國培第二階段作業(yè)

一、在小學(xué)數(shù)學(xué)中，圖形的面積是如何編排的？分析在面積公式的推導(dǎo)中所蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法。

小學(xué)數(shù)學(xué)87班：王庭美

（一）小學(xué)數(shù)學(xué)中圖形面積的編排

長方形是所有規(guī)則圖形的基礎(chǔ)（S=ab）。由長方形可以推導(dǎo)出三個圖形：正方形（特殊長方形，S=a），平行四邊形（平移后成為長方形，S=ah），圓形（切成N等分約是一個長方形，所以公式就是S=πr）。然后根據(jù)平行四邊形推導(dǎo)出來三角形（兩個一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形，S=ah÷2），梯形（同三角形原因，兩個一樣的梯形可以拼成一個平行四邊形，S=（a+b)h÷2）。這其中包括以下幾個要點：

1、長方形面積公式是基礎(chǔ)

2、圖形轉(zhuǎn)化是推到面積公式的常用方法。3、在圖形的轉(zhuǎn)化中，應(yīng)用了平移旋轉(zhuǎn)4、有些曲線圖形可以轉(zhuǎn)化成直線圖形。（二）在面積公式的推導(dǎo)中所蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法

長方形和正方形的面積：統(tǒng)一思想（用標(biāo)準(zhǔn)單位測量面積）；數(shù)形結(jié)合思想（把測量過程轉(zhuǎn)化成計算方法）。

平行四邊形的面積：轉(zhuǎn)化思想（突出轉(zhuǎn)化的可能性：轉(zhuǎn)化前后圖形關(guān)系的比較）；對應(yīng)思想（轉(zhuǎn)化后長方形的各部分分別相當(dāng)于原圖形的哪個部分）。

三角形的面積：轉(zhuǎn)化思想；對應(yīng)思想；一般化思想（從個例到一般，突出各種三角形都能轉(zhuǎn)化成平行四邊形）。

梯形的面積：轉(zhuǎn)化思想（轉(zhuǎn)化方法的靈活性：梯形可通過多種方式轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的圖形如三角形、長方形、平行四邊形）；整體化思想（用梯形公式統(tǒng)整所有已學(xué)的面積公式）

圓的面積：轉(zhuǎn)化思想（轉(zhuǎn)化的特殊方法），極限思想（無限切分與無限接近）在單個圖形教學(xué)中，轉(zhuǎn)化思想的滲透是一以貫之的基本思路，此處的轉(zhuǎn)化，不但牽涉到用轉(zhuǎn)化的方法解決具體圖形的面積計算問題，也可在整體上實現(xiàn)將新知轉(zhuǎn)化為舊知從而實現(xiàn)問題解決的數(shù)學(xué)基本策略的初步嘗試。

單個圖形教學(xué)中，還可重視函數(shù)思想的滲透（影響面積的要素是什么？其中哪些要素對面積的影響較大？）

三角形和梯形的面積教學(xué)中，可突出變與不變思想的滲透（等積變形、影響面積的某要素的變化及不同圖形要素間的不同導(dǎo)致的面積變化）

二、方格紙和坐標(biāo)的關(guān)系是怎樣的？你認(rèn)為在小學(xué)階段是如何體現(xiàn)的？

（一）方格紙和坐標(biāo)的關(guān)系

方格紙是坐標(biāo)的基礎(chǔ)，方格紙讓學(xué)生了解了交點數(shù)值，從左向右、從下向上的看圖方法，而這些都是學(xué)習(xí)坐標(biāo)軸時有用的。方格紙左邊線的延生就是縱軸，下邊線的延生就是橫軸。方格紙相對來說是具體、形象的，這為過渡到抽象的坐標(biāo)系建立了表象。（二）我認(rèn)為小學(xué)階段方格紙和坐標(biāo)的關(guān)系是這樣體現(xiàn)的體現(xiàn)在以下方面

1、在情境中，由具體的方格紙建立橫軸、縱軸的概念，從而形成平面直角坐標(biāo)系。2、由平面直角坐標(biāo)系中的方格確定一個物體的位置，并用數(shù)對表示之。3、結(jié)合生活情境體驗數(shù)對的實際意義，

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圖形與幾何數(shù)學(xué)思想和展現(xiàn)

水城縣勺米鄉(xiāng)果立普小學(xué)裴倩

小學(xué)生所處的年齡階段是形象化思維高速發(fā)展的時期，在教學(xué)中，通過具體形象的展現(xiàn)以及演示，既符合學(xué)生的發(fā)展特點同時又能達(dá)到良好的教育效果，從而使教學(xué)事半功倍，更能引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和主動性。

數(shù)形結(jié)合是我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本思想方法之一，在數(shù)學(xué)教學(xué)歷史中具有舉足輕重的地位。著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事非�！睌�(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間一一對應(yīng)關(guān)系，數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過以形助數(shù)或者以數(shù)助形將抽象轉(zhuǎn)化為具體可感知的事物，將復(fù)雜的問題簡單化。

小學(xué)數(shù)學(xué)從一開始就是采用此種思想教學(xué)，如阿拉伯?dāng)?shù)字的認(rèn)識，是將數(shù)字比作常見而具體的形象來幫助學(xué)生記憶的，因而在小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何方面，這一數(shù)學(xué)思想更是作為主要思想方法來展現(xiàn)。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)中圖形的面積編排

小學(xué)數(shù)學(xué)中圖形的面積是從以下三個層面進(jìn)行編排的：

1、感知物體表面的大小；2、比較平面圖形面積的大小;

3、體驗周長與面積的區(qū)別，這三個層面從數(shù)形思想出發(fā)，循序漸進(jìn)，逐步深入，幫助學(xué)生通過直觀的形象來準(zhǔn)確理解面積的含義：

長方形是所有規(guī)則圖形的基礎(chǔ)，長方形面積=長×寬。通過長方形可以推導(dǎo)出三個圖形：正方形（特殊長方形，正方形=邊長×邊長），平行四邊形（拉伸后成為長方形，平行四邊形=底面積×高），圓形（切成N等分約是一個長方形，所以公式就是S=πr）。然后根據(jù)平行四邊形推導(dǎo)出三角形面積（兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形，S三角形=ah/2），梯形（S=（a+b)h/2兩個完全一樣的三角形可以組成一個平行四邊形）

1、長方形面積公式是基礎(chǔ)。

2、圖形轉(zhuǎn)化是推到面積公式的常用方法。如在平行四邊形的面積推導(dǎo)后，學(xué)生根據(jù)已學(xué)過的平行四邊形的面積公式，獨立思考三角形的面積推導(dǎo)。在這個過程中，教師占主導(dǎo)地位，引導(dǎo)學(xué)生理解、思考并發(fā)現(xiàn)問題，最后通過自己的思維解決問題，從而獲得面積公式，更重要的是獲得自行完成問題解決過程的體驗。

3、在圖形的轉(zhuǎn)化中，應(yīng)用了平移旋轉(zhuǎn)。

4、有些曲線圖形可以轉(zhuǎn)化成直線圖形。如將圓形轉(zhuǎn)化為長方形。在以上面積的推導(dǎo)過程中體現(xiàn)了以下思想：

長方形的面積（正方形）：統(tǒng)一思想（用標(biāo)準(zhǔn)單位測量面積）；數(shù)形結(jié)合思想（把測量過程通過圖形轉(zhuǎn)化成計算方法）。

平行四邊形的面積推導(dǎo)體現(xiàn)以下思想：轉(zhuǎn)化思想（轉(zhuǎn)化成所學(xué)的長方形的面積，突出轉(zhuǎn)化的可能性：轉(zhuǎn)化前后圖形關(guān)系的比較）；對應(yīng)思想（轉(zhuǎn)化后長方形的各部分分別相當(dāng)于原圖形的哪個部分）。

三角形的面積推導(dǎo)體現(xiàn)以下思想：轉(zhuǎn)化思想；對應(yīng)思想；一般化思想（從個例到一般，突出各種三角形都能轉(zhuǎn)化成平行四邊形）。

梯形的面積推導(dǎo)體現(xiàn)以下思想：轉(zhuǎn)化思想（轉(zhuǎn)化方法的靈活性：梯形可通過多種方式轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的圖形如三角形、長方形、平行四邊形）；整體化思想（用梯形公式統(tǒng)整所有已學(xué)的面積公式）

圓的面積推導(dǎo)體現(xiàn)以下思想：轉(zhuǎn)化思想（轉(zhuǎn)化的特殊方法），極限思想（無限切分與無限接近）

總之，各圖形的面積推導(dǎo)都是建立在學(xué)生已有知識的基礎(chǔ)上層層遞進(jìn)實施的，都是從學(xué)生已有圖形面積的公式中轉(zhuǎn)化得出的。

二、方格紙和坐標(biāo)的關(guān)系方格紙是坐標(biāo)的基礎(chǔ)，從方格紙上讓學(xué)生了解了交點，數(shù)值，從左向右從下向上的看圖方法，而這些都是學(xué)習(xí)坐標(biāo)軸時有用的。方格紙左邊線的延生就是縱軸，下線延生就是橫軸。方格紙相對來說是具體、形象的，這為過渡到抽象的坐標(biāo)系建立了表象。

在小學(xué)階段，方格紙是小學(xué)生熟知的材料，其中，內(nèi)含著坐標(biāo)系的基本思想，只不過，沒有明確標(biāo)出x、y軸的箭頭，而且，其單位也是通過一個一個的格子來體現(xiàn)的。應(yīng)該說，“在方格紙操作”是坐標(biāo)思想在小學(xué)幾何學(xué)中的第一個階段。

幾何變換的教學(xué)，主要在方格紙上進(jìn)行，即沿著平行、垂直于方格紙的兩個格的邊緣線進(jìn)行，不涉及直接按斜線方向運動的情形（可以先按照平行方向運動若干個格，在沿著垂直方向運動若干個格）。

綜上所述，數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)知識發(fā)生過程的提煉、抽象、概括和升華，無論是數(shù)形結(jié)合思想還是其他類思想，都是分析與綜合下的靈活運用，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理想認(rèn)識和形象展現(xiàn)。因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)注重培養(yǎng)數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)思想與智慧，使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法，體會其中的奧秘，緊密聯(lián)系實際，為將來的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

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