數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法總結(jié)
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法總結(jié)
一、多看
主要是指認(rèn)真閱讀數(shù)學(xué)課本。把課本當(dāng)成練習(xí)冊(cè)。一般地,閱讀可以分以下兩個(gè)層次:1。課前預(yù)習(xí)閱讀。預(yù)習(xí)時(shí),要將課本中的關(guān)鍵詞語(yǔ)、產(chǎn)生的疑問(wèn)和需要思考的問(wèn)題隨手記下,對(duì)定義、公理、公式、法則等,可以在紙上進(jìn)行簡(jiǎn)單的復(fù)述,推理。重點(diǎn)知識(shí)可在課本上批注。這樣做,不但有助于理解課文,還能幫助我們?cè)谡n堂上集中精力聽(tīng)講,有重點(diǎn)地聽(tīng)講。
2、課后復(fù)習(xí)閱讀。課后復(fù)習(xí)是課堂學(xué)習(xí)的延伸,既可解決在預(yù)習(xí)和課堂中仍然沒(méi)有解決的問(wèn)題,又能使知識(shí)系統(tǒng)化,加深和鞏固對(duì)課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解和記憶。一節(jié)課后,必須先閱讀課本,然后再做作業(yè);一個(gè)單元后,應(yīng)全面閱讀課本,對(duì)本單元的內(nèi)容前后聯(lián)系起來(lái),進(jìn)行綜合概括,寫(xiě)出知識(shí)小結(jié),進(jìn)行查缺補(bǔ)漏。二、多想
主要是指養(yǎng)成思考的習(xí)慣,學(xué)會(huì)思考的方法。獨(dú)立思考是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須具備的能力。在學(xué)習(xí)時(shí),要邊聽(tīng)(課)邊想,邊看(書(shū))邊想,邊做(題)邊想,通過(guò)自己積極思考,深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí),歸納總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律,靈活解決數(shù)學(xué)問(wèn)題,這樣才能把老師講的、課本上寫(xiě)的變成自己的知識(shí)。三、多做
主要是指做習(xí)題,學(xué)數(shù)學(xué)一定要做習(xí)題,并且應(yīng)該適當(dāng)?shù)囟嘧鲂。做?xí)題的目的首先是熟練和鞏固學(xué)習(xí)的知識(shí);其次是初步啟發(fā)靈活應(yīng)用知識(shí)和培養(yǎng)獨(dú)立思考的能力;第三是融會(huì)貫通,把不同內(nèi)容的數(shù)學(xué)知識(shí)溝通起來(lái)。在做習(xí)題時(shí),要認(rèn)真審題,認(rèn)真思考,應(yīng)該用什么方法做?能否有簡(jiǎn)便解法?做到邊做邊思考邊總結(jié),通過(guò)練習(xí)加深對(duì)知識(shí)的理解。四、多問(wèn)
怎樣才能發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題呢?第一,要深入觀察,逐步培養(yǎng)自己敏銳的觀察能力;第二,要肯動(dòng)腦筋,。發(fā)現(xiàn)問(wèn)題后,經(jīng)過(guò)自己的獨(dú)立思考,問(wèn)題仍得不到解決時(shí),應(yīng)當(dāng)虛心向別人請(qǐng)教,向老師、同學(xué)、家長(zhǎng),向一切在這個(gè)問(wèn)題上比自己強(qiáng)的人請(qǐng)教。不要有虛榮心,不要怕別人看不起。只有善于提出問(wèn)題、虛心學(xué)習(xí)的人,才有可能成為真正的學(xué)習(xí)上的強(qiáng)者。學(xué)習(xí)方法是靈活多樣、因人而異的,能不斷改進(jìn)自己的學(xué)習(xí)方法,是你學(xué)習(xí)能力不斷提高的表現(xiàn)。
擴(kuò)展閱讀:數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)方法與心得體會(huì)
數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)方法
數(shù)學(xué)分析是基礎(chǔ)課、基礎(chǔ)課學(xué)不好,不可能學(xué)好其他專(zhuān)業(yè)課。工欲善其事,必先利其器。這門(mén)課就是器。學(xué)好它對(duì)計(jì)算科學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生都是極為重要的。這里,就學(xué)好這門(mén)課的學(xué)習(xí)方法提一點(diǎn)建議供同學(xué)們參考。
1.提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣
首先要有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。兩千多年前的孔子就說(shuō)過(guò):“知之者不如好之者,好之者不如樂(lè)之者!边@里的“好”與“樂(lè)”就是愿意學(xué)、喜歡學(xué),就是學(xué)習(xí)興趣,世界知名的偉大科學(xué)家、相對(duì)論學(xué)說(shuō)的創(chuàng)立者愛(ài)因斯坦也說(shuō)過(guò):“在學(xué)校里和生活中,工作的最重要?jiǎng)訖C(jī)是工作中的樂(lè)趣!睂W(xué)習(xí)的樂(lè)趣是學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性,我們經(jīng)?吹揭恍┩瑢W(xué),為了弄清一個(gè)數(shù)學(xué)概念長(zhǎng)時(shí)間埋頭閱讀和思考;為了解答一道數(shù)學(xué)習(xí)題而廢寢忘食。這首先是因?yàn)樗麄儗?duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究感興趣,很難想象,對(duì)數(shù)學(xué)毫無(wú)興趣,見(jiàn)了數(shù)學(xué)題就頭痛的人能夠?qū)W好數(shù)學(xué),要培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣首先要認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性,數(shù)學(xué)被稱(chēng)為科學(xué)的皇后,它是學(xué)習(xí)科學(xué)知識(shí)和應(yīng)用科學(xué)知識(shí)必須的工具?梢哉f(shuō),沒(méi)有數(shù)學(xué),也就不可能學(xué)好其他學(xué)科;其次必須有鉆研的精神,有非學(xué)好不可的韌勁,在深入鉆研的過(guò)程中,就可以領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的奧妙,體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)獲取成功的喜悅。長(zhǎng)久下去,自然會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣,并激發(fā)出學(xué)好數(shù)學(xué)的高度自覺(jué)性和積極性。用興趣推動(dòng)學(xué)習(xí),而不是用任務(wù)觀點(diǎn)強(qiáng)迫自己被動(dòng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。
2.知難而進(jìn),迂回式學(xué)習(xí)
首先要培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的興趣和積極性,還要不怕挫折,有勇氣面對(duì)遇到的困難,有毅力堅(jiān)持繼續(xù)學(xué)習(xí),這一點(diǎn)在剛開(kāi)始進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析時(shí)尤為重要。
中學(xué)數(shù)學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué),由于理論體系的截然不同,使得同學(xué)們會(huì)在學(xué)習(xí)該課程開(kāi)始階段遇到不小的麻煩,這時(shí)就一定得堅(jiān)持住,能夠知難而進(jìn),繼續(xù)跟隨老師學(xué)習(xí)。
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析時(shí)要注意數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)要求不同的地方,否則你學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析就與高等數(shù)學(xué)沒(méi)有什么區(qū)別了;而且高等數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)的是計(jì)算能力,數(shù)學(xué)分析強(qiáng)調(diào)的是分析的能力,分析的能力沒(méi)有學(xué)到,就談不上學(xué)好了數(shù)學(xué)分析。學(xué)好數(shù)學(xué)分析課程還有一個(gè)重要的原因是新生們體會(huì)不到的,數(shù)學(xué)分析的知識(shí)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)性和連續(xù)性很強(qiáng),這些知識(shí)學(xué)得不扎實(shí),肯定要影響后面知識(shí)的學(xué)習(xí)。同時(shí)將來(lái)考碩士,還是要考這門(mén)課程。如果大學(xué)第一年不把這門(mén)課程學(xué)好,將來(lái)可就難了。剛開(kāi)始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析,會(huì)感覺(jué)很暈。對(duì)于老師所講的知識(shí),雖然表面上能聽(tīng)懂,但卻不明白知識(shí)背后的真正原因,所以總是感覺(jué)學(xué)到的東西不實(shí)在。至于做題就更差勁了,課后習(xí)題都沒(méi)幾個(gè)會(huì)做的。其實(shí)感覺(jué)暈是很正常的,而且還得要暈上幾個(gè)月才可能就會(huì)好的。所以要硬著頭皮跟著老師學(xué)了下來(lái)。雖然感覺(jué)還是不太懂,雖然做作業(yè)仍然感覺(jué)很費(fèi)勁,但始終不要放棄,這種狀態(tài)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的一個(gè)必經(jīng)之路,因此必須克服這個(gè)困難才能學(xué)好數(shù)學(xué)分析理論知識(shí)。
除了要堅(jiān)持外,還要注意不要在某些問(wèn)題的解決上花費(fèi)過(guò)多的時(shí)間。因?yàn)閿?shù)學(xué)分析理論十分嚴(yán)謹(jǐn),教科書(shū)在講解初步知識(shí)時(shí),有時(shí)會(huì)不可避免地用到一些以后才能學(xué)到的理論思想,因而在初步學(xué)習(xí)時(shí)就對(duì)著這種問(wèn)題不放是十分不劃算的。比如說(shuō),在“數(shù)學(xué)分析”一開(kāi)始學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)系的確界存在基本定理時(shí),由于當(dāng)時(shí)根本沒(méi)什么基礎(chǔ),所以對(duì)于“引入這個(gè)定理的目的是什么?”這個(gè)問(wèn)題怎么想也想不通,甚至覺(jué)得這個(gè)定理沒(méi)有什么實(shí)質(zhì)的意義。但到后來(lái)學(xué)到了多元部分的數(shù)學(xué)分析,以及專(zhuān)業(yè)課“實(shí)變函數(shù)”時(shí),才開(kāi)始慢慢理解它的真正目的。這里之所以要說(shuō)明是實(shí)數(shù)系有確界存在的性質(zhì),即相當(dāng)于有一種連續(xù)的性質(zhì),目的就是為了后面的極限和連續(xù)做鋪墊的,因?yàn)橹挥性谧宰兞磕軌蜻B續(xù)變化的時(shí)候,考慮因變量的相應(yīng)變化才有意義,進(jìn)而才能研究函數(shù)的性質(zhì)。但是如果沒(méi)有學(xué)到后面,只了解區(qū)間而不知其它一些怪異的點(diǎn)集時(shí)是很難想通這個(gè)問(wèn)題的。
所以,在開(kāi)始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析時(shí),可以考慮采取迂回的學(xué)習(xí)方式。先把那些一時(shí)難以想通的問(wèn)題記下,轉(zhuǎn)而繼續(xù)學(xué)習(xí)后續(xù)知識(shí),然后不時(shí)地回頭復(fù)習(xí),在復(fù)習(xí)時(shí)由于后面知識(shí)的積累就可能會(huì)想通以前遺留的問(wèn)題,進(jìn)而又能促進(jìn)后面知識(shí)的深刻理解。這種迂回式的學(xué)習(xí)方法,使得溫故不但能知新,而且還能更好地知故。
但是,也并不是說(shuō)在初學(xué)時(shí)就不去思考任何問(wèn)題。相反,勤于思考是學(xué)好數(shù)學(xué)必備的好習(xí)慣,“數(shù)學(xué)是思維的體操”,只有堅(jiān)持思考才能掌握它的理論體系和邏輯關(guān)系。因此,應(yīng)該在學(xué)習(xí)時(shí)掌握尺度,既要保證有充分的思考,但同時(shí)又不能過(guò)于鉆牛角尖。
3.了解背景,理論式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析與中學(xué)數(shù)學(xué)明顯的一個(gè)差異就在于數(shù)學(xué)分析強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論體系,而中學(xué)數(shù)學(xué)則是注重計(jì)算與解題。針對(duì)這個(gè)特點(diǎn),學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析就應(yīng)該注重建立自己的數(shù)學(xué)理論知識(shí)框架。
要學(xué)習(xí)理論體系,首先就應(yīng)該知道為什么要建立這種理論,它的作用是什么,這就要了解數(shù)學(xué)的歷史背景知識(shí)。比如“數(shù)學(xué)分析”在一開(kāi)始就強(qiáng)調(diào)對(duì)-N語(yǔ)言的掌握,而它的產(chǎn)生則是由于數(shù)學(xué)史上的“第二次數(shù)學(xué)危機(jī)”引起的。眾所周知,Newton創(chuàng)立的微積分,雖然在其應(yīng)用方面取得了巨大的成就,但微積分在那時(shí)的理論基礎(chǔ)是相當(dāng)混亂的。Newton在求導(dǎo)數(shù)時(shí)先將無(wú)窮小量看成非零數(shù)作為分母,后來(lái)又將其視做零而舍去,因此這就導(dǎo)致了邏輯上的錯(cuò)誤。為了給微積分奠定正確而堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ),大數(shù)學(xué)家威爾斯特拉森在Cauchy的基礎(chǔ)上提出了用-N語(yǔ)言的方法來(lái)推出極限和導(dǎo)數(shù)的概念。借助-N語(yǔ)言,可以十分清晰地展示出函數(shù)取極限的過(guò)程,而且在邏輯上也非常清楚嚴(yán)謹(jǐn)。這樣,當(dāng)了解了這些歷史背景知識(shí)之后,就覺(jué)得學(xué)習(xí)-N語(yǔ)言是很必要的,學(xué)起來(lái)也就自然得多了。除了了解背景幫助我們學(xué)習(xí)理論知識(shí)外,還要下苦功夫去學(xué)習(xí)。在接觸了這些陌生的數(shù)學(xué)理論一段時(shí)間后,可能覺(jué)得看起來(lái)已經(jīng)懂了,但其實(shí)自己不一定能真正掌握,尤其是那些證明中內(nèi)含的邏輯關(guān)系最容易出錯(cuò)。所以在學(xué)習(xí)時(shí),應(yīng)該適當(dāng)?shù)赜洃浝碚撝R(shí),有時(shí)還應(yīng)該默寫(xiě)定理,只有通過(guò)默寫(xiě)才能發(fā)現(xiàn)自己在理論上的漏洞,才能培養(yǎng)出自己嚴(yán)密的理論、邏輯能力,這對(duì)以后的學(xué)習(xí)都是很有幫助的。
4.把握三個(gè)環(huán)節(jié),提高學(xué)習(xí)效率(1)課前預(yù)習(xí)
適當(dāng)?shù)念A(yù)習(xí)是必要的,了解老師即將講什么內(nèi)容,相應(yīng)地復(fù)習(xí)與之相關(guān)內(nèi)容。如果時(shí)間不多,你可以瀏覽一下教師將要講的主要內(nèi)容,獲得一個(gè)大概的印象,這可以在一定程度上幫助你在課堂上跟上教師的思路,如果時(shí)間比較充裕,除了瀏覽之外,還可以進(jìn)一步細(xì)致地閱讀部分內(nèi)容,并且準(zhǔn)備好問(wèn)題,看一下自己的理解與教師講解的有什么區(qū)別,有哪些問(wèn)題需要與教師討論。如果能夠做到這些,那么你的學(xué)習(xí)就會(huì)變得比較主動(dòng)、深入,會(huì)取得比較好的效果。
(2)認(rèn)真上課
注意老師的講解方法和思路,其分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程,記好課堂筆記,聽(tīng)課是一個(gè)全身心投入聽(tīng)、記、思相結(jié)合的過(guò)程。教師在有限的課堂教學(xué)時(shí)間中,只能講思路,講重點(diǎn),講難點(diǎn)。不要指望教師對(duì)所有知識(shí)都講透,要學(xué)會(huì)自學(xué),在自學(xué)中培養(yǎng)學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)造能力。所以要努力擺脫對(duì)于教師和對(duì)于課堂的完全依賴心理。當(dāng)然也不是完全不要老師,不上課。老師能在課堂教學(xué)把主要思路,重點(diǎn)與難點(diǎn)交代清楚,從而使你自學(xué)起來(lái)?xiàng)l理清楚,有的放矢。對(duì)于教師在課堂上講的知識(shí),最重要的是獲得整體的認(rèn)識(shí),而不拘泥于每個(gè)細(xì)節(jié)是否清楚。學(xué)生在課堂上聽(tīng)課時(shí),也應(yīng)當(dāng)把主要精力集中在教師的證明思路和對(duì)于難點(diǎn)的分析上。如果有某些細(xì)節(jié)沒(méi)有聽(tīng)明白,不要影響你繼續(xù)聽(tīng)其它內(nèi)容。只要掌握了主要思路,即使某些細(xì)節(jié)沒(méi)有聽(tīng)清楚,也沒(méi)有關(guān)系。你自己完全能夠在這個(gè)思路的引導(dǎo)下將全部細(xì)節(jié)補(bǔ)足,最后推出結(jié)論。應(yīng)當(dāng)在學(xué)習(xí)的各個(gè)環(huán)節(jié)培養(yǎng)自己的主動(dòng)精神和自學(xué)能力,擺脫對(duì)教師與課堂的過(guò)分依賴。這不僅是今天學(xué)習(xí)的需要,而且是培養(yǎng)創(chuàng)造能力的需要。
(3)課后復(fù)習(xí)
復(fù)習(xí)不是簡(jiǎn)單的重復(fù),應(yīng)當(dāng)用自己的表達(dá)方式再現(xiàn)所學(xué)的知識(shí),例如對(duì)某個(gè)定理的復(fù)習(xí),不是再讀一遍書(shū)或課堂筆記,而是離開(kāi)書(shū)本和筆記,回憶有關(guān)內(nèi)容,不清楚之處再對(duì)照教材或筆記。另外,復(fù)習(xí)時(shí)的思路不應(yīng)當(dāng)教師講課或者教科書(shū)的翻版,一個(gè)可供參考的方法是采用倒敘式。從定理的結(jié)論倒推,為了得到定理的結(jié)論,是怎樣進(jìn)行推理的,定理的條件用在何處。這樣倒置思維方式,更加接近這個(gè)定理的發(fā)現(xiàn)的思路,是一種創(chuàng)造性的思維活動(dòng)。
5.掌握方法,全面式學(xué)習(xí)
(1)概念的學(xué)習(xí)方法是:①閱讀概念,記住名稱(chēng)或符號(hào);②背誦定義,掌握特性;③舉出正反實(shí)例,體會(huì)概念反映的范圍;④進(jìn)行練習(xí),準(zhǔn)確地判斷;⑤與其它概念進(jìn)行比較,弄清概念間的關(guān)系。
(2)公式的學(xué)習(xí)方法是:①書(shū)寫(xiě)公式,記住公式中字母問(wèn)的關(guān)系;②懂得公式的來(lái)龍去脈,了解推導(dǎo)過(guò)程;③驗(yàn)算公式,在公式具體化過(guò)程中體會(huì)公式中反映的規(guī)律;④將公式進(jìn)行各種變換,了解其不同的變化形式。
(3)定理的學(xué)習(xí)方法是:①背誦定理;②分清定理的條件和結(jié)論;③了解定理的證明過(guò)程;④應(yīng)用定理證明有關(guān)問(wèn)題;⑤體會(huì)定理與逆否定理、逆命題的聯(lián)系。有的定理包含公式,如中值定理、定理,它們的學(xué)習(xí)還應(yīng)該同公式的學(xué)習(xí)方法結(jié)合起來(lái)進(jìn)行。6.數(shù)學(xué)分析解題方法
在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析過(guò)程中,更多的困難來(lái)自于習(xí)題。
首先,大家要重視基本概念和基本原理的理解和掌握,不要一頭扎進(jìn)題海中去。上面已經(jīng)提及,提高解題能力重要途徑之一是掌握好基本概念和基本方法。另一方面,因?yàn)閿?shù)學(xué)分析題型變化多樣,解題技巧豐富多彩,許多類(lèi)型的題目并不是只要掌握好基本概念和基本方法就會(huì)作的。需要看一些例題,或者需要教師的指點(diǎn)。不要因?yàn)槟承╊}目一時(shí)找不到思路而失去信心。
至于如何解題,很難總結(jié)出幾個(gè)適用于所有題目的通用的方法。怎樣提高自己的解題能力?除了天生的智力因素之外,解題能力首先取決于基本概念和基本原理的理解與掌握程度。所以,多下功夫掌握基本概念和基本原理,盡可能地多做題目,在記憶的基礎(chǔ)上理解,在完成作業(yè)中深化,在比較中構(gòu)筑知識(shí)結(jié)構(gòu)的框架,是提高解題能力的重要途徑。另外,做題要善于總結(jié),特別是從不同的題目中提煉出一些有代表性的思想方法。
下面是數(shù)學(xué)分析課程中部分內(nèi)容的一些解題方法。(1)數(shù)列的極限
重點(diǎn):了解定義,即證明方法。特別是Cauchy收斂準(zhǔn)則。學(xué)會(huì)反證法的表述法。
解法:
a.利用壓縮映像或者數(shù)學(xué)歸納法及放縮法的到極限存在。然后,假設(shè)極限等于c,解出c的具體的值。
b.有時(shí)可以直接解出數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后帶入求得極限。c.Stolz公式。(2)求函數(shù)的極限重點(diǎn):同1)的重點(diǎn)解法:
a.對(duì)于一元的情況比較簡(jiǎn)單,注意應(yīng)用極限性質(zhì)時(shí)的條件要求。
b.對(duì)于多元的時(shí)候,先處理一個(gè)未知數(shù),再處理第二個(gè)。不斷利用放縮法;蛘邠Q元。
c.具體要了解上下極限、上下確界的含義。注意,極限存在也是一個(gè)條件,且這個(gè)條件是很強(qiáng)的。
(3)函數(shù)的連續(xù)性
重點(diǎn):了解定義,和基本證明的方法。了解什么是一致連續(xù)性.解法:
a.證明f(x)和g(x)有交點(diǎn)的題目,如果是連續(xù)的,可以用介值定理,否則可以用實(shí)數(shù)系的定理來(lái)證明。
b.有些題目證明f(x)符合某些性質(zhì),可以先證明整數(shù)、再證明有理數(shù)。最后利用連續(xù)性來(lái)證明所有的實(shí)數(shù)滿足條件.
c.了解什么是一致連續(xù),能舉得出連續(xù)但不是一致連續(xù)的各種函數(shù)圖像的例子,對(duì)于解題時(shí)很有幫助的
(4)導(dǎo)數(shù)和微分
重點(diǎn):會(huì)求導(dǎo)的各種技巧,并了解定義求導(dǎo)數(shù)的方法。了解可導(dǎo)和連續(xù)的關(guān)系。
解法:
a.一元微分是十分簡(jiǎn)單的。二元以上的微分,要用鏈?zhǔn)角髮?dǎo),可能會(huì)很繁瑣,但要做到滴水不漏。另外,學(xué)會(huì)換元的方法。
b.對(duì)于求最值的題目,首先試試初等方法,不行就用Lagrange乘子法。c.熟練掌握三種中值定理。遇到證明不等式,就想辦法往這三個(gè)中值定理靠,構(gòu)造輔助函數(shù)。實(shí)在不行,就構(gòu)造f(x)=左邊,g(x)=右邊。證明f(x)-g(x)遞增或者遞減,然后再取邊界的情況討論一下。
d.熟練掌握L’Hospital法則,注意它和Cauchy中值定理的聯(lián)系。注意它的條件必須要導(dǎo)函數(shù)連續(xù)。c.有些題目可以不用L’Hospital,直接用Taylor級(jí)數(shù)代余項(xiàng)的展開(kāi)。可能更為簡(jiǎn)潔。
(5)積分
重點(diǎn):熟練不定積分。和多元微積分的各種方法。了解積分中值定理.解法:
a.一元微積分比較簡(jiǎn)單。多元微積分,強(qiáng)調(diào)技巧。熟練掌握包括換元、Green(Stokes)定理、Gauss公式。并且注意,使用他們要求有閉曲線,或者封閉曲面。如果沒(méi)有封閉的面記得要補(bǔ)上那部分.b.含參變量的積分,掌握萊布尼茲求導(dǎo)公式,剩下的就是求導(dǎo)的各種技巧了。I(a)=f(a);I’(a)=f(a)I(a)題目里面沒(méi)有要求求出函數(shù)解析式,只要求一些特殊的值。找到I(x0),I’(x0)的關(guān)系,同具體參見(jiàn)試題。
c.積分不等式:積分中值定理或者利用求導(dǎo)的方法證明,基本同前面的導(dǎo)數(shù)的情況。
d.學(xué)會(huì)利用級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法求積分,并了解一些特殊的定積分的值。e.了解絕對(duì)收斂和相對(duì)收斂的區(qū)別。(6)一致連續(xù)和一致收斂
重點(diǎn):充分了解一致收斂的含義。解法:
a.大部分題目會(huì)和積分或者求和聯(lián)系起來(lái),首先證明(內(nèi)閉)一致收斂,然后用定義證明,將積分區(qū)間分成兩部分,分別趨近于不同的極限.
b.證明函數(shù)組一致收斂:AD判別法(注意還有關(guān)于積分的AD判別法,參見(jiàn)陳傳璋的版本,歸根到底就是Abel求和公式和分部積分法),或者按照定義作?赡芤殖蓭讉(gè)區(qū)間,注意這一點(diǎn),此時(shí)是證明對(duì)于任意的e,在這幾個(gè)區(qū)間中尋找最小的d,使得差小于e。而不是證明分別在這幾個(gè)區(qū)間中,一致收斂。
c.證明函數(shù)組不是一致收斂的。得到一個(gè)數(shù)列{xn},如果fn(xn)不趨近于f(x)的話就不是一致收斂的。
d.逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分要求一致收斂(內(nèi)閉一致收斂也可以)。由于積分和求導(dǎo)都是極限的運(yùn)算,這就是所謂的極限互相穿越的意思。
掌握一定量的題型,對(duì)于一些題目,直接知道用什么方法做。有些題目沒(méi)有頭緒的時(shí)候,可先嘗試找反例,然后想想為什么反例不成功,從中可以的得到不少的啟發(fā)。還有要充分了解函數(shù)的各種性質(zhì)。做題的時(shí)候腦子里要有函數(shù)圖像。另外,充分了解定義,特別是一致收斂。了解為什么有時(shí)候一致收斂才有題目的結(jié)論,如果條件收斂,是不是也有這樣的條件。多想幾次就有了深刻的了解。遇到不清楚的地方趕快看書(shū),多看幾遍書(shū)對(duì)于理解題目是非常有用的。再有,盡可能多地參考一些書(shū)籍會(huì)使你開(kāi)闊眼界,增長(zhǎng)知識(shí),加深理解。每個(gè)人有不同的風(fēng)格。不同的切入角度,會(huì)使你有時(shí)候讀一些問(wèn)題豁然開(kāi)朗。
7.學(xué)會(huì)利用參考書(shū)盡可能多地參考一些書(shū)籍會(huì)使你開(kāi)闊眼界,增長(zhǎng)知識(shí),加深理解。每個(gè)作者有不同的風(fēng)格,不同的切入角度,學(xué)會(huì)利用參考書(shū)會(huì)使你對(duì)一些問(wèn)題豁然開(kāi)朗。
看參考書(shū)有兩種方式,其一是通讀某一本書(shū),不過(guò)大家往往沒(méi)有太多的時(shí)間去通讀教材之外的書(shū)。所以我建議大家采用第二種方法:以問(wèn)題為中心,有選擇地讀參考書(shū),具體地說(shuō)就是:如果你對(duì)數(shù)學(xué)分析中的某一部分,或者某個(gè)問(wèn)題有興趣,希望多了解一些,作比較深入的研究,那么可以查閱幾本書(shū),看一看其他書(shū)上對(duì)這個(gè)問(wèn)題是怎樣論述的,在學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上,自己可以做一個(gè)小結(jié),在是自學(xué)的重要方式。好的輔導(dǎo)書(shū)對(duì)于幫助自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析也是有用的,但是使用輔導(dǎo)書(shū)要注意方法,不要僅僅停留于逐個(gè)地看例題,看得懂不等于會(huì)做,想到思路不等于做得完全正確。如果你想扎扎實(shí)實(shí)地提高解題能力,就要認(rèn)真地、獨(dú)立地解題,通過(guò)自己動(dòng)腦動(dòng)手體會(huì)解題的思路、方法和技巧。
最后,就是平時(shí)沒(méi)有事的時(shí)候多想想,想想一些定理,自己想不同的方法證明。想想如果沒(méi)有其中的某些條件,定理是否仍然成立。
總之,掌握了一定方法,再加上自己的努力,必能學(xué)好數(shù)學(xué)分析這門(mén)課,為后繼課程的學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。
數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)心得
一、數(shù)學(xué)分析內(nèi)容簡(jiǎn)介
數(shù)學(xué)分析內(nèi)容有實(shí)數(shù)集與函數(shù)、數(shù)列極限函數(shù)極限、函數(shù)連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、微分等。書(shū)中內(nèi)容大都以證明為主,計(jì)算部分較少。
二、課前預(yù)習(xí)
課本中每節(jié)的內(nèi)容構(gòu)架都是相似的,大都為引言、定理、定理的證明、例題、課后習(xí)題。了解了構(gòu)架。那么我們就應(yīng)該預(yù)習(xí)重點(diǎn)部分,在時(shí)間充足的的情況下,再看其他未看內(nèi)容。
引言,不重要,可以瀏覽一下,也可以不看;定理,是核心的內(nèi)容,不僅看而且要詳細(xì)的記住它,所謂詳細(xì)的記住是指:把定理的條件不要記錯(cuò),這個(gè)對(duì)證明很有用;接下來(lái)是證明,證明影響你對(duì)定理的理解程度和運(yùn)用的熟練程度?上攘私庾C明思路證明中的計(jì)算可以忽略,這樣在老師的講解下就可以明白;最后是例題和習(xí)題,例題是對(duì)定理最簡(jiǎn)單最貼切的應(yīng)用,所以課前掌握最好,習(xí)題可看可不看。
三、記錄筆記
在緊張的課堂學(xué)習(xí)中,要記好自己的筆記讓它清晰工整是不容易的。因?yàn)槟氵在用心聽(tīng)老師講課,所以要有方法。
首先,學(xué)會(huì)省略。減輕課堂負(fù)擔(dān),在課后補(bǔ)充。比如:定理,你可以把定理的內(nèi)容在課本上畫(huà)下來(lái),在筆記中留出空白。用這段時(shí)間理解并記憶定理。計(jì)算也可以省略,留到課下自己計(jì)算。
其次,學(xué)會(huì)縮寫(xiě)。在數(shù)學(xué)分析中,有很多符號(hào)語(yǔ)言,比如:∑(加和)∞(無(wú)窮大)∵(因?yàn)椋﹖h(定理)等。
最后,抓住重點(diǎn)記錄。重點(diǎn)可以分為兩部分:一部分是老師上課所說(shuō)的重點(diǎn)部分,那一定是精華,所以不要錯(cuò)過(guò);另一部分是自己不懂或難懂的部分,記錄下來(lái),課下反復(fù)思考,復(fù)習(xí)。
四、課后復(fù)習(xí)
課后復(fù)習(xí)要從兩方面出發(fā):
一方面是老師要求掌握的內(nèi)容,這些內(nèi)容是考試內(nèi)容,對(duì)期末復(fù)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。
另一方面是自己難以掌握的內(nèi)容,這些內(nèi)容是最容易忘記的也是應(yīng)用熟練程度最差的。所以也要作為重點(diǎn)復(fù)習(xí)。
復(fù)習(xí)要有一定的周期性,不能本周看了,之后就讓它冬眠,這樣大腦會(huì)一片空白的?梢愿鶕(jù)自己的記憶能力,一星期或兩星期看一次。
五、讀書(shū)方法
讀書(shū)要有側(cè)重點(diǎn),數(shù)學(xué)分析中的定理,有的要著重看它的證明方法,他的方法是獨(dú)特的,可以給自己以借鑒;有的要著重看定理的內(nèi)容,它的定理應(yīng)用,推廣會(huì)更多一些;有的當(dāng)做了解內(nèi)容,因?yàn)樗赡苁菫槠渌ɡ碜麂亯|的。
其中的例題一定要看,這個(gè)會(huì)是定理的淺顯應(yīng)用,對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō),能夠?yàn)橐院笞鲭y題提供思路和方法。
六、數(shù)學(xué)分析中的創(chuàng)新與應(yīng)用
在創(chuàng)新方面,一般是定理推廣,它的推廣會(huì)被現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用的更加廣泛。在應(yīng)用方面,這個(gè)很多,一般是競(jìng)賽中的應(yīng)用,比如數(shù)學(xué)建模。在計(jì)算機(jī)程序中也有很多應(yīng)用。
學(xué)好數(shù)學(xué)分析,其天賦是一方面,另一方面就是自己的不斷努力下所積累的做題經(jīng)驗(yàn)和邏輯性思維。只有努力才有收獲!
友情提示:本文中關(guān)于《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法總結(jié)》給出的范例僅供您參考拓展思維使用,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法總結(jié):該篇文章建議您自主創(chuàng)作。
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