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高中函數(shù)總結(jié)歸納

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高中函數(shù)總結(jié)歸納

高中函數(shù)總結(jié)表許騰

函數(shù)圖像定義域yy值域單調(diào)性奇偶性對稱性最值周期一次函數(shù)OxOxRy=kx+b(k≠0)(k>0,b>0)(k>0,b<0)yRk>0時,在R上單調(diào)遞增;k<0時,在R上單調(diào)遞減。當b=0既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,有無數(shù)條對稱軸和對稱中心。時,是奇函數(shù)。yOxOx(k<0,b>0)(k<0,b<0)R當a>0時,二次函數(shù)當a>0時,在(∞,,+y=ax2+bx+c(a≠0)y∈[4acb24ab]上單調(diào)遞2a減;在[b,+∞)∞);解析式:2y=a(x+b)2+4acb2a4a當a<0時,y∈(∞,2aa>0上單調(diào)遞增。當a<0時,在(∞,4acb]4a2b]上單調(diào)遞2a增;b=0時,是偶函數(shù)關(guān)于x=b2a當a>0時,有最小值,為4acb24a成軸對稱當a>0時,有最大值,為4acb24a在[b,+∞)a<0反比例函數(shù)y=(k≠0)kx2a上單調(diào)遞減。k>0x≠0y≠0當k>0時,在(∞,0)和(0,+∞)上單調(diào)遞減當k<0時,在(∞,0)和(0,+∞)上單調(diào)遞奇函數(shù)既是軸對稱又是中心對稱。關(guān)于原點O中心對稱;關(guān)于y=±x成軸對稱。增k<0第1頁高中函數(shù)總結(jié)表許騰

指數(shù)函數(shù)y=ax0<a<1R當0<a<1時,在R上單調(diào)遞減。(0,+∞)非奇非偶(a>0且a≠1)當a>1時,在R上單調(diào)遞增。a>1對數(shù)函數(shù)y=loga一般地,如果a(a>0且a≠1)的b次冪等于N,那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù),記作logaN=b,其中a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù)。x(a>0且a≠1)0<a<1(0,+∞)R當0<a<1時,(0,+∞)上單調(diào)遞減。非奇非偶當a>1時,(0,+∞)上單調(diào)遞增。a>1冪函數(shù)y=xa(a為常數(shù))部分函數(shù)圖像(第一象限)部分函數(shù)圖像(第一象限)第2頁高中函數(shù)總結(jié)表許騰

正弦函數(shù)y=sinx,x∈RR[-1,1]],k在[2kπ-,2kπ+22∈z上單調(diào)遞增;在[2kπ+,2kπ+3],k22奇函數(shù)關(guān)于(kπ,0)成中心對稱;關(guān)于x=kπ+成2軸對稱。ymax=1;ymin=-1.2π∈z上單調(diào)遞減;余弦函數(shù)y=cosx,x∈RR[-1,1]在[2kπ+π,2kπ+2π],k∈z上單調(diào)遞增;在[2kπ,2kπ+π],k∈z上單調(diào)遞減;偶函數(shù)關(guān)于(kπ+,0)2成中心對稱;關(guān)于x=kπ成軸對稱。ymax=1;ymin=-1.2π正切函數(shù)y=tanx,xx2k,kZ2k,kZR在[2kπ-,kπ+]上單22調(diào)遞增。奇函數(shù),關(guān)于(k20)中心對稱。π

第3頁

擴展閱讀:高中函數(shù)歸納總結(jié)梳理知識點(百科眾多函數(shù)再總結(jié)而來)

七彩希翼

一次函數(shù)

一、定義與定義式:自變量x和因變量y有如下關(guān)系:y=kx+b(k為常數(shù),k≠0)則此時稱y是x的一次函數(shù)。

特別地,當b=0時,y是x的正比例函數(shù)。即:y=kx(k為常數(shù),k≠0)二、一次函數(shù)的性質(zhì):

1.y的變化值與對應(yīng)的x的變化值成正比例,比值為k即:y=kx+b(k為任意不為零的實數(shù)b取任何實數(shù))2.當x=0時,b為函數(shù)在y軸上的截距。三、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì):

1.作法與圖形:通過如下3個步驟(1)列表;(2)描點;

(3)連線,可以作出一次函數(shù)的圖像一條直線。因此,作一次函數(shù)的圖像只需知道2點,并連成直線即可。(通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點)

2.性質(zhì):(1)在一次函數(shù)上的任意一點P(x,y),都滿足等式:y=kx+b。(2)一次函數(shù)與y軸交點的坐標總是(0,b),與x軸總是交于(-b/k,0)正比例函數(shù)的圖像總是過原點。3.k,b與函數(shù)圖像所在象限:

當k>0時,直線必通過一、三象限,y隨x的增大而增大;當k<0時,直線必通過二、四象限,y隨x的增大而減小。當b>0時,直線必通過一、二象限;當b=0時,直線通過原點

當b<0時,直線必通過三、四象限。

特別地,當b=O時,直線通過原點O(0,0)表示的是正比例函數(shù)的圖像。

這時,當k>0時,直線只通過一、三象限;當k<0時,直線只通過二、四象限。四、確定一次函數(shù)的表達式:

已知點A(x1,y1);B(x2,y2),請確定過點A、B的一次函數(shù)的表達式。(1)設(shè)一次函數(shù)的表達式(也叫解析式)為y=kx+b。

(2)因為在一次函數(shù)上的任意一點P(x,y),都滿足等式y(tǒng)=kx+b。所以可以列出2個方程:y1=kx1+b①和y2=kx2+b②(3)解這個二元一次方程,得到k,b的值。(4)最后得到一次函數(shù)的表達式。五、一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用:

1.當時間t一定,距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。

2.當水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水時間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量S。g=S-ft。

六、常用公式:(不全,希望有人補充)

1.求函數(shù)圖像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)2.求與x軸平行線段的中點:|x1-x2|/23.求與y軸平行線段的中點:|y1-y2|/2

4.求任意線段的長:√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2(注:根號下(x1-x2)與(y1-y2)的平方和)七彩希翼

二次函數(shù)

I.定義與定義表達式

一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:y=ax^2+bx+c

(a,b,c為常數(shù),a≠0,且a決定函數(shù)的開口方向,a>0時,開口方向向上,a七彩希翼

例5若函數(shù)yax2ax1的定義域是R,求實數(shù)a的取值范圍(畫圖就可以求解)a10恒成立,a2解:∵定義域是R,∴axaxa01∴等價于0a2

a24a0a例5若函數(shù)yf(x)的定義域為[1,1],求函數(shù)yf(x解:要使函數(shù)有意義,必須:

11)f(x)的定義域44151x1x44131x1x44∴函數(shù)yf(x343x3544434113)f(x)的定義域為:x|x444抽象函數(shù):例6已知f(x)滿足2f(x)f(1)3x,求f(x);

x∵已知2f(x)f(1)3x①,

x將①中x換成

1得2f(1)f(x)3②,xxx①2-②得3f(x)6x3∴f(x)2x1.

xx

函數(shù)值域求解方法:

一、直接法:從自變量x的范圍出發(fā),推出yf(x)的取值范圍。

二、配方法(二次函數(shù)法):配方法式求“二次函數(shù)類”值域的基本方法。形如F(x)af(x)bf(x)c的函數(shù)的值域問題,均可使用配方法

三、反函數(shù)法:利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系,通過求反函數(shù)的定義域,得到原函數(shù)的值域。

四、分離常數(shù)法:分子、分母是一次函數(shù)得有理函數(shù),可用分離常數(shù)法,此類問題一般也可以用反函數(shù)法。五、換元法:運用代數(shù)代換,獎所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù),從而求得原函數(shù)的值域,形如

2yaxbcxd(a、b、c、d均為常數(shù),且a0)的函數(shù)常用此法求解。

六、判別式法:把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方程F(x,y)0;通過方程有實數(shù)根,判別式0,從而求得

a1x2b1xc1原函數(shù)的值域,形如y(a1、a2不同時為零)的函數(shù)的值域,常用此方法求解。2a2xb2xc2七、函數(shù)的單調(diào)性法:確定函數(shù)在定義域(或某個定義域的子集)上的單調(diào)性,求出函數(shù)的值域。八、利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求最值:當一個函數(shù)在定義域上可導(dǎo)時,可據(jù)其導(dǎo)數(shù)求最值。九、利用重要的不等式:基本不等式求值域。十、圖像法(數(shù)形結(jié)合法):函數(shù)圖像是掌握函數(shù)的重要手段,利用數(shù)形結(jié)合的方法,根據(jù)函數(shù)圖像求得函數(shù)值域,是一種求值域的重要方法。

注:求函數(shù)的值域沒有通性解法,只有根據(jù)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征來確定相應(yīng)的解法。但不論哪種方法,都應(yīng)遵循一個原則:定義域優(yōu)先的原則。

例1.求下列函數(shù)的值域

①y=3x+2(-1x1)②f(x)24x七彩希翼

③y1x④yxx1x解:①∵-1x1,∴-33x3,

∴-13x+25,即-1y5,∴值域是[-1,5]②∵4x[0,)∴f(x)[2,)即函數(shù)f(x)24x的值域是{y|y2}③y∵

xx1111x1x1x110(對角函數(shù))∴y1x1即函數(shù)的值域是{y|yR且y1}(此法亦稱分離常數(shù)法)④當x>0,∴yx121)22,=(xxx121)22)=-(xxx當x七彩希翼

②∵頂點橫坐標2[3,4],當x=3時,y=-2;x=4時,y=1;

∴在[3,4]上,ymin=-2,ymax=1;值域為[-2,1].

③∵頂點橫坐標2[0,1],當x=0時,y=1;x=1時,y=-2,∴在[0,1]上,ymin=-2,ymax=1;值域為[-2,1].

④∵頂點橫坐標2[0,5],當x=0時,y=1;x=2時,y=-3,x=5時,y=6,∴在[0,1]上,ymin=-3,ymax=6;值域為[-3,6].對于二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0),⑴若定義域為R時,

2b(4acb);①當a>0時,則當x時,其最小值ymin2a4a2b(4acb).②當a0)時或最大值(a七彩希翼

∵2定義域{x|x2且x3}∴y再檢驗y=1代入①求得x=2∴y1

151x25x6綜上所述,函數(shù)y2的值域為{y|y1且y}

5xx6方法二:把已知函數(shù)化為函數(shù)y由此可得y1

(x2)(x3)x36(x2)1(x2)(x3)x3x3∵x=2時y11即y55x25x61∴函數(shù)y2的值域為{y|y1且y}5xx64.換元法

例4.求函數(shù)y2x41x的值域解:設(shè)t1x則t0x=1t

代入得yf(t)2(1t2)4t2t24t22(t1)24∵t0∴y45.分段函數(shù)

例5.求函數(shù)y=|x+1|+|x-2|的值域.

y22x1(x1)解法1:將函數(shù)化為分段函數(shù)形式:y3(1x2),

2x1(x2)(下圖),由圖象可知,函數(shù)的值域是{y|y3}.

3畫出它的圖象

-1O2x解法2:∵函數(shù)y=|x+1|+|x-2|表示數(shù)軸上的動點x到兩定點-1,2的距離之和,∴易見y的最小值是3,∴函數(shù)的值域是[3,+].如圖

x-1O12

-1Ox12

-1O12x

(1)二次函數(shù)的三種表達式

一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)頂點式:y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點P(h,k)]

交點式:y=a(x-x)(x-x)[僅限于與x軸有交點A(x,0)和B(x,0)的拋物線]注:在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中,有如下關(guān)系:

h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax,x=(-b±√b^2-4ac)/2a函數(shù)解析式的求法:

11①定義法(拼湊):如:已知f(x)x22,求:f(x);

xx七彩希翼

②換元法:如:已知f(3x1)4x3,求f(x);③待定系數(shù)法:如:已知f{f[f(x)]}12x,求一次函數(shù)f(x);

1④賦值法:如:已知2f(x)f()x1(x0),求f(x)

x7.函數(shù)值域的求法:①換元配方法。如果一個函數(shù)是二次函數(shù)或者經(jīng)過換元可以寫成二次函數(shù)的形式,那么將這個函數(shù)的右邊配方,通過自變量的范圍可以求出該函數(shù)的值域。形如yaxbcxd的函數(shù)均可用此法(換元、配方)求值域

ax2bxc②判別式法。一個二次分式函數(shù)y(其中a2d20)在自變量沒有限制時就可2dxexf以用判別式法去值域。其方法是將等式兩邊同乘以dx2+ex+f移項整理成一個x的一元二次方程,方程有實數(shù)解則判別式大于等于零,得到一個關(guān)于y的不等式,解出y的范圍就是函數(shù)的值域。③單調(diào)性法。如果函數(shù)在給出的定義域區(qū)間上是嚴格單調(diào)的,那么就可以利用端點的函數(shù)值來求出值域

8.函數(shù)單調(diào)性的證明方法:

第一步:設(shè)x1、x2是給定區(qū)間內(nèi)的兩個任意的值,且x1七彩希翼

①f(x)與f(x)+c(c為常數(shù))具有相同的單調(diào)性②f(x)與cf(x)當c>0是單調(diào)性相同,當c0時:在頂點處取得最小值,最大值在距離對稱軸較遠的端點處取得;a0時:最小值在離對稱軸近的端點處取得,最大值在離對稱軸遠的端點處取得;af(x)恒成立a>f(x)的最大值

af(x)的最小值

a七彩希翼

可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。(3)拋物線的性質(zhì)

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。

對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)2.拋物線有一個頂點P,坐標為P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)當-b/2a=0時,P在y軸上;當Δ=b^2-4ac=0時,P在x軸上。3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。|a|越大,則拋物線的開口越小。

4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。拋物線與y軸交于(0,c)6.拋物線與x軸交點個數(shù)

Δ=b^2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。Δ=b^2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。

Δ=b^2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(shù)(x=-b±√b^2-4ac的值的相反數(shù),乘上虛數(shù)i,整個式子除以2a)(4)二次函數(shù)與一元二次方程

特別地,二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax^2+bx+c,

當y=0時,二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程),即ax^2+bx+c=0

此時,函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

1.二次函數(shù)y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的圖象形狀相同,只是位置不同,它們的頂點坐標及對稱軸如下表:解析式頂點坐標對稱軸y=ax^2(0,0)x=0y=a(x-h)^2(h,0)x=hy=a(x-h)^2+k(h,k)x=hy=ax^2+bx+c(-b/2a,x=-b/2a[4ac-b^2]/4a)當h>0時,y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到,當h0,k>0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向上移動k個單位,就可以得

到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;

當h>0,k七彩希翼

2.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象:當a>0時,開口向上,當a0,當x≤-b/2a時,y隨x的增大而減小;當x≥-b/2a時,y隨x的增大而增大.若a0,圖象與x軸交于兩點A(x,0)和B(x,0),其中的x1,x2是一元二

次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的兩根.這兩點間的距離AB=|x-x|當△=0.圖象與x軸只有一個交點;當△0時,圖象落在x軸的上方,x為任何實數(shù)時,都有y>0;當a七彩希翼

①y3x1(xR);②yx31(xR);③yx1(x0);④yy132x3(xR,且x1).x1解:①由y3x1解得x∴函數(shù)y3x1(xR)的反函數(shù)是y②由yx31(xR)解得x=3y1,

x1(xR),3∴函數(shù)yx31(xR)的反函數(shù)是y3x1(xR)③由y=

x+1解得x=(y1)2,

∵x0,∴y1.∴函數(shù)y④由yx1(x0)的反函數(shù)是x=(y1)2(x1);

y32x3解得xx1y22x3x3(xR,且x1)的反函數(shù)是y(xR,x2)x1x221∵x{xR|x1},∴y{yR|y2}∴函數(shù)y例4已知f(x)=x-2x(x≥2),求f2(x).

解法1:⑴令y=x-2x,解此關(guān)于x的方程得x244y,

2244y∵x≥2,∴x,即x=1+1y--①,

2⑵∵x≥2,由①式知1y≥1,∴y≥0--②,⑶由①②得f1;(x)=1+1x(x≥0,x∈R)

222解法2:⑴令y=x-2x=(x1)-1,∴(x1)=1+y,∵x≥2,∴x-1≥1,∴x-1=1y--①,即x=1+1y,⑵∵x≥2,由①式知1y≥1,∴y≥0,⑶∴函數(shù)f(x)=x-2x(x≥2)的反函數(shù)是f21;(x)=1+1x(x≥0)

對數(shù)函數(shù)

1(1)對數(shù)函數(shù)的定義域為大于0的實數(shù)集合。(2)對數(shù)函數(shù)的值域為全部實數(shù)集合。(3)函數(shù)總是通過(1,0)這點。七彩希翼

(4)a大于1時,為單調(diào)遞增函數(shù),并且上凸;a小于1大于0時,函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù),并且下凹。

(5)顯然對數(shù)函數(shù)無界。

對數(shù)函數(shù)

ylogaxa是常數(shù)且a0,a1),x(0,);

1.他的圖形為于y軸的右方.并通過點(1,0)

2.當a>1時在區(qū)間(0,1),y的值為負.圖形位于x的下方,在區(qū)

間(1,+),y值為正,圖形位于x軸上方.在定義域是單調(diào)增函數(shù).a七彩希翼

1.當a>1時函數(shù)為單調(diào)增,當a七彩希翼

說明:①奇、偶性是函數(shù)的整體性質(zhì),對整個定義域而言

②奇、偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點對稱,如果一個函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱,則

這個函數(shù)一定不是奇(或偶)函數(shù)。

(分析:判斷函數(shù)的奇偶性,首先是檢驗其定義域是否關(guān)于原點對稱,然后再嚴格按照

奇、偶性的定義經(jīng)過化簡、整理、再與f(x)比較得出結(jié)論)

③判斷或證明函數(shù)是否具有奇偶性的根據(jù)是定義2.奇偶函數(shù)圖像的特征:

定理奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點成中心對稱圖形,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸或軸對稱圖形。奇函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增,則在它的對稱區(qū)間上也是單調(diào)遞增。偶函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增,則在它的對稱區(qū)間上單調(diào)遞減。3.奇偶函數(shù)運算

(1)兩個偶函數(shù)相加所得的和為偶函數(shù).(2)兩個奇函數(shù)相加所得的和為奇函數(shù).

(3)一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)相加所得的和為非奇函數(shù)與非偶函數(shù).(4)兩個偶函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù).(5)兩個奇函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù).

(6)一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)相乘所得的積為奇函數(shù).

函數(shù)的單調(diào)性:

1)定義;特征:增(減)函數(shù)的y值,隨自變量x值的增大而增大(減。磸淖筮呁疫吙丛龊瘮(shù)的圖象是上升的,減函數(shù)圖象是下降的.2)若函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),則就說函數(shù)yf(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性,這一區(qū)間叫做函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間.此時也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù).3)判斷證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是:

⑴設(shè)x1,x2是給定區(qū)間內(nèi)的任意兩個值,且x1七彩希翼

f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2),

由x1f(x2).∴f(x)=

1在(0,+)上是減函數(shù).x七彩希翼

能否說函數(shù)f(x)=

1在(-,+)上是減函數(shù)?x1的定義域.x答:不能.因為x=0不屬于f(x)=

復(fù)合函數(shù)單調(diào)性

例2.求函數(shù)y82(2x2)(2x2)2的值域,并寫出其單調(diào)區(qū)間解:題設(shè)函數(shù)由y82uu2和u2x2復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù),函數(shù)u2x2的值域是(,2],在(,2]y82uu29(u1)2上的值域是(,9].

故函數(shù)y82(2x2)(2x2)2的值域是(,9].

對于函數(shù)的單調(diào)性,不難知二次函數(shù)y82uu2在區(qū)間(,1)上是減函數(shù),在區(qū)間[1,)上是增函數(shù);

2二次函數(shù)u2x區(qū)間(,0)上是減函數(shù),在區(qū)間[0,)上是增函數(shù)2當u(,1)時,2x2(,1),即2x1,x1或x1.

22當u[1,)時,2x[1,),即2x1,1x1.

yyuu2x2xy82uu2uy82(2x2)(2x2)2x因此,本題應(yīng)在四個區(qū)間(,1),[1,0),[0,1),[1,)上考慮①當x(,1)時,u2x(,1),

22而u2x在(,1)上是增函數(shù),y82uu在(,1)上是增函數(shù),所以,函數(shù)

2y82(2x2)(2x2)2在區(qū)間(,1)上是增函數(shù)②當x[1,0)時,u2x[1,),

22而u2x在[1,0)上是增函數(shù),y82uu在[1,)上是減函數(shù),

七彩希翼

所以,函數(shù)y82(2x2)(2x2)2在區(qū)間[1,0)上是減函數(shù)③當x[0,1)時,u2x2(1,),

而u2x2在[0,1)上是減函數(shù),y82uu2在(1,)上是減函數(shù),所以,函數(shù)y82(2x2)(2x2)2在區(qū)間[0,1)上是增函數(shù)④當x[1,)時,u2x2(,1],

而u2x2在[1,)上是增函數(shù),y82uu2在(,1]上是減函數(shù),所以,函數(shù)

y82(2x2)(2x2)2在區(qū)間[1,)上是減函數(shù)綜上所述,函數(shù)y82(2x2)(2x2)2在區(qū)間(,1)、[0,1)上是增函數(shù);在區(qū)間[1,0)、(,1]上是減函數(shù)

周期性

(1)定義:如果存在使得對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x,都有f(x+T)=f(x)的非零常數(shù)T,則稱f(x)為周期函數(shù);

(2)性質(zhì):

TT)f(x),若f(x)的周期中,存在一個最小的正數(shù),則稱它為f(x)的最22T小正周期;②若周期函數(shù)f(x)的周期為T,則f(ωx)(ω≠0)是周期函數(shù),且周期為。

||①f(x+T)=f(x)常常寫作f(x最值

(1)定義:

最大值:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿足:①對于任意的x∈I,都有f(x)≤M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M。那么,稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。

最小值:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿足:①對于任意的x∈I,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M。那么,稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。

注意:①函數(shù)最大(。┦紫葢(yīng)該是某一個函數(shù)值,即存在x0∈I,使得f(x0)=M;

②函數(shù)最大(。⿷(yīng)該是所有函數(shù)值中最大(小)的,即對于任意的x∈I,都有f(x)≤M(f(x)≥M)。(2)利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(。┲档姆椒ǎ

1利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值;○

2利用圖象求函數(shù)的最大(。┲担弧

3利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(。┲担骸

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b);如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b);

1..函數(shù)的單調(diào)性

(1)設(shè)x1x2a,b,x1x2那么

(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函數(shù);

x1x七彩希翼

f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是減函數(shù).

x1x2(2)設(shè)函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),如果f(x)0,則f(x)為增函數(shù);如果f(x)0,則f(x)為

(x1x2)f(x1)f(x2)0減函數(shù).

注:如果函數(shù)f(x)和g(x)都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)f(x)g(x)也是減函數(shù);如果函數(shù)yf(u)和ug(x)在其對應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)yf[g(x)]是增函數(shù).

2.奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過來,如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,那么這個函數(shù)是奇函數(shù);如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,那么這個函數(shù)是偶函數(shù).

注:若函數(shù)yf(x)是偶函數(shù),則f(xa)f(xa);若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù),則f(xa)f(xa).

注:對于函數(shù)yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,則函數(shù)f(x)的對稱軸是函數(shù)x兩個函數(shù)yf(xa)與yf(bx)的圖象關(guān)于直線xab;2ab對稱.2a注:若f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(,0)對稱;若f(x)f(xa),則函數(shù)

2yf(x)為周期為2a的周期函數(shù).

3.多項式函數(shù)P(x)anxnan1xn1a0的奇偶性

多項式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)P(x)的偶次項(即奇數(shù)項)的系數(shù)全為零.多項式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)P(x)的奇次項(即偶數(shù)項)的系數(shù)全為零.23.函數(shù)yf(x)的圖象的對稱性

(1)函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對稱f(ax)f(ax)f(2ax)f(x).

(2)函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xab對稱f(amx)f(bmx)2f(abmx)f(mx).

4.兩個函數(shù)圖象的對稱性

(1)函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x0(即y軸)對稱.(2)函數(shù)yf(mxa)與函數(shù)yf(bmx)的圖象關(guān)于直線x(3)函數(shù)yf(x)和yf1ab對稱.2m(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.

25.若將函數(shù)yf(x)的圖象右移a、上移b個單位,得到函數(shù)yf(xa)b的圖象;若將曲線f(x,y)0的圖象右移a、上移b個單位,得到曲線f(xa,yb)0的圖象.

5.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的關(guān)系

f(a)bf1(b)a.

27.若函數(shù)yf(kxb)存在反函數(shù),則其反函數(shù)為y數(shù)y[f11[fk1(x)b],并不是y[f1(kxb),而函

(kxb)是y1[f(x)b]的反函數(shù).k6.幾個常見的函數(shù)方程七彩希翼

(1)正比例函數(shù)f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.(2)指數(shù)函數(shù)f(x)ax,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.

(3)對數(shù)函數(shù)f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).

(4)冪函數(shù)f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f"(1).

(5)余弦函數(shù)f(x)cosx,正弦函數(shù)g(x)sinx,f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y),

f(0)1,limx0g(x)1.x7.幾個函數(shù)方程的周期(約定a>0)

(1)f(x)f(xa),則f(x)的周期T=a;(2)f(x)f(xa)0,

1(f(x)0),f(x)1或f(xa)(f(x)0),

f(x)12或f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1),則f(x)的周期T=2a;21(3)f(x)1(f(x)0),則f(x)的周期T=3a;

f(xa)f(x1)f(x2)(4)f(x1x2)且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a),則f(x)的周期T=4a;

1f(x1)f(x2)(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)

f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),則f(x)的周期T=5a;(6)f(xa)f(x)f(xa),則f(x)的周期T=6a.

或f(xa)8.分數(shù)指數(shù)冪

(1)a(2)amn1nmnam1mn(a0,m,nN,且n1).(a0,m,nN,且n1).

a9.根式的性質(zhì)(1)(na)na.(2)當n為奇數(shù)時,aa;當n為偶數(shù)時,a|a|nnnna,a0.

a,a010.有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)

(1)aaa(a0,r,sQ).

rsrs(2)(a)a(a0,r,sQ).

rrr(3)(ab)ab(a0,b0,rQ).

注:若a>0,p是一個無理數(shù),則a表示一個確定的實數(shù).上述有理指數(shù)冪的運算性質(zhì),對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用.

33.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式

logaNbabN(a0,a1,N0).

p

rsrs七彩希翼

34.對數(shù)的換底公式

logmN(a0,且a1,m0,且m1,N0).

logmann推論logamblogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).

mlogaN11.對數(shù)的四則運算法則

若a>0,a≠1,M>0,N>0,則(1)loga(MN)logaMlogaN;

MlogaMlogaN;N(3)logaMnnlogaM(nR).

(2)loga注:設(shè)函數(shù)f(x)logm(ax2bxc)(a0),記b24ac.若f(x)的定義域為R,則a0,且

0;若f(x)的值域為R,則a0,且0.對于a0的情形,需要單獨檢驗.

12.對數(shù)換底不等式及其推論

1,則函數(shù)ylogax(bx)a11(1)當ab時,在(0,)和(,)上ylogax(bx)為增函數(shù).

aa11(2)(2)當ab時,在(0,)和(,)上ylogax(bx)為減函數(shù).

aa若a0,b0,x0,x推論:設(shè)nm1,p0,a0,且a1,則(1)logmp(np)logmn.(2)logamloganloga2mn.2

三角函數(shù)公式表

(下面寫的

,看起來像n字母,別搞錯了,還有

tanα+tanβtan(α+β)=1-tanαtanβ

tanα+tanβ是分子,1-tanαtanβ是分母再有

1

sinαcosβ=-[sin(α+β)+sin(α-β)]2

也像上面一樣,意思是sinαcosβ=0.5*[sin(α+β)+sin(α-β)],這些公式很多都在課本,可以查課本來確認這里是否寫對,或者自己證明也行)

七彩希翼

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

倒數(shù)關(guān)系:tanαcotα=1sinαcscα=1商的關(guān)系:

sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα

平方關(guān)系:sin2α+cos2α=11+tan2α=sec2αcosαsecα=1

sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosα

sin(π/2-α)=cosαsin(π-α)=sinαcos(π/2-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π/2-α)=cotαtan(π-α)=-tanαcot(π/2-α)=tanαcot(π-α)=-cotα

sin(π/2+α)=cosαsin(π+α)=-sinαcos(π/2+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π/2+α)=-cotαtan(π+α)=tanαcot(π/2+α)=-tanα

cot(π+α)=cotα兩角和與差的三角函數(shù)公式

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

tanα+tanβtan(α+β)=1-tanαtanβ

tanα-tanβtan(α-β)=1+tanαtanβ

半角的正弦、余弦和正切公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式

1+cot2α=csc2α

誘導(dǎo)公式

tan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα

sin(3π/2-α)=-cosαsin(2π-α)=-sinαcos(3π/2-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(3π/2-α)=cotαtan(2π-α)=-tanαcot(3π/2-α)=tanαcot(2π-α)=-cotα

sin(3π/2+α)=-cosαsin(2kπ+α)=sinαcos(3π/2+α)=sinαcos(2kπ+α)=cosαtan(3π/2+α)=-cotαtan(2kπ+α)=tanαcot(3π/2+α)=-tanα

cot(2kπ+α)=cotα(其中k∈Z)

萬能公式

2tan(α/2)sinα=1+tan2(α/2)1-tan2(α/2)cosα=1+tan2(α/2)

2tan(α/2)tanα=1-tan2(α/2)

三角函數(shù)的降冪公式

三倍角的正弦、余弦和正切公式

七彩希翼

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α

2tanαtan2α=1-tan2α

三角函數(shù)的和差化積公式

α+βα-βsinα+sinβ=2sin--cos-22α+βα-βsinα-sinβ=2cos--sin-22α+βα-βcosα+cosβ=2cos--cos-22α+βα-βcosα-cosβ=-2sin--sin-22

化asinα±bcosα為一個角的一個三角函數(shù)的形式(輔助角的三角函數(shù)的公式)

1

sinαcosβ=-[sin(α+β)+sin(α-β)]21

cosαsinβ=-[sin(α+β)-sin(α-β)]21

cosαcosβ=-[cos(α+β)+cos(α-β)]21

sinαsinβ=--[cos(α+β)-cos(α-β)]23tanα-tan3αtan3α=1-3tan2α

三角函數(shù)的積化和差公式

sin3α=3sinα-4sin3αcos3α=4cos3α-3cosα

三角函數(shù)

正弦函數(shù)ysinx,x(,),y[1,1],

余弦函數(shù)ycosx,x(,),y[1,1],七彩希翼

正切函數(shù)ytanx,

xk2,kZ,y(,),

余切函數(shù)ycotx,xk,kZ,y(,);

(5)反三角函數(shù)

yarcsinx反正弦函數(shù)

,x[1,1],

y[,]22,七彩希翼

yarccosx,x[1,1],y[0,],

yarctanx,x(,),

y(2,2),

yarccotx,x(,),y(0,).

反余弦函數(shù)反正切函數(shù)

反余切函數(shù)七彩希翼

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