大一上高數(shù)期末考試題
大一高數(shù)練習(xí)題
機(jī)械學(xué)院學(xué)習(xí)部編輯組
一.填空∶
1.x3112.由曲線y=
11x2dx=______________。
和x=所圍區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)一周,則旋轉(zhuǎn)體
2xsinx,y=0
的體積為___________。
43.
4x31cosxdx=_____________。
4.2tan3xsec2xdx=_____________。5.sin2x1cosxn2dx______________。
6、lim(x22x2x22x2)__________________。7、設(shè)f(x)arctan8、設(shè)f(x)9、lim(xox1x1,則dy________________。
=_____________xxx2,則f1
1x。
xxa1xa2...ann)________________)。
10、設(shè)
1ax0xsinf(x),則當(dāng)(a0)時,f(x)在_____處連xx00續(xù);當(dāng)(a0)時,f(x)在________處可微。
11、過P(1,0)作曲線yx3的切線,則切線方程為______。12、設(shè)f(x)x3sinxcos3x,則13、設(shè)f(x)xn1x2f(201*)(0)=_________。
,則f(n)(0)_________。
二.單項選擇∶
1.下列積分中,收斂的是()(A)(C)021dx1x2dxx12;
(B)dxp為常數(shù);0xp;
(D)1xdx20ln1x.
2.下列廣義積分中,發(fā)散的為()(A)1dx01x;
(B)1dx0xtanx;
dx(C);
2x1.2(D)2dxxlnx2.
3.下列廣義積分中,收斂的是()(A)(C)11211xdx
exdx(B)21x101xln1xdx
1dx3x(D)三.計算下列極限∶
1.
limxx1cosx021arctanxsint2dt.
t2sinxeln1tdt2.limx0xtanx0
四.計算∶
t2xfuduad2y1、設(shè)f(u)可導(dǎo),且f(u)≠0.令,求2.。
tdx2yfufudua2、設(shè)y1xey,求y,y。y=exey;
yyy=
ey1xey;
ye2y2y2yyyyyyyeexeey1xeeexeyye1xe=y=y21xey=y21xe1xed2ydx2=
2e2yxe3y1xey3,求
dydtdydx3、設(shè){
dxdtxtcostytsint,。
dydxcosttsint;sinttcost;=
sinttcostcosttsint
d2yt22dsinttcost==3dx2dxcosttsintcosttsint4、設(shè)yy=
f(x),求
xdx1dy,
d2ydx2。
dydx=
11d2yfx12;2xxdxd11=fx12dxxx
=fx111212fx3xxxx
f(x)=2,求
(f(x)ax)=0,且lim5、設(shè)limxxa的值。
五.計算∶
1.1x110x83x42dx.
2.x1x2arctanxdx.
1ln1xdx.3.02x4.設(shè)
1xx1,f(x)=x,0,dxx1x0x1,,x0求ftdt.
5.6.42x2x24
arctanxx2dx
六.求由y2xx2,y0,yx所圍圖形的面積A,并求該圖形繞y軸所
得旋轉(zhuǎn)體的體積V.
七.設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)f"x單調(diào)減少,證明:
abfxdxfafb2ba
bagxdx0.證明存在a,b使得
八.設(shè)f(x),g(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),且fgxdxg.。
b九.設(shè)f(x)在a,上連續(xù),f(a)A,xlimf(x)Ba,求證:對
任意c(A,B),必存在a,,有f()c證:fx在a,連續(xù),xlim
f(x)B
存在任意0,x,使x0x時
有f(x0)B即f(x0)B
取BC,則fx0c;又faA,
命題成立。
Acf(x0)
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大一上學(xué)期高數(shù)期末考試卷
一、單項選擇題(本大題有4小題,每小題4分,共16分)1.設(shè)f(x)cosx(xsinx),則在x0處有( ).
(A)f(0)2(B)f(0)1(C)f(0)0(D)f(x)不可導(dǎo).
2.設(shè)(x)1x1x,(x)333x,則當(dāng)x1時( ).
(A)(x)與(x)是同階無窮小,但不是等價無窮小;(B)(x)與(x)是等價無窮小;
(C)(x)是比(x)高階的無窮。唬―)(x)是比(x)高階的無窮小.
x3.若
F(x)0(2tx)f(t)dt,其中f(x)在區(qū)間上(1,1)二階可導(dǎo)且
f(x)0,則().
(A)函數(shù)F(x)必在x0處取得極大值;(B)函數(shù)F(x)必在x0處取得極小值;
(C)函數(shù)F(x)在x0處沒有極值,但點(0,F(0))為曲線yF(x)的拐點;(D)函數(shù)F(x)在x0處沒有極值,點(0,F(0))也不是曲線yF(x)的拐點。4.
設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù),且f(x)x210f(t)dt,則f(x)(x2x2(A)2(B)22(C)x1(D)x2.
二、填空題(本大題有4小題,每小題4分,共16分)25.lim(13x)sinxx0.
6.已知cosxx是f(x)的一個原函數(shù),則f(x)cosx.xdx7.
nlimn(cos2ncos22ncos2n1n).
12x2arcsinx1-11x2dx8.2.
三、解答題(本大題有5小題,每小題8分,共40分)
9.設(shè)函數(shù)yy(x)由方程
exysin(xy)1確定,求y(x)以及y(0).
)1x7求dx.7x(1x)10.
xxe, x01設(shè)f(x) 求f(x)dx.322xx,0x111.
1012.設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù),,且x0g(x)并討論g(x)在x0處的連續(xù)性.
g(x)f(xt)dtlimf(x)Ax,A為常數(shù).求
1y(1)xy2yxlnx9的解.13.求微分方程滿足
四、解答題(本大題10分)
14.已知上半平面內(nèi)一曲線yy(x)(x0),過點(0,1),且曲線上任一點
M(x0,y0)處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與x軸、y軸、直線xx0所圍成面積的2倍與該點縱坐標(biāo)之和,求此曲線方程.五、解答題(本大題10分)
15.過坐標(biāo)原點作曲線ylnx的切線,該切線與曲線ylnx及x軸圍
成平面圖形D.
(1)求D的面積A;(2)求D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積
V.六、證明題(本大題有2小題,每小題4分,共8分)
16.設(shè)函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù)且單調(diào)遞減,證明對任意的q[0,1],
q1f(x)dxqf(x)dx00.
17.設(shè)函數(shù)f(x)在0,上連續(xù),且0xf(x)dx0,0f(x)cosxdx0.
證明:在0,內(nèi)至少存在兩個不同的點1,2,使f(1)f(2)0.(提
F(x)示:設(shè)
0f(x)dx)
解答
一、單項選擇題(本大題有4小題,每小題4分,共16分)1、D2、A3、C4、C
二、填空題(本大題有4小題,每小題4分,共16分)
1cosx2 ()c6e35..6.2x.7.2.8..
三、解答題(本大題有5小題,每小題8分,共40分)9.解:方程兩邊求導(dǎo)
xy)coxys(xy)(y)e(1yexyycos(xy)y(x)xyexcos(xy)
x0,y0,y(0)177x6dxdu10.解:ux 1(1u)112原式du()du7u(1u)7uu11(ln|u|2ln|u1|)c712ln|x7|ln|1x7|C77
11.解:130f(x)dxxedx3x100x102xx2dx
xd(e)3031(x1)2dx02xx2(令x1sin)xeecosd
412.解:由f(0)0,知g(0)0。
x1xtu2e31
g(x)f(xt)dt0xf(u)du0x(x0)
g(x)xf(x)f(u)duxx002(x0)
g(0)limx0f(u)dux2limx0xf(x)A2x2
AAA22,g(x)在x0處連續(xù)。
limg(x)limx0x0xf(x)f(u)dux02dy2ylnx13.解:dxx
yexdx2(exdx2lnxdxC)
11xlnxxCx293
111y(1)C,0yxlnxx399,
四、解答題(本大題10分)
14.解:由已知且,
將此方程關(guān)于x求導(dǎo)得y2yy
02特征方程:rr20
y2ydxyx
解出特征根:r11,r22.
其通解為
yC1exC2e2x
代入初始條件y(0)y(0)1,得
21yexe2x33故所求曲線方程為:
五、解答題(本大題10分)
C121,C233
1ylnx0(xx0)x015.解:(1)根據(jù)題意,先設(shè)切點為(x0,lnx0),切線方程:
1yxxe0e由于切線過原點,解出,從而切線方程為:
1則平面圖形面積
A(eyey)dy01e12
(2)三角形繞直線x=e一周所得圓錐體體積記為V1,則
曲線ylnx與x軸及直線x=e所圍成的圖形繞直線x=e一周所得旋轉(zhuǎn)體體積為V2
1V11e23
V2(eey)2dy0
6D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積
六、證明題(本大題有2小題,每小題4分,共12分)
q1qqVV1V2(5e212e3)
116.證明:0qf(x)dxqf(x)dxf(x)dxq(f(x)dxf(x)dx)000q1q
(1q)f(x)dxqf(x)dx0
f(1)f(2)1[0,q]2[q,1]q(1q)f(1)q(1q)f(2)1故有:
q0f(x)dxqf(x)dx00證畢。
x17.
F(x)f(t)dt,0x0證:構(gòu)造輔助函數(shù):。其滿足在[0,]上連續(xù),在(0,)上可導(dǎo)。F(x)f(x),且F(0)F()0
0由題設(shè),有
f(x)cosxdxcosxdF(x)F(x)cosx|sinxF(x)dx0000,
有0,由積分中值定理,存在(0,),使F()sin0即F()0
綜上可知F(0)F()F()0,(0,).在區(qū)間[0,],[,]上分別應(yīng)用羅爾定理,知存在
1(0,)和2(,),使F(1)0及F(2)0,即f(1)f(2)0.
F(x)sinxdx0
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