復變函數(shù)積分方法的思考總結

復變函數(shù)積分方法的思考總結

錢學森11陳海琪2110405004

摘要：函數(shù)的積分問題是復變函數(shù)輪的主要內(nèi)容，也是其基礎部分，因此有必要總結歸納求積分的各種方法。其主要方法有：利用柯西積分定理，柯西積分公式和用留數(shù)定理求積分等方法,現(xiàn)將這些方法逐一介紹。關鍵詞：積分，解析，函數(shù)，曲線1.利用定義求積分

例1、計算積分xyix2dz，積分路徑C是連接由0到1i的直線段.

c解：yx0x1為從點0到點1i的直線方程，于是

xyixdz2cxyixdxiy

201ixxixdxix

201*011iixdx1i3.

2.利用柯西積分定理求積分

柯西積分定理：設fz在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，C為D內(nèi)任一條周線，則

fzdzc0.

柯西積分定理的等價形式：設C是一條周線，D為C之內(nèi)部，fz在閉域

DDC上解析，則fzdz0.

c例2、求coszzidz，其中C為圓周z3i1，

c解：圓周C為z3z1，被積函數(shù)的奇點為i，在C的外部，

于是，

coszzi在以C為邊界的閉圓z3i1上解析，

coszzidz0.

故由柯西積分定理的等價形式得c如果D為多連通區(qū)域，有如下定理：

設D是由復周線CC0C1C2Cn所構成的有界多連通區(qū)域，fz在D內(nèi)解析，在DDC上連續(xù)，則fzdz0.

c3.利用柯西積分公式求積分

設區(qū)域D的邊界是周線或復周線C，函數(shù)fz在D內(nèi)解析，在DDC上連續(xù)，則有fz12icfzdzD，即fczd2ifz.

例3.求積分c921d，其中C為圓周2.

解：

c921didc92

5

另外,若a為周線C內(nèi)部一點，則dzdz2icza

zacn0（n1，且n為整數(shù)）.

4.應用留數(shù)定理求復積分

fz在復周線或周線C所圍的區(qū)域D內(nèi)，除a1,a2,an外解析，在閉域

DDC上除a1,a2,an外連續(xù)，則fzdz2iResfz.

ck1zakn設a為fz的n階極點，fzzzan，其中z在點a解析，a0，則

Resfzzaa.

n1!5z2z2n1例4.計算積分zz12dz

解：被積函數(shù)fz5z2zz12在圓周z2的內(nèi)部只有一階極點z0及z1，

Resfzz05z2z22|z25z2Resfz|z12|z12z1zz因此，由留數(shù)定理可得

5z2z2zz12dz2i220.

5.用留數(shù)定理計算實積分

某些實的定積分可應用留數(shù)定理進行計算，尤其是對原函數(shù)不易直接求得的定積分和反常積分，常是一個有效的辦法，其要點是將它劃歸為復變函數(shù)的周線積分.

5.1計算Rcos,sind型積分

02令ze，則cos2izz21，sinzz2i1，ddziz，

此時有例5.20zz1zz1,Rcos,sindRz122idziz.dacos0a1

12解：令zei，則cosI2izz，d1dziz，

zzz1dz，其中aa21，aa21，

1,1,1，

應用留數(shù)定理得I2a12.

若Rcos,sin為的偶函數(shù)，則Rcos,sind之值亦可用上述方法求之，

0因為此時Rcos,sind012Rcos,sind，仍然令zei.

例6.計算taniad（a為實數(shù)且a0）

0分析：因為tania1eie2iai2iai11，

直接令e2iaiz，則dze2iai2id，于是tania解：I11z1iz1.

iz12izcz11dz1dz2zz1cz1應用留數(shù)定理，當a0時，Ii當a0時，Ii.5.2計算PxQxdx型積分

例7.計算xdx423x24.

424解：函數(shù)fzz23z在上半平面內(nèi)只有z23i一個四階極點，

令

23ia，zat

則fzz3444z4223z44

zaza

ta44443tt2a144a4at6at4att4322343223343t16a32a24at8att

211tt4423t168a32aResfzza1332a43

i5766即Resfzz23i133242i33

故xdx423x242ii57662886.6.級數(shù)法計算積分

+∞

連續(xù)性逐項積分定理:設在曲線C上連續(xù)(n=1,2,3…)，=1在C上

一致收斂于fz,則fz在曲線C上連續(xù)，并且沿C可逐項積分：

+∞dz。將函數(shù)展成泰勒級數(shù)或洛朗級數(shù)就解決了該類復積=1=

分的有關問題。

例8.計算積分(∞,C:|z|=.=12

1

解：在|z|

擴展閱讀：求復變函數(shù)的積分方法

哈爾濱學院本科畢業(yè)論文(設計)

題目：求復變函數(shù)的積分方法

院（系）理學院專業(yè)年級姓名指導教師

201*年6月1日

數(shù)學與應用數(shù)學201*級閆巖徐亞蘭

學號09031123職稱副教授哈爾濱學院本科畢業(yè)論文（設計）

目錄

摘要.............................................................................................................................................1Abstract.........................................................................................................................................2前言.............................................................................................................................................3第一章復積分的概念及其簡單性質(zhì).........................................................................................41.1復變函數(shù)積分的定義.......................................................................................................41.2復變函數(shù)積分的基本性質(zhì)...............................................................................................5第二章復積分的計算.................................................................................................................72.1函數(shù)沿非閉曲線的積分的計算.......................................................................................72.1.1定義法..........................................................................................................................72.1.2參數(shù)方程法..................................................................................................................82.2函數(shù)沿閉曲線的積分的計算.........................................................................................112.2.1積分定理....................................................................................................................112.2.2挖奇點法....................................................................................................................132.2.3柯西積分公式............................................................................................................152.2.4高階導數(shù)公式............................................................................................................15第三章用留數(shù)定理計算復積分...............................................................................................173.1留數(shù)定理及其應用.........................................................................................................173.1.1留數(shù)的定義................................................................................................................173.1.2留數(shù)定理....................................................................................................................173.2留數(shù)定理與其它解法的聯(lián)系.........................................................................................18參考文獻.......................................................................................................................................20致謝...........................................................................................................................................21

哈爾濱學院本科畢業(yè)論文（設計）

摘要

復積分即指復變函數(shù)積分。在復變函數(shù)的分析理論中，復變函數(shù)的積分是研究解析函數(shù)的重要工具。復變函數(shù)里的積分不僅僅是研究解析函數(shù)的重要工具，它也是學習后繼課程積分變換的基礎,因此就復積分的計算方法進行總結和探討是十分必要的�？挛鞣e分公式、高階導數(shù)公式以及留數(shù)定理對復積分的計算起到很大的作用。

本文介紹了計算復積分的幾種方法，同時討論了留數(shù)定理與復積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，并且總結出利用柯西積分定理、柯西積分公式、高階導數(shù)公式、留數(shù)定理等來計算復變函數(shù)積分的基本方法，通過實例說明每種方法使用的范圍，從中揭示出他們的內(nèi)在聯(lián)系，本文對復積分的計算方法進行了比較系統(tǒng)的歸納總結，從中概括出解題方法和技巧。

關鍵詞：復變函數(shù)的積分；柯西積分定理；高階導數(shù)公式；留數(shù)定理

哈爾濱學院本科畢業(yè)論文（設計）

Abstract

ComplexintegrationrefersComplexintegration.Intheanalysisofcomplexfunctiontheory,

complexfunctionofintegralanalyticfunctionsisanimportanttoolforresearch.Complexfunctionsintheintegralstudyofanalyticfunctionsnotonlyanimportanttool,itisalsothesuccessorprogramtolearnthebasisofintegraltransformation,andthereforecomplexintegralcalculationmethodaresummarizedanddiscussedisverynecessary.Cauchy"sintegralformula,higherderivativeformulas,andtheresiduetheoremforcomplexintegralsplayabigrole.Thisarticledescribesseveralmethodsforcalculatingcomplexintegration,alsodiscussedtheresiduetheoremandtheintrinsiclinkbetweencomplexintegration,andsummedupusingtheCauchyintegraltheorem,Cauchy"sintegralformula,higherderivativeformula,residuetheoremetc.Complexintegrationcalculationofthebasicmethod,byexamplesillustratethescopeofuseofeachmethod,whichrevealstheirinternalrelations,thepapercomplexintegralcalculationmethodswerecomparedsystemsaresummarized,whichsummarizetheproblem-solvingmethodsandtechniques.

Keywords:complexvariablefunctionintegration;Cauchy"sintegraltheorem;higherderivativeformula;residuetheorem

哈爾濱學院本科畢業(yè)論文（設計）

前言

復變函數(shù)的積分是研究解析函數(shù)的一個重要工具。解析函數(shù)中許多重要的性質(zhì)都要利用復積分來證明。比如，想要證明“解析函數(shù)導函數(shù)連續(xù)性”以及“解析函數(shù)各階導數(shù)存在性”這些表面上看起來只跟微分學有關的命題，一般都要使用復積分。其中柯西積分公式和柯西積分定理顯得尤其重要，他們是復變函數(shù)論的基本定理和基本公式。

復變函數(shù)論是數(shù)學中的一個基本的分支學科，它的研究對象是復變數(shù)的函數(shù)。復變函數(shù)論的歷史悠久，內(nèi)容豐富，理論也十分完美。它在數(shù)學中的許多分支、力學以及工程技術科學中有著相對廣泛的應用。復數(shù)起源于求代數(shù)方程的根。

本文對不同類型的復變函數(shù)積分的計算方法進行了系統(tǒng)的歸納和總結，并且總結出了求解復積分的一些方法和技巧，這樣在遇到求解復積分問題時，我們可以先分析積分的特點，再根據(jù)特點來選擇合適的方法，如果方法得當，便可以使一些復雜的復積分計算變得簡單、快捷。

哈爾濱學院本科畢業(yè)論文（設計）

第一章復積分的概念及其簡單性質(zhì)

1.1復變函數(shù)積分的定義

bz()為終點，f(z)定義1設有向曲線C：zzt,(t)，以az()為起點，

沿著曲線C有定義。順著C從a到b的方向在C上取分點：

az0,z1,...,zn1,znb

把曲線C分成了若干個弧段。在從zk1到zk(k1,2,...,n)的每一弧段上任意取一點k，做成和數(shù)snf(k)zk，其中zkzkzk1。當分點無限增多，而這些弧段長度的最大值趨

k1n于零時，假如和數(shù)sn的極限存在并且等于J，就稱f(z)沿曲線C（從a到b）可積，而稱J是f(z)沿C（從a到b）的積分，并且用記號f(z)dz表示：

cJf(z)dz。

cC叫做積分路徑。f(z)dz表示沿曲線C正方向的積分，f(z)dz表示沿曲線C負方向的積

cc分。

定理1如果函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)并且沿著曲線C連續(xù)，則f(z)沿C可積，并且

f(z)dzudxvdyivdxudy

ccc例1如果C表示連接點a及b的任一曲線，試證：

1（1）dzba（2）zdz(b2a2)

2cc證明（1）因為f(z)1,sn(zkzk1)ba

k1n所以

nmaxzk0limsnba

即

哈爾濱學院本科畢業(yè)論文（設計）

dzba

c（2）因為f(z)z，令kzk1于是就有

z1k1nk1(zkzk1)，

但我們又可以令kzk，則可得到2zk(zkzk1)，再由定理1可知積分zdz存在，

k1nc1因此sn的極限存在，并且應該跟1和2的極限相等，從而應該跟(12)的極限

2相等。令

11n2122(12)(zkzk)(ba2)122k12所以

122zdz(ba)。2c1.2復變函數(shù)積分的基本性質(zhì)

設函數(shù)f(z),g(z)沿曲線C連續(xù)，則有以下的性質(zhì)（1）af(z)dzaf(z)dz,a是復常數(shù)；

cc（2）f(z)g(z)dzf(z)dzg(z)dz;

ccc（3）f(z)dzf(z)dzf(z)dz,其中C由曲線C1和C2銜接而成；

cc1c2（4）f(z)dzf(z)dz

cc（5）

f(z)dzccf(z)dzf(z)ds

c在這里dz表示弧長的微分，也就是dz(dx)2(dy)2ds

定理2（積分估值）如果沿著曲線C，函數(shù)f(z)連續(xù)，并且有正數(shù)M使得f(z)ML，L是曲線C的長，則

哈爾濱學院本科畢業(yè)論文（設計）

f(z)ML

c例2試計算Rezdz，其中C是從0到2+i的直線段。

c解由題直線C可以由關系式

y1x，0x22表達，于是所求積分得

Rezdzxdxixdyxdxcc02i2xdx2i02

哈爾濱學院本科畢業(yè)論文（設計）

第二章復積分的計算

2.1函數(shù)沿非閉曲線的積分的計算

2.1.1定義法

為終點的光滑曲線（yyx是有連續(xù)的導定義設l是復平面上以z0為起點，以z把l分成n段，在每一小段zk1zk上任意取一數(shù)），在l上取一系列的分點z0,z1,,zn1,znz點k做和數(shù)Snfkzkzk1fkzk,zkzkzk1

k1k1nn當n時，并且每一小段的長度趨于零時，如果limSn存在，我們就稱fz沿l是可積

n的，limSn叫做fz沿l的路徑積分。l是積分路徑，記做fzdz【如果l是圍線（閉的

nl曲線），則記為f(z)dz】。fzdzmilllnmSilnnfzkkk1n（fz在l上取值，也就是

z在l上變化）。

例1計算積分1)dz；2)zdz，其中積分路徑表示連接點a及點b的任一曲線。

cc解對C進行分割，并且近似求和，以下符號與上述的復積分的定義一致。（1）當C是閉曲線的時候，dz0。由于f(z)1，Sn(zkzk1)ba，所以

Ck1max|Sk|0nmlimSnba

即

dzba．

c（2）當C是閉曲線的時候，dz0。f(z)z，沿曲線C連續(xù)，則積分zdz存在，

CC令kzk1，則

1zk1(zkzk1)，

k1n又可以令kzk，則

哈爾濱學院本科畢業(yè)論文（設計）

2zk(zkzk1)，

k1n由于Sn的極限是存在的，并且應該和1及2極限相等，所以

11n1222Sn(12)zk(zkzk(ba2)，1)22k12所以

zdzC12(ba2)．22.1.2參數(shù)方程法

在簡單光滑的曲線上連續(xù),想要計算積分的步驟如下:第一步:寫出曲線的參數(shù)方程

zxiy，dzdxidy，fzux,yivx,y(通常遇到的是圓弧或者直線段)；第二

步:求出fzdz,把ux,y,vx,y代入到其中；第三步:把積分化成關于的定積分，并且

l計算該定積分。

zxiy，dzdxidy，fzux,yivx,y，

于是

ux,yivx,ydxidyfzdzllux,ydxvx,ydyivx,ydxux,ydy，

ll所以復變函數(shù)的積分可以歸納總結成為兩個實變函數(shù)的線積分，并且它們分別是復變函數(shù)積分的實部和虛部.

復變函數(shù)積分的參數(shù)表示

設曲線l的參數(shù)方程是zztxtiyt，或者表示成xxt，yyt，

z，t，z0z，z記

uxt,ytut，vxt,ytvt，

于是

dxxtdt，dyytdt，dzztdt，ztxtiyt

則

fzdzcutxtvtytdtivtxtutytdt

8

哈爾濱學院本科畢業(yè)論文（設計）

utivtxtiytdtfztztdt.

yi1iyi1iy=xy=xyx2圖（2-1-2a）圖（2-1-2b）o1xo1x

例2試計算fzdz，其中f(x)z,l是：

l（1）從原點到點1i上的直線段；（2）拋物線yx2上從原點到點的弧段；（3）從原點沿x軸到點1再到1i上的折線；解（1）積分路徑的參數(shù)方程是

z(t)(1i)t,(0t1)

則

dz(1i)dt,122=(1+i)tdtzdz(1i)iC021如圖（2-1-2a）所示。

（2）積分路徑的參數(shù)方程是z(t)tit211(0t1),則dz(12ti)dt,

1t2143232tit（tit）(12it)dt(t-2t+3it)dtzdzi00C220如圖（2-1-2b）所示。i

y1iy=xyx2o1x哈爾濱學院本科畢業(yè)論文（設計）

圖（2-1-2c）圖（2-1-2d）

（3）如圖（2-1-2c）所示.

積分路徑是由兩段直線構成的，x軸上直線段的參數(shù)方程是z(t)t(0t1),則dzdt,1到1+i直線段的參數(shù)方程是

z(t)1it(0t1),則dzidt,

C1+it)idtzdztdt（011011ii22例3試證

2i(n1)dz，l是以za為圓心，以為半徑的圓周。l(za)n0(n為n1的整數(shù))如圖（2-1-2d）所示。

證明l的參數(shù)方程是

zaei

在l上，dzieid。當n1的時候，

iieddzilzaeid2i

當n1的時候，

iieddzii(n1)dl(za)nneinn1e1in1en1n111n11n10.

n1n1復變函數(shù)積分的簡單性質(zhì)（以下性質(zhì)i、ii、iii、iv都可以從積分的定義式中直接得出）

z0，z、z0分別是l的終、起點。dzL，dz是dz的長度，L是l的長度。i.dzzll.（可推廣）a1f1za2f2zdza1f1zdza2f2zdz，a1、a2是復常數(shù)。

lll.fzdzfzdzfzdz,其中l(wèi)1、l2連接成l。（可推廣）

ll1l2.fzdzfzdz,l表示跟l方向相反的同一條曲線。

ll不等式（估值公式）

哈爾濱學院本科畢業(yè)論文（設計）

a)

證明

fzdzfzdz

llfzdzlimfzlnkk1nnnk1nk1nklimfkz

nk1nlimfkzklimfkzkfzdz。

l（此處運用了z1z2z1z2的推廣，z1z2z3z1z2z3z1z2z3,

z1z2znz1z2zn,多邊形任意一邊的長其他邊長之和）b)如果M是fz上沿曲線l的最大值，L是l的長度，則

證明：

nfzdzML。

lfzkk1nkfkzkMzk

k1k1nnn兩邊取極限limfkzkMlimzk，即

nk1nk1fzdzML

l或者

fzdzfzdzMdzML.

lll

2.2函數(shù)沿閉曲線的積分的計算

2.2.1積分定理

柯西定理如果fz在單連通區(qū)域D上解析，l是D內(nèi)的任意一條圍線，則

f(z)dz0

l其實只要fz在l所圍的單連通區(qū)域內(nèi)解析，則f(z)dz0。如圖（2-2-2）所示。

l

哈爾濱學院本科畢業(yè)論文（設計）

圖(2-2-2)

注單連通區(qū)域內(nèi)的任意一條閉曲線可以連續(xù)收縮成一點，簡言之區(qū)域內(nèi)沒洞。

復連通區(qū)域內(nèi)至少有一條閉曲線不能連續(xù)收縮成為一點，簡言之區(qū)域內(nèi)有洞。證明因為fz在D上是解析的，也就是fz在D上的各點均存在。為了簡化證明，我們進一步要求fz在D上連續(xù),uvuv、、、在D上連續(xù)。xxyyuvuvii，xxyyfzux,yivx,y，dzdxidy，fzf(z)dz(udxvdy)i(vdxudy)

lll因為fz在D上是連續(xù)的，所以u、v有連續(xù)的偏導數(shù)，并且滿足C－R條件

uv,而根據(jù)實的線積分的格林定理yxuv，xyvu(udxvdy)l"xydxdy0，D是l所圍單連通區(qū)域（C－R條件）

Duv(vdxudy)l"xydxdy0，D是l所圍單連通區(qū)域（C－R條件）

D所以

f(z)dz0

l注意柯西定理中只要求fz在D上解析，對fz在D外是否解析并沒有要求，證明中沒有用fz在l以外的性質(zhì)。因此只要fz在l所圍的區(qū)域內(nèi)解析。

推論：如果fz在D上解析，l1、l2是D內(nèi)有相同的端點的任意的兩條曲線，則

fzdzfzdz

l1l2也就是在fz解析的單連通區(qū)域內(nèi)，fz沿著任意一條曲線l的積分，只依賴于l的起點和終點，而和l的具體形狀是沒有關系的。

證明由于l1、l2的端點是相同的，因此l1與l2組成一圍線。根據(jù)柯西定理

l1l2fzdz0fzdzfzdzfzdz

l1l2l2

哈爾濱學院本科畢業(yè)論文（設計）

2.2.2挖奇點法

（1）閉復通區(qū)域情形

所謂復通區(qū)域，就是函數(shù)在其中的某些點處并不解析，這些點叫做奇點，為了把這些點排除在外，通常做一些適當?shù)拈]合曲線把這些奇點挖去，形成帶“孔”的區(qū)域，也就是復通區(qū)域。

當fz在D內(nèi)處處解析，并且圍線l全部在D內(nèi)的時候，則f(z)dz0。但當l所圍區(qū)域

l內(nèi)有fz的奇點的時候，前面所說的柯西定理是針對單連通區(qū)域中的解析函數(shù)fz來說的，如果fz在l所圍的區(qū)域里有奇點，可以做一圍線把這個奇點圍住，假如把所圍的區(qū)域挖去，則區(qū)域就變成復連通區(qū)域D。如圖(2-2-3a)所示。

圖(2-2-3a)

對于復連通區(qū)域D，做輔助線c1、c2、c3，使D分成兩個單連通區(qū)域D1和D2。D1的邊界是1，D2的邊界是2，選取如此的方向當作路徑的正方向，也就是當沿著路徑行進的時候，

區(qū)域始終保持在左邊，所以D的邊界是ll1l2。

12ll1l2c1c2c3c1c2c3因為fz在D上，從而在D1、D2上解析，根據(jù)柯西定理：

所以

1f(z)dz0，f(z)dz0

2又

12f(z)dzf(z)dzf(z)dz0

12哈爾濱學院本科畢業(yè)論文（設計）

12f(z)dzlll1l2c1c2c1c2c3f(z)dz

f(z)dzf(z)dzf(z)dz

l1l2f(z)dzf(z)dzf(z)dzf(z)dzf(z)dzf(z)dz

c1c2c3c1c2c3f(z)dzf(z)dzf(z)dz

ll1l2所以

f(z)dzll1f(z)dzf(z)dz0

l2從而

f(z)dzll1f(z)dzf(z)dz

l2很容易把上面的情形推廣到內(nèi)部有n個洞的復連通的區(qū)域，于是

f(z)dzll1f(z)dzf(z)dzf(z)dzf(z)dz

l2lnk1lkn上述積分都沿著逆時針的方向，所以在復連通的情形下，在復連通區(qū)域內(nèi)解析的函數(shù)，他沿著外邊界線逆時針方向的積分就等于他沿著所有內(nèi)邊界線逆時針方向的積分的和。

例4試計算

圖(2-2-3b)

dz，l是不通過za的點的圍線。

l(za)n解如圖（2-2-3b）所示，za是fz1zan上的一個奇點，如果l沒有包圍點

dz0（l不包圍

l(za)nza，則fz1zan在l所包圍的區(qū)域上是解析的。進而。如果l包圍za【za是za）

則根據(jù)上面的公式就有：

1zan上的奇點】，作以za為圓心的圓周l1包圍a，

哈爾濱學院本科畢業(yè)論文（設計）

dzdzl(za)nl1(za)n

據(jù)前面的例子可以得到:

2i,n1dzl1(za)n0,n為n1的整數(shù)因此

2i,當l包圍za,且n1dzl1(za)n0,當n為n1的整數(shù)，或l不包圍za2.2.3柯西積分公式

柯西積分公式設區(qū)域D的邊界是周線或者復周線C，函數(shù)f(z)在D內(nèi)是解析的，在

DDC上是連續(xù)的，則有f(z)1f()d(zD)，即

2iC(z)f()d2if(z)

C(z)2z2z1dz的值，其中C:|z|2。例5試計算積分Cz1解由于f(z)2z2z1在|z|2上是解析的，z1z:|z|2。根據(jù)柯西積分公式就有

2z2z12z|2z1dz2i(2zz1)

2.2.4高階導數(shù)公式

高階導數(shù)公式設f(z)在D內(nèi)是解析的，在D上是連續(xù)的，C是D的邊界，z0D有

f(z)2i(n)dzf(z0),n1,2,（1.11）(zz0)n1n!例6試求coszdz，C是包含在圓周|z|1上的任何正向簡單閉曲線，z2i。z10，

Cz311取C1是|z|，C2是|zi|。

33解f(z)cosz,z00在C的內(nèi)部，由等式（1.11）

cosz2idz(cosz)z0Cz32!

哈爾濱學院本科畢業(yè)論文（設計）

=i(2cosz)z03i

高階導數(shù)公式的作用不在于通過積分來進行求導,而在于通過求導來求解積分。例7試求積分1dz.其中C:(1)z32;(2)z1323(z2)zC解函數(shù)1有兩個奇點，分別是z2和z0,

(z2)2z3111z3dzdz(1)z32,僅包含奇點z2,取f(z)3,(z2)2zC(z2)2z3C2i11!z3z23i;8(2)z13的兩個奇點z2和z0都包含在C以內(nèi)，作簡單的閉曲線C1和C2分別包含0和2，其中C1和C2互不包含并且互不相交，由復合閉路定理和高階導數(shù)公式,

1123111(z2)zdzdzdzdzdz23232332(z2)z(z2)z(z2)zz(z2)CC1C2C1C22i12!(z2)2z02i131!zz23i3i0.88

哈爾濱學院本科畢業(yè)論文（設計）

第三章用留數(shù)定理計算復積分

3.1留數(shù)定理及其應用

3.1.1留數(shù)的定義

設0是f(z)的孤立奇點，f(z)在0的去心鄰域內(nèi)有洛朗展式f(z)na(zz)n0n稱

a1是f(z)在0點的留數(shù)，記作Resf(z0)。即留數(shù)是(洛朗展式中)負一次冪的系數(shù)。

3.1.2留數(shù)定理

設f(z)在復周線或者周線C所圍的區(qū)域D內(nèi)，除a1,a2,an以外解析，在閉區(qū)域

DDC上除a1,a2,an以外連續(xù)，則

f(z)dz2iResf(z)（1.14）

Ck1zakn設a是f(z)的n階極點，f(z)Resf(z)za(z)(za)n，其中(z)在點a上解析，(a)0，則

(n1)(a)(n1)!。在這里符號(0)(a)代表(a)，并且有(n1)(a)lim(n1)(z)。

za5z2dz。例1試計算積分|z|22z(z1)解被積函數(shù)f(z)5z2在圓周|z|2的內(nèi)部只有一階極點z0和二階級點

z(z1)2z1。

Resf(z)z05z2(z1)2z02

2

Resf(z)(z15z22)z12zzz1所以，根據(jù)留數(shù)定理可以得到

5z2sf(z)Resf(z))2i(22)0|z|2z(z1)2dz2i(Rez1z0

哈爾濱學院本科畢業(yè)論文（設計）

例2試計算積分

cosz|z|1z3dz。

解f(z)cosz只以z0為三階極點，3zResf(z)z011(cosz)z02!2所以根據(jù)留數(shù)定理就有

cosz1dz2i()i|z|1z323.2留數(shù)定理與其它解法的聯(lián)系

1.參數(shù)方程法只適用于積分曲線式的特殊類型的曲線。但有一些題目可以用參數(shù)方法解題，但是計算要復雜得多，而用柯西定理會很簡單。

2.（1）柯西積分定理可以推廣到復周線的情形，這也是計算復積分的一個比較有利工具，即復函數(shù)沿區(qū)域的外邊界曲線的積分等于沿著區(qū)域內(nèi)邊界積分的和。適用于積分曲線內(nèi)部含被積函數(shù)奇點的情形。

（2）如果積分與路徑無關的條件下也可以直接按實積分中的牛頓萊布尼茨公式計算。（3）利用柯西積分定理也有一定的局限性，主要體現(xiàn)在被積函數(shù)上，只有某些特殊的函數(shù)或者能夠拆成若干個特殊的函數(shù)的函數(shù)計算起來較方便。3.（1）柯西積分公式解決的是形如f()f()d,(zD)的積分，形如d,(zD)的czc(z)n積分就要利用解析函數(shù)的無窮可微性f(n)(z)此類問題。

n!f()d,(zD)(n1,2,)可解決n1c2i(z)（2）柯西積分公式跟解析函數(shù)的無窮可微性在計算復積分時的主要區(qū)別在于被積函數(shù)分母的次數(shù)，二者在計算的時候都常常與柯西積分定理相結合。

4.（1）柯西積分定理、柯西積分公式以及解析函數(shù)的高階導數(shù)公式都是留數(shù)定理的特殊情況。

（2）凡是能用柯西積分定理、柯西積分公式和解析函數(shù)的高階導數(shù)公式計算的復積分都能夠用留數(shù)定理來計算。

哈爾濱學院本科畢業(yè)論文（設計）

1)高階導數(shù)公式可以計算某種特定形式的復積分。利用高階導數(shù)公式計算積分的時候，如果被積函數(shù)的階數(shù)太高，會太過于繁瑣，這時要運用留數(shù)定理以及他的計算規(guī)則來計算復積分，就簡便的多。

注意：通過柯西積分公式和高階導數(shù)公式解決了一類復積分的計算的問題，但是在練習的過程中我們往往會發(fā)現(xiàn)應用這兩種計算方法往往不能有效的解決復積分問題，而是把這兩種方法綜合起來。

總之，在求解有關復積分的問題時，對方法的選擇要因題而異。首先從積分路徑和被積的函數(shù)入手，確定積分路徑是封閉曲線還是不封閉曲線，然后再對被積函數(shù)在已給的區(qū)域C內(nèi)的解析性加以分析判斷，再決定采取什么樣的方式方法來解決所面對的積分問題。按照這樣的基本步驟來尋求復積分的計算方法，處理有關復積分的問題就得心應手了。

哈爾濱學院本科畢業(yè)論文（設計）

參考文獻

[1]鐘玉泉,復變函數(shù)論（第三版）[M].北京：高等教育出版社,201*,2.(書籍)[2]潘永亮,復變函數(shù)[M].北京：科學出版社,201*.(書籍)

[3]龔冬寶,復變函數(shù)典型題[M].西安：西安交通大學出版社,201*.(書籍)

[4]剛家泰,復變函數(shù)全程學習指導與解題能力訓練[M].大連：大連理工大學出版社,201*.(書籍)[5]余家榮,復變函數(shù)[M].北京人民大學出版社,1979.(書籍)

[6]嚴鎮(zhèn)軍,數(shù)學物理方法[M].合肥：中國科技大學出版社,1999.(書籍)[7]鐘玉泉,復變函數(shù)學習指導書[M].北京：高等教育出版社,1995.(書籍)

[8]西安交通大學高等數(shù)學教研室.工程數(shù)學復變函數(shù)[M].北京:高教出版社,1996.(書籍)[9]嚴之山.關于復積分的計算[J].青海師專學報,201*(5):34～36.(書籍)

[10]王文鵬.復變函數(shù)積分的求解策略[J].重慶科技學院學報,201*.9(12):145～147.(書籍)[11]上海交通大學出版社出版發(fā)行.復變函數(shù)與積分變換,201*.(書籍)

[12]譚欣欣.復變函數(shù)全程學習指導.西安交通大學,復變函數(shù)第四版,201*.(書籍)[13]菲赫金,哥爾茨.微積分學教程[M].第二卷第二分冊（P225~290）.(書籍)

[14]Ur,P.TeachingListeningComprehension.Cambridge:CambridgeUniversityPress,1984（期刊）[15]Stern,H.H.FundamentalConceptsofLanguageTeaching.Oxford:OxfordUniversityPress,1983（期刊）

哈爾濱學院本科畢業(yè)論文（設計）

致謝

大學四年來,各位老師不僅在學業(yè)上給我以精心指導,同時還在思想、生活上給我以無微不至的關懷,在此謹向各位老師致以誠摯的謝意和崇高的敬意.老師們以其嚴謹求實的治學態(tài)度,高度的敬業(yè)精神,兢兢業(yè)業(yè),孜孜以求的工作作風和大膽創(chuàng)新的進取精神對我產(chǎn)生了重要影響，淵博的知識,開闊的視野和敏銳的思維給了我深深的啟迪.

通過這段時間的努力我的畢業(yè)論文終于完成了，這也意味著我的大學生活即將束，大學階段，我在學習上和思想上都受益匪淺，這與同學老師和親人的鼓勵與支持是分不開的，感謝數(shù)學與應用數(shù)學系的各位老師、同學們，與他們的交流讓我學到了很多.

感謝和我一起生活了4年的舍友們，嚴謹?shù)慕鉀Q問題的態(tài)度，靈活的思考問題的方式，扎實的專業(yè)知識，認真的學習態(tài)度都給了我很大的啟發(fā).

寫畢業(yè)論文是一次系統(tǒng)學習的過程，我要感謝在這一過程中給我建議，指導我寫作論文的徐老師，從選題到開題，從提綱到正文，嚴格把關，循循善誘，耐心指導，是我以后工作學習的榜樣。

友情提示：本文中關于《復變函數(shù)積分方法的思考總結》給出的范例僅供您參考拓展思維使用，復變函數(shù)積分方法的思考總結：該篇文章建議您自主創(chuàng)作。

來源：網(wǎng)絡整理 免責聲明：本文僅限學習分享，如產(chǎn)生版權問題，請聯(lián)系我們及時刪除。

《復變函數(shù)積分方法的思考總結》由互聯(lián)網(wǎng)用戶整理提供,轉載分享請保留原作者信息,謝謝!
鏈接地址：http://www.7334dd.com/gongwen/674667.html

• 上一篇：高中數(shù)學三角函數(shù)經(jīng)典知識點總結
• 下一篇：一次函數(shù)總結