數(shù)學(xué)必修二第一章知識點總結(jié)+習(xí)題
第一章空間幾何體
1、空間幾何體的結(jié)構(gòu):空間幾何體分為多面體和旋轉(zhuǎn)體和簡單組合體
⑴常見的多面體有:棱柱、棱錐、棱臺;
常見的旋轉(zhuǎn)體有:圓柱、圓錐、圓臺、球。(2)簡單組合體的構(gòu)成形式:
一種是由簡單幾何體拼接而成,例如課本圖1.1-11中(1)(2)物體表示的幾何體;一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成,例如課本圖1.1-11中(3)(4)物體表示的幾何體。
練習(xí)1.下圖是由哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的()
ABCD
2、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征
(1)棱柱:
定義:有兩個面互相平行,其余各面都是四邊形,且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的幾何體。
分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示:用各頂點字母,如五棱柱ABCDEABCDE或用對角線的端點字母,如五棱柱AD幾何特征:兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。(2)棱錐
定義:有一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形,由這些面所圍成的幾何體分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等表示:用各頂點字母,如五棱錐P"""""簡單組合體
"A"B"C"D"E"
幾何特征:側(cè)面、對角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似。
(3)棱臺:定義:用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,截面和底面之間的部分分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等
表示:用各頂點字母,如五棱臺PABCDE
幾何特征:①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點練習(xí)2.一個棱柱至少有_____個面,面數(shù)最少的一個棱錐有________個頂點,頂點最少的一個棱臺有________條側(cè)棱。3.空間幾何體的三視圖和直觀圖
把光由一點向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影的投影線交于一點;把在一束平行光線照射下的投影叫平行投影,平行投影的投影線是平行的。(1)定義:
正視圖:光線從幾何體的前面向后面正投影得到的投影圖;
"""""
側(cè)視圖:光線從幾何體的左面向右面正投影得到的投影圖;俯視圖:光線從幾何體的上面向下面正投影得到的投影圖。幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖。
注:正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和長度;俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的長度和寬度;
側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和寬度。(2)三視圖中反應(yīng)的長、寬、高的特點:“長對正”,“高平齊”,“寬相等”練習(xí)3.有一個幾何體的三視圖如下圖所示,這個幾何體應(yīng)是一個()
A.棱臺B.棱錐C.棱柱D.都不對
主視圖左視圖俯視圖練習(xí)4.如圖是一個物體的三視圖,則此物體的直觀圖是().
練習(xí)5.圖(1)為長方體積木塊堆成的幾何體的三視圖,此幾何體共由________塊木塊堆成;
圖(2)中的三視圖表示的實物為_____________。
練習(xí)6.有一個幾何體的三視圖及其尺寸如下(單位
,則該幾何體的表面積及體積為:cm)
圖(1)圖(2)
56222222
A.24cm,12cmB.15cm,12cmC.24cm,36cm4、空間幾何體的直觀圖(表示空間圖形的平面圖).觀察者站在某一點觀察幾何體,畫出的圖形.斜二測畫法的基本步驟:①建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系xOy(盡可能使更多的點在坐標(biāo)軸上)
00②建立斜坐標(biāo)系xOy,使xOy=45(或135),注意它們確定的平面表示水平平面;
""""""③畫對應(yīng)圖形,在已知圖形平行于X軸的線段,在直觀圖中畫成平行于X軸,且長度保持不變;在已知圖形平行于Y軸的線段,在直觀圖中畫成平行于Y軸,且長度變?yōu)樵瓉淼囊话;用斜二測畫法畫出長方體的步驟:(1)畫軸(2)畫底面(3)畫側(cè)棱(4)成圖
‘‘
練習(xí)7.下列關(guān)于用斜二測畫法畫直觀圖的說法中,錯誤的是()...A.用斜二測畫法畫出的直觀圖是在平行投影下畫出的空間圖形B.幾何體的直觀圖的長、寬、高與其幾何體的長、寬、高的比例相同C.水平放置的矩形的直觀圖是平行四邊形D.水平放置的圓的直觀圖是橢圓
練習(xí)8.如果一個水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個底面為45,腰和上底均為1的等腰梯形,那么原平面圖形的面積是()
0A.22B.
122C.
22D.122r5、空間幾何體的表面積與體積
⑴圓柱側(cè)面積;S側(cè)面⑵圓錐側(cè)面積:S側(cè)面lrlAS側(cè)=2πrlB2rlrl
AB=2πr
AlVθlr12hlB圖中:扇形的半徑長為l,圓心角為θ,弧AB的長Lθl(注:扇形的弧長等于圓心角乘以半徑.提醒圓心角π為弧度角,例如60°弧度,3ππ45°弧度,90°弧度等等)42
O1r圓錐的側(cè)面展開圖是扇形,扇形面積S扇形弧長半徑
⑶圓臺側(cè)面積:S側(cè)面hO2RlrlRl練習(xí)9.棱長都是1的三棱錐的表面積為()A.3B.23C.33D.43說明:正三棱錐是錐體中底面是等邊三角形,三個側(cè)面是全等的等腰三角形的三棱錐。正三棱
錐不等同于正四面體,正四面體必須每個面都是全等的等邊三角形。
正三棱錐的性質(zhì):1.底面是等邊三角形。2.側(cè)面是三個全等的等腰三角形。3.頂點在底面的射影是底面三角形的中心(也是重心、垂心、外心、內(nèi)心)。6體積公式:
V柱體ShV錐體1Sh31V臺體hS上S上S下S下
練習(xí)10.已知圓柱與圓錐的底面積相等,高也相等,它們的體積分別為V1和V2,則V1:V2A.1:3B.1:1C.2:1D.3:1練習(xí)11.在△ABC中,AB何體的體積是()
2,BC1.5,ABC1200,若使繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周,則所形成的幾
A.92B.
72C.
52D.
32練習(xí)12.半徑為R的半圓卷成一個圓錐,則它的體積為()
A.3355R3B.R3C.R3D.R3248248練習(xí)13.如圖,在多面體ABCDEF中,已知平面邊長為
ABCD是
與平面
3的正方形,EF//AB,EF32,且
EFEDAFCBABCD的距離為2,則該多面體的體積為()
915A.B.5C.6D.
22練習(xí)14.圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍,母線長為3,
圓臺的側(cè)面積為84,則圓臺較小底面的半徑為()A.7B.6C.5D.3
7.球的表面積和體積S球44R2,V球R3.
3練習(xí)15.若三個球的表面積之比是1:2:3,則它們的體積之比是_____________。
練習(xí)16.長方體的一個頂點上三條棱長分別是3,4,5,且它的8個頂點都在同一球面上,則這個球的表面積是()
A.25B.50C.125D.都不對練習(xí)17.正方體的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為()
A.3:1B.3:2C.2:3D.3:3
3的圓柱,求圓柱的表面積
練習(xí)18(如圖)在底半徑為2,母線長為4的圓錐中內(nèi)接一個高為
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第一章空間幾何體
1、空間幾何體的結(jié)構(gòu):空間幾何體分為多面體和旋轉(zhuǎn)體和簡單組合體⑴常見的多面體有:棱柱、棱錐、棱臺;常見的旋轉(zhuǎn)體有:圓柱、圓錐、圓臺、球。(2)簡單組合體的構(gòu)成形式:
一種是由簡單幾何體拼接而成,例如課本圖1.1-11中(1)(2)物體表示的幾何體;一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成,例如課本圖1.1-11中(3)(4)物體表示的幾何體。
簡單組合體
練習(xí)1.下圖是由哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的()ABCD
2、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征
(1)棱柱:
定義:有兩個面互相平行,其余各面都是四邊形,且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的幾何體。
分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示:用各頂點字母,如五棱柱ABCDEABCDE或用對角線的端點字母,如五棱柱
"""""AD"
幾何特征:兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。(2)棱錐
定義:有一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形,由這些面所圍成的幾何體
分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等表示:用各頂點字母,如五棱錐PABCDE幾何特征:側(cè)面、對角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似。
(3)棱臺:定義:用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,截面和底面之間的部分分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等
表示:用各頂點字母,如五棱臺PABCDE
幾何特征:①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點
練習(xí)2.一個棱柱至少有_____個面,面數(shù)最少的一個棱錐有________個頂點,頂點最少的一個棱臺有________條側(cè)棱。
3.空間幾何體的三視圖和直觀圖
把光由一點向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影的投影線交于一點;把在一束平行光線照射下的投影叫平行投影,平行投影的投影線是平行的。(1)定義:
正視圖:光線從幾何體的前面向后面正投影得到的投影圖;側(cè)視圖:光線從幾何體的左面向右面正投影得到的投影圖;俯視圖:光線從幾何體的上面向下面正投影得到的投影圖。幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖。
注:正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和長度;俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的長度和寬度;
側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和寬度。
(2)三視圖中反應(yīng)的長、寬、高的特點:“長對正”,“高平齊”,“寬相等”
練習(xí)3.有一個幾何體的三視圖如下圖所示,這個幾何體應(yīng)是一個()
A.棱臺B.棱錐C.棱柱D.都不對
主視圖左視圖俯視圖
練習(xí)4.如圖是一個物體的三視圖,則此物體的直觀圖是().
""""""""""
練習(xí)5.圖(1)為長方體積木塊堆成的幾何體的三視圖,此幾何體共由________塊木塊堆成;
圖(2)中的三視圖表示的實物為_____________。
圖(1)圖(2)
練習(xí)6.有一個幾何體的三視圖及其尺寸如下(單位cm),則該幾何體的表面積及體積為:
5622A.24cm,12cmB.15cm,12cmC.24cm,36cm4、空間幾何體的直觀圖(表示空間圖形的平面圖).觀察者站在某一點觀察幾何體,畫出的圖形.
斜二測畫法的基本步驟:①建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系xOy(盡可能使更多的點在坐標(biāo)軸上)②建立斜坐標(biāo)系x"O"y",使x"O"y"=45(或135),注意它們確定的平面表示水平平面;
002222③畫對應(yīng)圖形,在已知圖形平行于X軸的線段,在直觀圖中畫成平行于X軸,且長度保持
‘不變;在已知圖形平行于Y軸的線段,在直觀圖中畫成平行于Y軸,且長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>
用斜二測畫法畫出長方體的步驟:(1)畫軸(2)畫底面(3)畫側(cè)棱(4)成圖
練習(xí)7.下列關(guān)于用斜二測畫法畫直觀圖的說法中,錯誤的是()...A.用斜二測畫法畫出的直觀圖是在平行投影下畫出的空間圖形B.幾何體的直觀圖的長、寬、高與其幾何體的長、寬、高的比例相同C.水平放置的矩形的直觀圖是平行四邊形D.水平放置的圓的直觀圖是橢圓
練習(xí)8.如果一個水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個底面為45,腰和上底均為1的等腰梯形,那么原平面圖形的面積是()A.20‘
2B.
1222C.D.12225、空間幾何體的表面積與體積r
lrlAS側(cè)=2πrlB⑴圓柱側(cè)面積;S側(cè)面2rl⑵圓錐側(cè)面積:S側(cè)面rl
AlVθlr12hlB圖中:扇形的半徑長為l,圓心角為θ,弧AB的長AB=2πr
圓錐的側(cè)面展開圖是扇形,扇形面積S扇形弧長半徑Lθl(注:扇形的弧長等于圓心角乘以半徑.提醒圓心角π為弧度角,例如60°弧度,3ππ45°弧度,90°弧度等等)42
O1r
hO2Rl⑶圓臺側(cè)面積:S側(cè)面rlRl練習(xí)9.棱長都是1的三棱錐的表面積為()A.3B.23C.33D.43說明:正三棱錐是錐體中底面是等邊三角形,三個側(cè)面是全等的等腰三角形的三棱錐。
正三棱錐不等同于正四面體,正四面體必須每個面都是全等的等邊三角形。正三棱錐的性質(zhì):1.底面是等邊三角形。2.側(cè)面是三個全等的等腰三角形。3.頂點在底面的射影是底面三角形的中心(也是重心、垂心、外心、內(nèi)心)。6體積公式:
V柱體Sh1V錐體Sh31V臺體hS上S上S下S下3
練習(xí)10.已知圓柱與圓錐的底面積相等,高也相等,它們的體積分別為V1和V2,則V1:VA.1:3B.1:1C.2:1D.3:1
練習(xí)11.在△ABC中,AB2,BC1.5,ABC1200,若使繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周,則所形成的幾何體的體積是()
A.9753B.C.D.2222
練習(xí)12.半徑為R的半圓卷成一個圓錐,則它的體積為()
A.
3355R3B.R3C.R3D.R3248248練習(xí)13.如圖,在多面體ABCDEF中,已知平面ABCD是邊長為3的正方形,
EF//AB,EF3,且EF與平面ABCD的距離為2,2EDAFCB則該多面體的體積為()
A.
915B.5C.6D.22練習(xí)14.圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍,母線長為3,
圓臺的側(cè)面積為84,則圓臺較小底面的半徑為()A.7B.6C.5D.37.球的表面積和體積S球4R,V球243R.3練習(xí)15.若三個球的表面積之比是1:2:3,則它們的體積之比是_____________。練習(xí)16.長方體的一個頂點上三條棱長分別是3,4,5,且它的8個頂點都在同一球面上,則這個球的表面積是()
A.25B.50C.125D.都不對練習(xí)17.正方體的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為()
A.3:1B.3:2C.2:3D.3:3
練習(xí)18(如圖)在底半徑為2,母線長為4的圓錐中內(nèi)接一個高為3的圓柱,求圓柱的表面積
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