高中數學易錯知識點匯總

高中數學易錯知識點匯總

為了幫助同學們復習，減少不必要的丟分，蘇州中學網特意總結了這一高中數學易錯知識點。總結了高中數學常見的錯誤，供同學們參考。

1．在應用條件A∪B＝B，A∩B＝A時，易忽略A是空集Φ的情況。2．求解與函數有關的問題易忽略定義域優(yōu)先的原則，尤其是在與實際生活相聯系的應用題中，判斷兩個函數是否是同一函數也要判斷函數的定義域，求三角函數的周期時也應考慮定義域。

3．判斷函數奇偶性時，易忽略檢驗函數定義域是否關于原點對稱,優(yōu)先考慮定義域對稱。

4．解對數不等式時，易忽略真數大于0、底數大于0且不等于1這一條件。

5．用判別式法求最值（或值域）時，需要就二次項系數是否為零進行討論，易忽略其使用的條件，應驗證最值。

6．用判別式判定方程解的個數（或交點的個數）時，易忽略討論二次項的系數是否為0。尤其是直線與圓錐曲線相交時更易忽略。

7．用均值定理求最值（或值域）時，易忽略驗證“一正（幾個數或代數式均是正數）二定（幾個數或代數式的和或者積是定值）三等（幾個數或代數式相等）”這一條件。

8．用換元法解題時，易忽略換元前后的等價性。9．求反函數時，易忽略求反函數的定義域。

10．求函數單調性時，易錯誤地在多個單調區(qū)間之間添加符號“∪”和“或”；單調區(qū)間不能用集合或不等式表示,而應用逗號連接多個區(qū)間。

11．用等比數列求和公式求和時，易忽略公比ｑ＝1的情況。12．已知Sn求an時,易忽略n＝1的情況。

13．用直線的點斜式、斜截式設直線的方程時,易忽略斜率不存在的情況；題目告訴截距相等時，易忽略截距為0的情況。

14.求含系數的直線方程平行或者垂直的條件時，易忽略直線與x軸或者y軸平行的情況。

15．用到角公式時，易將直線L1、L2的斜率ｋ1、ｋ2的順序弄顛倒；使用到角公式或者夾角公式時，分母為零不代表無解，而是兩直線垂直。

16．在做應用題時,運算后的單位要弄準，不要忘了“答”及變量的取值

范圍；在填寫填空題中的應用題的答案時,不要忘了單位。應用題往往對答案的數值有特殊要求，如許多時候答案必須是正整數。

17．在分類討論時,分類要做到“不重不漏、層次分明,進行總結”。18．在解答題中，如果要應用教材中沒有的重要結論，那么在解題過程中要給出簡單的證明，如使用函數y=x+1的單調性求某一區(qū)間的最值時，應先

x證明函數y=x+1的單調性。

x19．在求不等式的解集、定義域及值域時，其結果一定要用集合或區(qū)間表示；不能用不等式表示。

20．兩個不等式相乘時,必須注意同向同正時才能相乘,即同向同正可乘；同時要注意“同號可倒”即A＞B＞0，0

線與另一個平面內的兩條相交直線分別平行＂而導致證明過程跨步太大，正確的判定方法是：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行。

31．函數的圖象的平移、方程的平移以及點的平移公式易混：（1）函數的圖象的平移為“左+右-,上+下-”；如函數y＝2x+4的圖象左移2個單位且下移3個單位得到的圖象的解析式為y=2（x＋2）+4－3。即y=2x+5。

（2）方程表示的圖形的平移為“左+右-,上-下+”；如直線2x－y+4=0左移2個單位且下移3個單位得到的圖象的解析式為2(x＋2)-(y＋3)+4=0。即y=2x+5。

（3）點的平移公式：點P(x,y)按向量=(h，k)平移到點P’(x’，y’)，則x’＝x+h，

y’＝y(tǒng)+k。

32．橢圓、雙曲線A、B、ｃ之間的關系易記混。對于橢圓應是A2－B2＝ｃ2

，對于雙曲線應是A2＋B2＝ｃ2。

33．“屬于關系”與“包含關系”的符號易用混，元素與集合的關系用a∈A，集合與集合的關系用AB。

34．“點A在直線A上”與“直線A在平面α上”的符號易用混，如：A∈A，Aα.

35．橢圓和雙曲線的焦點在ｘ軸上與焦點在ｙ軸上的焦半徑公式易記混；橢圓和雙曲線的焦半徑公式易記混。它們都可以用其第二定義推導，建議不要死記硬背，用的時候再根據定義推導。

36．兩個向量平行與與兩條直線平行易混,兩個向量平行(也稱向量共線)包含兩個向量重合,兩條直線平行不包含兩條直線重合。

37．各種角的范圍：

兩條異面直線所成的角0°

兩個向量的夾角0°≤α≤180°銳角0°

擴展閱讀：高中數學知識點匯總(易錯、易混、易忘)

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高中數學易錯易混易忘題分類匯編

“會而不對，對而不全”一直以來成為制約學生數學成績提高的重要因素，成為學生揮之不去的痛，如何解決這個問題對決定學生的高考成敗起著至關重要的作用。本文結合筆者的多年高三教學經驗精心挑選學生在考試中常見的66個易錯、易混、易忘典型題目，這些問題也是高考中的熱點和重點，做到力避偏、怪、難，進行精彩剖析并配以近幾年的高考試題作為相應練習，一方面讓你明確這樣的問題在高考中確實存在，另一方面通過作針對性練習幫你識破命題者精心設計的陷阱，以達到授人以漁的目的，助你在高考中乘風破浪，實現自已的理想報負。

【易錯點1】忽視空集是任何非空集合的子集導致思維不全面。例1、設

Ax|x28x150，Bx|ax10，若ABB，求實數a組成的集

合的子集有多少個？

【易錯點分析】此題由條件

ABB易知BA，由于空集是任何非空集合的子集，但在解題中極易

忽略這種特殊情況而造成求解滿足條件的a值產生漏解現象。解析：集合A化簡得A3,5，由ABB知BA故（Ⅰ）當B時，即方程ax10無

11或。35解，此時a=0符合已知條件（Ⅱ）當B時，即方程ax10的解為3或5，代入得a綜上滿足條件的a組成的集合為0,11,，故其子集共有238個。35Ｂ時，要樹立起分類討論的數學思想，

【知識點歸類點拔】（1）在應用條件A∪B＝ＢA∩B＝ＡＡ將集合Ａ是空集Φ的情況優(yōu)先進行討論．

（2）在解答集合問題時，要注意集合的性質“確定性、無序性、互異性”特別是互異性對集合元素的限制。有時需要進行檢驗求解的結果是滿足集合中元素的這個性質，此外，解題過程中要注意集合語言（數學語言）和自然語言之間的轉化如：

Ax,y|x2y24，

2Bx,y|x3y42r2，其中r0,若AB求r的取值范圍。將集合所表達

的數學語言向自然語言進行轉化就是：集合A表示以原點為圓心以2的半徑的圓，集合B表示以（3，4）為圓心，以r為半徑的圓，當兩圓無公共點即兩圓相離或內含時，求半徑r的取值范圍。思維馬上就可利用兩圓的位置關系來解答。此外如不等式的解集等也要注意集合語言的應用�！揪�1】已知集合

Ax|x24x0、Bx|x22a1xa210，若BA，

1或a1。

則實數a的取值范圍是。答案：a【易錯點2】求解函數值域或單調區(qū)間易忽視定義域優(yōu)先的原則。

例2、已知

x22y21,求x2y2的取值范圍4【易錯點分析】此題學生很容易只是利用消元的思路將問題轉化為關于x的函數最值求解，但極易忽略x、

y滿足

x22y21這個條件中的兩個變量的約束關系而造成定義域范圍的擴大。4-1-

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解析：由于

x22y2y221得(x+2)=1-442

2

≤1，∴-3≤x≤-1從而x+y=-3x-16x-12=

222

+

283因此當x=-1時x+y有最小值1,當x=-

82822

時，x+y有最大值33。故x+y的取值范圍是[1,

22

283]

【知識點歸類點拔】事實上我們可以從解析幾何的角度來理解條件x22y21對4x、y的限制，顯然方程表示以（-2，0）為中心的橢圓，則易知-3≤x≤-1，2轉化為三角最值求解。y2。此外本題還可通過三角換元【練2】（05（）

x2y221b0上變化，則x22y的最大值為高考重慶卷）若動點（x,y）在曲線

4bb2b2b240b440b24（D）2b（A）4（B）4（C）42bb42bb2答案：A

【易錯點3】求解函數的反函數易漏掉確定原函數的值域即反函數的定義域。

例3、

a2x11fx是R上的奇函數，（1）求a的值（2）求的反函數fxx12【易錯點分析】求解已知函數的反函數時，易忽略求解反函數的定義域即原函數的值域而出錯。解析：（1）利用

fxfx0（或f00）求得a=1.

2x11yxxfxx，設yfx,則21y1y由于y1故2，

211y1x22x111x1,1所以fxlog21x1x1fxx2121（2）由a1即

1y1yxlog2，而

【知識點歸類點拔】（1）在求解函數的反函數時，一定要通過確定原函數的值域即反函數的定義域在反函數的解析式后表明（若反函數的定義域為R可省略）。（2）應用

f1(b)af(a)b可省略求反函數的步驟，直接利用原函數求解但應注意其自變量和

函數值要互換。

【練3】（201*全國理）函數A、C、

fxx11x1的反函數是（）

yx22x2x1B、yx22x2x1yx22xx1D、yx22xx1

-2-

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答案：B

【易錯點4】求反函數與反函數值錯位例4、已知函數稱，則A、gfx12x1，函數ygx的圖像與yfx1的圖象關于直線yx對

1xygx的解析式為（）

x32x2x1x3B、gxC、gxD、gxx1x2x2x【易錯點分析】解答本題時易由

ygx與yf1x1互為反函數，而認為yf1x1的

=

=反函數是

yfx1fx則

ygxfx112x11x132x而錯選A。x解析：由

1x12x12x1x11得fx從而yfx1再求1x2x211x2x。正確答案：B1xyf1x1的反函數得gx【知識點分類點拔】函數

yf1x1與函數yfx1并不互為反函數，他只是表示f1xyfx1則f1yx1，

中x用x-1替代后的反函數值。這是因為由求反函數的過程來看：設

1y互換即得yfx1的反函數為yfx1，故yfxxf1y1再將x、1的

反函數不是

yf1x1，因此在今后求解此題問題時一定要謹慎。

-1-1

【練4】（201*高考福建卷）已知函數y=log2x的反函數是y=f(x)，則函數y=f(1-x)的圖象是（）

答案：B

【易錯點5】判斷函數的奇偶性忽視函數具有奇偶性的必要條件：定義域關于原點對稱。

例5、判斷函數

f(x)lg1x2x22的奇偶性。

-3-

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【易錯點分析】此題常犯的錯誤是不考慮定義域，而按如下步驟求解：

f(x)lg1x2x22fx從

而得出函數

fx為非奇非偶函數的錯誤結論。

21x0解析：由函數的解析式知x滿足即函數的定義域為1,00,1定義域關于原點對稱，

x22在定義域下

fxlg1x2x易證

fxfx即函數為奇函數。

【知識點歸類點拔】（1）函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要但不充分條件，因此在判斷函數的奇偶性時一定要先研究函數的定義域。（2）函數

fx具有奇偶性，則fxfx或fxfx是對定義域內x的恒等式。常

常利用這一點求解函數中字母參數的值�！揪�5】判斷下列函數的奇偶性：

①

fx4x2x24②fxx11sinxcosx1x③fx1sinxcosx1x

答案：①既是奇函數又是偶函數②非奇非偶函數③非奇非偶函數

【易錯點6】易忘原函數和反函數的單調性和奇偶性的關系。從而導致解題過程繁鎖。

例6、函數

fxlog22x22x11111證明fx是奇函數且在x或x的反函數為fx，

22其定義域上是增函數。

【思維分析】可求只需研究原函數

f1x的表達式，再證明。若注意到f1x與fx具有相同的單調性和奇偶性，

fx的單調性和奇偶性即可。

2x12x1解析：

fxlog2log22x12x1log22x12x1fx，故fx為奇函數從而f1x為

奇函數。又令t2x1211t1在,和,上均為增函數且ylog2為增函數，

2x12x122故

11fx在,和,上分別為增函數。故f1x分別在0,和,0上分別為

22增函數。

【知識點歸類點拔】對于反函數知識有如下重要結論：（1）定義域上的單調函數必有反函數。（2）奇函數的反函數也是奇函數且原函數和反函數具有相同的單調性。（3）定義域為非單元素的偶函數不存在反函數。（4）周期函數不存在反函數（5）原函數的定義域和值域和反函數的定義域和值域到換。即

f1(b)af(a)b。

-4-

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【練6】（1）（99全國高考題）已知

exexf(x)2，則如下結論正確的是（）

A、C、

fx是奇函數且為增函數B、fx是奇函數且為減函數fx是偶函數且為增函數D、fx是偶函數且為減函數

1則使fx1成立的x的f1x是函數fx1axaxa1的反函數，

答案：A

（2）（201*天津卷）設

2a21a21a21,)B、(,)C、(,a)D、(a,)取值范圍為（）A、(2a2a2a2a11a1答案：A（時，fx單調增函數，所以fx1ffxf1xf11.）

2a【易錯點7】證明或判斷函數的單調性要從定義出發(fā)，注意步驟的規(guī)范性及樹立定義域優(yōu)先的原則。例7、試判斷函數

fxaxba0,b0的單調性并給出證明。x【易錯點分析】在解答題中證明或判斷函數的單調性必須依據函數的性質解答。特別注意定義

x1D,x2Dfx1fx2fx1fx2中的x1,x2的任意性。以及函數的單調區(qū)間必是

函數定義域的子集，要樹立定義域優(yōu)先的意識。解析：由于

fxfx即函數fx為奇函數，因此只需判斷函數fx在0,上的單調性x1x20，

即可。設

fx1fx2x1x2ax1x2bx1x2由于

x1x20故當

bbx1,x2,,時，此時函數在fxfxfx012aa上增函數，同理可證

函數

bbfx在0,a上為減函數。又由于函數為奇函數，故函數在a,0為減函數，在

bbb,,,為增函數。綜上所述：函數在和上分別為增函數，在fxaaabb0,a和a,0上分別為減函數.【知識歸類點拔】（1）函數的單調性廣泛應用于比較大小、解不等式、求參數的范圍、最值等問題中，應引起足夠重視。

-5-

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（2）單調性的定義等價于如下形式：fx在a,b上是增函數fx1fx20，fx在x1x2a,b上是減函數點112fx1fx20，這表明增減性的幾何意義：增（減）函數的圖象上任意兩x1x22x,fx,x,fx連線的斜率都大于（小于）零。fxaxba0,b0是一種重要的函數模型，要引起重視并注意應用。但注意本題中不x（3）能說bbbb,0上為減函數,在敘在0,fx在,aa,上為增函數，aafxax1xa0（1）用單調性的定義判斷函數fx在ax述函數的單調區(qū)間時不能在多個單調區(qū)間之間添加符號“∪”和“或”，【練7】（1）（濰坊市統(tǒng)考題）

（2）設fx在0x1的最小值為ga，求yga的解析式。0,上的單調性。

1112a1答案：（1）函數在,為增函數在0,為減函數。（2）ygaaaaa0a1（2）（201*天津）設a0且

exafxxae為R上的偶函數。（1）求a的值（2）試判斷函數在

0,上的單調性并給出證明。答案：（1）a1（2）函數在0,上為增函數（證明略）

【易錯點8】在解題中誤將必要條件作充分條件或將既不充分與不必要條件誤作充要條件使用，導致錯誤結論。

例8、（201*全國高考卷）已知函數【易錯點分析】

fxax33x2x1上是減函數，求a的取值范圍。

fx0xa,b是fx在a,b內單調遞減的充分不必要條件，在解題過程

fxx3在R上遞減，但fx3x20。

fx3a2x6x1（1）當fx0時，fx是減函數，則

解得

中易誤作是充要條件，如解析：求函數的導數

a0故fx3a2x6x10xR03a3。（2）當

a3時，

18（3）當a3時，fx3x33x2x13x易知此時函數也在R上是減函數。

39-6-

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在R上存在一個區(qū)間在其上有的取值范圍是

fx0，所以當a3時，函數fx不是減函數，綜上，所求

a

,3。

其導數與函數的單調性的關系現以增函數為例來說明：①f(x)0fx可導，

【知識歸類點拔】若函數

與

f(x)為增函數的關系:f(x)0能推出f(x)為增函數，但反之不一定。如函數f(x)x3在

(,)上單調遞增，但f(x)0，∴f(x)0是f(x)為增函數的充分不必要條件。②f(x)0時，f(x)0與f(x)為增函數的關系:若將f(x)0的根作為分界點，因為規(guī)定f(x)0，即摳去了分界點，此時f(x)為增函數，就一定有f(x)0�！喈攆(x)0時，f(x)0是f(x)為增函數的充分必要條件。③f(x)0與f(x)為增函數的關系:f(x)為增函數，

一定可以推出

f(x)0，但反之不一定，因為f(x)0，即為f(x)0或f(x)0。當函數在f(x)0，則f(x)為常數，函數不具有單調性�！鄁(x)0是f(x)為增函數的

某個區(qū)間內恒有

必要不充分條件。函數的單調性是函數一條重要性質，也是高中階段研究的重點，我們一定要把握好以上三個關系，用導數判斷好函數的單調性。因此新教材為解決單調區(qū)間的端點問題，都一律用開區(qū)間作為單調區(qū)間，避免討論以上問題，也簡化了問題。但在實際應用中還會遇到端點的討論問題，要謹慎處理。因此本題在第一步后再對a維的嚴密性。

【練8】（1）（201*新課程）函數A、b3和a3進行了討論，確保其充要性。在解題中誤將必要條件作充分條

件或將既不充分與不必要條件誤作充要條件使用而導致的錯誤還很多，這需要同學們在學習過程中注意思

yx2bxcx0,是是單調函數的充要條件是（）

0B、b0C、b0D、b0

答案：A

（2）是否存在這樣的K值，使函數上遞增？答案：k在

fxk2x4231xkx22x在1,2上遞減，在2,321。（提示據題意結合函數的連續(xù)性知f20，但f20是函數在1,2上遞減，2）2,上遞增的必要條件，不一定是充分條件因此由f20求出K值后要檢驗。

【易錯點9】應用重要不等式確定最值時，忽視應用的前提條件特別是易忘判斷不等式取得等號時的變量值是否在定義域限制范圍之內。例9、已知：a>0,b>0,a+b=1,求(a+

1a)+(b+

2

1b)的最小值。

2

-7-

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錯解:(a+值是8

【易錯點分析】上面的解答中，兩次用到了基本不等式a+b≥2ab，第一次等號成立的條件是a=b=

二次等號成立的條件ab=解析：原式=a+b+

2222

1a)+(b+

2

1b)=a+b+

222

11+22ab+4≥2ab+

2ab+4≥4

ab11+4=8∴(a+

aab)+(b+

2

1b)的最小

2

12,第

1ab，顯然，這兩個條件是不能同時成立的。因此，8不是最小值。

2222

1111112++4=(a+b)+(+)+4=[(a+b)-2ab]+[(+)-]+4

ababa2b2a2b21ab11111=(1-2ab)(1+22)+4由ab≤()=得：1-2ab≥1-=,且22≥16，1+22≥17

2422ababab12511125∴原式≥17+4=(當且僅當a=b=時，等號成立)∴(a+)+(b+)的最小值是。

222ab22

22

【知識歸類點拔】在應用重要不等式求解最值時，要注意它的三個前提條件缺一不可即“一正、二定、三

相等”，在解題中容易忽略驗證取提最值時的使等號成立的變量的值是否在其定義域限制范圍內�！揪�9】（97全國卷文22理22）甲、乙兩地相距skm,汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過ckm/h,已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（km/h）的平方成正比，比例系數為b;固定部分為a元。

（1）把全程運輸成本y（元）表示為速度v（km/h）的函數，并指出這個函數的定義域；（2）為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？答案為:（1）ysabv2a0vc（2）使全程運輸成本最小，當vb≤c時，行駛速度v=

ab；

當

ab＞c時，行駛速度v=c。

【易錯點10】在涉及指對型函數的單調性有關問題時，沒有根據性質進行分類討論的意識和易忽略對數函數的真數的限制條件。例10、是否存在實數a使函數明理由。

【易錯點分析】本題主要考查對數函數的單調性及復合函數的單調性判斷方法，在解題過程中易忽略對數函數的真數大于零這個限制條件而導致a的范圍擴大。解析：函數

fxlogaax2x在

2,4上是增函數？若存在求出a的值，若不存在，說

fx是由xax2x和ylogax復合而成的，根據復合函數的單調性的判斷方

fxlogaax2法（1）當a>1時，若使

x在

2,4上是增函數，則xax2x在2,4上是增函

212ax數且大于零。故有2a解得a>1。（2）當a★育英輔導班內部資料★

142函數，則xaxx在2,4上是減函數且大于零。2a不等式組無解。綜上

416a40所述存在實數a>1使得函數

fxlogaax2x在

2,4上是增函數

【知識歸類點拔】要熟練掌握常用初等函數的單調性如：一次函數的單調性取決于一次項系數的符號，二次函數的單調性決定于二次項系數的符號及對稱軸的位置，指數函數、對數函數的單調性決定于其底數的范圍（大于1還是小于1），特別在解決涉及指、對復合函數的單調性問題時要樹立分類討論的數學思想（對數型函數還要注意定義域的限制）�！揪�10】（1）（黃崗三月分統(tǒng)考變式題）設a間。答案：當00，且a1試求函數yloga43xx2的的單調區(qū)

333a1，函數在1,上單調遞減在,4上單調遞增當a1函數在1,上單調

222遞增在

3

,4上單調遞減。2

1fxlogax3axa0,a1在區(qū)間(,0)內單調遞增，則a的

21399取值范圍是（）A、[,1)B、[,1)C、(,)D、(1,)

4444（2）（201*高考天津）若函數答案：B.（記g2則g"x3xa當a1時，要使得fx是增函數，則需有g"x0xx3ax，

231恒成立，所以a3.矛盾.排除C、D當0a1時，要使fx是函數，則需有g"x0恒

4231成立，所以a3.排除A）

422【易錯點11】用換元法解題時，易忽略換元前后的等價性．

12求sinycosx的最大值31【易錯點分析】此題學生都能通過條件sinxsiny將問題轉化為關于sinx的函數，進而利用換

3元的思想令tsinx將問題變?yōu)殛P于t的二次函數最值求解。但極易忽略換元前后變量的等價性而造成

例11、已知sinxsiny錯解，

解析：由已知條件有siny2sinx13，而

11sinx且sinysinx1,1（結合sinx1,1）得33122令siyncxo=ssinxcos2x=sin2xsinx33-9-

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2222tsinxt1則原式=t2tt1根據二次函數配方得：當t3333sinx24時，原式取得最大值

93。

即

【知識點歸類點拔】“知識”是基礎，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數學素質的核心就是提高學生對數學思想方法的認識和運用，數學素質的綜合體現就是“能力”，解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯系起來�；蛘咦�?yōu)槭煜さ男问�，把復雜的計算和推證簡化。

【練11】（1）（高考變式題）設a>0，000求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinxcosx－2a的最大值和最小值。

2答案：f(x)的最小值為－2a－2

212(0a)1222a－，最大值為21222a22a(a)22（2）不等式x>ax＋答案：a3的解集是(4,b)，則a＝________，b＝_______。21,b36（提示令換元xt原不等式變?yōu)殛P于t的一元二次不等式的解集為2,b8）

【易錯點12】已知Sn求an時,易忽略n＝１的情況．例12、（201*高考北京卷）數列

（1）求a2,a3,a4的值及數列an前n項和sn且a11,an13sn。

1an的通項公式。

【易錯點分析】此題在應用sn與an的關系時誤認為an的情況的驗證。易得出數列

snsn1對于任意n值都成立，忽略了對n=1

an為等比數列的錯誤結論。

解析：易求得

111416a2,a3,a4。由a11,an1sn得ansn1n2故

33392741111an1ansnsn1ann2得an1ann2又a11，a2故該數列從第

333331n1二項開始為等比數列故an14n2。

n233-10-

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【知識點歸類點拔】對于數列an與sn之間有如下關系：ans1n1利用兩者之間的關系snsn1n2可以已知sn求an。但注意只有在當a1適合an的形式。

【練12】（201*全國理）已知數列則數列

snsn1n2時兩者才可以合并否則要寫分段函數

an滿足a11,ana12a23a3n1an1n2an的通項為。

1n1答案：（將條件右端視為數列nan的前n-1項和利用公式法解答即可）ann!

n22【易錯點13】利用函數知識求解數列的最大項及前n項和最大值時易忽略其定義域限制是正整數集或其子集（從1開始）例13、等差數列

an的首項a10，前n項和sn，當lm時，smsl。問n為何值時sn最大?

【易錯點分析】等差數列的前n項和是關于n的二次函數，可將問題轉化為求解關于n的二次函數的最大值，但易忘記此二次函數的定義域為正整數集這個限制條件。解析：由題意知sn=

fnna1nn12dd2dna1n此函數是以22n為變量的二次函

數，因為a10，當lm時，smsl故d0即此二次函數開口向下，故由flfm得當

時

x當llm2fx取得最大值，但由于nN，故若lm為偶數，當nlm1時sn最大。2lm2時，sn最大。

m為奇數時，當n【知識點歸類點拔】數列的通項公式及前n項和公式都可視為定義域為正整數集或其子集（從1開始）上的函數，因此在解題過程中要樹立函數思想及觀點應用函數知識解決問題。特別的等差數列的前n項和公式是關于n的二次函數且沒有常數項，反之滿足形如snan2bn所對應的數列也必然是等差數列的前n項和。此時由snsanb知數列中的點n,n是同一直線上，這也是一個很重要的結論。此外形如nn前n項和sncanc所對應的數列必為一等比數列的前n項和�！揪�13】（201*全國高考題）設結論錯誤的是（）A、dan是等差數列，sn是前n項和，且s5s6，s6s7s8，則下列

0B、a70C、s9s5D、s6和s7均為sn的最大值。

答案：C（提示利用二次函數的知識得等差數列前n項和關于n的二次函數的對稱軸再結合單調性解答）【易錯點14】解答數列問題時沒有結合等差、等比數列的性質解答使解題思維受阻或解答過程繁瑣。

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例14、已知關于的方程x23xa0和x23xb0的四個根組成首項為

34的等差數列，求

ab的值。

【思維分析】注意到兩方程的兩根之和相等這個隱含條件，結合等差數列的性質明確等差數列中的項是如何排列的。解析：不妨設

34是方程x23xa0的根，由于兩方程的兩根之和相等故由等差數列的性質知方程

2x23xa0的另一根是此等差數列的第四項，而方程x3xb0的兩根是等差數列的中間兩

項，根據等差數列知識易知此等差數列為：

2735313579,b,,故a從而ab=。1616844,44【知識點歸類點拔】等差數列和等比數列的性質是數列知識的一個重要方面，有解題中充分運用數列的性質往往起到事半功倍的效果。例如對于等差數列an，若nmpq，則anamapaq；對于等比數列an，若nmuv，則anamauav；若數列an是等比數列，Sn是其前nan是等差數列，Sn是其前n*項的和，kN，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比數列；若數列項的和，kN，那么Sk，S2k*Sk，S3kS2k成等差數列等性質要熟練和靈活應用。2【練14】（201*全國理天津理）已知方程x為

2xm0和x22xn0的四個根組成一個首項

34C、

14的等差數列，則

mn=（）A、1B、

12D、

38答案：C

【易錯點15】用等比數列求和公式求和時，易忽略公比ｑ＝１的情況例15、數列{an}中，a1（I）求使anan11，a22，數列{anan1}是公比為q（q0）的等比數列。

（II）求數列{an}的前2n項的和S2n．an1an2an2an3成立的q的取值范圍；

【易錯點分析】對于等比數列的前n項和易忽略公比q=1的特殊情況，造成概念性錯誤。再者學生沒有從定義出發(fā)研究條件數列{anan1}是公比為q（q0）的等比數列得到數列奇數項和偶數項成等比數

列而找不到解題突破口。使思維受阻。解：（I）∵數列{an由anan1an1}是公比為q的等比數列，∴an1an2anan1q，an2an3anan1q2，

an1an2an2an3得anan1anan1qanan1q21qq2，即

152．

，解得0qq2q10（q0）

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（II）由數列{anan1}是公比為q的等比數列，得

an1an2aqn2q，這表明數列{an}的

anan1an1，a22，∴當q1時，

所有奇數項成等比數列，所有偶數項成等比數列，且公比都是q，又a1S2na1a2a3a4a2n1a2n

(a1a2a3an)(a2a4a6a2n)a1(1qn)a2(1qn)3(1qn)，當q1時，1q1q1qS2na1a2a3a4a2n1a2n(a1a2a3an)(a2a4a6a2n)(1111)(2222)3n．

【知識點歸類點拔】本題中拆成的兩個數列都是等比數列，其中an2q是解題的關鍵，這種給出數列an的形式值得關注。另外，不要以為奇數項、偶數項都成等比數列，且公比相等，就是整個數列成等比數列，解題時要慎重，寫出數列的前幾項進行觀察就得出正確結論.對等比數列的求和一定要注意其公比為1這種特殊情況。高考往往就是在這里人為的設計陷阱使考生產生對現而不全的錯誤�！揪�15】（201*高考全國卷一第一問）設等比數列圍。答案：

an的公比為q，前n項和sn0（1）求q的取值范

1,00,

【易錯點16】在數列求和中對求一等差數列與一等比數列的積構成的數列的前n項和不會采用錯項相減法或解答結果不到位。

例16、．（201*北京理）已知數列（1）求數列

an是等差數列，且a12,a1a2a312

an的通項公式（2）令bnanxnxR求數列bn前項和的公式。

an的通項公式再由數列bn的通項公式分析可知數列bn是一

【思維分析】本題根據條件確定數列

個等差數列和一個等比數列構成的“差比數列”，可用錯項相減的方法求和。解析：（1）易求得an（2）由（1）得bn2n

2nxn令sn2x4x26x32nxn（Ⅰ）則

（注意錯過一位再相減）得xsn2x24x32n1xn2nxn1（Ⅱ）用（Ⅰ）減去（Ⅱ）

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x1xn2n123nn1nx當1xsn2x2x2x2x2nx當x1sn1x1xx1時sn2462nnn1

綜上可得：

n2x1xn1當x1snnx當x1時sn2462nnn11x1x【知識點歸類點拔】一般情況下對于數列

cn有cnanbn其中數列an和bn分別為等差數列和等

比數列，則其前n項和可通過在原數列的每一項的基礎上都乘上等比數列的公比再錯過一項相減的方法來求解，實際上課本上等比數列的求和公式就是這種情況的特例�！揪�16】（201*全國卷一理）已知

求數列an的unanan1ban2b2abn1bnnN,a0,b0當ab時，前n項和sn

答案：a1時snn1an2n2an1a22a當a1時sn21ann32.

【易錯點17】不能根據數列的通項的特點尋找相應的求和方法，在應用裂項求和方法時對裂項后抵消項的規(guī)律不清，導致多項或少項。例17、求Sn1111．112123123n【易錯點分析】本題解答時一方面若不從通項入手分析各項的特點就很難找到解題突破口，其次在裂項抵消中間項的過程中，對消去哪些項剩余哪些項規(guī)律不清而導致解題失誤。解：由等差數列的前n項和公式得123nn(n1)2，∴

1111211，就分別得到,，，,2()，n取1，2，3，

112123123nn(n1)nn1∴Sn2(11)2(11)2(11)2(11)

22334nn12(112n)．n1n1【知識歸類點拔】“裂項法”有兩個特點，一是每個分式的分子相同；二是每項的分母都是兩個數（也可三個或更多）相乘，且這兩個數的第一個數是前一項的第二個數，如果不具備這些特點，就要進行轉化。同是要明確消項的規(guī)律一般情況下剩余項是前后對稱的。常見的變形題除本題外，還有其它形式，例如：求1111，方法還是抓通項，即122224326n22n11111()，問題會很容易解決。另外還有一些類似“裂項法”的題目，2n2nn(n2)2nn2-14-

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如：an1nn1，求其前n項和，可通過分母有理化的方法解決。數列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。221421621(2n)21【練17】（201*濟南統(tǒng)考）求和Sn2＋＋＋＋．

21421621(2n)21答案：Sn112n1111111111＝n．

2n12n12n1133557【易錯點18】易由特殊性代替一般性誤將必要條件當做充分條件或充要條件使用，缺乏嚴謹的邏輯思維。例18、（201*年高考數學江蘇卷，20）設無窮等差數列{an}的前n項和為Sn.3

(Ⅰ)若首項a1，公差d1，求滿足S2(Sk)2的正整數k；

2k(Ⅱ)求所有的無窮等差數列{an}，使得對于一切正整數k都有Sk2(Sk)2成立.

【易錯點分析】本小題主要考查數列的基本知識，以及運用數學知識分析和解決問題的能力.學生在解第(Ⅱ)

時極易根據條件“對于一切正整數k都有Sk2(Sk)2成立”這句話將k取兩個特殊值確定出等差數

列的首項和公差，但沒有認識到求解出的等差數列僅是對已知條件成立的必要條件，但不是條件成立的充分條件。還應進一步的由特殊到一般。

解：（I）當a1由S3,d1時Snna1n(n1)d3nn(n1)1n2n2222214131kk2(k2k)2，即k(k1)0又k0,所以k4.

422n2k2(Sk)2,得

（II）設數列{an}的公差為d，則在S(Sn)2中分別取k=1,2,得

S1(S1),2S4(S2)由（1）得若a1若a12a1a12,（1）即43212

d(2a1d)（2）4a122d0或d6,

,

a10或a11.當a10時,代入(2)得0,d0,則an0,Sn0,從而Sk(Sk)2成立

20,d6,則an6(n1),由S318,(S3)2324,Sn216知s9(S3),故所得

數列不符合題意.當a11時,代入(2)得

若a146d(2d)2,解得d0或d2

1,d0,則an1,Snn,從而Sk2(Sk)2成立;

若a11,d2,則an2n1,Sn13(2n1)n2,從而S(Sn)2成立.綜上，共有3個滿足條件的無窮等差數列：

①{an}:an=0，即0，0，0，；②{an}:an=1，即1，1，1，；③{an}:an=2n－1，即1，3，5，，

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【知識點歸類點拔】事實上，“條件中使得對于一切正整數k都有Sk2(Sk)2成立.”就等價于關于k的方

程的解是一切正整數又轉化為關于k的方程的各項系數同時為零，于是本題也可采用這程等價轉化的思想解答，這樣做就能避免因忽視充分性的檢驗而犯下的邏輯錯誤。在上述解法中一定要注意這種特殊與一般的關系。

【練18】（1）（201*全國）已知數列

cn,其中cn2n3n,且數列cn1pcn為等比數列.求常數p

答案：p=2或p=3（提示可令n=1,2,3根據等比中項的性質建立關于p的方程，再說明p值對任意自然數n都成立）

【易錯點19】用判別式判定方程解的個數（或交點的個數）時，易忽略討論二次項的系數是否為０．尤其是直線與圓錐曲線相交時更易忽略.例19、已知雙曲線x2y24，直線ykx1，討論直線與雙曲線公共點的個數

【易錯點分析】討論直線與曲線的位置關系，一般將直線與曲線的方程聯立，組成方程組，方程組有幾解，則直線與曲線就有幾個交點，但在消元后轉化為關于x或y的方程后，易忽視對方程的種類進行討論而主觀的誤認為方程就是二次方程只利用判別式解答。

ykx122222解析：聯立方程組消去y得到1kx2kxk40（1）當1k0時，

22xy4即k1，方程為關于x的一次方程，此時方程組只有解，即直線與雙曲線只有一個交點。（2）當

2231k0時即，方程組只有一解，故直線與雙曲線有一個交點（3）當k23443k0223231k0k時，方程組有兩個交點此時且k1。（4）當233443k0223231k0kk時即或時方程組無解此時直線與雙曲線無交點。233443k0綜上知當k1或k232323時直線與雙曲線只有一個交點，當且k1。時k3332323或k時方程組無解此時直線與雙曲線無交點。33直線與雙曲線有兩個交點，當k【知識點歸類點拔】判斷直線與雙曲線的位置關系有兩種方法：一種代數方法即判斷方程組解的個數對應于直線與雙曲線的交點個數另一種方法借助于漸進線的性質利用數形結合的方法解答，并且這兩種方法的對應關系如下上題中的第一種情況對應于直線與雙曲線的漸進線平行，此時叫做直線與雙曲線相交但只有一個公共點，通過這一點也說明直線與雙曲線只有一個公共點是直線與雙曲線相切的必要但不充分條件。第二種情況對應于直線與雙曲線相切。通過本題可以加深體會這種數與形的統(tǒng)一。

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x2y21，雙曲線c2的左右焦點分別為c1的左右【練19】（1）（201*重慶卷）已知橢圓c1的方程為4頂點，而c2的左右頂點分別是c1的左右焦點。（1）求雙曲線的方程（2）若直線l:ykx2與橢圓c1及雙曲線c2恒有兩個不同的交點，且與c2的兩個交點A和B滿足lOAOB6，其中O為原

x2133113132點，求k的取值范圍。答案：（1）y1（2）1,,,,1315322315（2）已知雙曲線C：，過點P（1，1）作直線l,使l與C有且只有一個公共點，則滿足上述條件的直線l共有

y21中整理有(4-k)x+2k(k-1)x-____條。答案：4條（可知k存在時，令l:y-1=k(x-1)代入x422

2l

(1-k)-4=0,∴當4-k=0即k=±2時，有一個公共點；當k≠±2時，由Δ=0有k

225

，有一個切點另：當k2

l

不存在時，x=1也和曲線C有一個切點∴綜上，共有4條滿足條件的直線）【易錯點20】易遺忘關于sin和cos齊次式的處理方法。例20、已知tan2，求（1）

cossincossin2；（2）sin2sin.cos2cos2的值.

【思維分析】將式子轉化為正切如利用1sincos2可將（2）式分子分母除去sin即可。

sincossincos1tan12322；

解：（1）sin1tan12cossin1cos1(2)

sin2sincos2cos2sinsincos2cos

sin2cos222sin2sin2222242cos2cos.sin2131cos2【知識點歸類點拔】利用齊次式的結構特點（如果不具備，通過構造的辦法得到），進行弦、切互化，就會使解題過程簡化。(1sin2cos2sec2tan2tancot

這些統(tǒng)稱為1的代換)常數“1”的種種代換有著廣泛的應用．【練20】．（201*年湖北卷理科）已知6sin2sincos2cos20,[,],求sin(2)的值.

23tan31tan22）

1tan2答案：653（原式可化為6tan2tan20，sin231326【易錯點21】解答數列應用題，審題不嚴易將有關數列的第n項與數列的前n項和混淆導致錯誤解答。

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例21、如果能將一張厚度為0.05mm的報紙對拆,再對拆....對拆50次后,報紙的厚度是多少?你相信這時報紙的厚度可以在地球和月球之間建一座橋嗎?(已知地球與月球的距離約為410米)

8【易錯點分析】對拆50次后,報紙的厚度應理解一等比數列的第n項,易誤理解為是比等比數列的前n項和。

解析：對拆一次厚度增加為原來的一倍，設每次對拆厚度構成數列an，則數列an是以a1=0.0510米為首項，公比為2的等比數列。從而對拆50次后紙的厚度是此等比數列的第51項，利用等比數列的通項公式易得a51=0.05102=5.6310,而地球和月球間的距離為410

-3501038

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解析：A、由三角函數易知此時角的正切線的數量比角的正切線的數量要小即tan理可知sintanB、同

sinC、知滿足條件的角的正切線的數量比角。正確。D、同理可知應為sin的正切線的數量要大即

tantansin。

【知識點歸類點拔】單位圓的三角函數線將抽象的角的三角函數值同直觀的有向線段的數量對應起來，體現了數形結合的數學思想，要注意一點的就是角的三角函數值是有向線段的數量而不是長度。三角函數線在解三角不等式、比較角的同名函數值的大小、三角關系式的證明都有著廣泛的應用并且在這些方面有著一定的優(yōu)越性。例如利用三角函數線易知等。【練22】（201*全國高考）已知sinA、若B、若答案：D

【易錯點23】在利用三角函數的圖象變換中的周期變換和相位變換解題時。易將和求錯。

0,,sintan，sincos12sin，那么下列命題正確的是（）

、都是第二象限角，則tan、都是第四象限角，則tan、都是第一象限角，則cos、都是第三象限角，則coscosB、若cosD、若tantan

例23．要得到函數

1ysin2x的圖象，只需將函數ysinx的圖象（）

23個單位。31B、先將每個x值縮小到原來的倍，y值不變，再向左平移個單位。

43C、先把每個x值擴大到原來的4倍，y值不變，再向左平移個單位。

61D、先把每個x值縮小到原來的倍，y值不變，再向右平移個單位。

4611【易錯點分析】ysinx變換成ysin2x是把每個x值縮小到原來的

42A、先將每個x值擴大到原來的4倍，y值不變，再向右平移大到原來的倍，這樣就誤選A或C，再把

倍，有的同學誤認為是擴

ysin2x平移到y(tǒng)sin2x有的同學平移方向錯了，

3有的同學平移的單位誤認為是

3。

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解析：由

ysin1x變形為ysin2x常見有兩種變換方式，一種先進行周期變換，即將23倍得到函數

ysin再將函數

11x的圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/p>

42y2sin2x的圖象，

y2sin2x的圖象縱坐標不變，橫坐標向右平移

ysin6單位。即得函數

ysin2x。

3個單位，得到

或者先進行相位變換，即將

12x的圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標向右平移

32函數

12ysinx231sinx的圖象，再將其橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍即得即得函數

32ysin2x的圖象。

3【知識點歸類點拔】利用圖角變換作圖是作出函數圖象的一種重要的方法，一般地由ysinx得到y(tǒng)Asinwx的圖象有如下兩種思路：一先進行振幅變換即由ysinx橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍得到y(tǒng)Asinx，再進行周期變換即由yAsinx縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到y(tǒng)Asinwx，再進行相位變換即由yAsinwx橫坐標向左（右）平移個單位，即得yAsinxAsinx，另種就是先進行了振幅變換后，再進行相位變換即由個單位，即得到函數yAsinx向左（右）平移原來的yAsinx的圖象，再將其橫坐標變?yōu)?倍即得不論哪一種變換都要注意一點就是不論哪一種變換都是對純粹yAsinwx。的變量x來說的�！揪�23】（201*全國卷天津卷）要得到的圖象，只需將函數的圖象上所有的點的A、橫坐標縮短為原來的

12倍（縱坐標不變），再向左平移個單位長度。B、橫坐標縮短為原來的

12倍

（縱坐標不變），再向左平移個單位長度。C、橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再向左平移個單位長度。D、橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再向右平移個單位長度。答案：C

【易錯點24】沒有挖掘題目中的確隱含條件，忽視對角的范圍的限制而造成增解現象。例24、已知0,，sincos7求tan的值。13-20-

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7，利用sincos12sincos可13解得sincos的值，再通過解方程組的方法即可解得sin、cos的值。但在解題過程中易忽視sincos0這個隱含條件來確定角范圍，主觀認為sincos的值可正可負從而造成增解。

71200，又由于0,，故有解析：據已知sincos（1）有2sincos1316917（2）sin0,cos0，從而sincos0即sincos12sincos1312512,cos聯立（1）（2）可得sin，可得tan。13135【易錯點分析】本題可依據條件sincos【知識點歸類點拔】在三角函數的化簡求值過程中，角的范圍的確定一直是其重點和難點，在解題過程中要注意在已有條件的基礎上挖掘隱含條件如：結合角的三角函數值的符號、三角形中各內角均在0,區(qū)間內、與已知角的三角函數值的大小比較結合三角函數的單調性等。本題中實際上由單位圓中的三角函數線可知若0,則必有sincos1,故必有,。221cos,0,，則cot5的值是。

【練24】（1994全國高考）已知sin答案：34【易錯點25】根據已知條件確定角的大小，沒有通過確定角的三角函數值再求角的意識或確定角的三角函數名稱不適當造成錯解。例25、若sin510，且、,sin510均為銳角，求的值。

【易錯點分析】本題在解答過程中，若求的正弦，這時由于正弦函數在

0,區(qū)間內不單調故滿

的余弦就不易

足條件的角有兩個，兩個是否都滿足還需進一步檢驗這就給解答帶來了困難，但若求出錯，這是因為余弦函數在

0,內單調，滿足條件的角唯一。

均為銳角知解析：由sin解析：由sin510且、,sin510510且、,sin510均為銳角知cos25310253105102,cos,則cos由5105105102、均為銳角即0,故

【知識點歸類點拔】根據已知條件確定角的大小，一定要轉化為確定該角的某個三角函數值，再根據此三角函數值確定角這是求角的必然步驟，在這里要注意兩點一就是要結合角的范圍選擇合適的三角函數名稱同時要注意盡量用已知角表示待求角，這就需要一定的角的變換技巧如：2等。

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二是依據三角函數值求角時要注意確定角的范圍的技巧。【練25】（1）在三角形ABC中，已知sin答案：arccos35A,cosB，求三角形的內角C的大小。

51316（提示確定已知角的余弦值，并結合已知條件確定角A的范圍）65（2）（201*天津理，17）已知cos（α＋

4答案：cos","p":{"h":18.141,"w":24.133,"x":205.016,"y":325.688,"z":2★育英輔導班內部資料★

【練26】（1）（201*年高考江蘇卷18）已知函數f(x)sin(x)(0,0)上R上的偶函數，其圖象關于點M(答案：3,0)對稱，且在區(qū)間[0,]上是單調函數，求和ω的值.

242或2。32,（2）（201*全國卷一第17題第一問）設函數的

fxsin2x，

34

yfx圖象的一條對稱軸是直線x解的個數。

例27、在ABC中，B308，求答案：=【易錯點27】利用正弦定理解三角形時，若已知三角形的兩邊及其一邊的對角解三角形時，易忽視三角形

,AB23,AC2。求ABC的面積

【易錯點分析】根據三角形面積公式，只需利用正弦定理確定三角形的內角C，則相應的三角形內角A即可確定再利用s1bcsinA即可求得。但由于正弦函數在區(qū)間0,內不嚴格格單調所以滿足條件的2ABAC232即sinCsinBsinCsin30角可能不唯一，這時要借助已知條件加以檢驗，務必做到不漏解、不多解。

得sinC解析：根據正弦定理知：

32，由于

ABsin30ACAB即滿足條件的三角形有兩個故C60或120.則A30或90故相應

的三角形面積為s11232sin303或23223.

22【知識點歸類點拔】正弦定理和余弦定理是解三角形的兩個重要工具，它溝通了三角形中的邊角之間的內在聯系，正弦定理能夠解決兩類問題（1）已知兩角及其一邊，求其它的邊和角。這時有且只有一解。（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求其它的邊和角,這是由于正弦函數在在區(qū)間

0,內不嚴格格單調，此時

三角形解的情況可能是無解、一解、兩解，可通過幾何法來作出判斷三角形解的個數。如：在ABC中，已知a,b和A解的情況如下：

（1）當A為銳角

（2）若A為直角或鈍角

-23-

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【練27】（201*全國）如果滿足ABC范圍是（）A、8答案：D

【易錯點28】三角形中的三角函數問題。對三角變換同三角形邊、角之間知識的結合的綜合應用程度不夠。例28、（1）（201*湖南高考）已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小.

【易錯點分析】本題在解答過程中若忽視三角形中三內角的聯系及三角形各內角大小范圍的限制，易使思維受阻或解答出現增解現象。解法一由sin所以sin60，AC2，BCk的三角表恰有一個那么k的取值

3B、0k12C、k12D、0k12或k83

A(sinBcosB)sinC0得sinAsinBsinAcosBsin(AB)0.

AsinBsinAcosBsinAcosBcosAsinB0.即sinB(sinAcosA)0.

B0，從而cosAsinA.由A(0,),知A因為B(0,),所以sin3.從而BC.44由sinBcos2C0得sinBcos2(由此得cos3B)0.即sinBsin2B0.亦即sinB2sinBcosB0.4155,B,C.所以A,B,C.

423123123解法二：由sinBcos2C0得sinBcos2Csin(2C).由0B、c，所以

B2B33或2CB.由2C或B2C.即B2C2222sinA(sinBcosB)sinC0得sinAsinBsinAcosBsin(AB)0.

所以sinAsinBsinAcosBsinAcosBcosAsinB0.即sinB(sinAcosA)0.0，所以cosAsinA.由A(0,),知A1B2，得B因為sinB4.從而BC合要求.再由2C3,C5.所以A,41233，知B+2C=

245B,C.

312不

2、（北京市東城區(qū)201*年高三年級四月份綜合練習）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且

cosBb.（Ⅰ）求角B的大小（Ⅱ）若b13,ac4，求△ABC的面積.

cosC2acabc2R得a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC.將sinAsinBsinC【思維分析】根據正弦定理和余弦定理將條件化為三角形邊的關系或角的關系解答。（Ⅰ）解法一：由正弦定理

上式代入已知

cosBbcosBsinB得.即cosC2accosC2sinAsinC2sinAcosBsinCcosBcosCsinB0.2sinAcosBsin(BC)0.故A+B+C=，

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sin(BC)sinA.2sinAcosBsinA0.sinA0,cosB1.B為三角形的內

2角，B2.

3a2c2b2b2c2a2,cosC解法二：由余弦定理得cosB2ac2bc將上式代入

cosBba2c2b22abb得222.整理得a2c2b2ac.cosC2ac2acabc2ac2a2c2b2ac1cosB.B為三角形的內角，B.

32ac2ac22222（Ⅱ）將b13,ac4,B代入余弦定理bac2accosB得

3113b2(ac)22ac2accosB,13162ac(1).ac3.SABCacsinB3.

224【知識點歸類點拔】三角形中的三角函數問題一直是高考的熱點內容之一。對正余弦定理的考查主要涉及三角形的邊角互化（如判斷三角形的形狀等，利用正、余弦定理將條件中含有的邊和角的關系轉化為邊或角的關系是解三角形的常規(guī)思路），三角形內的三角函數求值、三角恒等式的證明、三角形外接圓的半徑等都體現了三角函數知識與三角形知識的交匯，體現了高考命題的原則。

【練28】（1）（201*年北京春季高考）在中，a，b，c分別是的對邊長，已知A，B，CABCa，b，c成等比數列，且a，求A的大小及cacbc22bsinBc的值。

答案：A60，

bsinB3c2

（2）（201*天津）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊長分別為a、b、c，設a、b、c滿足條件b2c2bca2和

c13。求∠A和tanB的值。b2答案：A60，tanB12【易錯點29】含參分式不等式的解法。易對分類討論的標準把握不準，分類討論達不到不重不漏的目的。例29、解關于x的不等式

a(x1)＞1(a≠1).x2【易錯點分析】將不等式化為關于x的一元二次不等式后，忽視對二次項系數的正負的討論，導致錯解。

(a1)x(2a)＞0，即［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0.

x2a2a2a2當a＞1時，原不等式與(x－)(x－2)＞0同解.若≥2，即0≤a＜1時，原不等式無解；若

a1a1a1a2＜2，即a＜0或a＞1，于是a＞1時原不等式的解為(－∞，)∪(2，+∞).

a1a2a2當a＜1時，若a＜0，解集為(，2)；若0＜a＜1，解集為(2，)

a1a1解：原不等式可化為：

-25-

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a2a2)∪(2，+∞)；當0＜a＜1時，解集為(2，)；當a=0時，a1a1a2解集為；當a＜0時，解集為(，2).

a1綜上所述：當a＞1時解集為(－∞，

【知識點分類點拔】解不等式對學生的運算化簡等價轉化能力有較高的要求，隨著高考命題原則向能力立意的進一步轉化，對解不等式的考查將會更是熱點，解不等式需要注意下面幾個問題：(1)熟練掌握一元一次不等式(組)、一元二次不等式(組)的解法.

(2)掌握用序軸標根法解高次不等式和分式不等式，特別要注意因式的處理方法.(3)掌握無理不等式的三種類型的等價形式，指數和對數不等式的幾種基本類型的解法.(4)掌握含絕對值不等式的幾種基本類型的解法.

(5)在解不等式的過程中，要充分運用自己的分析能力，把原不等式等價地轉化為易解的不等式.(6)對于含字母的不等式，要能按照正確的分類標準，進行分類討論.

【練29】（201*年江西高考）已知函數

x2f(x)(a,b為常數）,且方程f(x)x120有兩個

axb實根為x13,x24.

f(x)的解析式；（2）設k1,解關于x的不等式：f(x)(k1)xk2x

（1）求函數

答案：

x2f(x)(x2).①當1k2時,解集為(1,k)(2,);②當k2時,不等式為

2x解集為(1,2)(2,);③當k2時,解集為(1,2)(k,).(x2)2(x1)0【易錯點30】求函數的定義域與求函數值域錯位例30、已知函數

22fxlgm3m2x2m1x5（1）如果函數fx的定義域為

R求實數m的取值范圍。（2）如果函數【易錯點分析】此題學生易忽視對m2fx的值域為R求實數m的取值范圍。

3m2是否為零的討論，而導致思維不全面而漏解。另一方面

對兩個問題中定義域為R和值域為R的含義理解不透徹導致錯解。解析：（1）據題意知若函數的定義域為R即對任意的x值成立，令g驗證當mm23m2x22m1x50恒

xm23m2x22m1x5，當m23m2=0時，即m1或2。經

1時適合，當m23m20時，據二次函數知識若對任意x值函數值大于零恒成立，只需

m23m2099解之得m1或m綜上所知m的取值范圍為m1或m。440（2）如果函數數，令gfx的值域為R即對數的真數m23m2x22m1x5能取到任意的正

xm23m2x22m1x5當m23m2=0時，即m1或2。經驗證

-26-

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當m2時適合，當m23m20時，據二次函數知識知要使的函數值取得所有正值只需

m23m20992m2m解之得綜上可知滿足題意的m的取值范圍是。440【知識點歸類點拔】對于二次型函數或二次型不等式若二次項系數含有字母，要注意對字母是否為零進行討論即函數是一次函數還是二次函數不等式是一次不等式還是二次不等式。同時通過本題的解析同學們要認真體會這種函數與不等式二者在解題中的結合要通過二者的相互轉化而獲得解題的突破破口。再者本題中函數的定義域和值域為R是兩個不同的概念，前者是對任意的自變量x的值函數值恒正，后者是函數值必須取遍所有的正值二者有本質上的區(qū)別�！揪�30】已知函數

fxa21x22a1x2的定義域和值域分別為

1或a3（2）3a1或a1

R試分別確定滿足

條件的a的取值范圍。答案：（1）a【易錯點31】不等式的證明方法。學生不能據已知條件選擇相應的證明方法,達不到對各種證明方法的靈活應用程度。

1125)(b+)≥.

ba411【易錯點分析】此題若直接應用重要不等式證明，顯然a+和b+不能同時取得等號，本題可有如下證

ba例31、已知a＞0，b＞0，且a+b=1.求證：(a+明方法。

證法一：(分析綜合法）欲證原式，即證4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即證4(ab)2－33(ab)+8≥0，即證ab

11或ab≥8.∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立∵1=a+b≥2ab，∴ab≤，從而得證.441111證法二：(均值代換法)設a=+t1，b=+t2.∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜，|t2|＜

2222≤

111122(t1)21(t2)21(t1t11)(t2t21)11a1b14(a)(b)2241111ababt1t2(t1)(t2)222225322511542222t2t2(t1t11)(t2t21)(t2)2t22544416216.11114222t2t2t2444422顯然當且僅當t=0，即a=b=

1時，等號成立.21ab，∴ab≤

4證法三：(比較法）∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2

1125a21b21254a2b233ab8(14ab)(8ab)(a)(b)0ab4ab44ab4ab1125(a)(b)ab41證法四：(綜合法)∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，∴ab≤.

4-27-

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252(1ab)1139(1ab)21251621ab1(1ab)14416ab44ab1125

即(a)(b)ab4證法五：(三角代換法)∵a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sinα，b=cosα，α∈(0，

222)

1111sin4cos42sin2cos2222(a)(b)(sin)(cos)22absincos4sin2242sin22162522(4sin)1622sin21,4sin2413.114sin22sin224(4sin22)2251125即得(a)(b).24ab44sin2

【知識點歸類點拔】1.不等式證明常用的方法有：比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法.(1)比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細敘述；如果作差以后的式子可以整理為關于某一個變量的二次式，則考慮用判別式法證.(2)綜合法是由因導果，而分析法是執(zhí)果索因，兩法相互轉換，互相滲透，互為前提，充分運用這一辯證關系，可以增加解題思路，開擴視野.

2.不等式證明還有一些常用的方法：換元法、放縮法、反證法、函數單調性法、判別式法、數形結合法等.換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應用換元法時，要注意代換的等價性.放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標可以從要證的結論中考查.有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法.

證明不等式時，要依據題設、題目的特點和內在聯系，選擇適當的證明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應的步驟、技巧和語言特點.

【練31】（201*北京文）數列

x由下列條件確定：xn1a0,xn11ax,nNn2xn（1）證明：對于n2總有xna,（2）證明：對于n2，總有xnxn1.

【易錯點32】函數與方程及不等式的聯系與轉化。學生不能明確和利用三者的關系在解題中相互轉化尋找解題思路。

例32、已知二次函數

1()(xf(x)滿足f(1)0，且xfx2n21)對一切實數

x恒成立.(1)求

f(1)；(2)求f(x)的解析式；(3)求證：i112n(nN).f(k)n2【易錯點分析】對條件中的不等關系向等式關系的轉化不知如何下手，沒有將二次不等式與二次函數相互轉化的意識，解題找不到思路。

-28-

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解：（1）由已知令

x1得：1f(1)12(11)1f(1)1.2（2）令

f(x)ax2bxc(a0)由f(1)0,f(1)1得：

111112abc02b,caf(x)axxaxf(x)(x1)即則22222abc1121axxa0對任意實數x恒成立就是對任意實數恒成立，即：22(12a)x2x2a0a0,12a011121112a,cf(x)xx則(2a)0144424222(4a1)0（3）由（2）知

f(x)1144(x1)2故24f(k)(k1)(k1)(k2)n111111111))4(4(k1k2n2f(k)2334n1i12n故原不等式成立．n2【知識點歸類點拔】函數與方程的思想方法是高中數學的重要數學思想方法函數思想，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時，還實現函數與方程的互相轉化、接軌，達到解決問題的目的。對于不等式恒成立，引入新的參數化簡了不等式后，構造二次函數利用函數的圖像和單調性進行解決問題，其中也聯系到了方程無解，體現了方程思想和函數思想。一般地，我們在解題中要抓住二次函數及圖像、二次不等式、二次方程三者之間的緊密聯系，將問題進行相互轉化�！揪�32】（201*濰坊三月份統(tǒng)考）已知二次函數

f(x)ax2bxc(a,b,cR)，滿足

(x1)2f(x),（1）求

4f(1)0；且對任意實數

x都有

f(x)x0；當x(0,2)時有

f(1)的值；（2）證明a0,c0;（3）當x[1,1]時，函數g(x)f(x)mx(mR)是

單調的，求證：m（1）

0或m1.

f(1)1.（2）運用重要不等式（3）略

【易錯點33】利用函數的的單調性構造不等關系。要明確函數的單調性或單調區(qū)間及定義域限制。

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例33、記

fxax2bxc，若不等式fx0的解集為1,3，試解關于t的不等式

ft8f2t2。

【易錯點分析】此題雖然不能求出a,b,c的具體值，但由不等式的解集與函數及方程的聯系易知1,3是方程ax2bxc0的兩根，但易忽視二次函數開口方向，從而錯誤認為函數在2,上是增函數。

解析：由題意知

fxaxx1x2ax1x3，且a0故二次函數在區(qū)間2,t8,2t22，故由二次函數的單調性知不等式ft8f2t2上是增函數。又因為8等價于8t2t2即t2t60故t3即不等式的解為：3t3。

【知識點分類點拔】函數的單調性實質是就體現了不等關系，故函數與不等式的結合歷來都是高考的熱點內容，也是我們解答不等式問題的重要工具，在解題過程中要加意應用意識，如指數不等式、對數不等式、涉及抽象函數類型的不等式等等都與函數的單調性密切相關。【練33】（1）（201*遼寧4月份統(tǒng)考題）解關于x的不等式log2(x1)答案：當1當alog4[a(x2)1](a1)

a2時，解集為{x|231xa或x2}當a2時，解集為{x|x且x2}

2a2時解集為{x|21x2或xa}。a（2）（201*全國卷Ⅱ）設函數答案：x取值范圍是[fx2|x1||x1|,求使fx≥的22的x取值范圍。

3,)4【易錯點34】數學歸納法的應用。學生易缺乏應用數學歸納法解決與自然數有關問題的意識，忽視其步驟的規(guī)范性及不理解數學歸納法的每一步的意義所在。

例34、自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響。用xn表示某魚群在第n年年初的總量，n∈N＊，且x1＞0。不考慮其它因素，設在第n年內魚群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比，死亡量與x2n成正比，這些比例系數依次為正常數a，b，

c。（Ⅰ）求xn1與xn的關系式；（Ⅱ）猜測：當且僅當x1，a，b，c滿足什么條件時，每年年初魚群的

總量保持不變？（不要求證明）（Ⅲ）設a＝2，b＝1，為保證對任意x1∈（0,2），都有xn＞0，nN，則捕撈強度b的最大允許值是多少？證明你的結論。

【易錯點分析】本題為數列模型應用題,主要考查數列、不等式和數學歸納法。201*年高考主要涉及兩種類型應用題，一種類型為概率，另一種為數列。給我們信息：數學越來越貼近生活，數學越來越強調實用性,我們在備考中要注意對幾種常見模型建模的訓練；可見，高考數學越來越注意與函數、不等式、導數、向量等工具結合，這是將來高考的方向，

【解析】（I）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為ax，被捕撈量為bx，死亡量為

*-30-

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cx2n因此xn1xnaxnbxncx2n即xn1xnab1cxnnN*。

（II）若每年年初魚群總量保持不變，則xn恒等于x1，nN，從而由上式得xn于零,nN故abcx1**abcxn恒等

0即x1ab因為x1>0，所以ab.猜測：當且僅當ab，且cx1ab時，每年年初魚群的總量保持不變.c*（Ⅲ）若b的值使得xn>0，nN，由xn1別地，有0xn3bxn知0xn3b,nN*特

b的最

x13b.即0b3x1，而x1∈(0,2)，所以b(0,1]，由此猜測

*大允許值是1.下證當x1∈(0,2)，b=1時，都有xn∈(0,2),nN。①當n=1時，結論顯然成立.②假設當n=k時結論成立，即xk∈(0,2),則當n=k+1時，xk12xk2xk0.又因為

xk1xk2xkxk1112.所以xk1∈(0,2)，故當n=k+1時結論也成立.由

①、②可知，對于任意的nN，都有xn∈(0,2).綜上所述，為保證對任意x1∈(0,2),都有xn>0，

*nN*，則捕撈強度b的最大允許值是1.

【知識點歸類點拔】歸納是一種有特殊事例導出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據一類事物中的部分對象具有的共同性質，推斷該類事物全體都具有的性質，這種推理方法，在數學推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對象后歸納得出結論來。數學歸納法是用來證明某些與自然數有關的數學命題的一種推理方法，在解數學題中有著廣泛的應用。它是一個遞推的數學論證方法，論證的第一步是證明命題在n＝1(或n0)時成立，這是遞推的基礎；第二步是假設在n＝k時命題成立，再證明n＝k＋1時命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實際上它使命題的正確性突破了有限，達到無限。這兩個步驟密切相關，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對任何自然數（或n≥n0且n∈N）結論都正確”。由這兩步可以看出，數學歸納法是由遞推實現歸納的，屬于完全歸納.運用數學歸納法證明問題時，關鍵是n＝k＋1時命題成立的推證，此步證明要具有目標意識，注意與最終要達到的解題目標進行分析比較，以此確定和調控解題的方向，使差異逐步減小，最終實現目標完成解題。運用數學歸納法，可以證明下列問題：與自然數n有關的恒等式、代數不等式、三角不等式、數列問題、幾何問題、整除性問題等等�！揪�34】（201*年全國卷Ⅰ統(tǒng)一考試理科數學）（Ⅰ）設函數（Ⅱ）設正數

f(x)xlog2x(1x)log2(1x)(0x1)，求f(x)的最小值；

p1,p2,p3,,p2n滿足p1p2p3p2n1，證明

p1log2p1p2log2p2p3log2p3p2nlog2p2nn

-31-

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答案：（Ⅰ）

1f1（Ⅱ）用數學歸納法證明。2f(x)x3(x1).設數列{an}滿足a11,an1f(an)，x1（2）（201*高考遼寧）已知函數數列{bn}滿足bn|an3|,Snb1b2bn(nN*).

23(31)n（Ⅰ）用數學歸納法證明bn；（Ⅱ）證明Sn.

n132【易錯點35】涉及向量的有關概念、運算律的理解與應用。易產生概念性錯誤。例35、下列命題：①(a)2(a)2|a|4

②(ab)c③(ac)b|a|b|④若a∥b,b∥c,則ab|=|a|

且c≠o，則ab⑦設e1,e2bc，

∥c⑤a∥b，則存在唯一實數λ，使ba⑥若ac是平面內兩向量，則對于平面內任何一向量a，都存在唯一一組實數x、y，使axe1ye2成立。⑧

若|a+b|=|a－b|則ab=0。⑨ab=0，則a=0或b=0真命題個數為（）A．1

B．2

C．3

D．3個以上

【易錯點分析】共線向量、向量的數乘、向量的數量積的定義及性質和運算法則等是向量一章中正確應用向量知識解決有關問題的前提，在這里學生極易將向量的運算與實數的運算等同起來，如認為向量的數量積的運算和實數一樣滿足交換律產生一些錯誤的結論。

2解析：①正確。根據向量模的計算aaa判斷。②錯誤，向量的數量積的運算不滿足交換律,這是因為根據數量積和數乘的定義(ac)b表示和向量b共線的向量，同理(ab)c表示和向量c共線的向量，顯然向量b和向量c不一定是共線向量，故(ab)c(ac)b不一定成立。③錯誤。應為

abab④錯誤。注意零向量和任意向量平行。非零向量的平行性才具有傳遞性。⑤錯誤。應加

條件“非零向量a”⑥錯誤。向量不滿足消去律。根據數量的幾何意義，只需向量b和向量b在向量c方

向的投影相等即可，作圖易知滿足條件的向量有無數多個。⑦錯誤。注意平面向量的基本定理的前提有向量e1,e2是不共線的向量即一組基底。⑧正確。條件表示以兩向量為鄰邊的平行四邊形的對角線相等，即

四邊形為矩形。故ab=0。⑨錯誤。只需兩向量垂直即可。答案：B

【知識點歸類點拔】在利用向量的有關概念及運算律判斷或解題時，一定要明確概念或定理成立的前提條件和依據向量的運算律解答，要明確向量的運算和實數的運算的相同和不同之處。一般地已知ａ，ｂ，с和實數λ，則向量的數量積滿足下列運算律：①ａｂ＝ｂａ(交換律)②（λａ）ｂ＝λ（ａｂ）＝ａ（λｂ）(數乘結合律)③(ａ＋ｂ)с＝ａс＋ｂс(分配律)說明：（1）一般地，(ａｂ)

-32-

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с≠ａ（ｂс）（2）ａс＝ｂс，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性質：ａ＝｜ａ｜，（ａ＋ｂ）

２２

（с＋ｄ）＝ａс＋ａｄ＋ｂс＋ｂｄ，(ａ＋ｂ)＝ａ＋２ａｂ＋ｂ

【練35】（1）（201*上海春，13）若a、b、c為任意向量，m∈R，則下列等式不一定成立的是（）．．．

２２２

A.（a+b）+c=a+（b+c）B.（a+b）c=ac+bcC.m（a+b）=ma+mbD.（ab）c=a（bc）（2）(201*江西、山西、天津理，4)設a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共線,則①（ab）c－（ca）b=0②|a|－|b|★育英輔導班內部資料★

（2）（201*全國卷文科）點O是三角形ABC所在平面內的一點，滿足OAOBOBOCOCOA，則點O是ABC的（

）

（B）三條邊的垂直平分線的交點（D）三條高的交點

（A）三個內角的角平分線的交點（C）三條中線的交點

（3）（201*全國卷Ⅰ）

ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，

OHm(OAOBOC)，則實數m=

答案：（1）B（2）D（3）m=1

【易錯點37】忽視向量積定義中對兩向量夾角的定義。

例37、已知ABC中,a5,b8,c7,求BCCA

【易錯點分析】此題易錯誤碼的認為兩向量BC和CA夾角為三角形ABC的內角C導致錯誤答案.解析:由條件a5,b8,c7根據余弦定理知三角形的內角C60，故兩向量BC和CA夾角為

C60的補角即

BC,CA120,故據數量積的定義知BCCA58cos12020.

【知識點歸類點拔】高中階段涉及角的概念不少,在學習過程中要明確它們的概念及取值范圍,如直線的傾斜角的取值范圍是0,180，兩直線的夾角的范圍是0,90，兩向量的夾角的范圍是0,180，

異面直線所成的角的范圍是

0,90，直線和平面所成的角的范圍是0,90二面角的取值范圍是

0,180。

【練37】（201*上海春招）在ΔABC中，有如下命題，其中正確的是（）

BACABAC（1）ABACBC（2）ABBCCA0（3）若A0，則ΔABC

為等腰三角形（4）若ACAB0，則ΔABC為銳角三角形。

A、（1）（2）B、（1）（4）C、（2）（3）D、（2）（3）（4）答案：C

【易錯點38】向量數積積性質的應用。

例38、已知a、b都是非零向量，且a+3b與7a5b垂直，a4b與7a2b垂直，求a與b的夾角。

【思維分析】本題應依據兩向量夾角公式樹立整體求解的思想。

解析：由(a+3b)(7a5b)=07a+16ab15b=0①(a4b)(7a2b)=0

22

7a30ab+8b=0②兩式相減：2ab=b代入①或②得：a=b設a、b的夾角為，則cos

22222

abb21=∴=60。|a||b|2|b|22【知識點歸類點拔】利用向量的數量積的重要性質結合向量的坐標運算可解決涉及長度、角度、垂直等解析幾何、立體幾何、代數等問題，要熟記并靈活應用如下性質：設ａ與ｂ都是非零向量，①ａ與ｂ的數

-34-

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量積的幾何意義是向量ａ在向量ｂ方向的單位向量正射影的數量②ａ⊥ｂａｂ＝０③ａａ＝｜ａ｜或｜ａ｜＝aaa2④ｃｏｓθ＝２abab⑤｜ａｂ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜5【練38】（1）（201*高考江西卷）已知向量a(1,2),b(2,4),|c|5,若(ab)c,則a與

2c的夾角為（）A．30°B．60°C．120°D．150°答案：C

（2）（201*浙江卷）已知向量a≠e，|e|＝1，對任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，則

(A)

a⊥e(B)a⊥(a－e)(C)e⊥(a－e)(D)(a＋e)⊥(a－e)答案：C

【易錯點39】向量與三角函數求值、運算的交匯例39、a(1cos,sin),b(1cos,sin),c(1,0),(0,),(,2)，a與c,求sin的夾角為θ，b與c的夾角為θ，且12的值.321

2

【易錯點分析】此題在解答過程中，學生要將向量的夾角運算與三角變換結合起來，注意在用已知角表示

兩組向量的夾角的過程中，易忽視角的范圍而導致錯誤結論。解析：

a(2cos,2sincos)2cos(cos,sin),b(2sin2,2sincos)22222222222sin2(sin2,cos2)(0,),(,2),(0,),(,),故有

222222cosac2cos,,|a|2cos|b|2sincos112222|a||c|2cos22sin2bc2sin,0,因

cos22222222|b||c|2sin212222,26，從而sin2sin1.62【知識點歸類點拔】當今高考數學命題注重知識的整體性和綜合性，重視知識的交匯性，向量是新課程新

增內容，具體代數與幾何形式的雙重身份。它是新舊知識的一個重要的交匯點，成為聯系這些知識的橋梁，因此，向量與三角的交匯是當今高考命題的必然趨勢。高考對三角的考查常常以向量知識為載體，結合向量的夾角、向量的垂直、向量的模或向量的運算來進行考查學生綜合運用知識解決問題的能力。【練39】（1）（201*高考江西）已知向量axxxx(2cos,tan()),b(2sin(),tan()),

2242424令

f(x)ab是否存在實數x[0,],使f(x)f"(x)0（其中f"(x)是f(x)的導函數）？

若存在,則求出x的值；若不存在,則證明之答案：存在實數x2使等式成立。

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（2）（201*山東卷）已知向量

和m(cos,sin)n2sin,cos,,2，且

824mn,求cos28的值.答案：。

55【易錯點40】向量與解三角形的交匯。

→→→→→→→→

例40、ΔABC內接于以O為圓心，1為半徑的圓，且3OA＋4OB＋5OC=0。①求數量積，OAOB，OBOC，→→

OCOA；②求ΔABC的面積。

→→→

【思維分析】第1由題意可知3OA、4OB、5OC三向量的模，故根據數量積的定義及運算律將一向量移項平方即可。第2問據題意可將已知三角形分割成三個小三角形利用正弦理解答。

解析：①∵|OA|=|OB|=|OC|=1由3OA＋4OB＋5OC=0得：3OA＋4OB=－5OC兩邊平方得：9OA＋

→→→→→→→→→→→2

→→→2→2→→→→→→→4→→24OAOB＋16OB=25OC∴OAOB=0同理：由4OB＋5OC=－3OA求得OBOC=－由3OA＋5OC=－

5

3→→→

4OB求得OAOC=－

5

1→→1→→443→→

②由OAOB=0,故s0AB=|OA||OB|=由OBOC=－得cos∠BOC=－∴sin∠BOC=－∴

22555

1→→3341→→3

由OCOA=－得cos∠COA=－∴sin∠COA=∴s0AC=s0BC=|OB||OC|sin∠BOC=，

2105552

21326→→

|OC||OA|sin∠COA=即sABC=s0AB＋s0AC＋s0BC=＋＋=

521055

【知識點歸類點拔】本題考查了向量的模、向量的數量積的運算，用于表達三角形的內角、面積�！揪�40】（1）（201*全國卷Ⅲ）△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a,b,c，已知a,b,c成等比數列，

3。（1）求cotA+cotC的值；（2）設BABC，求ac的值。

247（3）ac3。答案：（1）73abaab3且cosB＝

4（2）已知向量

=（2，2），向量

與向量的夾角為

4，且

=－2，①求向量b；

②若

t(1,0)且bt,c(cosA,2cos2B、C依次成等差數列，試求|

b+

c|的取值范圍.答案：①b(1,0)或b(0,1)②

C)，其中A、C是△ABC的內角，若三角形的三內角A、225|bc|.22【易錯點41】與向量相結合的三角不等式，學生的綜合運用知識解決問題的能力不夠。

例41、已知二次函數f(x)對任意x∈R，都有f(1－x)=f(1＋x)成立，設向量a=(sinx,2)，b

→→

1→→→→→→=(2sinx,)，c=(cos2x,1)，d=(1,2)，當x∈[0,π]時，求不等式f(ab)＞f(cd)的

2

解集.

【易錯點分析】易忽視二次函數的開口方向的討論和三角、向量、函數三者的綜合程度不夠。

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(1－x)＋(1＋x)

2

=1，f(1－x)=f(1＋x)，所以y1=y2由x的任意性得f(x)的圖象關于直線x=1對稱，若m＞0，則x

1→→

≥1時，f(x)是增函數；若m＜0，則x≥1時，f(x)是減函數�！遖b=（sinx，2）（2sinx,）

2

→→→→2

=2sinx＋1≥1，cd=（cos2x，1）(1,2)=cos2x＋2≥1∴當m＞0時，f(ab)＞→→22

f(cd)f(2sinx＋1)＞f(cos2x＋2)2sinx＋1＞cos2x＋21－cos2x＋1＞cos2x

解析：設f(x)的二次項系數為m，其圖象上的兩點為A(1－x,y1)、B(1＋x,y2)，因為

33＜2x＜2kπ＋,k∈zkπ＋＜x＜kπ＋,k∈z∵0

242433→→

≤x≤π∴＜x＜當m＜0時，同理可得0≤x＜或＜x≤π綜上所述，不等式f(ab)

444433→→

＞f(cd)的解集是：當m＞0時，為{x|＜x＜；當m＞0時，為{x|0≤x＜或＜x

4444＋2cos2x＜02kπ＋＜π。

【知識點分類點拔】在運用函數的單調性構造不等式時，一定要明確函數在哪個區(qū)間或定義域上的單調性

如何（不可忽視定義域的限制），通過本題要很好的體會向量、不等式、函數三者的綜合，提高自已應用知識解決綜合問題的能力。

f(x)在定義域（－1，1）內可導,且f"(x)0，點A(1,f(a));B(f(－a),1)，對任意a∈(－1，1)恒有OAOB成立，試在,內求滿足不等式f(sinxcosx)+f(cos2x)>0的x的取值

【練41】若范圍.答案：x(32,4)(,)，(kZ)24【易錯點42】向量與解析幾何的交匯

例42、（03年新課程高考）已知常數a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），經過原點O以c+λi為方向向量的直線與經過定點A（0，a）以i－2λc為方向向量的直線相交于點P，其中λ∈R.試問：是否存在兩個定點E、F，使得|PE|+|PF|為定值.若存在，求出E、F的坐標；若不存在，說明理由.【易錯點分析】此題綜合程度較高，一方面學生對題意的理解如對方向向量的概念的理解有誤，另一面在向量的問題情景下不能很好的結合圓錐曲線的定義來解答，使思維陷入僵局。

解析：根據題設條件，首先求出點P坐標滿足的方程，據此再判斷是否存在兩定點，使得點P到兩定點距離的和為定值.∵i=（1，0），c=（0，a），∴c+λi=（λ，a），i－2λc=（1，－2λa）因此，直線OP和AP的方程分別為yax和ya2ax.消去參數λ，得點P(x,y)的坐標滿足方程

a(y)2y(ya)2ax.整理得x21.①因為a1a()2822220,所以得：（i）當a22時，方程

①是圓方程，故不存在合乎題意的定點E和F；（ii）當0a2時，方程①表示橢圓，焦點

2E(11a11a（iii）當a2時，方程①也表示橢圓，a2,)和F(a2,)為合乎題意的兩個定點；

2222222焦點E(0,1111(aa2))和F(0,(aa2))為合乎題意的兩個定點.

2222【知識點歸類點拔】本小題主要考查平面向量的概念和計算,求軌跡的方法，橢圓的方程和性質，利用方程判定曲線的性質，曲線與方程的關系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力。在高考中向量與圓錐曲線的結合是成為高考命題的主旋律，在解題過程中一方面要注意在給出的向量問題情景中轉化出來另一方面也

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要注意應用向量的坐標運算來解決解析幾何問題如：線段的比值、長度、夾角特別是垂直、點共線等問題，提高自已應用向量知識解決解析幾何問題的意識。

【練42】（1）（201*全國卷1）已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，OAOB與a上任意一點，且OM（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設M為橢圓(3,1)共線。

OAOB(,R)，證明22為定值。

答案：（1）e622（2）=13PM（2）（02年新課程高考天津卷）已知兩點M（-1，0），N（1，0），且點P使MPMN，PN,NMNP成公差小于零的等差數列（1）點P的軌跡是什么曲線？（2）若點P坐標為（xo,yo），記為PM與PN的夾角，求tan；答案：①點P的軌跡是以原點為圓心，

3為半徑的右半圓②tan=|y0|

（3）（201*高考江西、山西、天津）設坐標原點為O，拋物線y2=2x與過焦點的直線交于A、B兩點，則

OAOB等于（）A.

33B.－C.3D.－3答案：B44【易錯點43】解析幾何與向量的數量積的性質如涉及模、夾角等的結合。

x2y21上動點P到定點Mm,0,其中0m2的距離PM例43、已知橢圓C：42件OAOBAB的最小值

為1.（1）請確定M點的坐標（2）試問是否存在經過M點的直線l,使l與橢圓C的兩個交點A、B滿足條

（O為原點）,若存在,求出l的方程,若不存在請說是理由。

【思維分析】此題解題關鍵是由條件OAOBAB再結合韋達定理解答。

知OAOB0從而將條件轉化點的坐標運算

x2x2y221得y21故解析：設px,y，由424PM2xm2x2x2122121x2m2m2由于0m2且

44222x2故當02m2時，PM的最小值為2m21此時m1，當22m4時，

x2取得最小值為24mm221解得m1,3不合題意舍去。綜上所知當m1是滿足題意

此時M的坐標為（1，0）。

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（2）由題意知條件OAOBAB等價于OAOB0，當l的斜率不存在時，l與C的交點為

6l1,2，此時OAOB0，設的方程為ykx1，代入橢圓方程整理得

222212kx4kx2k40，由于點M在橢圓內部故0恒成立，由OAOB0知

4k2x1x2y1y20即1kx1x2k1x2k0，據韋達定理得x1x212k2222，

2k242222222x1x2代入上式得1k2k4k4kk12k0得k4不合212k題意。綜上知這樣的直線不存在。

【知識點歸類點拔】在解題過程中要注意將在向量給出的條件轉化向量的坐標運算，從而與兩交點的坐標聯系起來才自然應用韋達定理建立起關系式。此題解答具有很強的示范性，請同學們認真體會、融會貫通�！揪�43】已知橢圓的焦點在x軸上，中心在坐標原點，以右焦點F2為圓心，過另一焦點F1的圓被右準線截的兩段弧長之比2:1,P2,1為此平面上一定點，且PF1PF21.（1）求橢圓的方程（2）若直線

ykx1k0與橢圓交于如圖兩點A、B，令

x2y21（2）0,8域答案：（1）42fkABF1F2k0。求函數fk的值

[易錯點44]牢記常用的求導公式，求復合函數的導數要分清函數的復合關系.例44、函數

yxe1cosx的導數為。

[易錯點分析]復合函數對自變量的導數等于已知函數對中間變量的導數，乘以中間變量對自變量的導數，即

yxyuux。

解析：

ye1cosxxe1cosxe1cosxxe1cosx1cosxe1cosx

xe1cosxsinx1xsinxe1cosx

【知識點歸類點撥】掌握復合函數的求導方法關鍵在于分清函數的復合關系，適當選定中間變量，分步計算中的每一步都要明確是對哪個變量求導，而其中要特別注意的是中間變量的系數。[練習44]（201*年江蘇，21）已知a0，n為正整數。設yxan，證明

ynxan1；

（1）設

fnxxnxan，對任意na，證明fn1n1n1fnn

解析：證明：（1）xankCnak0nnkxk,

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ykCk1nknankxk1k1nCn1ak1nnkxk1nxan1

（2）對函數

fnxxnxan求導數：

n1fnnxn1nxa，

n1fnnnnn1na.當xa0時，fnx0

當na時，fnxxnxan是關于x的增函數因此，當nna時，

n1nn1annnan。

nnnn1fn1n1n1n1n1an1nnnan1nnnnan1fnn即對任意na，fn1n1n1fnn.

【易錯點45】求曲線的切線方程。例45、（201*高考福建卷）已知函數f（－1））處的切線方程為6x，且在點M（－1，f(x)x3bx2axd的圖象過點P（0，2）

y70.（Ⅰ）求函數yf(x)的解析式；

【思維分析】利用導數的幾何意義解答。解析：（Ⅰ）由

32，知d=2，所以f(x)xbxcx2,f(x)的圖象經過P（0，2）

f(x)3x22bxc.由在M(1,f(1))處的切線方程是6xy70，知

6f(1)70,即f(1)1,f(1)6.32bc6,2bc3,32即解得bc3.故所求的解析式是f(x)x3x3x2.1bc21.bc0,【知識點歸類點拔】導數的幾何意義:函數y=f(x)在點x0處的導數，就是曲線y=(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率．由此，可以利用導數求曲線的切線方程．具體求法分兩步：(1)求出函數y=f(x)在點x0處的導數，即曲線y=f(x)在點P(x0,求得切線方程為

f(x0))處的切線的斜率；(2)在已知切點坐標和切線斜率的條件下，

如果曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線平y(tǒng)y0f"(x0)(xx0)特別地，

行于y軸，這時導數不存，根據切線定義，可得切線方程為x有可能出現在解析幾何綜合試題中，復習時要注意到這一點.

x0。利用導數的幾何意義作為解題工具，

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【練45】（1）（201*福建卷）已知函數

f(x)ax6的圖象在點M（－1，f(x)）處的切線方程為2xbx+2y+5=0.

（Ⅰ）求函數y=f(x)的解析式；答案：

f(x)2x62x3（2）（201*高考湖南卷）設t0，點P（t，0）是函數f(x)x3ax與g(x)bx2c的圖象的

abt3.故

一個公共點，兩函數的圖象在點P處有相同的切線.（Ⅰ）用t表示a，b，c；答案：cat2，bt，ct3.

【易錯點46】利用導數求解函數的單調區(qū)間及值域。

例46、(201*全國卷III)已知函數

4x27fx，x01，（Ⅰ）求fx的單調區(qū)間和值域；

2x（Ⅱ）設a221，函數gxx3ax2a，x01，，，，若對于任意x101，總存在x001使得gx0fx1成立，求a的取值范圍。

，ygx在區(qū)間01上的

【易錯點分析】利用導數求函數的單調區(qū)間仍然要樹立起定義域優(yōu)先的意識，同時要培養(yǎng)自已的求導及解

不等式的運算能力第（Ⅱ）問要注意將問題進行等價轉化即轉化為函數值域是函數

fx的值域的子集，從而轉化為求解函數ygx在區(qū)間01，上的值域。

4x216x7解析(Ⅰ)

f(x)2x22(2x1)(2x7)2x22，令

f(x)0解得x12或

x72,在

11x(0,)，f(x)0,所以f(x)為單調遞減函數；在x(,1)，f(x)0,所以f(x)為單調

2271遞增函數；又f(0),f(1)3,f()4，即f(x)的值域為[-4，-3]，所以f(x)的單調遞

2211減區(qū)間為(0,)，f(x)的單調遞增區(qū)間為(,1)，f(x)的值域為[-4，-3].(單調區(qū)間為閉區(qū)間也可以).

22（Ⅱ）∵g(x)3(x2a2),又a1，當x(0,1)時，g(x)3(1a2)0，

因此，當x(0,1)時，g(x)為減函數，從而當x[0,1]時，有g(x)[g(1),g(0)].又g(1)12a3a任給x1[0,1]，有

2,g(0)2a，即當x[0,1]時，有g(x)[12a3a2,2a]，

f(x1)[4,3]，存在x0[0,1]使得g(x0)f(x1)，

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52a1,或a則12a3a43又a1，所以a的取值范圍是1a。

332a3a22【知識點分類點拔】高考對導數的考查定位于作為解決初等數學問題的工具出現，側重于考查導數在函數與解析幾何中的應用，主要有以下幾個方面：①運用導數的有關知識，研究函數最值問題，一直是高考長考不衰的熱點內容．另一方面，從數學角度反映實際問題，建立數學模型，轉化為函數的最大值與最小值問題，再利用函數的導數，順利地解決函數的最大值與最小值問題，從而進一步地解決實際問題．用導數研究函數的性質比用初等方法研究要方便得多，因此，導數在函數中的應用作為201*年高考命題重點應引起高度注意．單調區(qū)間的求解過程，已知

yf(x)（1）分析yf(x)的定義域；（2）求導數

yf(x)（3）解不等式f(x)0，解集在定義域內的部分為增區(qū)間（4）解不等式f(x)0，解

集在定義域內的部分為減區(qū)間，對于函數單調區(qū)間的合并:函數單調區(qū)間的合并主要依據是函數

f(x)在

(a,b)單調遞增，在(b,c)單調遞增，又知函數在f(x)b處連續(xù)，因此f(x)在(a,c)單調遞增。同

理減區(qū)間的合并也是如此，即相鄰區(qū)間的單調性相同，且在公共點處函數連續(xù)，則二區(qū)間就可以合并為以個區(qū)間。

32

【練46】（1）（201*高考北京卷）已知函數f(x)=－x＋3x＋9x＋a,（I）求f(x)的單調遞減區(qū)間；（II）若f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值．答案：（1）（－∞，－1），（3，

＋∞）（2）－7

（2）(201*全國卷III)用長為90cm,寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器,先在四角分別截去一個小

正方形,然后把四邊翻轉90°角,再焊接而成(如圖),問該容器的高為多少時,容器的容積最大?最大容積是多少?

答案：當x=10時,V有最大值V(10)=1960

【易錯點47】二項式

abnn展開式的通項中，因a與b的順序顛倒而容易出錯。

例47、x232x展開式中第三項的系數比第二項的系數大162，則x的一次項為。

【易錯點分析】本題中若x與23x2的順序顛倒，項隨之發(fā)生變化，導致出錯。

解析：椐題意有：Cn2122Cn2162,即2nn12n162,n9

則Tr1C9rx9r9r2r29r2rrr231,r3由32C92x23xr-42-

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3T4123C9x672x

3【知識點歸類點撥】二項式

abn與ban的展開式相同，但通項公式不同，對應項也不相同，在

遇到類似問題時，要注意區(qū)分。

41【練47】（濰坊高三質量檢測）x11x數項為。解析：據題意有

n展開式中第5項與第12項系數的絕對值相等，則展開式的常

14411Cn1Cn11，即

4114n411,n411,n15CnCnCnCnCnr1r6015r令6015r0,得：r4故展開式中常數項為：111C15xxrrTr1C15x415r144C151365

【易錯點48】二項式展開式中的項的系數與二項式系數的概念掌握不清，容易混淆，導致出錯。

32例48、在x2x5的展開式中，x的系數為，二項式系數為。

5【易錯點分析】在通項公式Tr1解析：令155rrC52rx155r中，C5r是二項式系數，C5r2r是項的系數。

225，得r2，則項x5的二項式系數為C510，項的系數為C52240。

【知識點歸類點撥】在二項展開式中，利用通項公式求展開式中具有某些特性的項是一類典型問題，其通常做法就是確定通項公式中r的取值或取值范圍，須注意二項式系數與項的系數的區(qū)別與聯系。

11【練48】（201*高考山東卷）如果3x的展開式中各項系數之和為128，則展開式中的系數332xx是（）（A）7（B）7（C）21（D）21答案：當xn1時(311312r)n2n128,n7即(3x23r57r313x2)7,根據二項式通項公式得

Tr1C(3x)r77r(1)(x)C3r77r(1)xr57r3,r6時對應

31x3,即

676T61C73(1)61112173.故

x3x3x3x3項系數為21.

【易錯點49】二項式系數最大項與展開式系數最大項是兩個不同的概念，在求法上也有很大的差別，在次往往因為概念不清導致出錯。

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2例49、已知x2nN的展開式中，第五項的系數與第三項的系數之比為10：1

x求展開式中系數最大的項和二項式系數最大項。

【易錯點分析】二項展開式的二項式系數可由其二項式系數的性質求得，即當n為偶數時，中間的一項的二項式系數最大；當n為偶數時，中間兩項的二項式系數相等，同時取得最大值，求系數的最大值項的位置不一定在中間，需要利用通項公式，根據系數值的增減性具體討論而定。解析：由題意知，第五項系數為Cn4n24，第三項的系數為Cn2(2)2，則有

4Cn22Cn24210，1r1r1rrr1r1n8設展開式中的第r項，第r+1項，第r+2項的系數絕對值分別為C82,C82,C82，r1r1rrC82C82若第r+1項的系數絕對值最大，則，解得：5r6

r1r1rrC82C82系數最大值為

T717921x11由n8知第五項的二項式系數最大，此時T511201x6

【知識點歸類點撥】在

abn的展開式中，系數最大的項是中間項，但當a，b的系數不為1時，最大

Tr1Tr系數值的位置不一定在中間，可通過解不等式組來確定之。

TTr1r2【練49】（201*年上海）在二項式果用數值表示）

解析：展開式中第r+1項為C11x得rr11rx111的展開式中，系數最小的項的系數為。（結

15r，要使項的系數最小，則r為奇數，且使C11為最大，由此

r51462。5，所以項的系數為C11【易錯點50】對于排列組合問題，不能分清是否與順序有關而導致方法出錯。例50、有六本不同的書按下列方式分配，問共有多少種不同的分配方式？（1）分成1本、2本、3本三組；

（2）分給甲、乙、丙三人，其中1人1本，1人兩本，1人3本；（3）平均分成三組，每組2本；（4）分給甲、乙、丙三人，每人2本。

【易錯點分析】分成三組是與順序無關是組合問題，分給三人與順序有關，是排列問題。

解析：(1)分三步：先選一本有C6種選法，再從余下的5本中選兩本，有C5種選法，最后余下的三本全選有C3種選法，有分步計數原理知，分配方式有：C6C5312123C360

（2）由于甲、乙、丙是不同的三個人，在（1）題的基礎上，還考慮再分配問題，分配方式共有

1233C6C5C3A3360種。

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（3）先分三步：則應是C6222種方法，但在這里容易出現重復。不妨記六本書為A,B,C,D,E,FC4C2222中還有C4C2若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，記該種分法為（AB，CD，EF）則C63（AB，EF，CD），（CD，EF，AB）（CD，AB，EF），（EF，CD，AB），（EF，AB，CD）共A3種情況，而且這些情

222C6C4C2況僅是AB，CD，EF順序不同，依次只能作為一種分法，故分配方式有15種3A3222C6C4C23在問題（3）的基礎上，再分配即可，共有分配方式種。A33A3（5）

【知識點歸類點撥】本題是有關分組與分配的問題，是一類極易出錯的題型，對于詞類問題的關鍵是搞清楚是否與順序有關，分清先選后排，分類還是分步完成等，對于平均分組問題更要注意順序，避免計算重復或遺漏。

【練50】（201*年全國9）從5位男教師和4位女教師中選出3位教師，派到三個班擔任班主任（每班一位班主任），要求這三位班主任中男、女教師都要有，則不同的選派方法共有（）A、210種B、420種C、630種D、840種

解析：首先選擇3位教師的方案有：①一男兩女；計C5C4其次派出

3

位教師的方案是

3A3121=40。30；②兩男一女：計C52C4=6。故不同的選派方案共有

3121A3C5C4C52C463040420種。

【易錯點51】不能正確分析幾種常見的排列問題，不能恰當的選擇排列的方法導致出錯。例51、四個男同學和三個女同學站成一排。

（1）三個女同學必須排在一起，有多少種不同的排法？（2）任何兩個女同學彼此不相鄰，有多少種不同的排法？（3）其中甲、乙兩同學之間必須恰有3人，有多少種不同的排法？（4）甲、乙兩人相鄰，但都與丙不相鄰，有多少種不同的排法？

（5）女同學從左往右按高矮順序排，有多少種不同的排法？（三個女生身高互不相等）

【易錯點分析】排列問題常見題型有相鄰問題及不相鄰問題，順序一定問題等，如果對題意理解不夠充分，往往選擇錯誤的方法。

解析：（1）3個女同學是特殊元素，我們先把她們排列好，共有

3種排法；由于3個同學必須排在一起，A35種排法。由乘A5我們可視排好的女同學為一個整體，在與男同學排隊，這時是五個元素的全排列，應有法原理，有

35A3A5720種不同排法。

（2）先將男生排好，共有

43種排法；再在這4個男生的中間及兩頭的5個空中插入3個女生，有A5種A4方案。故符合條件的排法共有

43A4A51440種。

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（3）甲、乙2人先排好，共有A2種排法；再從余下的5人中選三人排在甲、乙2人中間，有A5種排法，這時把已排好的5人看作一個整體，與剩下的2人再排，又有A3種排法；這樣，總共有種不同的排法。

（4）先排甲、乙、丙3人以外的其他四人，有

42種排法，由于甲、乙要相鄰，故把甲、乙排好，有A2種A42323423A4A2A3720排法；最后把甲、乙排好的這個整體與丙分別插入原先排好的4人的空當中，有A5種排法；這樣，總共有

422A4A2A5960種不同的排法。

4種排法；然后再在余下得個空位置中排女生，由于女A7（5）從七個位置中選出4個位置把男生排好，有生要按高矮排列。故僅有一種排法。這樣總共有

4種不同的排法。A7【知識點歸類點撥】解決有限制條件的排列問題方法是：①直接法：位置分析法②間接法：即排除不符合要求的情形③一般先從特殊元素和特殊用加法原理（分類）元素分析法用乘法原理（分步）插入法（不相鄰問題）捆綁法（相鄰問題）位置入手�！揪�52】（201*年遼寧）有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現安排2人就坐，規(guī)定前排中間三個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數（）A、234B、346C、350D、363

解析：把前后兩排連在一起，去掉前排中間3個座位，共有

212A20A19A24346種。

rnrrTr1Cnab12種，再加上4種不能算相鄰的，共有A19A2【易錯點53】二項式展開式的通項公式為

kkPnkCnP1Pnk，事件A發(fā)生k次的概率：的

概率公式：

。二項分布列

kknkpkCnpq,k0,1,2,3,n且0p1,pq1，三者在形式上的相似，在應用容易混

淆而導致出錯。

例53、（201*年全國理）某同學參加科普知識競賽，需回答三個問題，競賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得100分。假設這名同學每題回答正確的概率均為0.8，且各題回答正確與否相互之間沒有影響。

（1）求這名同學回答這三個問題的總得分的概率分布和數學期望。（2）求這名同學總得分不為負分（即0）的概率。

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【易錯點分析】對于滿足二項分布的分布列的概率計算公式中對于隨機變量以及二項分布的條件的理解出錯。

解析：（1）的可能取值為300，100，100，300。

P3000.230.008P10030.220.80.096P10030.20.80.3842

P3000.830.512所以的概率分布為

P3000.0081000.0961000.3843000.512根據的概率分布，可得的期望

E3000.0081000.0961000.3843000.512180

（2）這名同學總得分不為負分的概率為

P00.3840.5120.896。

【知識點歸類點撥】二項分布是一種常見的重要的離散型隨機變量分布列，其概率

Pkk0,1,2,就是獨立重復實驗n次其中發(fā)生k次的概率CnkPk1P際問題時一定看清是否滿足二項分布。

nk。但在解決實

【練53】（201*年重慶理18）設一汽車在前進途中要經過4個路口，汽車在每個路口遇到綠燈（允許通行）的概率為

34，遇到紅燈（禁止通行）的概率為

14。假定汽車只在遇到紅燈或到達目的地才停止前進，表

示停車時已經通過的路口數，求：

（1）的概率分布列及期望E；（2）停車時最多已通過3個路口的概率。解析：（1）的所有可能值為0，1，2，3，4。用

Ak表示“汽車通過第k個路口時不�！薄畡t

PAk13k1,2,3,4且A1,A2,A3,A4獨立。故P0PA1

44313319P1PA1A2,P2PA1A2A3()2,

44164464-47-

wenku_48({"font":{"0d70b872f46527d3240ce0a10010030":"宋體","0d70b872f46527d3240ce0a100201*0":"TimesNewRoman","0d70b872f46527d3240ce0a10030030":"TimesNewRomanBold","0d70b872f46527d3240ce0a10040030":"宋體","0d70b872f46527d3240ce0a10050030":"Symbol","0d70b872f46527d3240ce0a10060030":"TimesNewRomanItalic","0d70b872f46527d3240ce0a10070030":"MTExtra"},"style":[{"t":"style","c":[0],"s":{"font-size":"21.06"}},{"t":"style","c":[0,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,82,1],"s":{"color":"#000000"}},{"t":"style","c":[18,2],"s":{"font-family":"0d70b872f46527d3240ce0a10010030"}},{"t":"style","c":[5,9,16,23,24,25,27,30,37,42,43,48,52,54,62,64,65,69,70,76,3],"s":{"font-family":"0d70b872f46527d3240ce0a100201*0"}},{"t":"style","c":[5,18,20,21,22,4],"s":{"font-size":"13.5"}},{"t":"style","c":[5],"s":{"font-size":"13.5"}},{"t":"style","c":[7,9,11,6],"s":{"font-size":"18.12"}},{"t":"style","c":[7],"s":{"font-family":"0d70b872f46527d3240ce0a10050030"}},{"t":"style","c":[7,13,14,15,17,19,29,31,32,35,36,40,41,45,46,47,49,51,57,58,61,66,67,71,72,73,75,77,79,80,81,8],"s":{"font-family":"0d70b872f46527d3240ce0a10050030"}},{"t":"style","c":[9],"s":{"font-size":"18.12"}},{"t":"style","c":[11,12,14,15,19,28,32,34,36,38,47,49,56,60,73,77,78,79,81,10],"s":{"font-style":"italic"}},{"t":"style","c":[11],"s":{"font-size":"18.12"}},{"t":"style","c":[11,28,34,38,56,60,78,12],"s":{"font-family":"0d70b872f46527d3240ce0a10060030"}},{"t":"style","c":[13],"s":{"font-size":"23.742"}},{"t":"style","c":[14],"s":{"font-size":"19.113"}},{"t":"style","c":[14,19,32,36,47,49,73,77,79,81,15],"s":{"font-style":"italic"}},{"t":"style","c":[16],"s":{"font-size":"10.502"}},{"t":"style","c":[17],"s":{"font-size":"31.248"}},{"t":"style","c":[18],"s":{"font-size":"13.5"}},{"t":"style","c":[19],"s":{"font-size":"18.632"}},{"t":"style","c":[21,22,20],"s":{"font-family":"0d70b872f46527d3240ce0a10040030"}},{"t":"style","c":[21],"s":{"letter-spacing":"0.089"}},{"t":"style","c":[22],"s":{"letter-spacing":"0.09"}},{"t":"style","c":[24,23],"s":{"font-size":"17.733"}},{"t":"style","c":[24],"s":{"letter-spacing":"0.177"}},{"t":"style","c":[27,30,25],"s":{"font-size":"17.77"}},{"t":"style","c":[25,27,28,29,30,26],"s":{"font-size":"17.77"}},{"t":"style","c":[27],"s":{"letter-spacing":"-0.09"}},{"t":"style","c":[28],"s":{"font-size":"17.77"}},{"t":"style","c":[29],"s":{"font-size":"17.77"}},{"t":"style","c":[30],"s":{"letter-spacing":"-0.054"}},{"t":"style","c":[31],"s":{"font-size":"23.249"}},{"t":"style","c":[32],"s":{"font-size":"18.769"}},{"t":"style","c":[34,37,63,33],"s":{"font-size":"17.572"}},{"t":"style","c":[34],"s":{"font-size":"17.572"}},{"t":"style","c":[35],"s":{"font-size":"27.771"}},{"t":"style","c":[36],"s":{"font-size":"18.541"}},{"t":"style","c":[37],"s":{"font-size":"17.572"}},{"t":"style","c":[38],"s":{"font-size":"17.804"}},{"t":"style","c":[38,41,43,39],"s":{"font-size":"17.804"}},{"t":"style","c":[40],"s":{"font-size":"23.328"}},{"t":"style","c":[41],"s":{"font-size":"17.804"}},{"t":"style","c":[42],"s":{"font-size":"10.163"}},{"t":"style","c":[43],"s":{"font-size":"17.804"}},{"t":"style","c":[45,44],"s":{"font-size":"10.283"}},{"t":"style","c":[45],"s":{"font-size":"10.283"}},{"t":"style","c":[46],"s":{"font-size":"13.444"}},{"t":"style","c":[47],"s":{"font-size":"10.846"}},{"t":"style","c":[48],"s":{"font-size":"7.448"}},{"t":"style","c":[49],"s":{"font-size":"18.879"}},{"t":"style","c":[51,52,64,50],"s":{"font-size":"17.822"}},{"t":"style","c":[51],"s":{"font-size":"17.822"}},{"t":"style","c":[64,52],"s":{"font-size":"17.822"}},{"t":"style","c":[54,56,58,53],"s":{"font-size":"18.179"}},{"t":"style","c":[54],"s":{"font-size":"18.179"}},{"t":"style","c":[55],"s":{"font-size":"10.524"}},{"t":"style","c":[56],"s":{"font-size":"18.179"}},{"t":"style","c":[57],"s":{"font-size":"23.813"}},{"t":"style","c":[58],"s":{"font-size":"18.179"}},{"t":"style","c":[60,62,59]★育英輔導班內部資料★

【易錯點55】對于數列的兩個基本極限①limqnn0；②limSnna11q，兩個極限成立的條件不同，

前者為

q1；而后者為0q1。

Snan中，a11，且n項和Sn，滿足limn2例55、在等比數列

1,那么a1的取值范圍是（）a1A、

1,B、1,C、1,2D、1,4

a1，求a1的范圍時，容易忽視q0這個條1q【易錯點分析】利用無窮遞縮等比數列的各項和公式s件。

解析：設公比為q，由limSnn1a1知

1a11qaa211q122a1110a12q12又a11所以1a12。q12a11q0q0a110存在q1或q1n【知識點歸類點撥】對于limq0q1，公比的絕對值小于1的無窮等比數列n不存在q1或q1前n項和在n無限增大時的極限，叫做這個無窮數列各項的和�！揪�55】lim3n3n1a1nn1，求a的取值范圍。3lim解析：

3n3n1a1nn1a1limlim0nnn33a1331na11,4a23【易錯點56】立體圖形的截面問題。

例56、（201*哈師大附中、東北師大附中高三第二次聯考）正方體

ABCD--A1B1C1D1，E、F分別是AA1、

，過E、D、P作正方體的截面，若截面為四邊形，則P的軌CC1的中點，p是CC1上的動點（包括端點）跡是（）

-49-

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A、線段C1FB、線段CFC、線段CF和一點C1D、線段C1F和一點C。

【易錯點分析】學生的空間想象能力不足，不能依據平面的基本定理和線面平行定理作兩平面的交線。解析：如圖當點P在線段CF上移動時，易由線面平行的性質定理知：直線DE平行于平面BB1CC1，則過DE的截面DEP與平面BB1CC1的交線必平行，因此兩平面的交線為過點P與DE平行的直線，由于點P在線段CF上故此時過P與DE平行的直線與直線BB1的交點在線段BB1上，故此時截面為四邊形（實質上是平行四邊形），特別的當P點恰為點F時，此時截面為DEFB1也為平行四邊形，當點P在線段C1F上時如圖分別延長DE、DP交A1C1于點H、G則據平面基本定理知點H、G既在平1D1、D截面DEP內也在平面

A1B1C1D1內，故GH為兩平面的交線，連結GH分別交A1B1、B1C1于點K、N

（注也有可能交在兩直線的延長線上），再分別連結EK、KN、PN即得截面為DEKNP此時為五邊形。故選C

DAEA1D1C1B1BCPF

HA1AEDBD1KNCFPC1GB1【知識點歸類點拔】高考對用一平面去截一立體圖形所得平面圖形的考查實質上對學生空間想象能力及對平面基本定理及線面平行與面面平行的性質定理的考查�？忌�往往對這一類型的題感到吃力，實質上高中階段對作截面的方法無非有如下兩種：一種是利有平面的基本定理：一個就是一條直線上有兩點在一平面內則這條直線上所在的點都在這平面內和兩平面相交有且僅有一條通過該公共點的直線（即交線）（注意該定理地應用如證明諸線共點的方法：先證明其中兩線相交，再證明此交點在第三條直線上即轉化為此點為兩平面的公共點而第三條直線是兩平的交線則依據定理知交點在第三條直線；諸點共線：即證明此諸點都是某兩平面的共公點即這此點轉化為在兩平的交線上）據這兩種定理要做兩平面的交線可在兩平面內通過空間想象分別取兩組直線分別相交，則其交點必為兩平面的公共點，并且兩交點的連線即為兩平的交線。另一種方法就是依據線面平行及面面平行的性質定理，去尋找線面平行及面面平行關系，然后根據性質作出交線。一般情況下這兩種方法要結合應用。

【練56】（1）（201*高考全國卷二）正方體ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R、分別是AB、AD、B1C1的中點。那么正方體的過P、Q、R的截面圖形是（）

（A）三角形（B）四邊形（C）五邊形（D）六邊形答案：D（2）在正三棱柱

ABC-A1B1C1中，P、Q、R分別是BC、CC1、A1C1的中點，作出過三點P、Q、R

截正三棱柱的截面并說出該截面的形狀。答案：五邊形。

【易錯點57】判斷過空間一點與兩異面直線成相等的角的直線的條數

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