二次函數(shù)平移旋轉(zhuǎn)總歸納及二次函數(shù)典型習題
二次函數(shù)圖像平移、旋轉(zhuǎn)總歸納
一、二次函數(shù)的圖象的平移,先作出二次函數(shù)y=2x2+1的圖象①向上平移3個單位,所得圖象的函數(shù)表達式是:y=2x2+4;②向下平移4個單位,所得圖象的函數(shù)表達式是:y=2x2-3;③向左平移5個單位,所得圖象的函數(shù)表達式是:y=2(x+5)2+1;④向右平移6個單位,所得圖象的函數(shù)表達式是:y=2(x-6)2+1.由此可以歸納二次函數(shù)y=ax2+c
向上平移m個單位,所得圖象的函數(shù)表達式是:y=ax2+c+m;向下平移m個單位,所得圖象的函數(shù)表達式是:y=ax+c-m;向左平移n個單位,所得圖象的函數(shù)表達式是:y=a(x+n)2+c;向右平移n個單位,所得圖象的函數(shù)表達式是:y=a(x-n)2+c,二、二次函數(shù)的圖象的翻折
在一張紙上作出二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象,
⑤沿x軸把這張紙對折,所得圖象的函數(shù)表達式是:y=x2+2x-3.⑥沿y軸把這張紙對折,所得圖象的函數(shù)表達式是:y=x2+2x-3由此可以歸納二次函數(shù)y=ax2+bx+c
若沿x軸翻折,所得圖象的函數(shù)表達式是:y=-ax2-bx-c,若沿y軸翻折,所得圖象的函數(shù)表達式是:y=ax2-bx+c三、二次函數(shù)的圖象的旋轉(zhuǎn),
將二次函數(shù)y=-2x+x-1的圖象,繞原點旋轉(zhuǎn)180°,所得圖象的函數(shù)表達式是y=22
1221x-x+1;
由此可以歸納二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象繞原點旋轉(zhuǎn)180°,所得圖象的函數(shù)表達式是y=-ax2-bx-c.(備用圖如下)
1、(201*桂林)在平面直角坐標系中,將拋物線y=x2+2x+3繞著它與y軸的交點旋轉(zhuǎn)180°,所得拋物線的解析式是()A.y=-(x+1)2+2
B.y=-(x-1)2+4
C.y=-(x-1)2+2D.y=-(x+1)2+4
2、(201*浙江寧波中考)把二次函數(shù)y=(x-1)2+2的圖象繞原點旋轉(zhuǎn)180°后得到的圖象的解析式為________.
3、飛機著陸后滑行的距離s(單位:m)與滑行的時間t(單位:s)的函數(shù)關(guān)系式是s=60t-1.5t2,飛機著陸后滑行的最遠距離是()A.600m
B.300mC.1200m
D.400m
4、(201*襄陽)某一型號飛機著陸后滑行的距離y(單位:m)與滑行時間x(單位:s)之間的函數(shù)關(guān)系式是y=60x-1.5x2,該型號飛機著陸后滑行m才能停下來.
5、已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象與
x軸交于點(-2,0),(x1,0)且1<x1
<2,與y軸正半軸的交點在點(0,2)的下方,下列結(jié)論:①a<b<0;②2a+c>0;③4a+c<0,④2a-b+l>0.其中的有正確的結(jié)論是(填寫序號)__________.6、已知二次函數(shù)y=ax2(a≥1)的圖像上兩點A、B的橫坐標分別是-1、2,點O是坐標原點,如果△AOB是直角三角形,則△OAB的周長為。
37、如圖,已知拋物線yx2bxc與坐標軸交于A,B,C三點,點A的橫坐
433)的直線yx3與x軸交于點Q,點P是線段BC上的標為1,過點C(0,4t一個動點,PHOB于點H.若PB5t,且0t1.(1)確定b,c的值:
(2)寫出點B,Q,P的坐標(其中Q,P用含t的式子表示):
(3)依點P的變化,是否存在t的值,使△PQB為等腰三角形?若存在,求出所有t的值;若不存在,說明理由.
CyPAOQHBx8、已知P(m,a)是拋物線yax2上的點,且點P在第一象限.(1)求m的值
(2)直線ykxb過點P,交x軸的正半軸于點A,交拋物線于另一點M.①當b2a時,∠OPA=90°是否成立?如果成立,請證明;如果不成立,舉出一個反例說明;
1②當b4時,記△MOA的面積為S,求的最大值
sMyPOAx9、已知直線y2xbb0與x軸交于點A,與y軸交于點B;一拋物線的解析式為yx2b10xc.
(1)若該拋物線過點B,且它的頂點P在直線y2xb上,試確定這條拋物線的解析式;
(2)過點B作直線BC⊥AB交x軸交于點C,若拋物線的對稱軸恰好過C點,試確定直線y2xb的解析式.
擴展閱讀:二次函數(shù)知識點總結(jié)及練習題
二次函數(shù)
考點1、二次函數(shù)的概念
定義:一般地,如果yaxbxc(a,b,c是常數(shù),a0),那么y叫做x的二次函數(shù).注意:(1)二次函數(shù)是關(guān)于自變量x的二次式,二次項系數(shù)a必須為非零實數(shù),即a≠0,而b、c為任意實數(shù)。
2(2)當b=c=0時,二次函數(shù)yax是最簡單的二次函數(shù)。
(3)二次函數(shù)yaxbxc(a,b,c是常數(shù),a0)自變量的取值為全體實數(shù)(axbxc為整式)
例1:函數(shù)y=(m+2)x+2x-1是二次函數(shù),則m=_______.
2例2:已知函數(shù)y=ax+bx+c(其中a,b,c是常數(shù)),當a____時,是二次函數(shù);當a______,b_____時,是一次函數(shù);當a_______,b_______,c_________時,是正比例函數(shù).
2例3:函數(shù)y=(m-n)x+mx+n是二次函數(shù)的條件是()
A.m、n為常數(shù),且m≠0B.m、n為常數(shù),且m≠nC.m、n為常數(shù),且n≠0D.m、n可以為任何常數(shù)例4:下列函數(shù)中是二次函數(shù)的有()
①y=x+
m2222211222
;②y=3(x-1)+2;③y=(x+3)-2x;④y=2+x.xxA.1個B.2個C.3個D.4個
考點2、三種函數(shù)解析式:
2(1)一般式:y=ax+bx+c(a≠0),
b4acb2b對稱軸:直線x=頂點坐標:(),2a4a2a2(2)頂點式:yaxhk(a≠0),對稱軸:直線x=h頂點坐標為(h,k)
(3)交點式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),
對稱軸:直線x=
x1x222(其中x1、x2是二次函數(shù)與x軸的兩個交點的橫坐標).
例1:拋物線yx2x8的頂點坐標為____________;對稱軸是___________。例2:二次函數(shù)y=-4(1+2x)(x-3)的一般形式是_______例3:已知函數(shù)ymx(mm)x2的圖象關(guān)于y軸對稱,則m=________;
2例4:拋物線y=x-4x+3與x軸的交點坐標是______.例5:把方程x(x+2)=5(x-2)化為一元二次方程的一般形式后a=____,b=_____,c=_____.考點3、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
(1)一般式:yaxbxc.已知圖像上三點或三對x、y的值,通常選擇一般式.(2)頂點式:yaxhk.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸或最值,通常選擇頂點式.
2222yaxx1xx2.
(3)交點式:已知圖像與x軸的交點坐標x1、x2,通常選用交點式:
2例1:一個二次函數(shù)的圖象頂點坐標為(-5,1),形狀與拋物線y=2x相同,這個函數(shù)解析式為______________.
例2:已知拋物線的頂點坐標是(-2,1),且過點(1,-2),求拋物線的解析式。
例3:已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(0,1),(2,1)和(3,4),求該二次函數(shù)的解析式。
例4:已知二次函數(shù)的圖像與x軸的2個交點為(1,0),(2,0),并且過(3,4),求該二次函數(shù)的解析式。
考點4.二次函數(shù)的圖象
1、二次函數(shù)yaxbxc的圖像是對稱軸平行于(包括重合)y軸的拋物線.2、二次函數(shù)由特殊到一般,可分為以下幾種形式:①yax;②yaxk;③
222yaxh;④yaxh2k;⑤yax2bxc.
2注:二次函數(shù)的圖象可以通過拋物線的平移得到
3、二次函數(shù)yaxbxc的圖像的畫法
因為二次函數(shù)的圖像是拋物線,是軸對稱圖形,所以作圖時步驟是:(1)先找出頂點坐標,畫出對稱軸;
(2)找出拋物線上關(guān)于對稱軸的四個點(如與坐標軸的交點等);(3)把上述五個點按從左到右的順序用平滑曲線連結(jié)起來.
典型例題:
2例1:函數(shù)y=x的頂點坐標為_______.若點(a,4)在其圖象上,則a的值是________.
2例2:若點A(3,m)是拋物線y=-x上一點,則m=________.
2222
例3:函數(shù)y=x與y=-x的圖象關(guān)于________對稱,也可以認為y=-x,是函數(shù)y=x的圖象繞___________旋轉(zhuǎn)得到.
2例4:若二次函數(shù)y=ax(a≠0),圖象過點P(2,-8),則函數(shù)表達式為_________.
2例5:.函數(shù)y=x的圖象的對稱軸為______,與對稱軸的交點為_______,是函數(shù)的頂點.
2例7:若a>1,點(-a-1,y1)、(a,y2)、(a+1,y3)都在函數(shù)y=x的圖象上,判斷y1、y2、y3的大小關(guān)系?
考點5.二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標2yax2yax2k2yaxh當a0時開口向上當a0時開口向下x0(y軸)x0(y軸)xh(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)(yaxhk2xhxb2ayaxbxc2b4acb2,2a4a)注:常用性質(zhì):1、開口方向:當a>0時,函數(shù)開口方向向上;當a0時,在對稱軸左側(cè),y隨著x的增大而減少;在對稱軸右側(cè),y隨著x的增大而增大;當a0時,函數(shù)有最小值,并且當x=,y最。
4a2a4acb2b當a0時,當x為何值時,y=0;當x為何值時,y考點7.拋物線的三要素:開口方向、對稱軸、頂點坐標。①a的符號決定拋物線的開口方向
②對稱軸平行于y軸(或重合)的直線記作xh.特別地,y軸記作直線x0.③頂點決定拋物線的位置.
幾個不同的二次函數(shù),如果二次項系數(shù)a相同,那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同,只是頂點的位置不同.例1:函數(shù)
在同一坐標系中的圖象大致是圖中的()
2例2:拋物線y(x2)3的頂點坐標是()
A.(2,3)B.(-2,3)C.(2,-3)D.(-2,-3)例3:二次函數(shù)y(x1)2的最小值是().A.2B.1C.-3D.
22,n是常數(shù))的頂點坐標是()例4:拋物線y2(xm)n(mn)D.(m,n)A.(m,n)B.(m,n)C.(m,2
例5:函數(shù)y=ax+1與y=ax+bx+1(a≠0)的圖象可能是()
23y1y1y1y1oxo2xoxox
A.B.C.D.
考點8.拋物線yaxbxc中a、b、c的作用1、a決定拋物線的開口方向和開口大小
a的符號決定拋物線的開口方向:當a>0時,函數(shù)開口方向向上;當a3、c的大小決定拋物線于y軸的交點位置。(于y=kx+b中的b作用相同)
2yaxbxc與y軸有且只有一個交點(0,c)ycx0當時,,∴拋物線:
注意:
①c0,拋物線經(jīng)過原點;②c0,與y軸交于正半軸;③c0,與y軸交于負半軸.
以上三點中,當結(jié)論和條件互換時,仍成立.如拋物線的對稱軸在y軸右側(cè),則
2b0.a例1:已知拋物線yaxbxc經(jīng)過原點和第一、二、三象限,則()A.a>0,b考點9、拋物線的平移
方法:左加右減,上加下減
拋物線的平移實質(zhì)是頂點的平移,因為頂點決定拋物線的位置,所以,拋物線平移時首先化為頂點式
y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k0時,拋物線有最低點,函數(shù)有最小值,當x=,y最。
4a2ab4acb2當a例4:二次函數(shù)y(x1)2的最小值是()A.2(B)1(C)-1(D)-2
例2:拋物線y=-x+x+7與x軸的交點個數(shù)是()
2例3:拋物線y=-3x+2x-1的圖象與x軸交點的個數(shù)是()A.沒有交點B.只有一個交點C.有且只有兩個交點D.有且只有三個交點
考點12、直線與拋物線的交點問題
(1)y軸與拋物線yaxbxc得交點為(0,c).
(2)與y軸平行的直線xh與拋物線yaxbxc有且只有一個交點(h,ah2222
2bhc).
(3)拋物線與x軸的交點
二次函數(shù)yaxbxc的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標x1、x2,是對應一元二次方程axbxc0的兩個實數(shù)根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定:
①有兩個交點0拋物線與x軸相交;
②有一個交點(頂點在x軸上)0拋物線與x軸相切;③沒有交點0拋物線與x軸相離.
(4)平行于x軸的直線與拋物線的交點
同(3)一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時,兩交點的縱坐標相等,設(shè)縱坐標為k,則橫坐標是axbxck的兩個實數(shù)根.
(5)一次函數(shù)ykxnk0的圖像l與二次函數(shù)yaxbxca0的圖像G的交
2222點,由方程組ykxnyax2bxc的解的數(shù)目來確定:①方程組有兩組不同的解時l與G有兩個交點;②方程組只有一組解時l與G只有一個交點;③方程組無解時l與G沒有交點.
例1:已知a0,在同一直角坐標系中,函數(shù)yax與yax2的圖象有可能是()
1yy1yO1yx1O1xO1x1O1xA.B.C.D.
例3:在同一直角坐標系中,函數(shù)ymxm和函數(shù)ymx2x2(m是常數(shù),且m0)的圖象可能是..
例4:已知直線y=-2x+3與拋物線y=ax相交于A、B兩點,且A點坐標為(-3,m).(1)求a、m的值;
(2)求拋物線的表達式及其對稱軸和頂點坐標;
(3)x取何值時,二次函數(shù)y=ax中的y隨x的增大而減;
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