高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)總結(jié)及例題

第一篇、復(fù)合函數(shù)問題

一、復(fù)合函數(shù)定義：設(shè)y=f(u)的定義域?yàn)锳，u=g(x)的值域?yàn)锽，若AB，則y關(guān)于x函數(shù)的y=f［g(x)］叫做函數(shù)f與g的復(fù)合函數(shù)，u叫中間量.

二、復(fù)合函數(shù)定義域問題：（一）例題剖析：

(1)、已知f(x)的定義域，求fg(x)的定義域

思路：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，即xD，所以f的作用范圍為D，又f對(duì)g(x)作用，作用范圍不變，所以g(x)D，解得xE，E為fg(x)的定義域。

例1.設(shè)函數(shù)f(u)的定義域?yàn)椋?，1），則函數(shù)f(lnx)的定義域?yàn)開____________。解析：函數(shù)f(u)的定義域?yàn)椋?，1）即u(0，1)，所以f的作用范圍為（0，1）又f對(duì)lnx作用，作用范圍不變，所以0lnx1解得x(1，e)，故函數(shù)f(lnx)的定義域?yàn)椋?，e）

1，則函數(shù)ff(x)的定義域?yàn)開_____________。x11解析：先求f的作用范圍，由f(x)，知x1

x1例2.若函數(shù)f(x)即f的作用范圍為xR|x1，又f對(duì)f(x)作用所以f(x)R且f(x)1，即ff(x)中x應(yīng)滿足x1

f(x)1x1即1，解得x1且x2

1x1故函數(shù)ff(x)的定義域?yàn)閤R|x1且x2（2）、已知fg(x)的定義域，求f(x)的定義域

思路：設(shè)fg(x)的定義域?yàn)镈，即xD，由此得g(x)E，所以f的作用范圍為E，又f對(duì)x作用，作用范圍不變，所以xE，E為f(x)的定義域。

例3.已知f(32x)的定義域?yàn)閤1，2，則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)開________。解析：f(32x)的定義域?yàn)?，2，即x1，2，由此得32x1，5所以f的作用范圍為1，5，又f對(duì)x作用，作用范圍不變，所以x1，5

即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，5

x2例4.已知f(x4)lg2，則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)開_____________。

x82x2x20解析：先求f的作用范圍，由f(x4)lg2，知2x8x82解得x44，f的作用范圍為(4，)，又f對(duì)x作用，作用范圍不變，所以

2x(4，)，即f(x)的定義域?yàn)?4，)

（3）、已知fg(x)的定義域，求fh(x)的定義域

思路：設(shè)fg(x)的定義域?yàn)镈，即xD，由此得g(x)E，f的作用范圍為E，又f對(duì)h(x)作用，作用范圍不變，所以h(x)E，解得xF，F(xiàn)為fh(x)的定義域。

例5.若函數(shù)f(2x)的定義域?yàn)?，1，則f(log2x)的定義域?yàn)開___________。

解析：f(2)的定義域?yàn)?，1，即x1，1，由此得2，2

2xx11f的作用范圍為，2

21又f對(duì)log2x作用，所以log2x，2，解得x2即f(log2x)的定義域?yàn)?/p>

2，4

2，4

評(píng)注：函數(shù)定義域是自變量x的取值范圍（用集合或區(qū)間表示）f對(duì)誰作用，則誰的范圍是f的作用范圍，f的作用對(duì)象可以變，但f的作用范圍不會(huì)變。利用這種理念求此類定義域問題會(huì)有“得來全不費(fèi)功夫”的感覺，值得大家探討。

三、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問題

（1）引理證明已知函數(shù)yf(g(x)).若ug(x)在區(qū)間(a,b）上是減函數(shù)，其值域?yàn)?c，d)，又函數(shù)yf(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，那么，原復(fù)合函數(shù)yf(g(x))在區(qū)間(a,b）上是增函數(shù).

證明：在區(qū)間(a,b）內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)x1,x2，使ax1x2b

因?yàn)閡g(x)在區(qū)間(a,b）上是減函數(shù)，所以g(x1)g(x2),記u1g(x1),

u2g(x2)即u1u2,且u1,u2(c,d)

因?yàn)楹瘮?shù)yf(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，所以f(u1)f(u2),即

f(g(x1))f(g(x2))，

故函數(shù)yf(g(x))在區(qū)間(a,b）上是增函數(shù).（2）．復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是由兩個(gè)函數(shù)共同決定。為了記憶方便，我們把它們總結(jié)成一個(gè)圖表：

yf(u)ug(x)yf(g(x))增增增減減增減減減增以上規(guī)律還可總結(jié)為：“同向得增，異向得減”或“同增異減”.（3）、復(fù)合函數(shù)yf(g(x))的單調(diào)性判斷步驟：確定函數(shù)的定義域；

將復(fù)合函數(shù)分解成兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)：yf(u)與ug(x)。分別確定分解成的兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性；

若兩個(gè)函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相同（即都是增函數(shù)，或都是減函數(shù)），則復(fù)合后的函數(shù)yf(g(x))為增函數(shù)；若兩個(gè)函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相異（即一個(gè)是增函數(shù)，而另一個(gè)是減函數(shù)），則復(fù)合后的函數(shù)yf(g(x))為減函數(shù)。

（4）例題演練

例1、求函數(shù)ylog1(x2x3)的單調(diào)區(qū)間，并用單調(diào)定義給予證明22解：定義域x2x30x3或x1

單調(diào)減區(qū)間是(3,)設(shè)x1,x2(3,)且x1x2則

y1log1(x12x13)y2log1(x22x23)

2222(x12x13)(x22x23)=(x2x1)(x2x12)

∵x2x13∴x2x10x2x120∴(x12x13)>(x22x23)又底數(shù)0∴y2y10即y2y1∴y在(3,)上是減函數(shù)2222112同理可證：y在(,1)上是增函數(shù)

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第一篇、復(fù)合函數(shù)問題

一、復(fù)合函數(shù)定義：設(shè)y=f(u)的定義域?yàn)锳，u=g(x)的值域?yàn)锽，若AB，則y關(guān)于x函數(shù)的y=f［g(x)］叫做函數(shù)f與g的復(fù)合函數(shù)，u叫中間量.

二、復(fù)合函數(shù)定義域問題：（一）例題剖析：

(1)、已知f(x)的定義域，求fg(x)的定義域

思路：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，即xD，所以f的作用范圍為D，又f對(duì)g(x)作用，作用范圍不變，所以g(x)D，解得xE，E為fg(x)的定義域。

例1.設(shè)函數(shù)f(u)的定義域?yàn)椋?，1），則函數(shù)f(lnx)的定義域?yàn)開____________。解析：函數(shù)f(u)的定義域?yàn)椋?，1）即u(0，1)，所以f的作用范圍為（0，1）又f對(duì)lnx作用，作用范圍不變，所以0lnx1解得x(1，e)，故函數(shù)f(lnx)的定義域?yàn)椋?，e）例2.若函數(shù)f(x)1x1，則函數(shù)ff(x)的定義域?yàn)開_____________。

1x1解析：先求f的作用范圍，由f(x)，知x1

即f的作用范圍為xR|x1，又f對(duì)f(x)作用所以f(x)R且f(x)1，即ff(x)中x應(yīng)滿足x1即1，解得x1且x2

1x1x1f(x)1

故函數(shù)ff(x)的定義域?yàn)閤R|x1且x2（2）、已知fg(x)的定義域，求f(x)的定義域

思路：設(shè)fg(x)的定義域?yàn)镈，即xD，由此得g(x)E，所以f的作用范圍為E，又f對(duì)x作用，作用范圍不變，所以xE，E為f(x)的定義域。

例3.已知f(32x)的定義域?yàn)閤1，2，則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)開________。解析：f(32x)的定義域?yàn)?，2，即x1，2，由此得32x1，5所以f的作用范圍為1，5，又f對(duì)x作用，作用范圍不變，所以x1，5

即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，5

2例4.已知f(x4)lg2x2x8，則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)開_____________。

解析：先求f的作用范圍，由f(x4)lg2x22x8，知

x22x80

解得x244，f的作用范圍為(4，)，又f對(duì)x作用，作用范圍不變，所以x(4，)，即f(x)的定義域?yàn)?4，)

（3）、已知fg(x)的定義域，求fh(x)的定義域

思路：設(shè)fg(x)的定義域?yàn)镈，即xD，由此得g(x)E，f的作用范圍為E，又f對(duì)h(x)作用，作用范圍不變，所以h(x)E，解得xF，F(xiàn)為fh(x)的定義域。

例5.若函數(shù)f(2x)的定義域?yàn)?，1，則f(log2x)的定義域?yàn)開___________。

1解析：f(2)的定義域?yàn)?，1，即x1，1，由此得2，2

2xxf的作用范圍為

1，22又f對(duì)log2x作用，所以log2x，2，解得x2即f(log2x)的定義域?yàn)?/p>

12，4

2，4

評(píng)注：函數(shù)定義域是自變量x的取值范圍（用集合或區(qū)間表示）f對(duì)誰作用，則誰的范圍是f的作用范圍，f的作用對(duì)象可以變，但f的作用范圍不會(huì)變。利用這種理念求此類定義域問題會(huì)有“得來全不費(fèi)功夫”的感覺，值得大家探討。

（二）同步練習(xí)：

21、已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,1]，求函數(shù)f(x)的定義域。

答案：[1,1]

2、已知函數(shù)f(32x)的定義域?yàn)閇3,3]，求f(x)的定義域。

答案：[3,9]

3、已知函數(shù)yf(x2)的定義域?yàn)?1,0)，求f(|2x1|)的定義域。

(12,0)(1,3)答案：

2

4、設(shè)fxlg2xx2，則ff的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

2x2xA.4,00,4B.4,11,4C.2,11,2D.4,22,4

x22,2x20得，f(x)的定義域?yàn)閤|2x2。故解：選C.由，解得2x222.xx2x4,11,4。故ff的定義域?yàn)?,11,4

2x5、已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤(［解析］由已知，有1ax3,13x,)，求g(x)f(ax)f()(a0)的定義域。22a221x3,2a212x32112aa2x3232aa.,

x（1）當(dāng)a1時(shí)，定義域?yàn)閧x|（2）當(dāng)

32a32}；a2a，即0a1時(shí)，有a2x32a}；

12a2a，

定義域?yàn)閧x|（3）當(dāng)

32a32a，即a1時(shí)，有1x32a}.12aa2a2，

定義域?yàn)閧x|2a故當(dāng)a1時(shí)，定義域?yàn)閧x|xx32a32}；

當(dāng)0a1時(shí)，定義域?yàn)閧x|a}.

［點(diǎn)評(píng)］對(duì)于含有參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，必須對(duì)字母進(jìn)行討論，要注意思考討論字母的方法。

三、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問題

（1）引理證明已知函數(shù)yf(g(x)).若ug(x)在區(qū)間(a,b）上是減函數(shù)，其值域?yàn)?c，d)，又函數(shù)yf(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，那么，原復(fù)合函數(shù)yf(g(x))在區(qū)間(a,b）上是增函數(shù).

證明：在區(qū)間(a,b）內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)x1,x2，使ax1x2b

因?yàn)閡g(x)在區(qū)間(a,b）上是減函數(shù)，所以g(x1)g(x2),記u1g(x1),

u2g(x2)即u1u2,且u1,u2(c,d)

因?yàn)楹瘮?shù)yf(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，所以f(u1)f(u2),即f(g(x1))f(g(x2))，

故函數(shù)yf(g(x))在區(qū)間(a,b）上是增函數(shù).（2）．復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是由兩個(gè)函數(shù)共同決定。為了記憶方便，我們把它們總結(jié)成一個(gè)圖表：

yf(u)ug(x)yf(g(x))增增增減減增減減減增以上規(guī)律還可總結(jié)為：“同向得增，異向得減”或“同增異減”.（3）、復(fù)合函數(shù)yf(g(x))的單調(diào)性判斷步驟：確定函數(shù)的定義域；

將復(fù)合函數(shù)分解成兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)：yf(u)與ug(x)。分別確定分解成的兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性；

若兩個(gè)函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相同（即都是增函數(shù)，或都是減函數(shù)），則復(fù)合后的函數(shù)yf(g(x))為增函數(shù)；若兩個(gè)函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相異（即一個(gè)是增函數(shù)，而另一個(gè)是減函數(shù)），則復(fù)合后的函數(shù)yf(g(x))為減函數(shù)。

（4）例題演練例1、求函數(shù)ylog212(x2x3)的單調(diào)區(qū)間，并用單調(diào)定義給予證明2解：定義域x2x30x3或x1

單調(diào)減區(qū)間是(3,)設(shè)x1,x2(3,)且x1x2則

y1log2(x12x13)y2log122(x22x23)122(x12x13)(x22x23)=(x2x1)(x2x12)

2∵x2x13∴x2x10x2x120∴(x12x13)>(x22x23)又底數(shù)0∴y2y10即y2y1∴y在(3,)上是減函數(shù)22121

同理可證：y在(,1)上是增函數(shù)［例］2、討論函數(shù)f(x)loga(3x22x1)的單調(diào)性.［解］由3x22x10得函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

1{x|x1,或x}.

3則當(dāng)a1時(shí)，若x1，∵u3x22x1為增函數(shù)，∴f(x)loga(3x22x1)為增函數(shù).

若x13，∵u3x22x1為減函數(shù).

∴f(x)loga(3x22x1)為減函數(shù)。

當(dāng)0a1時(shí)，若x1，則f(x)loga(3x22x1)為減函數(shù)，若xf(x)loga(3x22x1)為增函數(shù).

13，則

例3、.已知y=loga(2-a)在［0，1］上是x的減函數(shù)，求a的取值范圍.解：∵a＞0且a≠1

當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)t=2-a>0是減函數(shù)

由y=loga(2-a)在［0，1］上x的減函數(shù)，知y=logat是增函數(shù)，∴a＞1

由x［0，1］時(shí)，2-a2-a＞0,得a＜2,∴1＜a＜2

當(dāng)0例4、已知函數(shù)f(x2)ax2(a3)xa2（a為負(fù)整數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)

(m2,0),mR，設(shè)g(x)f[f(x)],F(x)pg(x)f(x).問是否存在實(shí)數(shù)p(p0)使得

F(x)在區(qū)間(,f(2)]上是減函數(shù)，且在區(qū)間(f(2),0)上是減函數(shù)？并證明你的結(jié)論。

［解析］由已知f(m2)0，得am2(a3)ma20，其中mR,a0.∴0即3a22a90，解得

1273a1273.

∵a為負(fù)整數(shù)，∴a1.

∴f(x2)x4x3(x2)21，

2242即f(x)x21.g(x)f[f(x)](x1)1x2x，

∴F(x)pg(x)f(x)px4(2p1)x21.

假設(shè)存在實(shí)數(shù)p(p0)，使得F(x)滿足條件，設(shè)x1x2，

22)[p(x12x2)2p1].∴F(x1)F(x2)(x12x2∵f(2)3，當(dāng)x1,x2(,3)時(shí)，F(xiàn)(x)為減函數(shù)，

220,p(x12x2)2p10.∴F(x1)F(x2)0，∴x12x2218,∵x13,x23,∴x12x22)2p116p1,∴p(x12x2∴16p10.①

當(dāng)x1,x2(3,0)時(shí),F(x)增函數(shù),∴F(x1)F(x2)0.

220,∴p(x12x2)2p116p1,∵x12x2∴16p10.由①、②可知p116②

，故存在p116.

（5）同步練習(xí)：

1．函數(shù)y＝logA．（－∞，1）C．（－∞，

3212（x2－3x＋2）的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

B．（2，＋∞）D．（

32），＋∞）

解析：先求函數(shù)定義域?yàn)椋ǎ璷，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函數(shù)t（x）

在（－∞，1）上單調(diào)遞減，在（2，＋∞）上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，函數(shù)y＝log12（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上單調(diào)遞減．

答案：B

2找出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（1）yax（2）y223x2(a1)；.

x22x3答案：(1)在(,]上是增函數(shù)，在[,)上是減函數(shù)。

2233（2）單調(diào)增區(qū)間是[1,1]，減區(qū)間是[1,3]。

3、討論yloga(a1),(a0,且a0)的單調(diào)性。

答案：a1,時(shí)(0,)為增函數(shù)，1a0時(shí)，(,0)為增函數(shù)。4．求函數(shù)y＝log13x（x2－5x＋4）的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間．

解：由（x）＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），當(dāng)x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛｜＝x2－5x＋4｝＝R，所以函數(shù)的值域是R．因

＋＋

為函數(shù)y＝log13（x2－5x＋4）是由y＝log13（x）與（x）＝x2－5x＋4復(fù)合而成，函

52數(shù)y＝log13（x）在其定義域上是單調(diào)遞減的，函數(shù)（x）＝x2－5x＋4在（－∞，

）

上為減函數(shù)，在［

52，＋∞］上為增函數(shù)．考慮到函數(shù)的定義域及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，y＝log13（x2－5x＋4）的增區(qū)間是定義域內(nèi)使y＝log13（x）為減函數(shù)、（x）＝x2－5x＋4也

為減函數(shù)的區(qū)間，即（－∞，1）；y＝log1（x2－5x＋4）的減區(qū)間是定義域內(nèi)使y＝log313（x）為減函數(shù)、（x）＝x2－5x＋4為增函數(shù)的區(qū)間，即（4，＋∞）．

變式練習(xí)一、選擇題

1．函數(shù)f（x）＝log

A．（1，＋∞）C．（－∞，2）

12(x－1)的定義域是（）

B．（2，＋∞）

2]D．(1，解析：要保證真數(shù)大于0，還要保證偶次根式下的式子大于等于0，

x－1＞0所以log(x－1)120解得1＜x≤2．

答案：D2．函數(shù)y＝log

12（x2－3x＋2）的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

B．（2，＋∞）D．（

32A．（－∞，1）C．（－∞，

32），＋∞）

解析：先求函數(shù)定義域?yàn)椋ǎ璷，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函數(shù)t（x）在（－∞，1）上單調(diào)遞減，在（2，＋∞）上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，函數(shù)y＝log12（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上單調(diào)遞減．

答案：B

3．若2lg（x－2y）＝lgx＋lgy，則

A．4

yx的值為（）B．1或D．

1414

C．1或4

yx錯(cuò)解：由2lg（x－2y）＝lgx＋lgy，得（x－2y）2＝xy，解得x＝4y或x＝y(tǒng)，則有

14＝或

xy＝1．

答案：選B

正解：上述解法忽略了真數(shù)大于0這個(gè)條件，即x－2y＞0，所以x＞2y．所以x＝y(tǒng)舍掉．只有x＝4y．答案：D

4．若定義在區(qū)間（－1，0）內(nèi)的函數(shù)f（x）＝log的取值范圍為（）

A．（0，C．（

12122a（x＋1）滿足f（x）＞0，則a

）

B．（0，1）D．（0，＋∞）

，＋∞）

解析：因?yàn)閤∈（－1，0），所以x＋1∈（0，1）．當(dāng)f（x）＞0時(shí)，根據(jù)圖象只有0＜

2a＜l，解得0＜a＜答案：A

12（根據(jù)本節(jié)思維過程中第四條提到的性質(zhì)）．

5．函數(shù)y＝lg（

21－x－1）的圖象關(guān)于（）

1＋x1－xA．y軸對(duì)稱C．原點(diǎn)對(duì)稱

21－x

B．x軸對(duì)稱D．直線y＝x對(duì)稱

1＋x1－x解析：y＝lg（

－1）＝lg，所以為奇函數(shù)．形如y＝lg或y＝lg1＋x1－x的函數(shù)都為奇函數(shù)．答案：C二、填空題

已知y＝loga（2－ax）在［0，1］上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是__________．解析：a＞0且a≠1（x）＝2－ax是減函數(shù)，要使y＝loga（2－ax）是減函數(shù)，則a＞1，又2－ax＞0a＜答案：a∈（1，2）

7．函數(shù)f（x）的圖象與g（x）＝（的單調(diào)遞減區(qū)間為______．

解析：因?yàn)閒（x）與g（x）互為反函數(shù)，所以f（x）＝log則f（2x－x2）＝log132x（0＜x＜1）a＜2，所以a∈（1，2）．

13）的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，則f（2x－x2）

xx

13（2x－x2），令（x）＝2x－x2＞0，解得0＜x＜2．

（x）＝2x－x2在（0，1）上單調(diào)遞增，則f［（x）］在（0，1）上單調(diào)遞減；（x）＝2x－x2在（1，2）上單調(diào)遞減，則f［（x）］在［1，2）上單調(diào)遞增．所以f（2x－x2）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）．答案：（0，1）

8．已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f（x）在［0，＋∞］上是增函數(shù)，且f（則不等式f（log4x）＞0的解集是______．解析：因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，所以f（－

1212）＝0，

）＝f（

12）＝0．又f（x）在［0，＋∞］

12上是增函數(shù)，所以f（x）在（－∞，0）上是減函數(shù)．所以f（log4x）＞0log4x＞

9

或log4x＜－

12．

12解得x＞2或0＜x＜

．

12答案：x＞2或0＜x＜三、解答題9．求函數(shù)y＝log13

（x2－5x＋4）的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間．

解：由（x）＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），當(dāng)x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛｜＝x2－5x＋4｝＝R，所以函數(shù)的值域是R

＋＋

．因?yàn)楹瘮?shù)y＝log1（x2－5x＋4）是由y＝log313（x）與（x）＝x2－5x＋4復(fù)合而成，

52函數(shù)y＝log13（x）在其定義域上是單調(diào)遞減的，函數(shù)（x）＝x2－5x＋4在（－∞，

）

上為減函數(shù)，在［

52，＋∞］上為增函數(shù)．考慮到函數(shù)的定義域及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，y＝log13（x2－5x＋4）的增區(qū)間是定義域內(nèi)使y＝log13（x）為減函數(shù)、（x）＝x2－5x＋4也

為減函數(shù)的區(qū)間，即（－∞，1）；y＝log1（x2－5x＋4）的減區(qū)間是定義域內(nèi)使y＝log313（x）為減函數(shù)、（x）＝x2－5x＋4為增函數(shù)的區(qū)間，即（4，＋∞）．10．設(shè)函數(shù)f（x）＝

23x＋5＋lg3－2x3＋2x，

（1）求函數(shù)f（x）的定義域；

（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并給出證明；

（3）已知函數(shù)f（x）的反函數(shù)f1（x），問函數(shù)y＝f1（x）的圖象與x軸有交點(diǎn)嗎?

－－

若有，求出交點(diǎn)坐標(biāo)；若無交點(diǎn)，說明理由．解：（1）由3x＋5≠0且＜

323－2x3＋2x＞0，解得x≠－

53且－

32＜x＜

32．取交集得－

32＜x

．

2（2）令（x）＝

3－2x3＋2x＝－1＋

3x＋56，隨著x增大，函數(shù)值減小，所以在定義域內(nèi)是減函數(shù)；

3＋2x隨著x增大，函數(shù)值減小，所以在定義域內(nèi)是減函數(shù)．

又y＝lgx在定義域內(nèi)是增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合單調(diào)性可知，y＝lg（x）＝

23x＋53－2x3＋2x是減函數(shù)，所以f

＋lg3－2x3＋2x是減函數(shù)．

（3）因?yàn)橹苯忧骹（x）的反函數(shù)非常復(fù)雜且不易求出，于是利用函數(shù)與其反函數(shù)之間定義域與值域的關(guān)系求解．

設(shè)函數(shù)f（x）的反函數(shù)f1（x）與工軸的交點(diǎn)為（x0，0）．根據(jù)函數(shù)與反函數(shù)之間定義

－

域與值域的關(guān)系可知，f（x）與y軸的交點(diǎn)是（0，x0），將（0，x0）代入f（x），解得x0＝

一．指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

．同底的指數(shù)函數(shù)yax與對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax互為反函數(shù)；

（二）主要方法：

1．解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題，要特別重視定義域；

2．指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決定于底數(shù)大于1還是小于1，要注意對(duì)底數(shù)的討論；3．比較幾個(gè)數(shù)的大小的常用方法有：①以0和1為橋梁；②利用函數(shù)的單調(diào)性；③作差．（三）例題分析：

2例1．（1）若aba1，則logbxyz（2）若23525．所以函數(shù)y＝f1（x）的圖象與x軸有交點(diǎn)，交點(diǎn)為（

－

25，0）。

ba，logba，logab從小到大依次為；

z都是正數(shù)，，且x，則2x，y，3y，5z從小到大依次為；

xx（3）設(shè)x0，且ab1（a0，b0），則a與b的大小關(guān)系是（）

（A）ba1（B）ab1（C）1ba（D）1ab

2解：（1）由aba1得

baa，故logbbxyz（2）令235t，則t1，xalgtlogba1logab．

lg2，ylgtlg3，zlgtlg5，

∴2x3y2lgtlg23lgtlg3lgt(lg9lg8)lg2lg30，∴2x3y；

同理可得：2x5z0，∴2x5z，∴3y2x5z．（3）取x1，知選（B）．例2．已知函數(shù)f(x)ax(a1)，

x1求證：（1）函數(shù)f(x)在(1,)上為增函數(shù)；（2）方程f(x)0沒有負(fù)數(shù)根．

x2證明：（1）設(shè)1x1x2，則f(x1)f(x2)aax1x12x11x2ax2x22x21

ax1x1ax12x11x22x21ax23(x1x2)(x11)(x21)，

∵1x1x2，∴x110，x210，x1x20，∴

3(x1x2)(x11)(x21)0；

∵1x1x2，且a1，∴ax1ax2，∴aax1x20，

∴f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，∴函數(shù)f(x)在(1,)上為增函數(shù)；（2）假設(shè)x0是方程f(x)0的負(fù)數(shù)根，且x01，則a即ax0x0x02x010，

2x0x013(x01)x013x011，①3x013，∴

3x0112，而由a1知ax0當(dāng)1x00時(shí)，0x011，∴∴①式不成立；

當(dāng)x01時(shí)，x010，∴

3x011，

0，∴

3x0111，而ax00，

∴①式不成立．

綜上所述，方程f(x)0沒有負(fù)數(shù)根．

例3．已知函數(shù)f(x)loga(ax1)（a0且a1）．求證：（1）函數(shù)f(x)的圖象在y軸的一側(cè)；

（2）函數(shù)f(x)圖象上任意兩點(diǎn)連線的斜率都大于0．

證明：（1）由a10得：a1，

∴當(dāng)a1時(shí)，x0，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,)，此時(shí)函數(shù)f(x)的圖象在y軸的右側(cè)；

當(dāng)0a1時(shí)，x0，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,0)，此時(shí)函數(shù)f(x)的圖象在y軸的左側(cè)．

∴函數(shù)f(x)的圖象在y軸的一側(cè)；

（2）設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)是函數(shù)f(x)圖象上任意兩點(diǎn)，且x1x2，則直線AB的斜率ky1y2x1x2x1x2xx，y1y2loga(a1)loga(ax1x1x21)logax2aa11，

當(dāng)a1時(shí)，由（1）知0x1x2，∴1a∴0aax1x2ax2，∴0a1ax11，

111，∴y1y20，又x1x20，∴k0；

x1當(dāng)0a1時(shí)，由（1）知x1x20，∴a∴

ax1x2ax21，∴ax11ax210，

1，∴y1y20，又x1x20，∴k0．1∴函數(shù)f(x)圖象上任意兩點(diǎn)連線的斜率都大于0．

a1

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