大一上學期高數期末考試題

大一上學期高數期末考試卷

一、單項選擇題(本大題有4小題,每小題4分,共16分)1.設f(x)cosx(xsinx),則在x0處有(　).

（A）f(0)2（B）f(0)1（C）f(0)0（D）f(x)不可導.

2.設(x)1x1x，(x)333x，則當x1時（　�。�.

（A）(x)與(x)是同階無窮小，但不是等價無窮�。唬˙）(x)與(x)是等價無窮�。�

（C）(x)是比(x)高階的無窮��；（D）(x)是比(x)高階的無窮小.

x3.若

F(x)0(2tx)f(t)dt，其中f(x)在區(qū)間上(1,1)二階可導且

f(x)0，則（）.

（A）函數F(x)必在x0處取得極大值；（B）函數F(x)必在x0處取得極小值；

（C）函數F(x)在x0處沒有極值，但點(0,F(0))為曲線yF(x)的拐點；（D）函數F(x)在x0處沒有極值，點(0,F(0))也不是曲線yF(x)的拐點。4.

設f(x)是連續(xù)函數，且f(x)x210f(t)dt,則f(x)(x2x2（A）2（B）22（C）x1（D）x2.

二、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）25.lim(13x)sinxx0.

6.已知cosxx是f(x)的一個原函數,則f(x)cosx.xdx7.

nlimn(cos2ncos22ncos2n1n).

12x2arcsinx1－11x2dx8.2.

三、解答題（本大題有5小題，每小題8分，共40分）

9.設函數yy(x)由方程

exysin(xy)1確定，求y(x)以及y(0).

)

1x7求dx.7x(1x)10.

xxe，　　x01設f(x)　求f(x)dx．322xx，0x111.

1012.設函數f(x)連續(xù)，，且x0g(x)并討論g(x)在x0處的連續(xù)性.

g(x)f(xt)dtlimf(x)Ax，A為常數.求

1y(1)xy2yxlnx9的解.13.求微分方程滿足

四、解答題（本大題10分）

14.已知上半平面內一曲線yy(x)(x0)，過點(0,1)，且曲線上任一點

M(x0,y0)處切線斜率數值上等于此曲線與x軸、y軸、直線xx0所圍成面積的2倍與該點縱坐標之和，求此曲線方程.五、解答題（本大題10分）

15.過坐標原點作曲線ylnx的切線，該切線與曲線ylnx及x軸圍

成平面圖形D.

(1)求D的面積A；(2)求D繞直線x=e旋轉一周所得旋轉體的體積

V.

六、證明題（本大題有2小題，每小題4分，共8分）

16.設函數f(x)在0,1上連續(xù)且單調遞減，證明對任意的q[0,1]，

q1f(x)dxqf(x)dx00.

17.設函數f(x)在0,上連續(xù)，且0xf(x)dx0，0f(x)cosxdx0.

證明：在0,內至少存在兩個不同的點1,2，使f(1)f(2)0.（提

F(x)示：設

0f(x)dx）

解答

一、單項選擇題(本大題有4小題,每小題4分,共16分)1、D2、A3、C4、C

二、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）

1cosx2　()c6e35..6.2x.7.2.8..

三、解答題（本大題有5小題，每小題8分，共40分）9.解：方程兩邊求導

xy)coxys(xy)(y)e(1yexyycos(xy)y(x)xyexcos(xy)

x0,y0，y(0)177x6dxdu10.解：ux　　1(1u)112原式du()du7u(1u)7uu11(ln|u|2ln|u1|)c712ln|x7|ln|1x7|C77

11.解：130f(x)dxxedx3x100x102xx2dx

xd(e)3031(x1)2dx02xx2(令x1sin)xeecosd　

4

12.解：由f(0)0，知g(0)0。

x1xtu2e31

g(x)f(xt)dt0xf(u)du0x(x0)

g(x)xf(x)f(u)duxx002(x0)

g(0)limx0f(u)dux2limx0xf(x)A2x2

AAA22，g(x)在x0處連續(xù)。

limg(x)limx0x0xf(x)f(u)dux02dy2ylnx13.解：dxx

yexdx2(exdx2lnxdxC)

11xlnxxCx293

111y(1)C,0yxlnxx399，

四、解答題（本大題10分）

14.解：由已知且，

將此方程關于x求導得y2yy

02特征方程：rr20

y2ydxyx

解出特征根：r11,r22.

其通解為

yC1exC2e2x

代入初始條件y(0)y(0)1，得

21yexe2x33故所求曲線方程為：

五、解答題（本大題10分）

C121,C233

1ylnx0(xx0)x015.解：（1）根據題意，先設切點為(x0,lnx0)，切線方程：

1yxxe0e由于切線過原點，解出，從而切線方程為：

1則平面圖形面積

A(eyey)dy01e12

（2）三角形繞直線x=e一周所得圓錐體體積記為V1，則

曲線ylnx與x軸及直線x=e所圍成的圖形繞直線x=e一周所得旋轉體體積為V2

1V11e23

V2(eey)2dy0

6D繞直線x=e旋轉一周所得旋轉體的體積

六、證明題（本大題有2小題，每小題4分，共12分）

q1qqVV1V2(5e212e3)

116.證明：0qf(x)dxqf(x)dxf(x)dxq(f(x)dxf(x)dx)000q1q

(1q)f(x)dxqf(x)dx0

f(1)f(2)1[0,q]2[q,1]q(1q)f(1)q(1q)f(2)1故有：

q0

f(x)dxqf(x)dx00證畢。

x17.

F(x)f(t)dt,0x0證：構造輔助函數：。其滿足在[0,]上連續(xù)，在(0,)上可導。F(x)f(x)，且F(0)F()0

0由題設，有

f(x)cosxdxcosxdF(x)F(x)cosx|sinxF(x)dx0000，

有0，由積分中值定理，存在(0,)，使F()sin0即F()0

綜上可知F(0)F()F()0,(0,).在區(qū)間[0,],[,]上分別應用羅爾定理，知存在

1(0,)和2(,)，使F(1)0及F(2)0，即f(1)f(2)0.

F(x)sinxdx0

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高數期末考試

一、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）

已知cosxx是f(x)的一個原函數,則f(x)cosxxdx1.

.212.

limnn(cosncos22ncos2nn).

122xarcsinx1dx3.－11x22.

二、單項選擇題(本大題有4小題,每小題4分,共16分)4.

設(x)1x1x，(x)333x，則當x1時（　�。�.

（A）(x)與(x)是同階無窮小，但不是等價無窮�。唬˙）(x)與(x)是等價無窮��；

（C）(x)是比(x)高階的無窮��；（D）(x)是比(x)高階的無窮小.

5.

設f(x)cosx(xsinx),則在x0處有(　).

（A）f(0)2（B）f(0)1（C）f(0)0（D）f(x)不可導.

6.若

F(x)x0(2tx)f(t)dt，其中f(x)在區(qū)間上(1,1)二階可導且

f(x)0，則（）.

（A）函數F(x)必在x0處取得極大值；（B）函數F(x)必在x0處取得極小值；

（C）函數F(x)在x0處沒有極值，但點(0,F(0))為曲線yF(x)的拐點；（D）函數F(x)在x0處沒有極值，點(0,F(0))也不是曲線yF(x)的拐點。

f(x)是連續(xù)函數，且f(x)x217.

設0f(t)dt,則f(x)(x2x2（A）2（B）22（C）x1（D）x2.

8.

三、解答題（本大題有5小題，每小題8分，共40分）9.設函數yy(x)由方程exysin(xy)1確定，求y(x)以及y(0).

求x710.

1x(1x7)dx.

)11.12.

xxe，　　x0設f(x)　求22xx，0x113f(x)dx．

xA10設函數f(x)連續(xù)，，且x0g(x)并討論g(x)在x0處的連續(xù)性.

g(x)f(xt)dtlimf(x)，A為常數.求

13.求微分方程xy2yxlnx滿足14.已知上半平面內一曲線yy(x)9的解.

四、解答題（本大題10分）

(x0)，過點(0,1)y(1)1，且曲線上任一點

M(x0,y0)處切線斜率數值上等于此曲線與x軸、y軸、直線xx0所圍成

面積的2倍與該點縱坐標之和，求此曲線方程.五、解答題（本大題10分）

15.過坐標原點作曲線

ylnx的切線，該切線與曲線ylnx及x軸圍

成平面圖形D.

(1)求D的面積A；(2)求D繞直線x=e旋轉一周所得旋轉體的體積

V.

六、證明題（本大題有2小題，每小題4分，共8分）

16.設函數

qf(x)在0,1上連續(xù)且單調遞減，證明對任意的q[0,1]，

10f(x)dxqf(x)dx0.

17.設函數

f(x)在0,上連續(xù)，且

0f(x)dx0，0f(x)cosxdx0.

證明：在0,內至少存在兩個不同的點1,2，使f(1)f(2)0.（提

xF(x)示：設

0f(x)dx）

解答

一、單項選擇題(本大題有4小題,每小題4分,共16分)

1、D2、A3、C4、C

二、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）

e35.

三、解答題（本大題有5小題，每小題8分，共40分）9.解：方程兩邊求導

xy)e(1y61cosx2　()cx.6.2.7.2.8.

.

coxys(xy)(y)xcos(xy)

x0,y0，y(0)1

767xdxdu10.解：ux　　y(x)eexyxyycos(xy)原式17u(1u)(1u)du17(1u2u1)du

17171(ln|u|2ln|u1|)cln|x|7

2xxdx2227ln|1x|C711.解：3f(x)dxxd(ex03xe10xdx10

03)01(x1)dx

xxxee302cosd　(令x1sin)2

12.解：由f(0)0，知g(0)0。

4x1xtu2e130f(u)duxg(x)

g(x)0f(xt)dtx(x0)

xf(x)x02f(u)du(x0)

x

g(0)lim0x0f(u)dux2limxf(x)2xx0A2

A2xf(x)x02f(u)duA

limg(x)limx0A2x0，g(x)在x0處連續(xù)。

dy13.解：dx

2x2ylnx2

lnxdxC)2yexdx(exdx

13xlnx19C,19xCx1

xlnx19x3，

四、解答題（本大題10分）

y(1)0y14.解：由已知且

y2ydxy0x，

23,將此方程關于x求導得y2yy

2特征方程：rr20

解出特征根：r11,r22.

2x其通解為

yC1exC2e

C213

代入初始條件y(0)y(0)1，得

3故所求曲線方程為：

五、解答題（本大題10分）

y2exC1e2x13

1x015.解：（1）根據題意，先設切點為(x0,lnx0)，切線方程：由于切線過原點，解出x0e1ylnx0(xx0)

，從而切線方程為：

12e1y1ex

A則平面圖形面積

(e0yey)dy

V113（2）三角形繞直線x=e一周所得圓錐體體積記為V1，則

e2

曲線ylnx與x軸及直線x=e所圍成的圖形繞直線x=e一周所得旋轉體體積為V2

1V2(ee0y)dy2

VV1V26D繞直線x=e旋轉一周所得旋轉體的體積

六、證明題（本大題有2小題，每小題4分，共12分）

q1qq(5e12e3)2

116.證明：0qf(x)dxqf(x)dx010f(x)dxq(f(x)dx0qf(x)dx)

(1q)f(x)dxqf(x)dx0q

f(1)f(2)1[0,q]2[q,1]q(1q)f(1)q(1q)f(2)1故有：

q0

0f(x)dxqf(x)dx0證畢。

x17.

F(x)證：構造輔助函數：

0f(t)dt,0x。其滿足在[0,]上連續(xù)，在(0,)上可導。F(x)f(x)，且F(0)F()0由題設，有

0f(x)cosxdxcosxdF(x)F(x)cosx|00sin0xF(x)dx，

有

F(x)sin0xdx0，由積分中值定理，存在(0,)，使F()sin0即

F()0

綜上可知F(0)F()F()0,(0,).在區(qū)間[0,],[,]上分別應用羅爾定理，知存在

1(0,)和2(,)，使F(1)0及F(2)0，即f(1)f(2)0.

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