復(fù)變函數(shù)簡單總結(jié)

對(duì)于某些專業(yè)的工科學(xué)生，學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)是非常有意義的。復(fù)變函數(shù)的記號(hào)是w＝f（z）。從幾何的角度上看，復(fù)變函數(shù)是一個(gè)復(fù)平面上的點(diǎn)集到另一個(gè)復(fù)平面上的一個(gè)映射。

在直角坐標(biāo)系復(fù)平面上，自變量記作z＝x＋iy，函數(shù)值記作w＝u＋iv。那么復(fù)變函數(shù)w＝f（z）就等價(jià)于兩個(gè)二元函數(shù)u=u（x，y）,v=v（x，y），即一個(gè)復(fù)變函數(shù)的映射，等同于兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)的映射。在物理學(xué)或力學(xué)中，可以用復(fù)變函數(shù)來建立“平面場”的數(shù)學(xué)模型，例如在流體力學(xué)中，平面流速場的速度分布可用復(fù)函數(shù)V＝V（z）＝Vx（x，y）＋iVy（x，y）來表示，其中，Vx（x，y）和Vy（x，y）是坐標(biāo)軸方向的速度分量（不是偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)），V（z）則稱為復(fù)速度。

在靜電學(xué)中，平面靜電場也可以用復(fù)函數(shù)E（z）＝Ex（x，y）＋iEy（x，y）來表示，Ex（x，y）和Ey（x，y）是坐標(biāo)軸方向的場強(qiáng)分量，E（z）稱為復(fù)場強(qiáng)。

對(duì)于理科的物理專業(yè)，以及工科與流體力學(xué)、電工電子學(xué)有關(guān)的各類專業(yè)，“復(fù)變函數(shù)與數(shù)學(xué)物理方法”課程（也有分為兩門的，甚至三門的，即積分變換）都是很基礎(chǔ)的一門課程。

復(fù)變函數(shù)泛談

首先，復(fù)變函數(shù)以復(fù)數(shù)為中心進(jìn)行一系列討論和分析，而復(fù)數(shù)的獨(dú)特之處在于它的虛部，也就是虛數(shù)部分；之前對(duì)虛數(shù)域的認(rèn)識(shí)，完全在于一個(gè)虛字。而對(duì)于復(fù)變產(chǎn)生的意義，書中是這樣給出的：由于解代數(shù)方程的需要，人們引出了復(fù)數(shù)。

復(fù)數(shù)的出現(xiàn)，使得基本運(yùn)算中的開方運(yùn)算不再存在無解情況，n此多項(xiàng)式也不再存在增根，這為人類在某些邏輯領(lǐng)域的運(yùn)算提供了幫助。

復(fù)數(shù)的集合復(fù)平面是一個(gè)二維平面，但卻并非我們所在的三維世界中的任何一個(gè)二維平面�？梢哉f復(fù)平面在現(xiàn)實(shí)世界中完全找不到具體的一一對(duì)應(yīng)，是一個(gè)純粹締造出來的二維平面。

而就在最近我弄清了兩個(gè)概念：數(shù)學(xué)與科學(xué)。結(jié)論為：數(shù)學(xué)不是科學(xué)。數(shù)學(xué)不屬于科學(xué)的范疇，是一種邏輯學(xué)，作為工具的學(xué)科；而科學(xué)則是理論的集合。哪怕是假命題如地心說，也是科學(xué)。而區(qū)別一個(gè)學(xué)科是否是科學(xué)的，則需要另一門學(xué)科作為其判定依據(jù)：證偽學(xué)。最終令我信服秉潔說的一個(gè)理論是：可被證明或證偽的屬于科學(xué)；而數(shù)學(xué)，是不可被證偽的。這一定程度上說明了數(shù)學(xué)是一門形而上學(xué)的學(xué)科，甚至包括幾何學(xué)在內(nèi)。而在數(shù)學(xué)當(dāng)中，在我看來復(fù)數(shù)領(lǐng)域的形而上學(xué)興則更加突出。

曾見過有人在論述形而上學(xué)時(shí)拿虛數(shù)和量子理論作為例證。我也曾一度認(rèn)為量子理論中無觀察者的不可知的事物量子狀態(tài)可以用虛數(shù)來表示。當(dāng)然現(xiàn)在看來，這是一種很淺薄的想法。就好比將著名的佯謬薛定諤的貓的生死與否映射到復(fù)數(shù)域上。我曾看到有人對(duì)此作過一個(gè)類似性形而上學(xué)的證明，若將貓的生死，即鈾的衰變與否映射到復(fù)數(shù)域上，那么為了對(duì)應(yīng)鈾的衰變概率分布的均勻，不妨將其對(duì)應(yīng)到一隊(duì)共軛復(fù)數(shù)上。當(dāng)觀察者出現(xiàn)，貓的生死被確定，不確定性即消失，那么其映射的復(fù)數(shù)的不存在性也應(yīng)該消失，即將復(fù)數(shù)反映到實(shí)數(shù)域上，相應(yīng)的運(yùn)算即取模，可知共軛復(fù)數(shù)的模是相等的，這與確定后貓的生死的不同是矛盾的。當(dāng)然，這種簡單的推理本身便不甚科學(xué)。但結(jié)論應(yīng)為正解：不確定不等于不存在，二者不可相互映射。

“虛數(shù)”是人類在發(fā)展數(shù)學(xué)上的解題技術(shù)時(shí)，以人為定義方式發(fā)明的一種虛擬的數(shù)，在現(xiàn)實(shí)生活中不存在，在實(shí)務(wù)的商用數(shù)學(xué)中也用不著�！皬�(fù)數(shù)”可以解決一些物理數(shù)學(xué)上的問題，解題到最后經(jīng)過轉(zhuǎn)化所得到的實(shí)數(shù)解，才有物理上的意義，帶有虛數(shù)的復(fù)數(shù)屆時(shí)沒有意義的。

至此，虛數(shù)在物理學(xué)中不存在的理論在我的認(rèn)識(shí)中仍然是正確的。直到到看到時(shí)間的空間矢量代數(shù)法則：“時(shí)間有空間的方向性，它能做矢量代數(shù)�！弊龃鷶�(shù)運(yùn)算時(shí)，虛數(shù)就是時(shí)間。多普勒效應(yīng)是證明四維時(shí)間存在的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)之一。

虛數(shù)是的確不存在于三維世界中的，但卻被定義為第四維的時(shí)間。虛數(shù)時(shí)間只是用數(shù)學(xué)呈現(xiàn)的方法，是一種處理方式。就像RCL電路我們也用虛數(shù)去處理相角關(guān)系，但電感本身并不是虛的。這是人為的定義，但這也在一定意義上揭示了虛數(shù)有可能存在的某些物理特征。

之后我又得到了物理學(xué)中有關(guān)快子的概念：快子是理論上預(yù)言的粒子。它具有超過光速的局部速度（瞬時(shí)速度）。它的質(zhì)量是虛數(shù)，但能量和動(dòng)量是實(shí)數(shù)。有人認(rèn)為這種粒子無法檢測(cè)，但實(shí)際未必如此。影子和光斑的例子就說明超過光速的東西也是可以觀測(cè)到的。目前尚無快子存在的實(shí)驗(yàn)證據(jù)，絕大多數(shù)人懷疑它們的存在。有人聲稱在測(cè)氚的貝塔衰變放出的中微子質(zhì)量的實(shí)驗(yàn)中有證據(jù)表明這些中微子是快子。這很讓人懷疑，但不能完全排除這種可能�？熳与m未被科學(xué)界認(rèn)可，但至少已經(jīng)人類已將虛數(shù)應(yīng)用到物理學(xué)中。其一旦被證明，虛數(shù)不存在物理意義的觀點(diǎn)即被打破。

虛數(shù)是有很大的的現(xiàn)實(shí)意義的，通過引入虛數(shù)，那些沒有意義”的根式也變得有理可尋�？墒窃跉v史上虛數(shù)的存在性及它的意義曾經(jīng)引起一場激烈的論戰(zhàn)。虛數(shù)被譏笑為數(shù)的鬼魂，一些象笛卡爾這樣的大數(shù)學(xué)也拒絕承認(rèn)它。這場爭論一直要到一八零零年左右?guī)缀谓忉屘摂?shù)成功后才慢慢平靜下來。對(duì)實(shí)用主義者而言，虛數(shù)當(dāng)然是一個(gè)計(jì)算的工具，只要它有用就行了，但對(duì)于嚴(yán)肅的數(shù)學(xué)家來說卻并非如此。高斯就曾經(jīng)說過，關(guān)鍵不在于應(yīng)用，而在于如果歧視這些虛量，整個(gè)分析學(xué)就會(huì)失去大量的美和靈活性。為什么認(rèn)為“歧視虛數(shù)”就不美呢？我想這是由于數(shù)學(xué)中第二個(gè)關(guān)于美的法則在起作用：對(duì)稱性法則。當(dāng)我們把虛數(shù)和實(shí)數(shù)認(rèn)為是同樣真實(shí)，只是分別屬于一個(gè)統(tǒng)一的復(fù)平面的橫軸和豎軸時(shí)，所有的代數(shù)方程的解對(duì)于實(shí)數(shù)和虛數(shù)而言就具有了一種對(duì)稱性。而任何人為的歧視都將打破這種對(duì)稱�！�

通過課程的學(xué)習(xí)，我們可以了解到，復(fù)數(shù)可以應(yīng)用的現(xiàn)實(shí)中的數(shù)學(xué)建模，其在很多運(yùn)算中都有著不可思議的性質(zhì)和規(guī)律。復(fù)數(shù)的引入為人們解決實(shí)數(shù)域和物理科學(xué)提供了許多新的途徑，打開了很多原本無法暢通的道路，無論是神奇的留數(shù)，還是保角映射，都為人類在解決非復(fù)領(lǐng)域上的問題提供了全新的思路與方便。

擴(kuò)展閱讀：復(fù)變函數(shù)總結(jié)

第一章復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)平面上的拓?fù)?/p>

1.復(fù)數(shù)的定義

一對(duì)有序?qū)崝?shù)（x,y）構(gòu)成復(fù)數(shù)zxiy,其中xRez,yImz.i21，X稱為復(fù)數(shù)的實(shí)部，y稱為復(fù)數(shù)的虛部。復(fù)數(shù)的表示方法1）模：

zx2y2；

2）幅角：在z0時(shí)，矢量與x軸正向的夾角，記為是位于(,]中的幅角。

argzArgz（多值函數(shù)）；主值

3）argz與

arctanyx之間的關(guān)系如下：

yx；

當(dāng)x0,

argzarctany0,argzarctanx0,y0,argzarctan當(dāng)yxyx

4）三角表示：zzcosisin，其中argz；注：中間一定是“+”5）指數(shù)表示：

2.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

1）.加減法：若z1x1iy1,z2x2iy2，則z1z2x1x2iy1y22）.乘除法：

3）若z1x1iy1,z2x2iy2，則

z1z2x1x2y1y2ix2y1x1y2zzei，其中argz

；。

z1x1iy1x1iy1x2iy2x1x2y1y2y1x2y2x1i2222z2x2iy2x2iy2x2iy2x2y2x2y4）若

z1z1ei1,z2z2ei2,則

z1z2z1z2ei12；

z1i12z1ez2z2

5.無窮遠(yuǎn)點(diǎn)得擴(kuò)充與擴(kuò)充復(fù)平面

復(fù)平面對(duì)內(nèi)任一點(diǎn)z,用直線將z與N相連,與球面相交于P點(diǎn),則球面上除N點(diǎn)外的所有點(diǎn)和復(fù)平面上的所有點(diǎn)有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,

而N點(diǎn)本身可代表無窮遠(yuǎn)點(diǎn),記作.這樣的球面稱作復(fù)球面這樣的球面稱作復(fù)球面.

擴(kuò)充復(fù)平面---引進(jìn)一個(gè)“理想點(diǎn)”:無窮遠(yuǎn)點(diǎn)∞復(fù)平面的開集與閉集

復(fù)平面中領(lǐng)域，內(nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)，邊界點(diǎn)，聚點(diǎn)，閉集等概念復(fù)數(shù)序列的極限和復(fù)數(shù)域的完備性復(fù)數(shù)的極限，，柯西收斂定理，魏爾斯特拉斯定理，聚點(diǎn)定理等從實(shí)數(shù)域里的推廣，可以結(jié)合實(shí)數(shù)域中的形式來理解。

第二章復(fù)變量函數(shù)

1.復(fù)變量函數(shù)的定義

設(shè)G是一個(gè)復(fù)數(shù)zxiy的集合.如果有一個(gè)確定的法則存在,按這個(gè)法則,對(duì)于集合G中的每一個(gè)復(fù)數(shù)z,就有一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù)wuiv與之對(duì)應(yīng),那末稱復(fù)變數(shù)w是復(fù)變數(shù)z的函數(shù)(簡稱復(fù)變函數(shù)),記作wf(z).

1）復(fù)變函數(shù)的反演變換（了解）2）復(fù)變函數(shù)性質(zhì)

反函數(shù)有界性周期性，3）極限與連續(xù)性極限：

設(shè)函數(shù)wf(z)定義在z0的去心鄰域

連續(xù)性

0zz0內(nèi),如果有一確定的數(shù)A存在,對(duì)于任意給定的0,相應(yīng)地必有一正數(shù)()使得當(dāng)0zz0(0)時(shí),有f(z)A那末稱A為f(z)當(dāng)z趨向于z0時(shí)的極限.

如果limf(z)f(z0),那末我們就說f(z)zz0在z0處連續(xù).如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處連續(xù),我們說f(z)在D內(nèi)連續(xù).2.復(fù)變量函數(shù)的形式偏導(dǎo)

1）復(fù)初等函數(shù)ezexcosyisinye2)指數(shù)函數(shù)：，在z平面處處可導(dǎo)，處處解析；且注：e是以2i為周期的周期函數(shù)。（注意與實(shí)函數(shù)不同）3)對(duì)數(shù)函數(shù)：主值：

zzez。

Lnzlnzi(argz2k)(k0,1,2)（多值函數(shù)）；

。（單值函數(shù)）

lnzlnziargzLnz的每一個(gè)主值分支lnz在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的z平面內(nèi)處處解析，且

lnz1z；

注：負(fù)復(fù)數(shù)也有對(duì)數(shù)存在。（與實(shí)函數(shù)不同）

4)乘冪與冪函數(shù)：

abebLna(a0)；zbebLnz(z0)

bb1注：在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的z平面內(nèi)處處解析，且

zbz。

eizeizeizeiz5)三角函數(shù)：

sinz2i,cosz2,tgzsinzcosz,ctgzcoszsinzsinz,cosz在z平面內(nèi)解析，且sinzcosz,coszsinz

注：有界性

sinz1,cosz1不再成立；（與實(shí)函數(shù)不同）

ezezezez6）雙曲函數(shù)

shz2,chz2；shz奇函數(shù)，chz是偶函數(shù)。shz,chz在z平面內(nèi)解析shzchz,chzshz

第三章解析函數(shù)的定義

1.復(fù)變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

設(shè)函數(shù)wf(z)定義于區(qū)域D,z0為D中的一

點(diǎn),點(diǎn)z0z不出D的范圍,f(z0z)f(z0)

如果極限limz0z存在,

那末就稱f(z)在z0可導(dǎo).這個(gè)極限值稱為f(z)在z0的導(dǎo)數(shù),復(fù)變量函數(shù)的解析性

如果函數(shù)f(z)在z0及z0的鄰域內(nèi)處處可導(dǎo),那末稱f(z)在z0解析.如果函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)解析,則稱

f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析.或稱f(z)是區(qū)域D內(nèi)的一

個(gè)解析函數(shù)(全純函數(shù)或正則函數(shù)).

2.函數(shù)可導(dǎo)與解析的充要條件1）函數(shù)可導(dǎo)的充要條件：

fzux,yivx,y在zxiy可導(dǎo)

ux,y和vx,y在x,y可微，且在x,y處滿足CD條件：

uv,xyuvuvfziyx此時(shí)，有xx。

2）函數(shù)解析的充要條件：

fzux,yivx,y在區(qū)域內(nèi)解析

ux,y和vx,y在x,y在D內(nèi)可微，且滿足CD條件：

uv,xyfzuvyx；uvixx。

此時(shí)

注意：若

ux,y,vx,y在區(qū)域D具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則

ux,y,vx,y在區(qū)

域D內(nèi)是可微的。因此在使用充要條件證明時(shí)，只要能說明u,v具有一階連續(xù)偏導(dǎo)且滿足CR條件時(shí)，函數(shù)f(z)uiv一定是可導(dǎo)或解析的。

解析映射的幾何意義

保角性：任何兩條相交曲線的夾角（即在交點(diǎn)的切線的夾角）在解析映射下的夾角保持不變

第四章柯西定理和柯西公式

1．復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)

fzdz1）

ccc1fzdz（c與c的方向相反）；

cc1

[fzgz]dzfzdzgzdz,,2）是常數(shù)；

3）若曲線c由c1與c2連接而成，則c2．復(fù)變函數(shù)積分的一般計(jì)算法

ccfzdzfzdzfzdzc1c2。

fzdzudxvdyivdxudy1）化為線積分：；（常用于理論證明）

c2）參數(shù)方法：設(shè)曲線c：

zzt(t)，其中對(duì)應(yīng)曲線c的起點(diǎn)，對(duì)

應(yīng)曲線c的終點(diǎn)，則c

3.積分與路徑無關(guān)的條件和原函數(shù)1）條件：見書中定理（1.1）（1.2）命題（1.1）（1.2）這幾個(gè)定理及命題都只有理論上的意義�？挛�-古爾薩定理及其應(yīng)用4．柯西古薩基本定理：

fzdzf[zt]z(t)dt設(shè)

fz在單連域B內(nèi)解析，c為B內(nèi)任一閉曲線，則

fzdz0c

5．復(fù)合閉路定理：設(shè)

fz在多連域D內(nèi)解析，c為D內(nèi)任意一條簡單閉曲線，

c1,c2,cn是c內(nèi)的簡單閉曲線，它們互不包含互不相交，并且以c1,c2,cn為邊界的區(qū)域全含于D內(nèi)，則

①

fzdz,fzdzcnk1ck其中c與ck均取正向；

②

fzdz01cc，其中由及(k1,2,n)所組成的復(fù)合閉路。

6．閉路變形原理：一個(gè)在區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)

fz沿閉曲線c的積分，不

因c在D內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值，只要在變形過程中c不經(jīng)過使的奇點(diǎn)。

7．解析函數(shù)沿非閉曲線的積分：設(shè)

fz不解析

fzGzfz在單連域B內(nèi)解析，為在B(z1,z2B)內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，則

說明：解析函數(shù)數(shù)即可。

8.柯西積分公式：設(shè)

z2z1fzdzGz2Gz1

fz沿非閉曲線的積分與積分路徑無關(guān)，計(jì)算時(shí)只要求出原函

fz在區(qū)域D內(nèi)解析，c為D內(nèi)任一正向簡單閉曲線，cfzdz2ifz0czzz0的內(nèi)部完全屬于D，0為c內(nèi)任意一點(diǎn)，則9．高階導(dǎo)數(shù)公式：解析函數(shù)

fz的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)，它的n階導(dǎo)數(shù)為fz2indzc(zz0)n1n!fz0其中c為

(n1,2)

fz的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞z0的任何一條正向簡單閉曲線，而且它的內(nèi)

部完全屬于D。10重要結(jié)論：

2i,1dzn1(za)0,cn0n0。（c是包含a的任意正向簡單閉曲線）

8．復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算方法1）若2）設(shè)

fzfz在區(qū)域D內(nèi)處處不解析，用一般積分法在區(qū)域D內(nèi)解析，

cfzdzf[zt]ztdt

cc是D內(nèi)一條正向簡單閉曲線，則由柯西古薩定理，fzdz0

c是D內(nèi)的一條非閉曲線，z1,z2對(duì)應(yīng)曲線c的起點(diǎn)和終點(diǎn)，則有

cfzdzz2z1fzdzFz2Fz1

3）設(shè)

fz在區(qū)域D內(nèi)不解析

fzdz2ifz0czz0fz2indzfz0c(zz)n1n!0曲線c內(nèi)僅有一個(gè)奇點(diǎn)：（f(z)在c內(nèi)解析）

曲線c內(nèi)有多于一個(gè)奇點(diǎn)：cnfzdzfzdzk1ckkn（ci內(nèi)只有一個(gè)奇點(diǎn)zk）

或：

fzdz2iRes[f(z),z]ck1（留數(shù)基本定理）

fzn1(zz)o若被積函數(shù)不能表示成，則須改用第五章留數(shù)定理來計(jì)算。

在柯西定理的基礎(chǔ)上還有莫拉雷定理，柯西不等式，劉維爾定理最大模原理

解析函數(shù)的模不能再區(qū)域內(nèi)達(dá)到極大值，除非它是一個(gè)常函數(shù)

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