高中函數(shù)對稱性總結(jié)

高中函數(shù)對稱性總結(jié)

安徽省太湖縣樸初中學(xué)/蘇深強

新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)教材上就函數(shù)的性質(zhì)著重講解了單調(diào)性、奇偶性、周期性，但在考試測驗甚至高考中不乏對函數(shù)對稱性、連續(xù)性、凹凸性的考查。尤其是對稱性，因為教材上對它有零散的介紹，例如二次函數(shù)的對稱軸，反比例函數(shù)的對稱性，三角函數(shù)的對稱性，因而考查的頻率一直比較高。以筆者的經(jīng)驗看，這方面一直是教學(xué)的難點，尤其是抽象函數(shù)的對稱性判斷。所以這里我對高中階段所涉及的函數(shù)對稱性知識做一個粗略的總結(jié)。

一、對稱性的概念及常見函數(shù)的對稱性1、對稱性的概念

①函數(shù)軸對稱：如果一個函數(shù)的圖像沿一條直線對折，直線兩側(cè)的圖像能夠完全重合，則稱該函數(shù)具備對稱性中的軸對稱，該直線稱為該函數(shù)的對稱軸。

②中心對稱：如果一個函數(shù)的圖像沿一個點旋轉(zhuǎn)180度，所得的圖像能與原函數(shù)圖像完全重合，則稱該函數(shù)具備對稱性中的中心對稱，該點稱為該函數(shù)的對稱中心。

2、常見函數(shù)的對稱性（所有函數(shù)自變量可取有意義的所有值）

①常數(shù)函數(shù)：既是軸對稱又是中心對稱，其中直線上的所有點均為它的對稱中心，與該直線相垂直的直線均為它的對稱軸。

②一次函數(shù)：既是軸對稱又是中心對稱，其中直線上的所有點均為它的對稱中心，與該直線相垂直的直線均為它的對稱軸。

③二次函數(shù)：是軸對稱，不是中心對稱，其對稱軸方程為x=-b/(2a)。

④反比例函數(shù)：既是軸對稱又是中心對稱，其中原點為它的對稱中心，y=x與y=-x均為它的對稱軸。⑤指數(shù)函數(shù)：既不是軸對稱，也不是中心對稱。⑥對數(shù)函數(shù)：既不是軸對稱，也不是中心對稱。

⑦冪函數(shù)：顯然冪函數(shù)中的奇函數(shù)是中心對稱，對稱中心是原點；冪函數(shù)中的偶函數(shù)是軸對稱，對稱軸是y軸；而其他的冪函數(shù)不具備對稱性。

⑧正弦函數(shù)：既是軸對稱又是中心對稱，其中（kπ，0）是它的對稱中心，x=kπ+π/2是它的對稱軸。⑨正弦型函數(shù)：正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)既是軸對稱又是中心對稱，只需從ωx+φ=kπ中解出x，就是它的對稱中心的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)當(dāng)然為零；只需從ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的對稱軸；需要注意的是如果圖像向上向下平移，對稱軸不會改變，但對稱中心的縱坐標(biāo)會跟著變化。

⑩余弦函數(shù)：既是軸對稱又是中心對稱，其中x=kπ是它的對稱軸，（kπ+π/2，0）是它的對稱中心。⑾正切函數(shù)：不是軸對稱，但是是中心對稱，其中（kπ/2，0）是它的對稱中心，容易犯錯誤的是可能有的同學(xué)會誤以為對稱中心只是（kπ,0）。

⑿對號函數(shù)：對號函數(shù)y=x+a/x(其中a>0)因為是奇函數(shù)所以是中心對稱，原點是它的對稱中心。但容易犯錯誤的是同學(xué)們可能誤以為最值處是它的對稱軸，例如在處理函數(shù)y=x+1/x時誤以為會有f0.5)=f(1.5)，我在教學(xué)時總是問學(xué)生：你可看見過老師將“√”兩邊畫得一樣齊？學(xué)生們立刻明白并記憶深刻。

⒀三次函數(shù)：顯然三次函數(shù)中的奇函數(shù)是中心對稱，對稱中心是原點，而其他的三次函數(shù)是否具備對稱性得因題而異。

⒁絕對值函數(shù)：這里主要說的是y=f(│x│)和y=│f(x)│兩類。前者顯然是偶函數(shù)，它會關(guān)于y軸對稱;后者是把x軸下方的圖像對稱到x軸的上方，是否仍然具備對稱性，這也沒有一定的結(jié)論，例如y=│lnx│就沒有對稱性，而y=│sinx│卻仍然是軸對稱。

二、函數(shù)的對稱性猜測1、具體函數(shù)特殊的對稱性猜測①一個函數(shù)一般是不會關(guān)于x軸的

這是由函數(shù)定義決定的，因為一個x不會對應(yīng)兩個y的值。但我們在此略微引申，一個曲線是可能關(guān)于x軸對稱的。

例1判斷曲線y^2=4x的對稱性。②函數(shù)關(guān)于y軸對稱

例2判斷函數(shù)y=cos(sin(x))的對稱性。③函數(shù)關(guān)于原點對稱

例3判斷函數(shù)y=（x^3）×sinx的對稱性。④函數(shù)關(guān)于y=x對稱

例4判斷函數(shù)y=1/x的對稱性。⑤函數(shù)關(guān)于y=-x對稱

例5判斷函數(shù)y=-4/x的對稱性。我總結(jié)為：設(shè)（x,y）為原曲線圖像上任一點，如果（x,-y）也在圖像上，則該曲線關(guān)于x軸對稱；如果（-x,y）也在圖像上，則該曲線關(guān)于y軸對稱；如果（-x,-y）也在圖像上，則該曲線關(guān)于原點對稱；如果（y,x）也在圖像上，則該曲線關(guān)于y=x對稱；如果（-y,-x）也在圖像上，則該曲線關(guān)于y=-x軸對稱。2、抽象函數(shù)的對稱性猜測①軸對稱

例6如果函數(shù)y=f(x)滿足f(x+1)=f(4-x)，求該函數(shù)的所有對稱軸。（任意取值代入例如x=0有f(1)=f(4)，正中間2.5，從而該函數(shù)關(guān)于x=2.5對稱）

例7如果函數(shù)y=f(x)滿足f(x)=f(-x)，求該函數(shù)的所有對稱軸。（按上例一樣的方法可以猜出對稱軸為x=0，可見偶函數(shù)是特殊的軸對稱）

例8如果f(x)為偶函數(shù)，并且f(x+1)=f(x+3)，求該函數(shù)的所有對稱軸。（因為f(x+1)=f(-x-3)，按上例可以猜出對稱軸x=-1，又因為它以2為周期，所以x=k是它所有的對稱軸，k∈Z）

②中心對稱

例9如果函數(shù)y=f(x)滿足f(3+x)+f(4-x)=6，求該函數(shù)的對稱中心。（因為自變量加起來為7時函數(shù)值的和始終為6，所以中點固定為（3.5，3），這就是它的對稱中心）

例10如果函數(shù)y=f(x)滿足f(-x)+f(x)=0，求該函數(shù)的所有對稱中心。（按上例一樣的方法可以猜出對稱中心為（0，0），可見奇函數(shù)是特殊的中心對稱）

例11如果f(x)為奇函數(shù)，并且f(x+1)+f(x+3)=0，求該函數(shù)的所有對稱中心和對稱軸。（由周期性定義知周期為4，又f(x+1)=-f(x+3)，從而f(x+1)=f(-x-3)，按上例知x=-1為對稱軸，所以x=-1+2n為對稱軸，（2k，0）為對稱中心，其中k∈Z）

我總結(jié)為：

①當(dāng)括號里面x前面的符號一正一負(fù)時告訴我們的就是對稱性,其中的對稱為多少我們可以用特殊值代入來猜測,這里并不主張記結(jié)論，因為很容易與后面的結(jié)論相混淆。

②而當(dāng)x前面的符號相同時告訴我們的是周期性。例如f(x+1)=f(x-5)是告訴我們它以6為周期。③當(dāng)x前面的符號相同，同時告訴我們奇偶性時我們也可以推出對稱性，因為奇偶性有制造負(fù)號的能力。3、兩個抽象函數(shù)之間的對稱性猜測

例12求y=f(x+2)與y=f(1-x)的對稱軸方程。（當(dāng)?shù)谝粋�函數(shù)的x取0時，值為f(2),這時第二個函數(shù)的x必須取-1才也對應(yīng)那么多，他們的正中間為-1.5，因而猜測對稱軸為x=-1.5）

我總結(jié)為：

①當(dāng)括號里面x前面的符號一正一負(fù)時告訴我們的就是對稱性，其中的對稱為多少我們?nèi)匀豢梢杂锰厥庵荡�入來猜測,這里仍然不主張記結(jié)論，因為很容易與前面的結(jié)論相混淆。

②而當(dāng)x前面的符號相同時告訴我們的是圖像平移。例如y=f(x+2)與y=f(x-1)，前者是由后者向左移三個單位得到。

三、對稱性的證明

如果在解答大題時僅僅猜測出結(jié)論是不夠的，我們要輔以完整的證明才行。1、一個函數(shù)的對稱性證明

例13證明如果函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)，則該函數(shù)關(guān)于直線x=(a+b)/2對稱。

證明：在y=f(x)上任取點（m，n），則n=f(m)，而點（m，n）關(guān)于x=(a+b)/2的對稱點為（a+b-m，n）,又因為f（a+b-m）=f（a+（b-m））=f（b-（b-m））=f（m）=n,這正表明（a+b-m，n）也在原函數(shù)圖像上，從而原函數(shù)關(guān)于直線x=(a+b)/2對稱。

我總結(jié)為：核心是間接法，即在函數(shù)上任取一點，對稱點如果仍在函數(shù)圖像上，我們就可以下結(jié)論該函數(shù)關(guān)于它對稱。

2、兩個函數(shù)之間的對稱性的證明

例14證明函數(shù)y=f(a+x)與函數(shù)y=f(b-x)關(guān)于直線x=(b-a)/2對稱。（注意不是(a-b）/2,證明的方法類似于上例方法）

我總結(jié)為：仍是間接法，但是多一次，需在函數(shù)上任取一點，對稱點如果在對方函數(shù)圖像上，同時在對方函數(shù)上任取一點，對稱點又在該函數(shù)圖像上，我們才可以下結(jié)論該函數(shù)關(guān)于它對稱。取兩次的原因是以免兩個圖像一個只是另一個對稱過來圖像的一部分。

3、特別地關(guān)于y=x對稱性的證明

例15證明y=（2x+1）/(3x-2)關(guān)于y=x對稱。（只需求出它的反函數(shù)是自己即可）我總結(jié)為：①一個函數(shù)自身關(guān)于y=x對稱不需要用上面的間接法，只需要證明它的反函數(shù)是自己就可以了。

②兩個函數(shù)關(guān)于y=x對稱性證明也不需要用上面那么繁瑣的方法，只需證明兩個函數(shù)互為反函數(shù)，即求一個的反函數(shù)為另外一個就可以了。

③反過來這句話也成立，如果需要證明兩個函數(shù)互為反函數(shù)，只需要證明它們的圖像關(guān)于y=x對稱即可。四、對稱性的運用1、求值

例16已知f（x）=4^x/(4^x+1),求f(-4)+f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)的值。（我們只需要考慮當(dāng)兩個自變量加起來為0時函數(shù)值的和是否為定值，驗證果然。而這里顯然隱含的是函數(shù)的對稱性）

我總結(jié)為：“配對”，對稱性主要是考查一對函數(shù)值之間的關(guān)系。2、“對稱性+對稱性”可以推導(dǎo)出周期性

例17如果函數(shù)y=f(x)滿足f(x+3)=f(2-x)和f(4+x)=f(5-x)，求該函數(shù)的最小正周期。（因為f(x+3)=f(2-x)=f(4+(-2-x))=f(5-(-2-x))=f(7+x)所以周期為4）

我總結(jié)為：兩個對稱性拼起來就可以將里面的符號化為同號，從而得出周期性。3、“奇偶性+對稱性”可以推導(dǎo)出周期性

這在前面已經(jīng)提到，還是因為奇偶性有制造負(fù)號的能力。4、三角函數(shù)的奇偶性

例18如果函數(shù)y=3sin(2x+θ+π/4)（其中0代入求出a和b的關(guān)系即可）

我總結(jié)為：對稱性的本義就是關(guān)于對稱中心（或?qū)ΨQ軸）對稱的兩個自變量的函數(shù)值的緊密關(guān)系。這就是我關(guān)于函數(shù)對稱性的簡單總結(jié)，難免掛一漏萬，還請大家批評指正。最后筆者建議新課標(biāo)教材能類似于函數(shù)周期性，給對稱性獨立的一節(jié)，介紹它的概念和運用，同步練習(xí)上也給安排一節(jié)對它的獨立的練習(xí)，這樣教師在教學(xué)上就可以用適當(dāng)引申的方法，而不是象現(xiàn)在這樣，老師忙于查資料，學(xué)生忙于記筆記，耗時費力地試圖盡可能系統(tǒng)而完整地補充。

結(jié)論1：若對于函數(shù)y=f(x)，中心對稱。

即若函數(shù)圖象關(guān)于點(a,b)對稱,則滿足:f(a-x)+f(a+x)=2b或f(x)+f(2a-x)=2b

,有f(a+x)+f(a-x)＝2b，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點（a,b）

下面是結(jié)論2應(yīng)用的例子，

例5函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于點(-1,-2）對稱，已知f（3）＝4,求g(-5)的值。

解：由結(jié)論2可知，g(x)＝一4-f(-2-x),∴g(-5)=-4-f〔-2-(-5)〕

即g(-5)=-4-f(3)=-4-4,∴g（-5）=-8

擴展閱讀：高中數(shù)學(xué)函數(shù)對稱性和周期性小結(jié)

高中數(shù)學(xué)函數(shù)對稱性和周期性小結(jié)

一、函數(shù)對稱性：

1.2.3.4.5.6.7.8.

f(a+x)=f(a-x)==>f(x)關(guān)于x=a對稱

f(a+x)=f(b-x)==>f(x)關(guān)于x=(a+b)/2對稱f(a+x)=-f(a-x)==>f(x)關(guān)于點（a，0）對稱f(a+x)=-f(a-x)+2b==>f(x)關(guān)于點（a，b）對稱

f(a+x)=-f(b-x)+c==>f(x)關(guān)于點[（a+b）/2，c/2]對稱y=f(x)與y=f(-x)關(guān)于x=0對稱y=f(x)與y=-f(x)關(guān)于y=0對稱y=f(x)與y=-f(-x)關(guān)于點(0,0)對稱

例1：證明函數(shù)y=f(a+x)與y=f(b-x)關(guān)于x=(b-a)/2對稱。

【解析】求兩個不同函數(shù)的對稱軸，用設(shè)點和對稱原理作解。

證明：假設(shè)任意一點P（m，n）在函數(shù)y=f(a+x)上，令關(guān)于x=t的對稱點Q（2tm，n），那么n=f(a+m)=f[b(2tm)]

∴b2t=a，==>t=(b-a)/2，即證得對稱軸為x=(b-a)/2.

例2：證明函數(shù)y=f(a-x)與y=f(xb)關(guān)于x=(a+b)/2對稱。

證明：假設(shè)任意一點P（m，n）在函數(shù)y=f(a-x)上，令關(guān)于x=t的對稱點Q（2tm，n），那么n=f(a-m)=f[(2tm)b]

∴2t-b=a，==>t=(a+b)/2，即證得對稱軸為x=(a+b)/2.

二、函數(shù)的周期性

令a,b均不為零，若：

1.函數(shù)y=f(x)存在f(x)=f(x+a)==>函數(shù)最小正周期T=|a|

2.函數(shù)y=f(x)存在f(a+x)=f(b+x)==>函數(shù)最小正周期T=|b-a|3.函數(shù)y=f(x)存在f(x)=-f(x+a)==>函數(shù)最小正周期T=|2a|4.函數(shù)y=f(x)存在f(x+a)=1/f(x)==>函數(shù)最小正周期T=|2a|

5.函數(shù)y=f(x)存在f(x+a)=[f(x)+1]/[1f(x)]==>函數(shù)最小正周期T=|4a|

這里只對第2~5點進行解析。

第2點解析：

令X=x+a，f[a+(xa)]=f[b+(xa)]∴f(x)=f(x+ba)==>T=ba

第3點解析：同理，f(x+a)=-f(x+2a)……①

f(x)=-f(x+a)……②∴由①和②解得f(x)=f(x+2a)∴函數(shù)最小正周期T=|2a|

第4點解析:

f(x+2a)=1/f(x+a)==>f(x+a)=1/f(x+2a)

又∵f(x+a)=1/f(x)∴f(x)=f(x+2a)

∴函數(shù)最小正周期T=|2a|

第5點解析:

∵f(x+a)={2[1f(x)]}/[1f(x)]=2/[1f(x)]1

∴1f(x)=2/[f(x)+1]移項得f(x)=12/[f(x+a)+1]

那么f(x-a)=12/[f(x)+1]，等式右邊通分得f(x-a)=[f(x)1]/[1+f(x)]∴1/[f(x-a)=[1+f(x)]/[f(x)1]，即-1/[f(x-a)=[1+f(x)]/[1-f(x)]∴-1/[f(x-a)=f(x+a)，-1/[f(x2a)=f(x)==>-1/f(x)=f(x-2a)①，又∵-1/f(x)=f(x+2a)②，

由①②得f(x+2a)=f(x-2a)==>f(x)=f(x+4a)

∴函數(shù)最小正周期T=|4a|

友情提示：本文中關(guān)于《高中函數(shù)對稱性總結(jié)》給出的范例僅供您參考拓展思維使用，高中函數(shù)對稱性總結(jié)：該篇文章建議您自主創(chuàng)作。

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