高中文科數(shù)學基礎總結

新課標高中數(shù)學基礎知識歸納北京新東方學校蔣葉光jiangyeguang211@yahoo.com.cn⑴單調性的定義：第一部分集合

1．理解集合中元素的意義是解決集合問題的關鍵：元素是函數(shù)關系中自變量的取值？還是因．．．．．①f(x)在區(qū)間M上是增函數(shù)x1,x2M,當x1x2時有f(x1)f(x2)；變量的取值？還是曲線上的點？…；2．數(shù)形結合是解集合問題的常用方法：解題時要盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標系或韋恩圖等．．．．②f(x)在區(qū)間M上是減函數(shù)x,xM,當xx時有f(x)f(x)；

121212工具，將抽象的代數(shù)問題具體化、形象化、直觀化，然后利用數(shù)形結合的思想方法解決；3．（1）含n個元素的集合的子集數(shù)為2n,真子集數(shù)為2n－1；非空真子集的數(shù)為2n－2；（2）ABABAABB;注意：討論的時候不要遺忘了A的情況。4．是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

⑵單調性的判定

①定義法：一般要將式子f(x1)f(x2)化為幾個因式作積或作商的形式，以利于判斷符號；②導數(shù)法（見導數(shù)部分）；③復合函數(shù)法；④圖像法。

注：證明單調性主要用定義法和導數(shù)法。7．函數(shù)的周期性

(1)周期性的定義：對定義域內(nèi)的任意x，若有f(xT)f(x)（其中T為非零常數(shù)），則稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，T為它的一個周期。

所有正周期中最小的稱為函數(shù)的最小正周期。如沒有特別說明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函數(shù)的周期

①ysinx:T2；②ycosx:T2；③ytanx:T；④yAsin(x),yAcos(x):T(3)與周期有關的結論

第二部分函數(shù)與導數(shù)

1．映射：注意①第一個集合中的元素必須有象；②一對一，或多對一。2．函數(shù)值域的求法：①分析法；②配方法；③判別式法；④利用函數(shù)單調性；⑤換元法；⑥利用均值不等式

ababab；⑦利用數(shù)形結合或幾何意義（斜率、22x22距離、絕對值的意義等）；⑧利用函數(shù)有界性（a、sinx、cosx等）；⑨導數(shù)法3．復合函數(shù)的有關問題

（1）復合函數(shù)定義域求法：①若f(x)的定義域為［a，b］,則復合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定義域為[a,b],求f(x)的定義域，相當于x∈[a,b]時，求g(x)的值域。（2）復合函數(shù)單調性的判定：

①首先將原函數(shù)yf[g(x)]分解為基本函數(shù)：內(nèi)函數(shù)ug(x)與外函數(shù)yf(u)；②分別研究內(nèi)、外函數(shù)在各自定義域內(nèi)的單調性；③根據(jù)“同性則增，異性則減”來判斷原函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調性。4．分段函數(shù)：值域（最值）、單調性、圖象等問題，先分段解決，再下結論。5．函數(shù)的奇偶性⑴函數(shù)的定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件；．．．．⑵f(x)是奇函數(shù)f(－x)=－f(x)；f(x)是偶函數(shù)f(－x)=f(x)⑶奇函數(shù)f(x)在原點有定義，則f(0)0；

⑷在關于原點對稱的單調區(qū)間內(nèi)：奇函數(shù)有相同的單調性，偶函數(shù)有相反的單調性；⑸若所給函數(shù)的解析式較為復雜，應先等價變形，再判斷其奇偶性；6．函數(shù)的單調性

2；⑤ytanx:T；

||||f(xa)f(xa)或f(x2a)f(x)(a0)f(x)的周期為2a；

8．基本初等函數(shù)的圖像與性質

⑴冪函數(shù)：yx（R)；⑵指數(shù)函數(shù)：yax(a0,a1)；⑶對數(shù)函數(shù):ylogax(a0,a1)；⑷正弦函數(shù):ysinx；

2⑸余弦函數(shù)：ycosx；（6）正切函數(shù)：ytanx；⑺一元二次函數(shù)：axbxc0；

⑻其它常用函數(shù)：

①正比例函數(shù)：ykx(k0)；②反比例函數(shù)：y9．二次函數(shù)：⑴解析式：

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ka(k0)；③函數(shù)yx(a0)；xx新課標高中數(shù)學基礎知識歸納北京新東方學校蔣葉光jiangyeguang211@yahoo.com.cn①一般式：f(x)ax2bxc；②頂點式：f(x)a(xh)2k，(h,k)為頂點；③零點式：f(x)a(xx1)(xx2)。

⑵二次函數(shù)問題解決需考慮的因素：①開口方向；②對稱軸；③端點值；④與坐標軸交點；⑤判別式；⑥兩根符號。

③f(a+x)=f(b－x)（x∈R）→y=f(x)圖像關于直線x=

ab對稱；2特別地：f(a+x)=f(a－x)（x∈R）→y=f(x)圖像關于直線x=a對稱；12．函數(shù)零點的求法：

⑴直接法（求f(x)0的根）；⑵圖象法；⑶二分法.

b4acb2b二次函數(shù)yaxbxc的圖象的對稱軸方程是x，頂點坐標是2a，4a2a2。(4)零點定理：若y=f(x)在[a,b]上滿足f(a)f(b)新課標高中數(shù)學基礎知識歸納北京新東方學校蔣葉光jiangyeguang211@yahoo.com.cn⑵yAcos(x)對稱軸：

xk；對稱中心：(k2,0)(kZ)；

⑴三角形面積公式：SABC11ahabsinC；22sinx6．同角三角函數(shù)的基本關系：sin2xcos2x1;tanx；

cosx7．三角函數(shù)的單調區(qū)間：

⑵內(nèi)切圓半徑r=2SABC；外接圓直徑2R=

abcabc;sinAsinBsinC第四部分立體幾何

1．三視圖與直觀圖：

2．表（側）面積與體積公式：⑴柱體：①表面積：S=S側+2S底；②側面積：S側=2rh；③體積：V=S底h⑵錐體：①表面積：S=S側+S底；②側面積：S側=rl；③體積：V=

ysinx的遞增區(qū)間是2k，2k(kZ)，遞減區(qū)間是

223(kZ)；ycosx的遞增區(qū)間是2k，2k(kZ)，遞減區(qū)間2k，2k22是2k，2k(kZ)，ytgx的遞增區(qū)間是k遞減區(qū)間是k，k(kZ)。

8．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：①sin()sincoscossin;

1S底h：31（S+SS"S"）h；3⑶臺體：①表面積：S=S側+S上底S下底;②側面積：S側=(rr")l;③體積：V=

2，k(kZ)，yctgx的22⑷球體：①表面積：S=4R；②體積：V=R。

433

)②cos()coscossinsin;③tan(9．二倍角公式：①sin22sincos；

tantan。

1tantan2tan。

1tan22222②cos2cossin2cos112sin；③tan23．位置關系的證明（主要方法）：⑴直線與直線平行：①公理4；②線面平行的性質定理；③面面平行的性質定理。⑵直線與平面平行：①線面平行的判定定理；②面面平行線面平行。⑶平面與平面平行：①面面平行的判定定理及推論；②垂直于同一直線的兩平面平行。⑷直線與平面垂直：①直線與平面垂直的判定定理；②面面垂直的性質定理。⑸平面與平面垂直：①定義---兩平面所成二面角為直角；②面面垂直的判定定理。

注：理科還可用向量法。4.求角：（步驟-------Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角）⑴異面直線所成角的求法：

①平移法：平移直線，構造三角形；②用向量法:⑵直線與平面所成的角：

①直接法（利用線面角定義）；②用向量法:

(sincos)212sincos1sin2

10．正、余弦定理：⑴正弦定理：

cos|cosa,b|abc2R（2R是ABC外接圓直徑）sinAsinBsinC

sin|cosAB,n||ABn||n|5.求距離：（步驟-------Ⅰ。找或作垂線段；Ⅱ。求距離）點到平面的距離：①等體積法；②向量法：d6．結論：

⑴長方體從一個頂點出發(fā)的三條棱長分別為a，b，c，則對角線長為2ab+2bc+2ca，體積V=abc。

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注：①a:b:csinA:sinB:sinC；②a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC；

。

abcabc③。sinAsinBsinCsinAsinBsinCb2c2a2⑵余弦定理：abc2bccosA等三個；cosA等三個。

2bc

222abc222，全面積為11。幾個公式:新課標高中數(shù)學基礎知識歸納北京新東方學校蔣葉光jiangyeguang211@yahoo.com.cn⑴點與圓的位置關系：（d表示點到圓心的距離）⑵正方體的棱長為a，則對角線長為，全面積為6a2，體積V=a3。

3a①dR點在圓上；②dR點在圓內(nèi)；③dR點在圓外。

⑶長方體或正方體的外接球直徑2R等于長方體或正方體的對角線長。⑵直線與圓的位置關系：（d表示圓心到直線的距離）⑷正四面體的性質：設棱長為a，則正四面體的：①dR相切；②dR相交；③dR相離。

6266①高：h對棱間距離：內(nèi)切球半徑：外接球半徑：a；②a；③a；④a。

32124⑶圓與圓的位置關系：（d表示圓心距，R,r表示兩圓半徑，且Rr）①dRr相離；②dRr外切；③RrdRr相交；

④dRr內(nèi)切；⑤0dRr內(nèi)含。8、直線與圓相交所得弦長|AB|2r2d2第五部分直線與圓

1．直線方程

⑴點斜式：yyk(xx)；⑵斜截式：ykxb；⑶截距式：⑷兩點式：

xy1；ab第六部分圓錐曲線

1．定義：⑴橢圓：|MF1||MF2|2a,(2a|F1F2|)；

⑵雙曲線：||MF1||MF2||2a,(2a|F1F2|)；⑶拋物線：|MF|=d2．結論

⑴焦半徑：①橢圓：PF；（左“+”右“-”）；1aex0,PF2aex0（e為離心率）

②拋物線：PFx0yy1xx1；⑸一般式：AxByC0，（A，B不全為0）。y2y1x2x12．求解線性規(guī)劃問題的步驟是：（1）列約束條件；（2）作可行域，寫目標函數(shù)；（3）確定目標函數(shù)的最優(yōu)解。3．兩條直線的位置關系：

直線方程平行的充要條件垂直的充要條件備注

l1:yk1xb1l2:yk2xb2k1k2,b1b2k1k21l1,l2有斜率

p2已知l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，則l1⊥l2的充要條件是A1A2+B1B2=0。4．幾個公式

⑴設A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3），ABC的重心G：（

x1x2x3y1y2y3）；,33⑵弦長公式：AB1k2x2x1(1k2)[(x1x2)24x1x2]

注：⑴拋物線：AB＝x1+x2+p；⑵通徑（最短弦）：①橢圓、雙曲線：2b；②拋物線：2p。

a2⑵點P（x0,y0）到直線Ax+By+C=0的距離：dAx0By0C；

A2B2⑶過兩點的橢圓、雙曲線標準方程可設為：mx2ny21（m,n同時大于0時表示橢圓，

mn0時表示雙曲線）；當點P與橢圓短軸頂點重合時F1PF2最大；

C1C2AB22⑶兩條平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0的距離是d5．圓的方程：

；

⑷雙曲線中的結論：

2222①雙曲線xy1（a>0,b>0）的漸近線：xy0；

a2b2a2b222byx②共漸進線yx的雙曲線標準方程為；2(為參數(shù)，≠0）2aab⑴標準方程：①(xa)(yb)r；②xyr。⑵一般方程：xyDxEyF0（DE4F0)

注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF>0；

6．圓的方程的求法：⑴待定系數(shù)法；⑵幾何法。7．點、直線與圓的位置關系：（主要掌握幾何法）

2222222222③雙曲線為等軸雙曲線e2漸近線為yx漸近線互相垂直；

⑸焦點三角形問題求解：利用圓錐曲線定義和余弦定理聯(lián)立求解。

3．直線與圓錐曲線問題解法：⑴直接法（通法）：聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，構造一元二次方程求解。

第4頁共6頁新課標高中數(shù)學基礎知識歸納北京新東方學校蔣葉光jiangyeguang211@yahoo.com.cn注意以下問題：2．等差、等比數(shù)列性質①聯(lián)立的關于“x”還是關于“y”的一元二次方程？等差數(shù)列等比數(shù)列②直線斜率不存在時考慮了嗎？

通項公式ana1(n1)dana1qn1

③判別式驗證了嗎？⑵設而不求（代點相減法）：--------處理弦中點問題

1.q1時，Snna1;步驟如下：①設點A(x1，y1)、B(x2,y2)；②作差得kAByy21；③解決問題。x1x2前n項和Snn(a1an)n(n1)nna1d2.q1時，Sa1(1q)

n221qa1anq1q4．求軌跡的常用方法：（1）定義法：利用圓錐曲線的定義；（2）直接法（列等式）；（3）代入法（相關點法或轉移法）；⑷待定系數(shù)法；（5）參數(shù)法；（6）交軌法。

第七部分平面向量

⑴設a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則：①a∥b(b≠0)a=b（R)x1y2－x2y1=0；②a⊥b(a、b≠0)ab=0x1x2+y1y2=0⑵ab=|a||b|cos=x2+y1y2；注：①|a|cos叫做a在b方向上的投影；|b|cos叫做b在a方向上的投影；①ab的幾何意義：ab等于|a|與|b|在a方向上的投影|b|cos的乘積。

性質①an=am+(n－m)d,①an=amqn-m;

②m+n=p+q時am+an=ap+aq②m+n=p+q時aman=apaq

③kS,S2kSk,S3kS2k,成AP③Sk,S2kSk,S3kS2k,成GP

④ak,akm,ak2m,成AP,d"md④ak,akm,ak2m,成GP,q"qm3．數(shù)列通項的求法：

S1(n=1)⑴定義法（利用AP,GP的定義）；⑵累加法（an1ancn型）；⑶公式法：an=Sn－Sn-1(n≥2)⑷累乘法（

ab⑶cos=；

|a||b|⑷三點共線的充要條件：P，A，B三點共線OPxOAyOB且xy1；

（理科）P，A，B，C四點共面OPxOAyOBzOC,且xyz1。

an1；⑸構造法（an1kanb型）；cn型）

an11；⑻（理科）數(shù)學歸納法。4）

anan1⑺間接法（例如：an1an4anan1

第八部分數(shù)列

1．定義：

⑴等差數(shù)列｛an｝an1and(d為常數(shù)）2anan1an1(n2,nN*)

4．前n項和的求法：⑴分組求和法；⑵裂項法；⑶錯位相減法。

5．等差數(shù)列前n項和最值的求法：

an0an0；⑵⑴利用二次函數(shù)的圖象與性質�；騛n10an10anknbsnAn2Bn；

⑵等比數(shù)列｛an}

第九部分不等式

an12q(q0)anan-1an1(n2,nN)anaba2b21．均值不等式：ab22ab2a2b2注意：①一正二定三相等；②變形，ab(。)222．絕對值不等式：||a||b|||ab||a||b|

第5頁共6頁新課標高中數(shù)學基礎知識歸納北京新東方學校蔣葉光jiangyeguang211@yahoo.com.cn3．不等式的性質：

⑴abba；⑵ab,bcac；⑶abacbc；ab,cd

acbd；⑷ab,c0acbd；ab,c0acbc；ab0,cd0acbd;⑸ab0anbn0(nN);⑹ab0nanb(nN)

第十一部分概率

1．事件的關系：⑴事件B包含事件A：事件A發(fā)生，事件B一定發(fā)生，記作AB；⑵事件A與事件B相等：若AB,BA，則事件A與B相等，記作A=B；

⑶并（和）事件：某事件發(fā)生，當且僅當事件A發(fā)生或B發(fā)生，記作AB（或AB）；⑷并（積）事件：某事件發(fā)生，當且僅當事件A發(fā)生且B發(fā)生，記作AB（或AB）；⑸事件A與事件B互斥：若AB為不可能事件（AB），則事件A與互斥；6對立事件：AB為不可能事件，AB為必然事件，則A與B互為對立事件。2．概率公式：⑴互斥事件（有一個發(fā)生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；⑵古典概型：P(A)A包含的基本事件的個數(shù)；

基本事件的總數(shù)構成事件A的區(qū)域長度（面積或體積等）；

試驗的全部結果構成的區(qū)域長度（面積或體積等）⑶幾何概型：P(A)----“存在一個”、“至少有一個”等，用表示；

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擴展閱讀：高中數(shù)學基礎知識完全總結(文科類)

高中數(shù)學（文科）基礎知識整合

第一部分集合

1．理解集合中元素的意義是解決集合問題的關鍵：元素是函數(shù)關系中自變量的取值？還是因變量的．．．．．取值？還是曲線上的點？；2．數(shù)形結合是解集合問題的常用方法：解題時要盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標系或韋恩圖等工具，．．．．將抽象的代數(shù)問題具體化、形象化、直觀化，然后利用數(shù)形結合的思想方法解決；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

3．（1）含n個元素的集合的子集數(shù)為2n,真子集數(shù)為2n－1；非空真子集的數(shù)為2n-2；（2）ABABAABB;注意：討論的時候不要遺忘了A的情況；（3）CI(AB)(CIA)(CIB);CI(AB)(CIA)(CIB)。

第二部分函數(shù)與導數(shù)

1．映射：注意①第一個集合中的元素必須有象；②一對一，或多對一。2．函數(shù)值域的求法：

①分析法；②配方法；③判別式法；④利用函數(shù)單調性；⑤換元法；⑥利用均值不等式

abab2ab222；⑦利用數(shù)形結合或幾何意義（斜率、距離、絕對值的意義等）；

⑧利用函數(shù)有界性（ax、sinx、cosx等）；⑨導數(shù)法3．復合函數(shù)的有關問題

（1）復合函數(shù)定義域求法：①若f(x)的定義域為［a，b］,則復合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定義域為[a,b],求f(x)的定義域，相當于x∈[a,b]時，求g(x)的值域。（2）復合函數(shù)單調性的判定：①首先將原函數(shù)yf[g(x)]分解為基本函數(shù)：內(nèi)函數(shù)ug(x)與外函數(shù)yf(u)；②分別研究內(nèi)、外函數(shù)在各自定義域內(nèi)的單調性；③根據(jù)“同性則增，異性則減”來判斷原函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調性。

注意：外函數(shù)yf(u)的定義域是內(nèi)函數(shù)ug(x)的值域。4．分段函數(shù)：

值域（最值）、單調性、圖象等問題，先分段解決，再下結論。5．函數(shù)的奇偶性

⑴函數(shù)的定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件；．．．．⑵f(x)是奇函數(shù)f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)f(x)1；

⑶f(x)是偶函數(shù)f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)1；

f(x)⑷奇函數(shù)f(x)在原點有定義，則f(0)0；

⑸在關于原點對稱的單調區(qū)間內(nèi)：奇函數(shù)有相同的單調性，偶函數(shù)有相反的單調性；（6）若所給函數(shù)的解析式較為復雜，應先等價變形，再判斷其奇偶性；

6．函數(shù)的單調性

⑴單調性的定義：f(x)在區(qū)間M上是增（減）函數(shù)x1,x2M,當x1x2時f(x1)f(x2)0(0)(x1x2)[f(x1)f(x2)]0(0)f(x1)f(x2)x1x20(0)；

⑵單調性的判定定義法：注意：一般要將式子f(x1)f(x2)化為幾個因式作積或作商的形式，以利于判斷符號；②導數(shù)法（見導數(shù)部分）；③復合函數(shù)法（見2（2））；④圖像法。注：證明單調性主要用定義法和導數(shù)法。7．函數(shù)的周期性

(1)周期性的定義：對定義域內(nèi)的任意x，若有f(xT)f(x)（其中T為非零常數(shù)），則稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，T為它的一個周期。所有正周期中最小的稱為函數(shù)的最小正周期。如沒有特別說明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函數(shù)的周期

①ysinx:T2；②ycosx:T2；③ytanx:T；

2||④yAsin(x),yAcos(x):T；⑤ytanx:T||；

⑶函數(shù)周期的判定：①定義法（試值）②圖像法③公式法（利用（2）中結論）⑷與周期有關的結論：

①f(xa)f(xa)或f(x2a)f(x)(a0)f(x)的周期為2a；②yf(x)的圖象關于點(a,0),(b,0)中心對稱f(x)周期2ab；③yf(x)的圖象關于直線xa,xb軸對稱f(x)周期為2ab；

④yf(x)的圖象關于點(a,0)中心對稱，直線xb軸對稱f(x)周期4ab；8．基本初等函數(shù)的圖像與性質

⑴冪函數(shù)：yx（R)；⑵指數(shù)函數(shù)：ya(a0,a1)；⑶對數(shù)函數(shù):ylogaxx(a0,a1)；⑷正弦函數(shù):ysinx；

2⑸余弦函數(shù)：ycosx；（6）正切函數(shù)：ytanx；⑺一元二次函數(shù)：axbxc0；⑻其它常用函數(shù)：①正比例函數(shù)：ykx(k0)；②反比例函數(shù)：y特別的y1xkx(k0)；

，函數(shù)yxax(a0)；

9．二次函數(shù)：

⑴解析式：①一般式：f(x)axbxc；

②頂點式：f(x)a(xh)2k，(h,k)為頂點；③零點式：f(x)a(xx1)(xx2)。

⑵二次函數(shù)問題解決需考慮的因素：

①開口方向；②對稱軸；③端點值；④與坐標軸交點；⑤判別式；⑥兩根符號。⑶二次函數(shù)問題解決方法：①數(shù)形結合；②分類討論。10．函數(shù)圖象

⑴圖象作法：①描點法（注意三角函數(shù)的五點作圖）②圖象變換法③導數(shù)法⑵圖象變換：

①

平移變換：yf(x)yf(xa)，(a0)左“+”右“-”；

yf(x)yf(x)k,(k0)上“+”下“-”；

②

伸縮變換：

1yf(x)yf(x)，（0)縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的

倍；

yf(x)yAf(x)，（A0)橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的A倍；③

0,0)y0對稱變換：yf(x)(yf(x)；yf(x)yf(x)；

0yxyf(x)xyf(x)；yf(x)yf1(x)；

④翻轉變換：

yf(x)yf(|x|)右不動，右向左翻（f(x)在y左側圖象去掉）；yf(x)y|f(x)|上不動，下向上翻（|f(x)|在x下面無圖象）；11．函數(shù)圖象（曲線）對稱性的證明

(1)證明函數(shù)yf(x)圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上；

（2）證明函數(shù)yf(x)與yg(x)圖象的對稱性，即證明yf(x)圖象上任意點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點在yg(x)的圖象上，反之亦然；

注：①曲線C1:f(x,y)=0關于點（a,b）的對稱曲線C2方程為：f(2a－x,2b－y)=0;

②曲線C1:f(x,y)=0關于直線x=a的對稱曲線C2方程為：f(2a－x,y)=0;

③曲線C1：f(x,y)=0,關于y=x+a(或y=－x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);

y=f(x)圖像關于直線x=④f(a+x)=f(b－x)（x∈R）ab2對稱；

y=f(x)圖像關于直線x=a對稱；特別地：f(a+x)=f(a－x)（x∈R）⑤函數(shù)y=f(x－a)與y=f(b－x)的圖像關于直線x=

ab2對稱；

12．函數(shù)零點的求法：⑴直接法（求f(x)0的根）；⑵圖象法；⑶二分法.13．導數(shù)

⑴導數(shù)定義：f(x)在點x0處的導數(shù)記作yxx0f(x0)limf(x0x)f(x0)x；

x0⑵常見函數(shù)的導數(shù)公式:①C"0；②(xn)"nxn1；③(sinx)"cosx；④(cosx)"sinx；⑤(ax)"axlna；⑥(ex)"ex；⑦(log⑧(lnx)"1xax)"1xlna；

。

uuvuvv2⑶導數(shù)的四則運算法則：(uv)uv;(uv)uvuv;()v;

(4)導數(shù)的應用：

①利用導數(shù)求切線：注意：所給點是切點嗎？所求的是“在”還是“過”該點的切線？②利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性：f(x)0f(x)是增函數(shù)；f(x)0f(x)為減函數(shù)；f(x)0f(x)為常數(shù)；

③利用導數(shù)求極值：求導數(shù)f(x)；求方程f(x)0的根；列表得極值。④利用導數(shù)最大值與最小值：求的極值；求區(qū)間端點值（如果有）；得最值。

第三部分三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形

1．⑴角度制與弧度制的互化：弧度180，11802弧度，1弧度(12Rl。

180)5718

"⑵弧長公式：lR；扇形面積公式：S12R2．三角函數(shù)定義：角中邊上任意一點P為(x,y)，設|OP|r則：

sinyr,cosxr,tanyx

3．三角函數(shù)符號規(guī)律：一全正，二正弦，三兩切，四余弦；4．誘導公式記憶規(guī)律：“函數(shù)名不（改）變，符號看象限”；5．⑴yAsin(x)對稱軸：xk2；對稱中心：(k2,0)(kZ)；

⑵yAcos(x)對稱軸：x6．同角三角函數(shù)的基本關系：sin2kk2；對稱中心：(sinxcosx,0)(kZ)；

xcosx1;tanx；

7．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：

①sin()sincoscossin;

②cos()coscossinsin;

tantan1tantan③tan()。

8．二倍角公式：

①sin22sincos；

②cos2cos2sin22cos2112sin2；③tan22tan21tan1cos21cos21*降冪公式:sin2;cos2;sincossin2.

222。

9．正、余弦定理⑴正弦定理

asinAbsinBcsinC2R（2R是ABC外接圓直徑）

注：①a:b:csinA:sinB:sinC；②a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC；

③

asinAbsinB2csinC2abcsinAsinBsinC。

bca2bc222⑵余弦定理：abc2bccosA等三個；注：cosA10。幾個公式:

⑴三角形面積公式：SABC2SABCabc2等三個。

12ah12absinCp(pa)(pb)(pc),(p12(abc))；

⑵內(nèi)切圓半徑r=；外接圓直徑2R=

asinAbsinBcsinC;

11．已知a,b,A時三角形解的個數(shù)的判定：

CbhA

a其中h=bsinA,⑴A為銳角時：①a⑶臺體：①表面積：S=S側+S

上底

S

下底

；②側面積：S側=(rr")l；③體積：V=

433R。

13（S+SS"S"）h；

⑷球體：①表面積：S=4R2；②體積：V=

3．位置關系的證明（主要方法）：

⑴直線與直線平行：①公理4；②線面平行的性質定理；③面面平行的性質定理。⑵直線與平面平行：①線面平行的判定定理；②面面平行線面平行。

⑶平面與平面平行：①面面平行的判定定理及推論；②垂直于同一直線的兩平面平行。⑷直線與平面垂直：①直線與平面垂直的判定定理；②面面垂直的性質定理。⑸平面與平面垂直：①定義---兩平面所成二面角為直角；②面面垂直的判定定理。4.求角：（步驟-------Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角）

⑴異面直線所成角的求法：①平移法：平移直線，構造三角形；

②補形法：補成正方體、平行六面體、長方體等，發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關系。

⑵直線與平面所成的角：①直接法（利用線面角定義）；②先求斜線上的點到平面距離h，與斜線段長度作比，得sin。⑶二面角的求法：①定義法：在二面角的棱上取一點（特殊點），作出平面角，再求解；6．結論：

⑴從一點O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，則點A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分線上；

⑵立平斜公式(最小角定理公式)：coscos1cos2;

⑶正棱錐的各側面與底面所成的角相等記為，則S側cos=S底；⑷長方體的性質

①長方體體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為,,,則：cos2+cos2+cos2=1；

222

sin+sin+sin=2。

222

②長方體體對角線與過同一頂點的三側面所成的角分別為,,,則有cos+cos+cos=2；

sin2+sin2+sin2=1。

⑸正四面體的性質：設棱長為a，則正四面體的：①

高：h63a；②對棱間距離：

2264a；③相鄰兩面所成角余弦值：

13；

④內(nèi)切球半徑：

612a；外接球半徑：a；

第五部分直線與圓

1．直線方程

⑴點斜式：yyk(xx)；⑵斜截式：ykxb；⑶截距式：

xayb1；⑷兩點式：

yy1y2y1xx1x2x1；

⑸一般式：AxByC0，（A，B不全為0）。（直線的方向向量：（B,A)，法向量（A,B)2．求解線性規(guī)劃問題的步驟是：

（1）列約束條件；（2）作可行域，寫目標函數(shù)；（3）確定目標函數(shù)的最優(yōu)解。3．兩條直線的位置關系：

直線方程平行的充要條件垂直的充要條件備注l1:yk1xb1l2:yk2xb2k1k2,b1b2k1k21l1,l2有斜率l1:A1xB1yC10A1B2A2B1,且A1A2B1B20不可寫成

4．幾個公式l2:A2xB2yC2B1C2B2C⑴設A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3），ABC的重心G：（x1x2x3,y1y2y3）；

33⑵點P（x0,y0）到直線Ax+By+C=0的距離：dAx0By0CA2；

B2⑶兩條平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0的距離是d5．圓的方程：

C1C2AB22；

⑴標準方程：①(xa)2(yb)2r2；②x2y2r2。⑵一般方程：x2y2DxEyF0（D2E24F0)

注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF>0；6．圓的方程的求法：⑴待定系數(shù)法；⑵幾何法；⑶圓系法。7．點、直線與圓的位置關系：（主要掌握幾何法）

⑴點與圓的位置關系：（d表示點到圓心的距離）

①dR點在圓上；②dR點在圓內(nèi)；③dR點在圓外。⑵直線與圓的位置關系：（d表示圓心到直線的距離）

①dR相切；②dR相交；③dR相離。

⑶圓與圓的位置關系：（d表示圓心距，R,r表示兩圓半徑，且Rr）①dRr相離；②dRr外切；③RrdRr相交；④dRr內(nèi)切；⑤0dRr內(nèi)含。8．與圓有關的結論：

⑴過圓x+y=r上的點M(x0,y0)的切線方程為：x0x+y0y=r；

過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上的點M(x0,y0)的切線方程為：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2；⑵以A(x1，y2)、B(x2,y2)為直徑的圓的方程：(x－x1)(x－x2)+(y－y1)(y－y2)=0。

2222

第六部分圓錐曲線

1．定義：⑴橢圓：|MF1||MF2|2a,(2a|F1F2|)；⑵雙曲線：||MF1||MF2||2a,(2a|F1F2|)；⑶拋物線：略

2．結論

⑴焦半徑：①橢圓：PF1aex0,PF2aex0（e為離心率）；（左“+”右“-”）；

②拋物線：PFx0p2

22(1k)[(x1x2)4x1x2]

⑵弦長公式：AB1k2x2x111k2y2y1(11k22)[(y1y2)4y1y2]；

注：（Ⅰ）焦點弦長：①橢圓：|AB|2ae(x1x2)；②拋物線：AB＝x1+x2+p=

（Ⅱ）通徑（最短弦）：①橢圓、雙曲線：2b；②拋物線：2p。

a22psin2；

⑶過兩點的橢圓、雙曲線標準方程可設為：

mx2ny21（m,n同時大于0時表示橢圓，mn0時表示雙曲線）；

⑷橢圓中的結論：

①內(nèi)接矩形最大面積：2ab；

②P，Q為橢圓上任意兩點，且OP0Q，則

1|OP|21|OQ|21a21b2；

③橢圓焦點三角形：．SPF心，PM交F1F2于點N，則

1F2btan22，（F1PF2）；．點M是PF1F2內(nèi)

|PM||MN|ac；

④當點P與橢圓短軸頂點重合時F1PF2最大；⑸雙曲線中的結論：

①雙曲線

xa22yb221（a>0,b>0）的漸近線：

xa2222yb220；

②共漸進線ybax的雙曲線標準方程為

xa22yb(為參數(shù)，≠0）；

③雙曲線焦點三角形：．SPFF12b2tan2，（F1PF2）；

．P是雙曲線

xa22－

yb22=1(a＞0，b＞0)的左（右）支上一點，F(xiàn)1、F2分別為左、右焦點，則△PF1F2

的內(nèi)切圓的圓心橫坐標為a,(a)；④雙曲線為等軸雙曲線e（6）拋物線中的結論：

8

2漸近線為yx漸近線互相垂直；①拋物線y2=2px(p>0)的焦點弦AB性質：

2．x1x2=p；y1y2=－p2；

4．

1|AF|1|BF|2p；

．以AB為直徑的圓與準線相切；

．以AF（或BF）為直徑的圓與y軸相切；．SAOB2

p22sin。

②拋物線y=2px(p>0)內(nèi)結直角三角形OAB的性質：

．x1x24P2,y1y24P2；．lAB恒過定點(2p,0)；

．A,B中點軌跡方程：y2p(x2p)；．OMAB，則M軌跡方程為：

(xp)y2

22p；．(SAOB)min4p。

22③拋物線y=2px(p>0)，對稱軸上一定點A(a,0)，則：

．當0ap時，頂點到點A距離最小，最小值為a；．當ap時，拋物線上有關于x軸對稱的兩點到點A距離最小，最小值為2app2。

3．直線與圓錐曲線問題解法：

⑴直接法（通法）：聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，構造一元二次方程求解。注意以下問題：

①聯(lián)立的關于“x”還是關于“y”的一元二次方程？

②直線斜率不存在時考慮了嗎？③判別式驗證了嗎？⑵設而不求（代點相減法）：--------處理弦中點問題步驟如下：①設點A(x1，y1)、B(x2,y2)；②作差得k4．求軌跡的常用方法：

（1）定義法：利用圓錐曲線的定義；

（2）直接法（列等式）；（3）代入法（相關點法或轉移法）；⑷待定系數(shù)法；（5）參數(shù)法；（6）交軌法。

ABy1y2x1x2；③解決問題。

第七部分平面向量

⑴設a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則：

①a∥b(b≠0)a=b（R)x1y2－x2y1=0；②a⊥b(a、b≠0)ab=0x1x2+y1y2=0.⑵ab=|a||b|cos=x2+y1y2；

注：①|a|cos叫做a在b方向上的投影；|b|cos叫做b在a方向上的投影；

②ab的幾何意義：ab等于|a|與|b|在a方向上的投影|b|cos的乘積。

⑶cos=

ab|a||b|；

⑷三點共線的充要條件P，A，B三點共線OPxOAyOB(且xy1)；第八部分數(shù)列1．定義：

⑴等差數(shù)列｛an｝an1and(d為常數(shù)）2anan1an1(n2,nN*)

anknbsnAn2Bn；

⑵等比數(shù)列｛an}nan1anq(q0)an2an-1an1(n2,nN)

ancq(c,q均為不為0的常數(shù)）Snkkq(q0,q1,k0)；

n2．等差、等比數(shù)列性質

等差數(shù)列等比數(shù)列

n1通項公式ana1(n1)dana1q

1.q1時，Snna1;前n項和Snn(a1an)2na1n(n1)2d2.q1時，Sna1anq1qa1(1q)1qn

性質①an=am+(n－m)d,①an=amqn-m;

②m+n=p+q時am+an=ap+aq②m+n=p+q時aman=apaq

③

Sk,S2kSk,S3kS2k,成AP③Sk,S2kSk,S3kS2k,成GP

m④ak,akm,ak2m,成AP,d"md④ak,akm,ak2m,成GP,q"q

等差數(shù)列特有性質：①項數(shù)為2n時：S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n)；S偶S奇nd；

S奇S偶S奇S偶anan1；

②項數(shù)為2n-1時：S2n-1=(2n-1)a中；S奇-S偶a中；

nn-1；

③若anm,amn,(mn)，則amn0；若Snm,Smn,則Smn(mn)；

若SnSm,(mn)，則Smn0。3．數(shù)列通項的求法：

S1(n=1)a=an1ancn；⑴分析法；⑵定義法（利用AP,GP的定義）；⑶公式法：累加法（nSn－Sn-1(n≥2)⑷疊乘法（

an1ancn型）；⑸構造法（an1kanb型）；（6）迭代法；

⑺間接法（例如：an1an4anan1⑻作商法（a1a2ancn型）；⑼待定系數(shù)法；⑽（理科）數(shù)學歸納法。注：當遇到an1an1d或4．前n項和的求法：

an1an11an1an14）；

q時，要分奇數(shù)項偶數(shù)項討論，結果是分段形式。

⑴拆、并、裂項法；⑵倒序相加法；⑶錯位相減法。5．等差數(shù)列前n項和最值的求法：⑴an0a0或na0a0n1n1；⑵利用二次函數(shù)的圖象與性質。

第九部分不等式1．均值不等式：abab2ab222

ab22注意：①一正二定三相等；②變形，ab()ab222。

2．絕對值不等式：||a||b|||ab||a||b|3．不等式的性質：

⑴abba；⑵ab,bcac；

⑶abacbc；ab,cdacbd；

⑷ab,c0acbd；ab,c0acbc；ab0,cd0acbd；

nn⑸ab0ab0(nN)；（6）ab0nanb(nN)。

4．不等式等證明（主要）方法：⑴比較法：作差或作比；⑵綜合法；⑶分析法。第十部分復數(shù)1．概念：

2

⑴z=a+bi∈Rb=0(a,b∈R)z=zz≥0；⑵z=a+bi是虛數(shù)b≠0(a,b∈R)；

⑶z=a+bi是純虛數(shù)a=0且b≠0(a,b∈R)z＋z＝0（z≠0）z⑶z1÷z2=

(abi)(cdi)(cdi)(cdi)acbdbcad22i(z2≠0);22cdcd3．幾個重要的結論：

(1)z1z22z1z222(z1z2);(2)zzz222z2；⑶(1i)22i；⑷1ii;1ii;

1i1i第十一部分概率

1．事件的關系：

⑴事件B包含事件A：事件A發(fā)生，事件B一定發(fā)生，記作AB；⑵事件A與事件B相等：若AB,BA，則事件A與B相等，記作A=B；

⑶并（和）事件：某事件發(fā)生，當且僅當事件A發(fā)生或B發(fā)生，記作AB（或AB）；⑷并（積）事件：某事件發(fā)生，當且僅當事件A發(fā)生且B發(fā)生，記作AB（或AB）；⑸事件A與事件B互斥：若AB為不可能事件（AB），則事件A與互斥；6對立事件：AB為不可能事件，AB為必然事件，則A與B互為對立事件。2．概率公式：

⑴互斥事件（有一個發(fā)生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；⑵古典概型：P(A)A包含的基本事件的個數(shù)基本事件的總數(shù)；

⑶幾何概型：P(A)構成事件A的區(qū)域長度（面積或體試驗的全部結果構成的積等）等）區(qū)域長度（面積或體積；

第十二部分統(tǒng)計與統(tǒng)計案例

1．抽樣方法

⑴簡單隨機抽樣：一般地，設一個總體的個數(shù)為N，通過逐個不放回的方法從中抽取一個容量為n的樣本，且每個個體被抽到的機會相等，就稱這種抽樣為簡單隨機抽樣。注：①每個個體被抽到的概率為

nN；

②常用的簡單隨機抽樣方法有：抽簽法；隨機數(shù)法。

⑵系統(tǒng)抽樣：當總體個數(shù)較多時，可將總體均衡的分成幾個部分，然后按照預先制定的規(guī)則，從每一個部分抽取一個個體，得到所需樣本，這種抽樣方法叫系統(tǒng)抽樣。注：步驟：①編號；②分段；③在第一段采用簡單隨機抽樣方法確定其時個體編號l；④按預先制定的規(guī)則抽取樣本。

⑶分層抽樣：當已知總體有差異比較明顯的幾部分組成時，為使樣本更充分的反映總體的情況，將總體分成幾部分，然后按照各部分占總體的比例進行抽樣，這種抽樣叫分層抽樣。注：每個部分所抽取的樣本個體數(shù)=該部分個體數(shù)2．總體特征數(shù)的估計：⑴樣本平均數(shù)x⑵樣本方差S2nN

1n1n(x1x2xn)221nnxi；

2i1[(x1x)(x2x)(xnx)]1ni(xni1x)2；

2⑶樣本標準差S1n[(x1x)(x2x)(xnx)]222=

12

1ni(xni1x)；n(x3．相關系數(shù)（判定兩個變量線性相關性）：ri1nix)(yiy)n

i(xi1ix)2(yi1y)2注：⑴r>0時，變量x,y正相關；r2．基本算法語句：

⑴輸入語句：INPUT“提示內(nèi)容”；變量；輸出語句：PRINT“提示內(nèi)容”；表達式賦值語句：變量=表達式

⑵條件語句：①②

IF條件THENIF條件THEN語句體語句體1ENDIFELSE語句體2ENDIF

⑶循環(huán)語句：①當型：②直到型:WHILE條件DO循環(huán)體循環(huán)體

WENDLOOPUNTIL條件3．算法案例：

⑴輾轉相除法與更相減損法-----求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)；⑵秦九韶算法------求多項式的值；⑶進位制----------各進制數(shù)之間的互化。

第十四部分常用邏輯用語與推理證明

1．四種命題：

⑴原命題：若p則q；⑵逆命題：若q則p；⑶否命題：若p則q；⑷逆否命題：若q則p

注：原命題與逆否命題等價；逆命題與否命題等價。

2．充要條件的判斷：

（1）定義法----正、反方向推理；（2）利用集合間的包含關系：例如：若AB，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件；3．邏輯連接詞：

⑴且(and)：命題形式pq；pqpqpqp⑵或（or）：命題形式pq；真真真真假⑶非（not）：命題形式p.真假假真假假真假真真假假假假真4．全稱量詞與存在量詞

⑴全稱量詞-------“所有的”、“任意一個”等，用表示；

全稱命題p：xM,p(x)；全稱命題p的否定p：xM,p(x)。⑵存在量詞--------“存在一個”、“至少有一個”等，用表示；

特稱命題p：xM,p(x)；特稱命題p的否定p：xM,p(x)；

第十五部分推理與證明

1．推理：

⑴合情推理：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，在進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們稱為合情推理。

①歸納推理：由某類食物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者有個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理，簡稱歸納。注：歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理。

②類比推理：由兩類對象具有類似和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理，稱為類比推理，簡稱類比。注：類比推理是特殊到特殊的推理。

⑵演繹推理：從一般的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論，這種推理叫演繹推理。注：演繹推理是由一般到特殊的推理。

“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般結論；⑵小前提---------所研究的特殊情況；⑶結論---------根據(jù)一般原理，對特殊情況得出的判斷。二．證明⒈直接證明

⑴綜合法

一般地，利用已知條件和某些數(shù)學定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法又叫順推法或由因導果法。⑵分析法

一般地，從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定義、定理、公理等），這種證明的方法叫分析法。分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法。

2．間接證明------反證法

一般地，假設原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明原命題成立，這種證明方法叫反證法。

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