冪函數(shù)知識總結(jié)
冪函數(shù)復習
yx(R)的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中x是自變量,是一、冪函數(shù)定義:形如
常數(shù)。
注意:冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)有何不同?
【思考提示】本質(zhì)區(qū)別在于自變量的位置不同,冪函數(shù)的自變量在底數(shù)位置,而指數(shù)函數(shù)的自變量在指數(shù)位置.觀察圖:
歸納:冪函數(shù)圖像在第一象限的分布情況如下:
二、冪函數(shù)的性質(zhì)
歸納:冪函數(shù)在第一象限的性質(zhì):
0,圖像過定點(0,0)(1,1),在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增。0,圖像過定點(1,1),在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞減。
探究:整數(shù)m,n的奇偶與冪函數(shù)yx(m,nZ,且m,n互質(zhì))的定義域以及奇偶性有什么關(guān)系?
結(jié)果:形如yx(m,nZ,且m,n互質(zhì))的冪函數(shù)的奇偶性
(1)當m,n都為奇數(shù)時,f(x)為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點對稱;(2)當m為奇數(shù)n為偶數(shù)時,f(x)為偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對稱;
(3)當m為偶數(shù)n為奇數(shù)時,f(x)是非奇非偶函數(shù),圖象只在第一象限內(nèi).三、冪函數(shù)的圖像畫法:
關(guān)鍵先畫第一象限,然后根據(jù)奇偶性和定義域畫其它象限。指數(shù)大于1,在第一象限為拋物線型(凹);指數(shù)等于1,在第一象限為上升的射線;
指數(shù)大于0小于1,在第一象限為拋物線型(凸);指數(shù)等于0,在第一象限為水平的射線;指數(shù)小于0,在第一象限為雙曲線型;四、規(guī)律方法總結(jié):
yx(0,1)的圖像:1、冪函數(shù)
mnmn
yx(q,p,qZ,p,q互質(zhì))p的圖像:
2、冪函數(shù)
3、比較冪形式的兩個數(shù)的大小,一般的思路是:(1)若能化為同指數(shù),則用冪函數(shù)的單調(diào)性;(2)若能化為同底數(shù),則用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性;
(3)若既不能化為同指數(shù),也不能化為同底數(shù),則需尋找一個恰當?shù)臄?shù)作為橋梁來比較大小.
題型一:冪函數(shù)解析式特征
例1.下列函數(shù)是冪函數(shù)的是()A.y=x
xB.y=3xC.y=x+1D.y=x
221232m2m1y(mm1)x練習1:已知函數(shù)是冪函數(shù),求此函數(shù)的解析式.
2a9f(x)(a9a19)x練習2:若函數(shù)是冪函數(shù),且圖象不經(jīng)過原點,求函數(shù)的
解析式.
題型二:冪函數(shù)性質(zhì)
例2:下列命題中正確的是()
A.當0時,函數(shù)yx的圖象是一條直線B.冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(0,0),(1,1)兩點C.冪函數(shù)的yx圖象不可能在第四象限內(nèi)
3D.若冪函數(shù)yx為奇函數(shù),則在定義域內(nèi)是增函數(shù)
練習3:如圖,曲線c1,c2分別是函數(shù)y=xm和y=xn在第一象限的圖象,那么一定有()
A.n0yc1練習4:.(1)函數(shù)y=x的單調(diào)遞減區(qū)間為()A.(-∞,1)B.(-∞,0)C.[0,+∞)D.(-∞,+∞)
(2).函數(shù)y=x
(3).冪函數(shù)的圖象過點(2,4),則它的單調(diào)遞增區(qū)間是.題型三:比較大小
.利用冪函數(shù)的性質(zhì),比較下列各題中兩個冪的值的大小:(1)2.3,2.4;(2)0.31,0.35;(3)(2),(3);(4)1.1,0.9..經(jīng)典例題:
例1、已知函數(shù)f(x)x2mm3(mZ)為偶函數(shù),且f(3)f(5),求m的值,并確定f(x)的解析式.
例2、若(m1)1(32m)1,試求實數(shù)m的取值范圍.例3、若(m1)3(32m)3,試求實數(shù)m的取值范圍.例4、若(m1)4(32m)4,試求實數(shù)m的取值范圍.
例5、函數(shù)y(mx4xm2)(m2mx1)的定義域是全體實數(shù),求m的
214225c20x34在區(qū)間上是減函數(shù).
13434
656532321212取值范圍。
擴展閱讀:指對冪函數(shù)知識點總結(jié)
〖2.1〗指數(shù)函數(shù)
【2.1.1】指數(shù)與指數(shù)冪的運算
(1)根式的概念
①如果xna,aR,xR,n1,且nN,那么x叫做a的n次方根.當n是奇數(shù)時,
a的n次方根用符號na表示;當n是偶數(shù)時,正數(shù)a的正的n次方根用符號na表示,負的n次方
根用符號na表示;0的n次方根是0;負數(shù)a沒有n次方根.
a叫做根式,這里n叫做根指數(shù),a叫做被開方數(shù).當n為奇數(shù)時,a為任意實數(shù);當
②式子nn為偶數(shù)時,a0.
③根式的性質(zhì):
(na)na;當
n為奇數(shù)時,
nana;當
n為偶數(shù)時,
na(a0).a(chǎn)n|a|a(a0)mn(2)分數(shù)指數(shù)冪的概念
①正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是:a冪等于0.
②正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是:amnnam(a0,m,nN,且n1).0的正分數(shù)指數(shù)
1m1()nn()m(a0,m,nN,且n1).0
aa的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.注意口訣:底數(shù)取倒數(shù),指數(shù)取相反數(shù).(3)分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)
①arasars(a0,r,sR)②(ar)sars(a0,r,sR)
r③(ab)arbr(a0,b0,rR)
【2.1.2】指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
(4)指數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱定義圖象函數(shù)指數(shù)函數(shù)yax(a0且a1)叫做指數(shù)函數(shù)0a1yaxa1yyaxyy1(0,1)y1(0,1)O
xOx
定義域值域R(0,)圖象過定點(0,1),即當x過定點奇偶性單調(diào)性0時,y1.在R上是減函數(shù)非奇非偶在R上是增函數(shù)ax1(x0)函數(shù)值的變化情況ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)a變化對圖象的影響
在第一象限內(nèi),a越大圖象越高;在第二象限內(nèi),a越大圖象越低.〖2.2〗對數(shù)函數(shù)【2.2.1】對數(shù)與對數(shù)運算
(1)對數(shù)的定義①若axN(a0,且a1),則x叫做以a為底N的對數(shù),記作xlogaN,其中a叫做底數(shù),
N叫做真數(shù).
②負數(shù)和零沒有對數(shù).
③對數(shù)式與指數(shù)式的互化:xlogaNaxN(a0,a1,N0).
(2)幾個重要的對數(shù)恒等式
loga10,logaa1,logaabb.
(3)常用對數(shù)與自然對數(shù)
常用對數(shù):lgN,即log10(4)對數(shù)的運算性質(zhì)如果a①加法:logaN;自然對數(shù):lnN,即loge.N(其中e2.71828…)
0,a1,M0,N0,那么
MNMlogaNloga(MN)②減法:logaMlogaNlogaMlogaMn(nR)④alogaNN
③數(shù)乘:nloga
⑤logabMnnlogbNlogaM(b0,nR)⑥換底公式:logaN(b0,且b1)blogba【2.2.2】對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
(5)對數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱定義函數(shù)對數(shù)函數(shù)ylogax(a0且a1)叫做對數(shù)函數(shù)0a11xa1y圖象x1ylogaxyylogax(1,0)O(1,0)xOx定義域值域過定點奇偶性單調(diào)性在(0,)上是增函數(shù)(0,)R圖象過定點(1,0),即當x1時,y0.非奇非偶在(0,)上是減函數(shù)logax0(x1)函數(shù)值的變化情況logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(0x1)a變化對圖象的影響(6)反函數(shù)的概念
設(shè)函數(shù)果對于子x在第一象限內(nèi),a越大圖象越靠低;在第四象限內(nèi),a越大圖象越靠高.yf(x)的定義域為A,值域為C,從式子yf(x)中解出x,得式子x(y).如
y在C中的任何一個值,通過式子x(y),x在A中都有唯一確定的值和它對應(yīng),那么式
(y)表示x是y的函數(shù),函數(shù)x(y)叫做函數(shù)yf(x)的反函數(shù),記作xf1(y),
習慣上改寫成
yf1(x).
(7)反函數(shù)的求法
①確定反函數(shù)的定義域,即原函數(shù)的值域;②從原函數(shù)式③將xyf(x)中反解出xf1(y);
f1(y)改寫成yf1(x),并注明反函數(shù)的定義域.
(8)反函數(shù)的性質(zhì)①原函數(shù)
②函數(shù)
yf(x)與反函數(shù)yf1(x)的圖象關(guān)于直線yx對稱.
yf(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)yf1(x)的值域、定義域.
③若P(a,b)在原函數(shù)④一般地,函數(shù)
yf(x)的圖象上,則P"(b,a)在反函數(shù)yf1(x)的圖象上.
yf(x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù).
〖2.3〗冪函數(shù)
(1)冪函數(shù)的定義一般地,函數(shù)
yx叫做冪函數(shù),其中x為自變量,是常數(shù).
(2)冪函數(shù)的圖象(3)冪函數(shù)的性質(zhì)①圖象分布:冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限,第四象限無圖象.冪函數(shù)是偶函數(shù)時,圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于y軸對稱);是奇函數(shù)時,圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點對稱);是非奇非偶函數(shù)時,圖象只分布在第一象限.
②過定點:所有的冪函數(shù)在(0,)都有定義,并且圖象都通過點(1,1).③單調(diào)性:如果0,則冪函數(shù)的圖象過原點,并且在[0,)上為增函數(shù).如果0,則冪函數(shù)
的圖象在(0,)上為減函數(shù),在第一象限內(nèi),圖象無限接近x軸與
y軸.
④奇偶性:當為奇數(shù)時,冪函數(shù)為奇函數(shù),當為偶數(shù)時,冪函數(shù)為偶函數(shù).當qpq(其中p,q互pqp質(zhì),p和qZ),若是偶函數(shù),若
p為奇數(shù)q為奇數(shù)時,則yxqp是奇函數(shù),若
p為奇數(shù)q為偶數(shù)時,則yxp為偶數(shù)q為奇數(shù)時,則yx是非奇非偶函數(shù).
⑤圖象特征:冪函數(shù)
yx,x(0,),當1時,若0x1,其圖象在直線yx下方,若
x1,其圖象在直線yx上方,當1時,若0x1,其圖象在直線yx上方,若x1,
其圖象在直線
yx下方.
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