿y軸平移:向上(下)平移m個(gè)單位,yaxbxc變成22yax2bxcm(或yax2bxcm)②yaxbxc沿軸平移:向左(右)平移m個(gè)單位,yaxbxc變成22ya(xm)2b(xm)c(或ya(xm)2b(xm)c)
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專題講解二次函數(shù)的圖象
知識(shí)點(diǎn)回顧:
1.二次函數(shù)解析式的幾種形式:①一般式:
yax2bxc(a、b、c
為常數(shù),a≠0)
2ya(xh)k(a、②頂點(diǎn)式:h、k
為常數(shù),a≠0),其中(h,
k)為頂點(diǎn)坐標(biāo)。
③交點(diǎn)式:ya(xx1)(xx2),其中x1,x2是拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),即一元二次方程ax2bxc0的兩個(gè)根,且a≠0,(也叫兩根式)。
2.二次函數(shù)
yax2bxc的圖象
yax2bxc的圖象是對(duì)稱軸平行于(包括重合)
①二次函數(shù)
y軸的拋物線,幾個(gè)不同的二次函數(shù),如果a相同,那么拋物線的開(kāi)口方向,開(kāi)口大。葱螤睿┩耆嗤皇俏恢貌煌。②任意拋物線
ya(xh)2k可以由拋物線yax2經(jīng)過(guò)適當(dāng)
的平移得到,移動(dòng)規(guī)律可簡(jiǎn)記為:[左加右減,上加下減],具體平移方法如下表所示。
③在畫
yax2bxc的圖象時(shí),可以先配方成ya(xh)2k的形式,然后將
yax2的圖象上(下)左(右)平移得到所求圖
2象,即平移法;也可用描點(diǎn)法:也是將yaxbxc配成
ya(xh)2k的形式,這樣可以確定開(kāi)口方向,對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐
標(biāo)。然后取圖象與y軸的交點(diǎn)(0,c),及此點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)(2h,c);如果圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),就直接取這兩個(gè)點(diǎn)(x1,0),(x2,0)就行了;如果圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)或無(wú)交點(diǎn),那應(yīng)該在對(duì)稱軸兩側(cè)取對(duì)稱點(diǎn),(這兩點(diǎn)不是與y軸交點(diǎn)及其對(duì)稱點(diǎn)),一般畫圖象找5個(gè)點(diǎn)。3.二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)圖象2二次函數(shù)yaxbxcya(xh)2k(a、h、ka、b、c為常數(shù),a≠0a>0a<0為常數(shù),a≠0)a>0a<(1)拋物線開(kāi)口向(1)拋物線開(kāi)口向(1)拋物線(1)拋物線上,并向上無(wú)限延下,并向下無(wú)限延開(kāi)口向上,開(kāi)口向下,伸伸并向上無(wú)限并向下無(wú)限延伸延伸性(2)對(duì)稱軸是x=(2)對(duì)稱軸是x=(2)對(duì)稱軸(2)對(duì)稱軸b2a,頂點(diǎn)是b4acb,2a4ax2b2a是x=h,頂是x=h,頂,頂點(diǎn)是b4acb,2a4a2點(diǎn)是(h,k)點(diǎn)是(h,k))(3)當(dāng)x<h(質(zhì))((3)當(dāng)bb(3)當(dāng)xhx2a時(shí),2a時(shí),y(3)當(dāng)y時(shí),y隨x時(shí),y隨x隨x的增大而減隨x的增大而增;當(dāng)xbbx2a時(shí),2a時(shí),大;當(dāng);當(dāng)?shù)脑龃蠖鴾p的增大而增x>h大;當(dāng)x>hy隨x的增大而增y隨x的增大而減時(shí),y隨x時(shí),y隨x大小的增大而增的增大而減大。小(4)拋物線有最低(4)拋物線有最高(4)拋物線(4)拋物線點(diǎn),當(dāng)xb2a時(shí),點(diǎn),當(dāng)xb2a有最低點(diǎn),有最高點(diǎn),時(shí),當(dāng)x=h時(shí),當(dāng)x=h時(shí),y有最小值y有最大值y有最小值,y最小值4acb24ay有最大值,y最大值4acb24ay最小值ky最大值k
4.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸和最值的方法①配方法:將解析式
yax2bxc化為ya(xh)2k的形式,
頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k),對(duì)稱軸為直線xh,若a>0,y有最小值,
y最小值ky最大值k當(dāng)x=h時(shí),;若a<0,y有最大值,當(dāng)x=h時(shí),。
b4acb2,4a②公式法:直接利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式(2axb2a),求其頂
點(diǎn);對(duì)稱軸是直線,若
有最大值,
b4acb2a0,y有最小值,當(dāng)x時(shí),y最小值;2a4a若a0,yb4acb2x時(shí),y最大值2a4a當(dāng)
5.拋物線與x軸交點(diǎn)情況:對(duì)于拋物線
yax2bxc(a≠0)
①當(dāng)b24ac0時(shí),拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),反之也成立。
②當(dāng)b24ac0時(shí),拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn),反之也成立,此交點(diǎn)即為頂點(diǎn)。
③當(dāng)b24ac0時(shí),拋物線與x軸無(wú)交點(diǎn),反之也成立。
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