201*屆高中文科數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高中數(shù)學(xué)必修1知識(shí)點(diǎn)

集合的概念：集合中的元素具有確定性、互異性和無(wú)序性.

集合與元素間的關(guān)系：對(duì)象a與集合M的關(guān)系是aM，或者aM，兩者必居其一.已知集合空真子集.

函數(shù)的三要素:定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則．

只有定義域相同，且對(duì)應(yīng)法則也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù)．若

A有n(n1)個(gè)元素，則它有2n個(gè)子集，它有2n1個(gè)真子集，它有2n1個(gè)非空子集，它有2n2個(gè)非

f(x)是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集．

f(x)的定義域?yàn)閇a,b]，其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域應(yīng)由不等

對(duì)于求復(fù)合函數(shù)定義域問(wèn)題，一般步驟是：若已知式ag(x)b解出．

（6）映射的概念

①設(shè)

A、B是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)于集合

A中任何一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的元素和它

）叫做集合

A到B的映射，記作f:AB．

對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合

A，B以及A到B的對(duì)應(yīng)法則f②給定一個(gè)集合

A到集合B的映射，且aA,bB．如果元素a和元素b對(duì)應(yīng)，那么我們把元素b叫做元素a的

象，元素a叫做元素b的原象．

②在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù)．③對(duì)于復(fù)合函數(shù)

yf[g(x)]，令ug(x)，若yf(u)為增，ug(x)為增，則yf[g(x)]為增；若

yf(u)為減，ug(x)為減，則yf[g(x)]為增；若yf(u)為增，ug(x)為減，則yf[g(x)]為

減；若

yf(u)為減，ug(x)為增，則yf[g(x)]為減．

（2）打“√”函數(shù)

f(x)xa(a0)的圖象與性質(zhì)xyf(x)分別在

分別在[

1(,a]、[a,)上為增函數(shù)，

oxa,0)、(0,a]上為減函數(shù)．

②若函數(shù)

f(x)為奇函數(shù)，且在x0處有定義，則f(0)0．

④在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù)．

（4）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a①加法：loga0,a1,M0,N0，那么

MN

MlogaNloga(MN)②減法：logaMlogaNlogaMlogaMn(nR)④alogaNN

③數(shù)乘：nloga⑤logabMnnlogbNlogaM(b0,nR)⑥換底公式：logaN(b0,且b1)blogba

（1）二次函數(shù)解析式的三種形式①一般式：

f(x)ax2bxc(a0)②頂點(diǎn)式：f(x)a(xh)2k(a0)③兩根式：

f(x)a(xx1)(xx2)(a0)（2）求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式．

②已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱(chēng)軸有關(guān)或與最大（小）值有關(guān)時(shí)，常使用頂點(diǎn)式．③若已知拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫線(xiàn)坐標(biāo)已知時(shí)，選用兩根式求

3直觀(guān)圖：斜二測(cè)畫(huà)法4斜二測(cè)畫(huà)法的步驟：

（1）.平行于坐標(biāo)軸的線(xiàn)依然平行于坐標(biāo)軸；

（2）.平行于y軸的線(xiàn)長(zhǎng)度變半，平行于x，z軸的線(xiàn)長(zhǎng)度不變；（3）.畫(huà)法要寫(xiě)好。

⑤計(jì)算中，通常把兩條異面直線(xiàn)所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線(xiàn)所成的角。

2、判定定理：一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，則該直線(xiàn)與此平面垂直。

注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線(xiàn)”這一條件不可忽視；

3、直線(xiàn)的斜率:

一條直線(xiàn)的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線(xiàn)的斜率,斜率常用小寫(xiě)字母k表示,也就是k=tanα⑴當(dāng)直線(xiàn)l與x軸平行或重合時(shí),α=0°,k=tan0°=0;⑵當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí),α=90°,k不存在.

由此可知,一條直線(xiàn)l的傾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

2

f(x)更方便．

2、傾斜角α的取值范圍：0°≤α＜180°.當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí),α=90°.

2、兩平行線(xiàn)間的距離公式：

已知兩條平行線(xiàn)直線(xiàn)l1和l2的一般式方程為l1：

AxByC10，

l2：AxByC20，則l1與l2的距離為d

2、點(diǎn)M(x0,y0)與圓(xa)（1）(x0（3）(x02C1C2AB22

(yb)2r2的關(guān)系的判斷方法：

a)2(y0b)2>r2，點(diǎn)在圓外（2）(x0a)2(y0b)2=r2，點(diǎn)在圓上a)2(y0b)2

4）互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：（1）事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；（2）事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生；（3）事件A與事件B同時(shí)不發(fā)生，而對(duì)立事件是指事件A

與事件B有且僅有一個(gè)發(fā)生，其包括兩種情形；（1）事件A發(fā)生B不發(fā)生；（2）事件B發(fā)生事

件A不發(fā)生，對(duì)立事件互斥事件的特殊情形。

1806、弧度制與角度制的換算公式：2360，1，157.3．1807、若扇形的圓心角為為弧度制，半徑為r，弧長(zhǎng)為l，周長(zhǎng)為C，面積為S，則lr，C2rl，

11Slrr2．

225sin14、函數(shù)

cos，cossin．6sincos，cossin．2222口訣：正弦與余弦互換，符號(hào)看象限．

ysinx0,0的性質(zhì)：

2①振幅：；②周期：

；③頻率：

f12；④相位：x；⑤初相：．

第二章平面向量

向量：既有大小，又有方向的量．?dāng)?shù)量：只有大小，沒(méi)有方向的量．

向量共線(xiàn)定理：向量aa0與b共線(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba．

平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)（不共線(xiàn)的向量e1、e2作為這一平面內(nèi)所有向量的一組基底）1、2，使a1e12e2．

x1x2y1y2ab設(shè)a、b都是非零向量，ax1,y1，bx2,y2，是a與b的夾角，則cos22abx12y12x2y2

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin2⑵cos2．

2sincos．1sin2sin2cos22sincos(sincos)2

cos2sin22cos2112sin2

升冪公式1cos2cos222cos211cos22，sin降冪公式cos222

4

,1cos2sin2．

⑶tan2

27、合一變形把兩個(gè)三角函數(shù)的和或差化為“一個(gè)三角函數(shù)，一個(gè)角，一次方”的

2tan1tan2．

yAsin(x)B形式。

sincos22sin，其中tan求sin50o．(13tan10o)；

1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對(duì)邊，，則有(R為C的外接圓的半徑)

abc2RsinsinsinC3、原命題：“若p，則q”逆命題：“若q，則p”

否命題：“若p，則q”逆否命題：“若q，則p”5、實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線(xiàn)稱(chēng)為等軸雙曲線(xiàn)．

3．幾個(gè)重要的結(jié)論：

(1)(1i)22i；⑷1ii;1ii;

1i1i(2)i性質(zhì)：T=4；i4n1,i4n1i,i4n21,i4n3i；i4ni4n1i42i4n30;(3)z1zz1z1。z5．共軛的性質(zhì)：⑴(z1z2)z1z2；⑵z1z2z1z2；⑶(z1z)1；⑷zz。z2z2z1|z1|；⑷|z2|z2|6．模的性質(zhì)：⑴||z1||z2|||z1z2||z1||z2|；⑵|z1z2||z1||z2|；⑶||zn||z|n；

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集合與簡(jiǎn)易邏輯

知識(shí)回顧：

（一）集合

1.基本概念：集合、元素；有限集、無(wú)限集；空集、全集；符號(hào)的使用.2.集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法.

集合元素的特征：確定性、互異性、無(wú)序性.

3①一個(gè)命題的否命題為真，它的逆命題一定為真.否命題逆命題.②一個(gè)命題為真，則它的逆否命題一定為真.原命題逆否命題.(二)含絕對(duì)值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法根軸法（零點(diǎn)分段法）

①將不等式化為a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)>0(0”,則找“線(xiàn)”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“b解的討論；

2

②一元二次不等式ax+box>0(a>0)解的討論.00二次函數(shù)0yax2bxc（a0）的圖象有兩相異實(shí)根一元二次方程有兩相等實(shí)根無(wú)實(shí)根x1,x2(x1x2)bx1x22a第1頁(yè)共22頁(yè)ax2bxc0a0的根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集xxx或xx12bxx2aRxx1xx22.分式不等式的解法（1）標(biāo)準(zhǔn)化：移項(xiàng)通分化為

f(x)f(x)f(x)f(x)>0(或函數(shù)三要素是定義域，對(duì)應(yīng)法則和值域，而定義域和對(duì)應(yīng)法則是起決定作用的要素，因?yàn)檫@二者確定后，值域也就相應(yīng)得到確定，因此只有定義域和對(duì)應(yīng)法則二者完全相同的函數(shù)才是同一函數(shù).3.反函數(shù)

（二）函數(shù)的性質(zhì)⒈函數(shù)的單調(diào)性

定義：對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2,若當(dāng)x1y|2x22x1|→|y|關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng).

熟悉分式圖象：

2x17例：y定義域{x|x3,xR}，2x3x3值域{y|y2,yR}→值域x前的系數(shù)之比.（三）指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)圖象▲y2x3yax(a0且a1)的圖象和性質(zhì)

a>14.5401;x數(shù)列

定義遞推公式通項(xiàng)公式中項(xiàng)等差數(shù)列an1andanan1d；anamnmd等比數(shù)列an1q(q0)ananan1q；anamqnmana1qn1（a1,q0）Gankank(ankank0)ana1(n1)dAankank2

前n項(xiàng)和重要性質(zhì)nna(q1)Sn(a1an)12Sna11qnaaq1n(q2)n(n1)1q1qSnna1d2**amanapaq(m,n,p,qN,amanapaq(m,n,p,qN,mnpq)

mnpq)（n,kN*,nk0）（n,kN*,nk0）看

數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法：①anan1d(n2,d為常數(shù))②2anan1an1(n2)

③anknb(n,k為常數(shù)).

看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：①anan1q(n2,q為常數(shù),且0)

2an1an1(n2，anan1an10)②an①

anPan1r（P、r為常數(shù)）用①轉(zhuǎn)化等差，等比數(shù)列；②逐項(xiàng)選代；③消去常數(shù)n轉(zhuǎn)化為an2Pan1qan的形式，再用特征根方法求an；④anc1c2Pn1（公式法），c1,c2由a1,a2確定.

①轉(zhuǎn)化等差，等比：an1xP(anx)an1PanPxxx②選代法：anPan1rP(Pan2r)ran(a1r.P1rr)Pn1(a1x)Pn1xP1P1在等差數(shù)列｛an｝中,有關(guān)Sn的最值問(wèn)題：(1)當(dāng)a1>0,d使得sm取最大值.(2)當(dāng)a10時(shí)，滿(mǎn)足am0的項(xiàng)數(shù)m使得sm取最小值。在解含絕

am10對(duì)值的數(shù)列最值問(wèn)題時(shí),注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。（三）、數(shù)列求和的常用方法

1.公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。

c2.裂項(xiàng)相消法:適用于其中{an}是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部

anan1分無(wú)理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。

3.錯(cuò)位相減法:適用于anbn其中{an}是等差數(shù)列，bn是各項(xiàng)不為0的等比數(shù)列。4.倒序相加法:類(lèi)似于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.

5.常用結(jié)論4）123n5）

22221n(n1)(2n1)61111111()

n(n1)nn1n(n2)2nn2三角函數(shù)

1.三角函數(shù)的定義域：三角函數(shù)f(x)sinxf(x)cosxf(x)tanx定義域x|xRx|xR1x|xR且xk,kZ2cos22、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sintansinco2s1

3、誘導(dǎo)公式：

把k“奇變偶不變，符號(hào)看象限”的三角函數(shù)化為的三角函數(shù)，概括為：2三角函數(shù)的公式：（一）基本關(guān)系

sin(x)sinxsin2(x)sinxcos(x)cosxcos2(x)cosx

tan(x)tanxtan2(x)tanxcot(x)cotxcot2(x)coxtsin(x)sinxcos(x)cosxtan(x)tanxcot(x)coxt

cos()coscossinsinsin22sincos

22sco2ssin2co2s112sincos()coscossinsinco22sin()sincoscossintansin()sincoscossinsin22tan1tan2

1cos2第6頁(yè)共22頁(yè)tan()tantan1coscos

1tantan22tantantan1cossin1cos1tantan21cos1cossin62,sin75cos154tan()sin15cos75624,,.

4.正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì)：定義域值域周期性奇偶性單調(diào)性ysinxR[1,1]ycosxR[1,1]ytanx1x|xR且xk,kZ2yAsinx（A、＞0）RRA,A22奇函數(shù)22偶函數(shù)[2k1,2k]奇函數(shù)k,k22當(dāng)0,非奇非偶當(dāng)0,奇函數(shù)2k2k2(A),12(A)[2k,；22k]上為增函數(shù)；[上為增函數(shù)[2k,2k1]上為減函數(shù)（kZ）上為增函數(shù)（kZ）232k]22k,上為增函數(shù)；2k上為減函數(shù)（kZ）2(A),32k2(A)上為減函數(shù)（kZ）注意：①ysinx與ysinx的單調(diào)性正好相反；ycosx與ycosx的單調(diào)性也同樣相反.一般地，若yf(x)在[a,b]上遞增（減），則yf(x)在[a,b]上遞減（增）.

▲②ysinx與ycosx的周期是.

③ysin(x)或ycos(x)（0）的周期T2y.

Oxxytan的周期為2（TT2，如圖，翻折無(wú)效）.

2④ysin(x)的對(duì)稱(chēng)軸方程是xk2（kZ），對(duì)稱(chēng)中心（k,0）；ycos(x)的對(duì)稱(chēng)軸方程是xk（kZ），對(duì)稱(chēng)中心（k1,0）；ytan(x)的對(duì)稱(chēng)中心

2第7頁(yè)共22頁(yè)（

k,0）.ycos2x原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)ycos(2x)cos2x22⑤當(dāng)tantan1,ktan1,k(kZ)；tan

2(kZ).

⑥ycosx與ysinx2k是同一函數(shù),

2⑦函數(shù)ytanx在R上為增函數(shù).（×）[只能在某個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增.若在整個(gè)定義域，

ytanx為增函數(shù)，同樣也是錯(cuò)誤的].

⑧定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是f(x)具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個(gè)條件：一是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（奇偶都要），二是滿(mǎn)足奇偶性條件，偶函數(shù)：f(x)f(x)，奇函數(shù)：

f(x)f(x)）

1奇偶性的單調(diào)性：奇同偶反.例如：ytanx是奇函數(shù)，ytan(x)是非奇非偶.（定

3義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）

奇函數(shù)特有性質(zhì)：若0x的定義域，則f(x)一定有f(0)0.（0x的定義域，則無(wú)此性質(zhì)）

▲⑨ysinx不是周期函數(shù)；ysinx為周期函數(shù)（T）；ycosx是周期函數(shù)（如圖）；ycosx為周期函數(shù)（T）；y▲yx1/2xy=cos|x|圖象1ycos2x的周期為（如圖），并非所有周期函數(shù)都有最小正周期，例如：

2y=|cos2x+1/2|圖象yf(x)5f(xk),kR.

⑩yacosbsina2b2sin()cosb有a2b2y.a三角函數(shù)圖象的作法：

1）、描點(diǎn)法及其特例五點(diǎn)作圖法（正、余弦曲線(xiàn)），三點(diǎn)二線(xiàn)作圖法（正、余切曲線(xiàn)）.2）、利用圖象變換作三角函數(shù)圖象．

平面向量

向量的概念

(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：幾何表示法AB；字母表示：a；坐標(biāo)表示法a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.(3)向量的長(zhǎng)度：即向量的大小，記作｜a｜.(4)特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O.

單位向量aO為單位向量｜aO｜＝1.

(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）x1x2

yy21第8頁(yè)共22頁(yè)(6)相反向量：a=-bb=-aa+b=0

(7)平行向量(共線(xiàn)向量)：方向相同或相反的向量，稱(chēng)為平行向量.記作a∥b.平行向量也稱(chēng)為共線(xiàn)向量.3.向量的運(yùn)算運(yùn)算類(lèi)型幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)abba向量的加法1.平行四邊形法則2.三角形法則ab(x1x2,y1y2)(ab)ca(bc)ABBCAC向量的減法三角形法則ab(x1x2,y1y2)aba(b)ABBA,OBOAAB(a)()a1.a是一個(gè)向量,滿(mǎn)數(shù)乘向量足:|a||||a|2.>0時(shí),a與a同向;1圖x1x2x,12中點(diǎn)公式OP＝（OP1＋OP2）或2yy1y2.2正、余弦定理

正弦定理：

abc2R.sinAsinBsinC2

22

余弦定理：a＝b＋c－2bccosA，222

b＝c＋a－2cacosB，222

c＝a＋b－2abcosC.三角形面積計(jì)算公式：

設(shè)△ABC的三邊為a，b，c，其高分別為ha，hb，hc，半周長(zhǎng)為P，外接圓、內(nèi)切圓的半徑為R，r.

①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc②S△=Pr③S△=abc/4R

④S△=1/2sinCab=1/2acsinB=1/2cbsinA⑤S△=PPaPbPc[海倫公式]⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下圖]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb

[注]：到三角形三邊的距離相等的點(diǎn)有4個(gè)，一個(gè)是內(nèi)心，其余3個(gè)是旁心.如圖：AAAcAcbbFOEacDBCFbEDBaCrFCINrCrBaEIaaaB圖2圖3圖4

圖1中的I為S△ABC的內(nèi)心，S△=Pr

圖2中的I為S△ABC的一個(gè)旁心，S△=1/2（b+c-a）ra附：三角形的五個(gè)“心”；重心：三角形三條中線(xiàn)交點(diǎn).

外心：三角形三邊垂直平分線(xiàn)相交于一點(diǎn).內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線(xiàn)相交于一點(diǎn).垂心：三角形三邊上的高相交于一點(diǎn).

旁心：三角形一內(nèi)角的平分線(xiàn)與另兩條內(nèi)角的外角平分線(xiàn)相交一點(diǎn).

An▲B(niǎo)BCA▲n1CDEn2

不等式知識(shí)要點(diǎn)

1.不等式的基本概念

不等（等）號(hào)的定義：ab0ab;ab0ab;ab0ab.

第10頁(yè)共22頁(yè)2.不等式的基本性質(zhì)

（1）abba（對(duì)稱(chēng)性）

（2）ab,bcac（傳遞性）

（3）abacbc（加法單調(diào)性）

（4）ab,cdacbd（同向不等式相加）（5）ab,cdacbd（異向不等式相減）（6）a.b,c0acbc

（7）ab,c0acbc（乘法單調(diào)性）

（8）ab0,cd0acbd（同向不等式相乘）

(9)ab0,0cdab（異向不等式相除）cd(10)ab,ab011（倒數(shù)關(guān)系）ab（11）ab0anbn(nZ,且n1)（平方法則）（12）ab0nanb(nZ,且n1)（開(kāi)方法則）

3.幾個(gè)重要不等式

（1）若aR,則|a|0,a20

（2）若a、bR,則a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）（3）如果a,b都是正數(shù)，那么abab.（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）

2極值定理：若x,yR,xyS,xyP,則：

1如果P是定值,那么當(dāng)x=y時(shí)，S的值最�。弧�

2如果S是定值,那么當(dāng)x=y時(shí)，P的值最大.○

利用極值定理求最值的必要條件：一正、二定、三相等.

(4)若a、b、cR,則abc3abc（當(dāng)僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)）3ba(5)若ab0,則2（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）

ab(6)a0時(shí)，|x|ax2a2xa或xa;|x|ax2a2axa

（7）若a、bR,則||a||b|||ab||a||b|

1111111常用不等式的放縮法：①2(n2)

nn1n(n1)nn(n1)n1n②n1n1nn112n1nn122(a1nn1(n1)

（2）柯西不等式：若a1,a2,a3,,anR,b1,b2,b3,bnR;則2a2（a1b1a2b2a3b3anbn)ana1a2a3當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)b1b2b3bn2a32an)(b122b22b32bn)不等式證明的幾種常用方法

比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法.

不等式的解法

第11頁(yè)共22頁(yè)直線(xiàn)和圓的方程

一、直線(xiàn)方程.

1.直線(xiàn)的傾斜角：一條直線(xiàn)向上的方向與x軸正方向所成的最小正角叫做這條直線(xiàn)的傾斜角，其中直線(xiàn)與x軸平行或重合時(shí)，其傾斜角為0，故直線(xiàn)傾斜角的范圍是

0180(0).

注：①當(dāng)90或x2x1時(shí)，直線(xiàn)l垂直于x軸，它的斜率不存在.

②每一條直線(xiàn)都存在惟一的傾斜角，除與x軸垂直的直線(xiàn)不存在斜率外，其余每一條直線(xiàn)都有惟一的斜率，并且當(dāng)直線(xiàn)的斜率一定時(shí)，其傾斜角也對(duì)應(yīng)確定.2.直線(xiàn)方程的幾種形式：點(diǎn)斜式、截距式、兩點(diǎn)式、斜切式.3.兩條直線(xiàn)平行：

l1∥l2k1k2兩條直線(xiàn)平行的條件是：①l1和l2是兩條不重合的直線(xiàn).②在l1和l2的斜率都存在的前提下得到的.因此，應(yīng)特別注意，抽掉或忽視其中任一個(gè)—前提‖都會(huì)導(dǎo)致結(jié)論的錯(cuò)誤.

（一般的結(jié)論是：對(duì)于兩條直線(xiàn)l1,l2，它們?cè)趛軸上的縱截距是b1,b2，則l1∥l2k1k2，且b1b2或l1,l2的斜率均不存在，即A1B2B1A2是平行的必要不充分條件，且C1C2）推論：如果兩條直線(xiàn)l1,l2的傾斜角為1,2則l1∥l212.兩條直線(xiàn)垂直：

兩條直線(xiàn)垂直的條件：①設(shè)兩條直線(xiàn)l1和l2的斜率分別為k1和k2，則有l(wèi)1l2k1k21這里的前提是l1,l2的斜率都存在.②l1l2k10，且l2的斜率不存在或k20，且l1的斜率不存在.（即A1B2A2B10是垂直的充要條件）

.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離：

點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式：設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)，直線(xiàn)l:AxByC0,P到l的距離為d，則有

dAx0By0CAB22.

注：

1.兩點(diǎn)P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距離公式：|P1P2|(x2x1)2(y2y1)2.

特例：點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)O的距離：|OP|x2y22.直線(xiàn)的傾斜角（0°≤＜180°）、斜率:ktan3.過(guò)兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線(xiàn)的斜率公式：k當(dāng)x1y2y1.

x2x1(x1x2)

x2,y1y2（即直線(xiàn)和x軸垂直）時(shí)，直線(xiàn)的傾斜角＝90，沒(méi)有斜率王新敞

兩條平行線(xiàn)間的距離公式：設(shè)兩條平行直線(xiàn)l1:AxByC10,l2:AxByC20(C1C2)，它們之間的距離為d，則有dC1C2AB22.

第12頁(yè)共22頁(yè)7.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)和關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)：

關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩條直線(xiàn)一定是平行直線(xiàn)，且這個(gè)點(diǎn)到兩直線(xiàn)的距離相等.

關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的兩條直線(xiàn)性質(zhì)：若兩條直線(xiàn)平行，則對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)也平行，且兩直線(xiàn)到對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)距離相等.

若兩條直線(xiàn)不平行，則對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)必過(guò)兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)，且對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)為兩直線(xiàn)夾角的角平分線(xiàn).點(diǎn)關(guān)于某一條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，用中點(diǎn)表示兩對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)上（方程①），過(guò)兩對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的直線(xiàn)方程與對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)方程垂直（方程②）①②可解得所求對(duì)稱(chēng)點(diǎn).二、圓的方程.

如果曲線(xiàn)C的方程是f(x,y)=0，那么點(diǎn)P0(x0,y)線(xiàn)C上的充要條件是f(x0,y0)=02.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：以點(diǎn)C(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(xa)2(yb)2r2.特例：圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓的方程是：x2y2r2.3.圓的一般方程：x2y2DxEyF0.

DE當(dāng)DE4F0時(shí)，方程表示一個(gè)圓，其中圓心C,，半徑r2222D2E24F.

2當(dāng)D2E24F0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)DE,.22當(dāng)D2E24F0時(shí)，方程無(wú)圖形（稱(chēng)虛圓）.

xarcos注：①圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)）.

ybrsin③圓的直徑或方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0（用向量可征）.4.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：給定點(diǎn)M(x0,y0)及圓C:(xa)2(yb)2r2.

①M(fèi)在圓C內(nèi)(x0a)2(y0b)2r2

（x0a)2(y0b)2r2②M在圓C上③M在圓C外(x0a)2(y0b)2r25.直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系：

設(shè)圓圓C：(xa)2(yb)2r2(r0)；直線(xiàn)l：AxByC0(A2B20)；圓心C(a,b)到直線(xiàn)l的距離d①dr時(shí)，l與C相切；

22xyD1xE1yF10相減為公切線(xiàn)方程.附：若兩圓相切，則22xyD2xE2yF20AaBbCAB22.

②dr時(shí)，l與C相交；

C1:x2y2D1xE1yF10附：公共弦方程：設(shè)

C2:x2y2D2xE2yF20第13頁(yè)共22頁(yè)有兩個(gè)交點(diǎn)，則其公共弦方程為(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.③dr時(shí)，l與C相離.

(xa)2(yb)2r2由代數(shù)特征判斷：方程組用代入法，得關(guān)于x（或y）的一元二次方程，

AxBxC0其判別式為，則：

0l與C相切；0l與C相交；0l與C相離.

一般方程若點(diǎn)(x0,y0)在圓上，則(xa)(x0a)+(yb)(y0b)=R2.特別地，過(guò)圓x2y2r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線(xiàn)方程為x0xy0yr2.

圓錐曲線(xiàn)方程

一、橢圓方程.

1.橢圓方程的第一定義：

PF1PF22aF1F2方程為橢圓,PF1PF22aF1F2無(wú)軌跡,PF1PF22aF1F2以F1,F2為端點(diǎn)的線(xiàn)段

①橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

i.ii.

中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上：x2a2y2b2221(ab0).x2b2ii.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上：ya221(ab0).

y2b21的參數(shù)方程為

②一般方程：AxBy1(A0,B0).③橢圓的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程：

x2a2xacos（一象限應(yīng)是屬于0）.2ybsin①頂點(diǎn)：(a,0)(0,b)或(0,a)(b,0).②軸：對(duì)稱(chēng)軸：x軸，y軸；長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b.③

焦點(diǎn)：(c,0)(c,0)或(0,c)(0,c).④焦距：F1F22c,cabca2.⑥離心率：e(0e1).yca22a2.⑤準(zhǔn)線(xiàn)：x或

c⑧通徑：垂直于x軸且過(guò)焦點(diǎn)的弦叫做通經(jīng).坐標(biāo)：d二、雙曲線(xiàn)方程.

1.雙曲線(xiàn)的第一定義：

PF1PF22aF1F2方程為雙曲線(xiàn)PF1PF22aF1F2無(wú)軌跡2b2a2b2b2(c,)和(c,)

aa

PF1PF22aF1F2以F1,F2的一個(gè)端點(diǎn)的一條射線(xiàn)①雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程：

x2a2y2b21(a,b0),y2a2x2b21(a,b0).一般方程：

第14頁(yè)共22頁(yè)Ax2Cy21(AC0).

①i.焦點(diǎn)在x軸上：

xya2頂點(diǎn)：(a,0),(a,0)焦點(diǎn)：(c,0),(c,0)準(zhǔn)線(xiàn)方程x漸近線(xiàn)方程：0或

cabx2a2y2b20

2a2c②軸x,y為對(duì)稱(chēng)軸，實(shí)軸長(zhǎng)為2a,虛軸長(zhǎng)為2b，焦距2c.③離心率e.④準(zhǔn)線(xiàn)距

ca2b2c（兩準(zhǔn)線(xiàn)的距離）；通徑.⑤參數(shù)關(guān)系c2a2b2,e.⑥焦點(diǎn)半徑公式：對(duì)于雙曲

aa線(xiàn)方程

x2a2y2b21（F1,F2分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)或分別為雙曲線(xiàn)的上下焦點(diǎn)）

等軸雙曲線(xiàn)：雙曲線(xiàn)x2y2a2稱(chēng)為等軸雙曲線(xiàn)，其漸近線(xiàn)方程為yx，離心率e2.⑸共漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)系方程：

x2a2y2b2(0)的漸近線(xiàn)方程為

22x2a2y2b20如果雙曲線(xiàn)的

▲yxxy漸近線(xiàn)為0時(shí)，它的雙曲線(xiàn)方程可設(shè)為22(0).

ababy4311例如：若雙曲線(xiàn)一條漸近線(xiàn)為yx且過(guò)p(3,)，求雙曲線(xiàn)的方程？2221F2xx21x2y22解：令雙曲線(xiàn)的方程為：y(0)，代入(3,)得1.8242F153⑹直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系：

3區(qū)域①：無(wú)切線(xiàn)，2條與漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)，合計(jì)2條；

區(qū)域②：即定點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，1條切線(xiàn)，2條與漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)，合計(jì)3條；區(qū)域③：2條切線(xiàn)，2條與漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)，合計(jì)4條；

區(qū)域④：即定點(diǎn)在漸近線(xiàn)上且非原點(diǎn)，1條切線(xiàn)，1條與漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)，合計(jì)2條；區(qū)域⑤：即過(guò)原點(diǎn)，無(wú)切線(xiàn)，無(wú)與漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn).

小結(jié)：過(guò)定點(diǎn)作直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，可以作出的直線(xiàn)數(shù)目可能有0、2、3、4條.

（2）若直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)一支有交點(diǎn)，交點(diǎn)為二個(gè)時(shí)，求確定直線(xiàn)的斜率可用代入法與漸“”近線(xiàn)求交和兩根之和與兩根之積同號(hào).三、拋物線(xiàn)方程.

3.設(shè)p0，拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程、類(lèi)型及其幾何性質(zhì)：圖形y22px▲y22px▲x22pyy▲x22py▲yyyxOxOxOOx焦點(diǎn)F(p,0)2F(p,0)2F(0,p)2F(0,p)2第15頁(yè)共22頁(yè)準(zhǔn)線(xiàn)范圍對(duì)稱(chēng)軸頂點(diǎn)離心率焦點(diǎn)xp2xp2yp2yp2x0,yRx0,yRxR,y0xR,y0x軸y軸（0，0）e1PFpx12PFpx12PFpy12PFpy122②y22px(p0)則焦點(diǎn)半徑PFxP;x22py(p0)則焦點(diǎn)半徑為PFyP.

2③通徑為2p，這是過(guò)焦點(diǎn)的所有弦中最短的.

x2pt2x2pt④y2px（或x2py）的參數(shù)方程為（或）（t為參數(shù)）.2y2pty2pt22四、圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義..

：橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)定義橢圓1．到兩定點(diǎn)F1,F2的距離之和為定值2a(2a>|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡2．與定點(diǎn)和直線(xiàn)的距離之比為定值e的點(diǎn)的軌跡.（00)2abxacosybsin(參數(shù)為離心角）─axa，─byb原點(diǎn)O（0，0）(a,0),(─a,0),(0,b),(0,─b)x軸，y軸；長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a,短軸長(zhǎng)2bF1(c,0),F2(─c,0)22xasecybtan(參數(shù)為離心角）|x|a，yR原點(diǎn)O（0，0）(a,0),(─a,0)x軸，y軸;實(shí)軸長(zhǎng)2a,虛軸長(zhǎng)2b.F1(c,0),F2(─c,0)22x2pt2y2pt(t為參數(shù))x0(0,0)x軸pF(,0)2e=12c（c=ab）2c（c=ab）ec(0e1)aec(e1)a第16頁(yè)共22頁(yè)準(zhǔn)線(xiàn)a2x=ca2x=cy=±xp2漸近線(xiàn)焦半徑通徑bxaraex2b2aa2cr(exa)2b2aa2crx2pPp2焦參數(shù)立體幾何

平面.

1.經(jīng)過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)確定一個(gè)面.

注：兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的四條直線(xiàn)必在同一平面內(nèi).

2.兩個(gè)平面可將平面分成3或4部分.（①兩個(gè)平面平行，②兩個(gè)平面相交）

3.過(guò)三條互相平行的直線(xiàn)可以確定1或3個(gè)平面.（①三條直線(xiàn)在一個(gè)平面內(nèi)平行，②三條直線(xiàn)不在一個(gè)平面內(nèi)平行）一、空間直線(xiàn).

1.空間直線(xiàn)位置分三種：相交、平行、異面.相交直線(xiàn)共面有反且有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線(xiàn)共面沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線(xiàn)不同在任一平面內(nèi)[注]：①兩條異面直線(xiàn)在同一平面內(nèi)射影一定是相交的兩條直線(xiàn).（）（可能兩條直線(xiàn)平行，也可能是點(diǎn)和直線(xiàn)等）

②直線(xiàn)在平面外，指的位置關(guān)系：平行或相交

③若直線(xiàn)a、b異面，a平行于平面，b與的關(guān)系是相交、平行、在平面內(nèi).④兩條平行線(xiàn)在同一平面內(nèi)的射影圖形是一條直線(xiàn)或兩條平行線(xiàn)或兩點(diǎn).

⑥在同一平面內(nèi)的射影長(zhǎng)相等，則斜線(xiàn)長(zhǎng)相等.（）（并非是從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所．．引的垂線(xiàn)段和斜線(xiàn)段）

⑦a,b是夾在兩平行平面間的線(xiàn)段，若ab，則a,b的位置關(guān)系為相交或平行或異面.2.異面直線(xiàn)判定定理：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線(xiàn)和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn).（不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)）

3.平行公理：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行.

4.等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等（如下圖）.（二面角的取值范圍0,180）

121（直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角0,90）

2（斜線(xiàn)與平面成角0,90）方向相同方向不相同（直線(xiàn)與平面所成角0,90）

（向量與向量所成角[0,180])

推論：如果兩條相交直線(xiàn)和另兩條相交直線(xiàn)分別平行，那么這兩組直線(xiàn)所成銳角（或直角）相等.

第17頁(yè)共22頁(yè)二、直線(xiàn)與平面平行、直線(xiàn)與平面垂直.

1.空間直線(xiàn)與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi).

2.直線(xiàn)與平面平行判定定理：如果平面外一條直線(xiàn)和這個(gè)平面內(nèi)一條直線(xiàn)平行，那么這條直線(xiàn)和這個(gè)平面平行.（“線(xiàn)線(xiàn)平行，線(xiàn)面平行”）

[注]：①直線(xiàn)a與平面內(nèi)一條直線(xiàn)平行，則a∥.（）（平面外一條直線(xiàn)）②直線(xiàn)a與平面內(nèi)一條直線(xiàn)相交，則a與平面相交.（）（平面外一條直線(xiàn)）③若直線(xiàn)a與平面平行，則內(nèi)必存在無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與a平行.（√）（不是任意一條直線(xiàn)，可利用平行的傳遞性證之）

④兩條平行線(xiàn)中一條平行于一個(gè)平面，那么另一條也平行于這個(gè)平面.（）（可能在此平面內(nèi)）

⑤平行于同一直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行.（）（兩個(gè)平面可能相交）

⑥平行于同一個(gè)平面的兩直線(xiàn)平行.（）（兩直線(xiàn)可能相交或者異面）⑦直線(xiàn)l與平面、所成角相等，則∥.（）（、可能相交）

3.直線(xiàn)和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線(xiàn)的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線(xiàn)和交線(xiàn)平行.（“線(xiàn)面平行，線(xiàn)線(xiàn)平行”）直線(xiàn)與平面垂直的判定定理二：如果平行線(xiàn)中一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.

推論：如果兩條直線(xiàn)同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線(xiàn)平行.[注]：①垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行.（）（可能相交，垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平．．．．．．．．．面平行）

②垂直于同一直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行.（√）（一條直線(xiàn)垂直于平行的一個(gè)平面，必垂直于另一個(gè)平面）

③垂直于同一平面的兩條直線(xiàn)平行.（√）三、平面平行與平面垂直.

1.空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系：相交、平行.

2.平面平行判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，哪么這兩個(gè)平面平行.（“線(xiàn)面平行，面面平行”）

推論：垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面互相平行；平行于同一平面的兩個(gè)平面平行.[注]：一平面間的任一直線(xiàn)平行于另一平面.

3.兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們交線(xiàn)平行.（“面面平行，線(xiàn)線(xiàn)平行”）

4.兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定一：兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，則兩個(gè)平面垂直.兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定二：如果一個(gè)平面與一條直線(xiàn)垂直，那么經(jīng)過(guò)這條直線(xiàn)的平面垂直于這個(gè)平面.（“線(xiàn)面垂直，面面垂直”）

注：如果兩個(gè)二面角的平面對(duì)應(yīng)平面互相垂直，則兩個(gè)二面角沒(méi)有什么關(guān)系.

5.兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線(xiàn)的直線(xiàn)

P也垂直于另一個(gè)平面.

推論：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三平面，則它們交線(xiàn)垂直于第三平面.BMA證明：如圖，找O作OA、OB分別垂直于l1,l2，

O因?yàn)镻M,OA,PM,OB則PMOA,PMOB.θ五、

空間幾何體

.異面直線(xiàn)所成角的求法：

（1）平移法：在異面直線(xiàn)中的一條直線(xiàn)中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線(xiàn)；

（2）補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方

第18頁(yè)共22頁(yè)體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線(xiàn)間的關(guān)系；

.直線(xiàn)與平面所成的角（立體幾何中的計(jì)算可參考空間向量計(jì)算）

.二面角的求法

（1）定義法：直接在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)），分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線(xiàn)，得出平面角，用定義法時(shí)，要認(rèn)真觀(guān)察圖形的特性；

特別:對(duì)于一類(lèi)沒(méi)有給出棱的二面角，應(yīng)先延伸兩個(gè)半平面，使之相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法（尤其要考慮射影法）。.空間距離的求法

（）求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，一般用三垂線(xiàn)定理作出垂線(xiàn)再求解；

求點(diǎn)到平面的距離，一是用垂面法，借助面面垂直的性質(zhì)來(lái)作，因此，確定已知面的垂面是關(guān)鍵；二是不作出公垂線(xiàn)，轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高，利用等體積法列方程求解；正方體和長(zhǎng)方體的外接球的直徑等與其體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)；

柱體的體積公式：柱體（棱柱、圓柱）的體積公式是V柱體=Sh.其中S是柱體的底面積，h是柱體的高.

.直棱柱的側(cè)面積和全面積

S直棱柱側(cè)=c(c表示底面周長(zhǎng)，表示側(cè)棱長(zhǎng))棱錐的體積:V棱錐=

S棱柱全=S底+S側(cè)

1Sh，其中S是棱錐的底面積，h是棱錐的高。3432.球的體積公式V=R3，表面積公式S4R；

概率知識(shí)要點(diǎn)

1.概率：隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，反之，頻率是概率的近似值.

2.等可能事件的概率：如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有年n個(gè)，且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能

1性都相等，那么，每一個(gè)基本事件的概率都是，如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那

n么事件A的概率P(A)m.n3.①互斥事件：不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫互斥事件.如果事件A、B互斥，那么事件A+B發(fā)生(即A、B中有一個(gè)發(fā)生)的概率，等于事件A、B分別發(fā)生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推廣：P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An).

②對(duì)立事件：兩個(gè)事件必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件叫對(duì)立事件.例如：從1～52張撲克牌中任．．．．．．．．．．．．．．．

取一張抽到—紅桃‖與抽到—黑桃‖互為互斥事件，因?yàn)槠渲幸粋�(gè)不可能同時(shí)發(fā)生，但又不能保證其中一個(gè)必然發(fā)生，故不是對(duì)立事件.而抽到—紅色牌‖與抽到黑色牌—互為對(duì)立事件，因?yàn)?/p>

互斥其中一個(gè)必發(fā)生.

對(duì)立注意：i.對(duì)立事件的概率和等于1：P(A)P(A)P(AA)1.

ii.互為對(duì)立的兩個(gè)事件一定互斥，但互斥不一定是對(duì)立事件.

③相互獨(dú)立事件：事件A(或B)是否發(fā)生對(duì)事件B(或A)發(fā)生的概率沒(méi)有影響.這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件.如果兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即P(AB)=P(A)P(B).由此，當(dāng)兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率P（AB）等于這兩個(gè)事件發(fā)生概率之和，這時(shí)我們也可稱(chēng)這兩個(gè)事件為獨(dú)立事件.例如：從一副撲克牌（52張）中任抽一張?jiān)O(shè)A：—抽到老K‖；B：—抽到紅牌‖則A應(yīng)與B互為獨(dú)立事件[看上去A與B有關(guān)系很有

第19頁(yè)共22頁(yè)可能不是獨(dú)立事件，但P(A)41,P(B)261,P(A)P(B)1.又事件AB表示—既抽到老

521352226K對(duì)抽到紅牌‖即—抽到紅桃老K或方塊老K‖有P(AB)21，因此有P(A)P(B)P(AB).

5226推廣：若事件A1,A2,,An相互獨(dú)立，則P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An).

注意：i.一般地，如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A與B,A與B，A與B也都相互獨(dú)立.ii.必然事件與任何事件都是相互獨(dú)立的.

iii.獨(dú)立事件是對(duì)任意多個(gè)事件來(lái)講，而互斥事件是對(duì)同一實(shí)驗(yàn)來(lái)講的多個(gè)事件，且這多個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，故這些事件相互之間必然影響，因此互斥事件一定不是獨(dú)立事件.

回歸分析和獨(dú)立性檢驗(yàn)

第一步：提出假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題H0：吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系H1：吸煙與患肺癌有關(guān)系

n(adbc)2第二步：選擇檢驗(yàn)的指標(biāo)K（它越小，原假設(shè)“H0：吸

(ab)(cd)(ac)(bd)煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系”成立的可能性越大；它越大，備擇假設(shè)“H1：吸煙與患肺癌有關(guān)系”

2成立的可能性越大.

nxiyinxyi1bn回歸直線(xiàn)方程的求法：xi2n(x)2i1aybx導(dǎo)數(shù)

1.導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)的簡(jiǎn)稱(chēng)）的定義：設(shè)x0是函數(shù)yf(x)定義域的一點(diǎn)，如果自變量x在x0處

有增量x，則函數(shù)值y也引起相應(yīng)的增量yf(x0x)f(x0)；比值yf(x0x)f(x0)稱(chēng)為函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0到x0x之間的平均變化率；如果極限xxf(x0x)f(x0)y存在，則稱(chēng)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做limx0xx0xlim記作f"(x0)或y"|xx0，即f"(x0)=limyf(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)，

f(x0x)f(x0)y.limx0xx0x注x是增量，我們也稱(chēng)為—改變量‖，因?yàn)閤可正，可負(fù)，但不為零.

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)(x0,f(x))處的切線(xiàn)的斜率，也就是說(shuō)，曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)P(x0,f(x))處的切線(xiàn)的斜率是f"(x0)，切線(xiàn)方程為

yy0f"(x)(xx0).

3.求導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：

(uv)"u"v"yf1(x)f2(x)...fn(x)y"f1"(x)f2"(x)...fn"(x)

第20頁(yè)共22頁(yè)(uv)"vu"v"u(cv)"c"vcv"cv"（c為常數(shù)）

vu"v"uu(v0)2vv"注：u,v必須是可導(dǎo)函數(shù).

4.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：fx"((x))f"(u)"(x)或y"xy"uu"x復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形.

5.函數(shù)單調(diào)性：

函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f"(x)＞0，則yf(x)為增函數(shù)；如果f"(x)＜0，則yf(x)為減函數(shù).常數(shù)的判定方法；

如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間I內(nèi)恒有f"(x)=0，則yf(x)為常數(shù).

零點(diǎn)定理

零點(diǎn)定理：設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)f(b)0.那么在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)（a＜＜b）使f()0.

注：①f(x)0是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0，有一個(gè)點(diǎn)例外即x=0時(shí)f（x）=0，同樣f(x)0是f（x）遞減的充分非必要條件.

②一般地，如果f（x）在某區(qū)間內(nèi)有限個(gè)點(diǎn)處為零，在其余各點(diǎn)均為正（或負(fù)），那么f（x）在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的.6.極值的判別方法：（極值是在x0附近所有的點(diǎn)，都有f(x)＜f(x0)，則f(x0)是函數(shù)f(x)的極大值，極小值同理）

當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí)，

①如果在x0附近的左側(cè)f"(x)＞0，右側(cè)f"(x)＜0，那么f(x0)是極大值；②如果在x0附近的左側(cè)f"(x)＜0，右側(cè)f"(x)＞0，那么f(x0)是極小值.

也就是說(shuō)x0是極值點(diǎn)的充分條件是x0點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào)，而不是f"(x)=0.此外，函數(shù)不

①

可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).當(dāng)然，極值是一個(gè)局部概念，極值點(diǎn)的大小關(guān)系是不確定的，即有可能極大值比極小值�。ê瘮�(shù)在某一點(diǎn)附近的點(diǎn)不同）.

②

注①：若點(diǎn)x0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，則f"(x)=0.但反過(guò)來(lái)不一定成立.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，其一點(diǎn)x0是極值點(diǎn)的必要條件是若函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)值為零.例如：函數(shù)yf(x)x3，x0使f"(x)=0，但x0不是極值點(diǎn).

②例如：函數(shù)yf(x)|x|，在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)，但點(diǎn)x0是函數(shù)的極小值點(diǎn).

第21頁(yè)共22頁(yè)8.極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對(duì)函數(shù)值進(jìn)行比較，最值是在整體區(qū)間上對(duì)函數(shù)值進(jìn)行比較.

注：函數(shù)的極值點(diǎn)一定有意義.9.幾種常見(jiàn)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)：

I.C"0（C為常數(shù)）(sinx)cosx

"(xn)"nxn1（nR）(cosx)"sinx

II.(lnx)"11(logax)"logaexx(ex)"ex(ax)"axlna

復(fù)數(shù)

1.復(fù)數(shù)的單位為i，它的平方等于－1，即i21.常用的結(jié)論：

i21,i4n1i,i4n21,i4n3i,i4n1

inin1in2in30,(nZ)

(1i)22i,

1i1ii,i1i1i第22頁(yè)共22頁(yè)

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