初三數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

初三數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、二次函數(shù)概念：

a0）b，c是常數(shù)，1．二次函數(shù)的概念：一般地，形如yax2bxc（a，的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這

c可以為零．二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)a0，而b，數(shù)．

2.二次函數(shù)yax2bxc的結(jié)構(gòu)特征：

⑴等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2．

b，c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．⑵a，二、二次函數(shù)的基本形式

1.二次函數(shù)基本形式：yax2的性質(zhì)：a的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小。

a的符號(hào)a0開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸向上00，00，性質(zhì)x0時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y隨y軸x的增大而減小；x0時(shí)，y有最小值0．x0時(shí)，y隨x的增大而減�。粁0時(shí)，y隨a0向下y軸x的增大而增大；x0時(shí)，y有最大值0．

2.yax2c的性質(zhì)：上加下減。

a的符號(hào)a0開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸向上c0，c0，性質(zhì)x0時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y隨y軸x的增大而減��；x0時(shí)，y有最小值c．x0時(shí)，y隨x的增大而減小；x0時(shí)，y隨a0向下y軸x的增大而增大；x0時(shí)，y有最大值c．

3.yaxh的性質(zhì)：

左加右減。

2a的符號(hào)a0開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸向上0h，0h，性質(zhì)xh時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y隨X=hx的增大而減�。粁h時(shí)，y有最小值0．xh時(shí)，y隨x的增大而減�。粁h時(shí)，y隨a02向下X=hx的增大而增大；xh時(shí)，y有最大值0．4.yaxhk的性質(zhì)：

a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸第1頁共6頁性質(zhì)a0向上h，kh，kX=hxh時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y隨x的增大而減�。粁h時(shí)，y有最小值k．xh時(shí)，y隨x的增大而減��；xh時(shí)，y隨a0向下X=hx的增大而增大；xh時(shí)，y有最大值k．

三、二次函數(shù)圖象的平移

1.平移步驟：

方法一：⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)axhk，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)h，k；⑵保持拋物線yax2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到h，k處，具體平移方法如下：

向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k

畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn).

六、二次函數(shù)yax2bxc的性質(zhì)

b4acb2b1.當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向上，對(duì)稱軸為x，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，．

2a4a2a當(dāng)xbbb時(shí)，y隨x的增大而減�。划�(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x時(shí)，y有最小2a2a2a4acb2值．

4ab4acb2bb2.當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為x，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，時(shí)，y隨．當(dāng)x2a4a2a2a4acb2bb．x的增大而增大；當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而減��；當(dāng)x時(shí)，y有最大值

2a2a4a七、二次函數(shù)解析式的表示方法

1.一般式：yax2bxc（a，b，c為常數(shù)，a0）；

2.頂點(diǎn)式：ya(xh)2k（a，h，k為常數(shù)，a0）；

3.兩根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.

注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只

有拋物線與x軸有交點(diǎn)，即b24ac0時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.

八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系

1.二次項(xiàng)系數(shù)a

二次函數(shù)yax2bxc中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然a0．

⑴當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之a(chǎn)的值越小，開口越大；⑵當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之a(chǎn)的值越大，開口越大．

總結(jié)起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負(fù)決定開口方向，a的大小決定開口的大�。�2.一次項(xiàng)系數(shù)b

在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對(duì)稱軸．⑴在a0的前提下，

當(dāng)b0時(shí)，當(dāng)b0時(shí)，當(dāng)b0時(shí)，b0，即拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；2ab0，即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸；2ab0，即拋物線對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)．2a⑵在a0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)b0時(shí)，當(dāng)b0時(shí)，當(dāng)b0時(shí)，b0，即拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)；2ab0，即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸；2ab0，即拋物線對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)．2a第3頁共6頁

總結(jié)起來，在a確定的前提下，b決定了拋物線對(duì)稱軸的位置．

ab的符號(hào)的判定：對(duì)稱軸xb在y軸左邊則ab0，在y軸的右側(cè)則ab0，概括的說就是“左同2a右異”總結(jié)：

3.常數(shù)項(xiàng)c

⑴當(dāng)c0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；⑵當(dāng)c0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0；⑶當(dāng)c0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)．總結(jié)起來，c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置．

b，c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的．總之，只要a，二次函數(shù)解析式的確定：

根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问�，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：

1.已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；

2.已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（�。┲担�一般選用頂點(diǎn)式；3.已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4.已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式．

九、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱

二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1.關(guān)于x軸對(duì)稱

yax2bxc關(guān)于x軸對(duì)稱后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk關(guān)于x軸對(duì)稱后，得到的解析式是yaxhk；2.關(guān)于y軸對(duì)稱

yax2bxc關(guān)于y軸對(duì)稱后，得到的解析式是yax2bxc；

22yaxhk關(guān)于y軸對(duì)稱后，得到的解析式是yaxhk；3.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

yax2bxc關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yax2bxc；yaxhk關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yaxhk；4.關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱（即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°）

2222b2yaxbxc關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yaxbxc；

2a22yaxhk關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yaxhk．n對(duì)稱5.關(guān)于點(diǎn)m，n對(duì)稱后，得到的解析式是yaxh2m2nkyaxhk關(guān)于點(diǎn)m，第4頁共6頁

22

根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此a永遠(yuǎn)不變．求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式．

十、二次函數(shù)與一元二次方程：

1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)情況）：

一元二次方程ax2bxc0是二次函數(shù)yax2bxc當(dāng)函數(shù)值y0時(shí)的特殊情況.圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：

①當(dāng)b24ac0時(shí)，圖象與x軸交于兩點(diǎn)Ax1，0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次

b24ac方程axbxc0a0的兩根．這兩點(diǎn)間的距離ABx2x1.

a2②當(dāng)0時(shí)，圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；③當(dāng)0時(shí)，圖象與x軸沒有交點(diǎn).

1"當(dāng)a0時(shí)，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有y0；

2"當(dāng)a0時(shí)，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有y0．2.拋物線yax2bxc的圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c)；

3.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：

⑴求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；

⑵求二次函數(shù)的最大（�。┲敌枰�利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；

⑶根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)yax2bxc中a，b，c的符號(hào)，或由二次函數(shù)中a，b，c的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；

⑷二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).⑸與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式ax2bxc(a0)本身就是所含字母x的二次函數(shù)；下面以a0時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：

0拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)0二次三項(xiàng)式的值可正、可零、可負(fù)二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)二次三項(xiàng)式的值恒為正一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根一元二次方程無實(shí)數(shù)根.0拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)拋物線與x軸無交點(diǎn)y=2x2y=x2y=3(x+4)2二次函數(shù)圖像參考：

y=3x2y=3(x-2)2y=x22第5頁共6頁

y=2x2y=2(x-4)2y=2(x-4)2-3y=2x2+2y=2x2y=2x2-4x2y=-2y=-x2y=-2x2十一、函數(shù)的應(yīng)用

剎車距離二次函數(shù)應(yīng)用何時(shí)獲得最大利潤

最大面積是多少y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2第6頁共6頁

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初三數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、二次函數(shù)概念：

1．二次函數(shù)的概念：一般地，形如yax2bxc（a，b，c是常數(shù)，的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這a0）里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)a0，而b，c可以為零．二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)．

2.二次函數(shù)yax2bxc的結(jié)構(gòu)特征：

⑴等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2．⑵a，b，c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．

二、二次函數(shù)的基本形式

1.二次函數(shù)基本形式：yax2的性質(zhì)：a的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小。

a的符號(hào)a0開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸向上性質(zhì)x0

0，00，0y軸時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y隨x的增大而減�。粁0時(shí)，y有最小值0．時(shí)，y隨x的增大而減��；x0時(shí)，y隨a0向下y軸x0x的增大而增大；x0時(shí)，y有最大值0．2.yax2c的性質(zhì)：上加下減。

a的符號(hào)a0開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸向上性質(zhì)x0

0，c0，cy軸時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y隨x的增大而減��；x0時(shí)，y有最小值c．a(chǎn)0向下y軸x0時(shí)，y隨x的增大而減�。粁0時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y有最大值c．3.yaxh的性質(zhì)：

左加右減。

a的符號(hào)a02開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸向上性質(zhì)xhh，0h，0X=h時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y隨x的增大而減小；xh時(shí)，y有最小值0．時(shí)，y隨x的增大而減��；xh時(shí)，y隨a0向下X=hxhx的增大而增大；xh時(shí)，y有最大值0．

第1頁共14頁

4.yaxhk的性質(zhì)：

a的符號(hào)a02開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸向上性質(zhì)xhh，kh，kX=h時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y隨x的增大而減小；xh時(shí)，y有最小值k．時(shí)，y隨x的增大而減小；xh時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y有最大值k．a(chǎn)0向下X=hxh

三、二次函數(shù)圖象的平移

1.平移步驟：

方法一：⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)axhk，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)h，k；⑵保持拋物線yax2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到h，k處，具體平移方法如下：

向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k

五、二次函數(shù)yax2bxc圖象的畫法

五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)yax2bxc化為頂點(diǎn)式y(tǒng)a(xh)2k，確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)0，c、以及0，c關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)2h，c、與x軸的交點(diǎn)x1，0，x2，0（若與x軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）.

畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn).

六、二次函數(shù)yax2bxc的性質(zhì)

2b4acb1.當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向上，對(duì)稱軸為x，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，．

2a2a4ab當(dāng)x值

b2a2時(shí)，y隨x的增大而減��；當(dāng)x．

b2a時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)xb2a時(shí)，y有最小

4acb4a2b4acbb2.當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為x，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，時(shí)，y隨．當(dāng)x2a2a2a4abx的增大而增大；當(dāng)xb2a時(shí)，y隨x的增大而減��；當(dāng)xb2a時(shí)，y有最大值

4acb4a2．

七、二次函數(shù)解析式的表示方法

1.一般式：yax2bxc（a，b，c為常數(shù)，a0）；

2.頂點(diǎn)式：ya(xh)2k（a，h，k為常數(shù)，a0）；

3.兩根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.

注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只

有拋物線與x軸有交點(diǎn)，即b24ac0時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.

八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系

1.二次項(xiàng)系數(shù)a

二次函數(shù)yax2bxc中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然a0．

⑴當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之a(chǎn)的值越小，開口越大；⑵當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之a(chǎn)的值越大，開口越大．

總結(jié)起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負(fù)決定開口方向，a的大小決定開口的大�。�2.一次項(xiàng)系數(shù)b

在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對(duì)稱軸．⑴在a0的前提下，

當(dāng)b0時(shí)，當(dāng)b0時(shí)，b2ab2a00，即拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；，即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸；

第3頁共14頁

當(dāng)b0時(shí)，b2a0，即拋物線對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)．

⑵在a0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)b0時(shí)，當(dāng)b0時(shí)，當(dāng)b0時(shí)，b2ab2ab2a0，即拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)；，即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸；，即拋物線對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)．

00總結(jié)起來，在a確定的前提下，b決定了拋物線對(duì)稱軸的位置．

ab的符號(hào)的判定：對(duì)稱軸xb2a在y軸左邊則ab0，在y軸的右側(cè)則ab0，概括的說就是

“左同右異”

總結(jié)：

3.常數(shù)項(xiàng)c

⑴當(dāng)c0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；⑵當(dāng)c0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0；⑶當(dāng)c0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)．總結(jié)起來，c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置．

總之，只要a，b，c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的．

二次函數(shù)解析式的確定：

根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问�，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：

1.已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；

2.已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（�。┲担�一般選用頂點(diǎn)式；3.已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4.已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式．

九、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱

二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1.關(guān)于x軸對(duì)稱

2ya2xbx關(guān)于cx軸對(duì)稱后，得到的解析式是yaxbxc；

yaxhk2關(guān)于x軸對(duì)稱后，得到的解析式是yaxhk；

22.關(guān)于y軸對(duì)稱

2xbx關(guān)于cy軸對(duì)稱后，得到的解析式是yaxbxc；ya2yaxhk2關(guān)于y軸對(duì)稱后，得到的解析式是yaxhk；

23.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

2xbx關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是cyaxbxc；ya2kyaxhk；yaxh關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是

22第4頁共14頁

4.關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱（即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°）

yaxbxyaxbxc關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是c22b22a；

yaxhk2關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yaxhk．

25.關(guān)于點(diǎn)m，n對(duì)稱

yaxhk2關(guān)于點(diǎn)m，n對(duì)稱后，得到的解析式是yaxh2m2nk

2根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此a永遠(yuǎn)不變．求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式．

十、二次函數(shù)與一元二次方程：

1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)情況）：

一元二次方程ax2bxc0是二次函數(shù)yax2bxc當(dāng)函數(shù)值y0時(shí)的特殊情況.圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：

①當(dāng)b24ac0時(shí)，圖象與x軸交于兩點(diǎn)Ax1，0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次

b4aca2方程axbxc0a0的兩根．這兩點(diǎn)間的距離ABx2x12.

②當(dāng)0時(shí)，圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；③當(dāng)0時(shí)，圖象與x軸沒有交點(diǎn).

1"當(dāng)a0時(shí)，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有y0；

2"當(dāng)a0時(shí)，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有y0．2.拋物線yax2bxc的圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c)；

3.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：

⑴求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；

⑵求二次函數(shù)的最大（�。┲敌枰�利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；

⑶根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)yax2bxc中a，b，c的符號(hào)，或由二次函數(shù)中a，b，c的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；

⑷二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).⑸與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式ax2bxc(a0)本身就是所含字母x的二次函數(shù)；下面以a0時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：

第5頁共14頁0拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)拋物線與x軸無二次三項(xiàng)式的值可正、可零、可負(fù)一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根0二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根二次三項(xiàng)式的值恒為正一元二次方程無實(shí)數(shù)根.0交點(diǎn)

二次函數(shù)圖像參考：

y=2x2

y=x2y=2x2y=2(x-4)2y=x22y=2(x-4)2-3y=2x2+2y=2x2y=2x2-4x2y=-2y=-x2y=-2x2

十一、函數(shù)的應(yīng)用

剎車距離二次函數(shù)應(yīng)用何時(shí)獲得最大利潤

最大面積是多少

第6頁共14頁

y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)

二次函數(shù)考查重點(diǎn)與常見題型

1．考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中，如：

已知以x為自變量的二次函數(shù)y(m2)x2m2m2的圖像經(jīng)過原點(diǎn)，則m的值是

2．綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習(xí)題的特點(diǎn)是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)考查

兩個(gè)函數(shù)的圖像，試題類型為選擇題，如：

如圖，如果函數(shù)ykxb的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)ykx2bx1的圖像大致是（）

yyyy110xo-1x0x0-1xABCD3．考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高，習(xí)題類型有中檔解答題和選

拔性的綜合題，如：

已知一條拋物線經(jīng)過(0,3)，(4,6)兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為x53，求這條拋物線的解析式。

4．考查用配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、二次函數(shù)的極值，有關(guān)試題為解答題，如：3

已知拋物線yax2bxc（a≠0）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是－1、3，與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是－

2（1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).5．考查代數(shù)與幾何的綜合能力，常見的作為專項(xiàng)壓軸題�！纠�題經(jīng)典】

由拋物線的位置確定系數(shù)的符號(hào)

例1（1）二次函數(shù)yax2bxc的圖像如圖1，則點(diǎn)M(b,)在（）

acA．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

（2）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖2所示，則下列結(jié)論：①a、b同號(hào)；②當(dāng)x=1和x=3時(shí)，函數(shù)值相等；③4a+b=0；④當(dāng)y=-2時(shí)，x的值只能取0.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

(1)(2)

【點(diǎn)評(píng)】弄清拋物線的位置與系數(shù)a，b，c之間的關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵．

例2.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)(-2，O)、(x1，0)，且1

例3.已知：關(guān)于x的一元二次方程ax+bx+c=3的一個(gè)根為x=-2，且二次函數(shù)y=ax+bx+c的對(duì)稱軸是直線

22

x=2，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()

A(2，-3)B.(2，1)C(2，3)D．(3，2)

答案：C

例4、如圖（單位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直線L向正方形移動(dòng)，直到AB與CD重合．設(shè)

2

x秒時(shí)，三角形與正方形重疊部分的面積為ym．（1）寫出y與x的關(guān)系式；

（2）當(dāng)x=2，3.5時(shí)，y分別是多少？（3）當(dāng)重疊部分的面積是正方形面積的一半時(shí)，三角形移動(dòng)了多長時(shí)間？求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸.

125例5、已知拋物線y=x+x-．

22（1）用配方法求它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸．

（2）若該拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，求線段AB的長．

【點(diǎn)評(píng)】本題（1）是對(duì)二次函數(shù)的“基本方法”的考查，第（2）問主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系．

例6、“已知函數(shù)y12xbxc的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（c，－2），

2求證：這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x=3。”題目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無法辨認(rèn)的文字。

（1）根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有的信息，你能否求出題中的二次函數(shù)解析式？若能，請(qǐng)寫出求解過程，并畫出二次函數(shù)圖象；若不能，請(qǐng)說明理由。

（2）請(qǐng)你根據(jù)已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，把原題補(bǔ)充完整。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于第（1）小題，要根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有信息求出題中的二次函數(shù)解析式，就要把原來的結(jié)論“函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x=3”當(dāng)作已知來用，再結(jié)合條件“圖象經(jīng)過點(diǎn)A（c，－2）”，就可以列出兩個(gè)方程了，而解析式中只有兩個(gè)未知數(shù)，所以能夠求出題中的二次函數(shù)解析式。對(duì)于第（2）小題，只要給出的條件能夠使求出的二次函數(shù)解析式是第（1）小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同的條件，可以考慮再給圖象上的一個(gè)任意點(diǎn)的坐標(biāo)，可以給出頂點(diǎn)的坐標(biāo)或與坐標(biāo)軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)等。

[解答]（1）根據(jù)y12xbxc的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（c，－2），圖象的對(duì)稱軸是x=3，

2122cbcc2,得b3,122b3,解得

c2.所以所求二次函數(shù)解析式為y（2）在解析式中令y=0，得

12122x3x2.圖象如圖所示。

5,x235.

2x3x20，解得x13第8頁共14頁

所以可以填“拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是（3+5,0)”或“拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是

(35,0).

令x=3代入解析式，得y所以拋物線y12252,

52),

x3x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,52所以也可以填拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,)等等。

函數(shù)主要關(guān)注：通過不同的途徑（圖象、解析式等）了解函數(shù)的具體特征；借助多種現(xiàn)實(shí)背景理解函數(shù)；將函數(shù)視為“變化過程中變量之間關(guān)系”的數(shù)學(xué)模型；滲透函數(shù)的思想；關(guān)注函數(shù)與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系。

用二次函數(shù)解決最值問題

例1已知邊長為4的正方形截去一個(gè)角后成為五邊形ABCDE（如圖），其中AF=2，BF=1．試在AB上求一點(diǎn)P，使矩形PNDM有最大面積．

【評(píng)析】本題是一道代數(shù)幾何綜合題，把相似三角形與二次函數(shù)的知識(shí)有機(jī)的結(jié)合在一起，能很好考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力．同時(shí)，也給學(xué)生探索解題思路留下了思維空間．

例2某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價(jià)x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間的關(guān)系如下表：

x（元）152030y（件）25201*若日銷售量y是銷售價(jià)x的一次函數(shù)．（1）求出日銷售量y（件）與銷售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每日銷售利潤是多少元？【解析】（1）設(shè)此一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b．則15kb25,2kb20解得k=-1，b=40，即一次函數(shù)表達(dá)

式為y=-x+40．

（2）設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為x元，所獲銷售利潤為w元

22

w=（x-10）（40-x）=-x+50x-400=-（x-25）+225．

產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為25元，此時(shí)每日獲得最大銷售利潤為225元．【點(diǎn)評(píng)】解決最值問題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類似，也有區(qū)別，主要有兩點(diǎn)：（1）設(shè)未知數(shù)在“當(dāng)某某為何值時(shí)，什么最大（或最小、最�。�”的設(shè)問中，“某某”要設(shè)為自變量，“什么”要設(shè)為函數(shù)；（2）問的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．

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二次函數(shù)對(duì)應(yīng)練習(xí)試題

一、選擇題

1.二次函數(shù)yx24x7的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D.（2，－3）2.把拋物線y2x2向上平移1個(gè)單位，得到的拋物線是（）

A.y2(x1)2B.y2(x1)2C.y2x21D.y2x213.函數(shù)ykx2k和ykx(k0)在同一直角坐標(biāo)系中圖象可能是圖中的()

4.已知二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論:①a,b同號(hào);②當(dāng)x1和x3時(shí),函數(shù)值相等;③4ab0④當(dāng)y2時(shí),x的值只能取0.其中正確的個(gè)數(shù)是()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

5.已知二次函數(shù)yax2bxc(a0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-1，-3.2）及部分圖象(如圖),由圖象可知關(guān)于x的一元二次方程ax2bxc0的兩個(gè)根分別是x11.3和x2（）

Ａ．－１.３B.-2.3C.-0.3D.-3.36.已知二次函數(shù)yaxbxc的圖象如圖所示，則點(diǎn)(ac,bc)在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限7.方程2xx222x的正根的個(gè)數(shù)為（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè).3個(gè)

8.已知拋物線過點(diǎn)A(2,0),B(-1,0),與y軸交于點(diǎn)C,且OC=2.則這條拋物線的解析式為

A.yxx2B.yxx2

C.yxx2或yxx2D.yxx2或yxx2

222222

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二、填空題

9．二次函數(shù)yx2bx3的對(duì)稱軸是x2，則b_______。

10．已知拋物線y=-2（x+3）+5，如果y隨x的增大而減小，那么x的取值范圍是_______.

11．一個(gè)函數(shù)具有下列性質(zhì)：①圖象過點(diǎn)（－1，2），②當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大；滿足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式是（只寫一個(gè)即可）。

12．拋物線y2(x2)26的頂點(diǎn)為C，已知直線ykx3過點(diǎn)C，則這條直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為。

13.二次函數(shù)y2x24x1的圖象是由y2x2bxc的圖象向左平移1個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位得到的,則b=,c=。

14．如圖，一橋拱呈拋物線狀，橋的最大高度是16米，跨度是40米，在線段AB上離中心M處5米的地方，橋的高度是(π取3.14).

三、解答題：

15.已知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x30,圖象經(jīng)過(1,-6),且與y軸的交點(diǎn)為(0,(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;

(2)當(dāng)x為何值時(shí),這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值為0?

(3)當(dāng)x在什么范圍內(nèi)變化時(shí),這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值y隨x的增大而增大?

16.某種爆竹點(diǎn)燃后，其上升高度h（米）和時(shí)間t（秒）符合關(guān)系式hv0t2

52).

第15題圖

12gt（0

17.如圖，拋物線yx2bxc經(jīng)過直線yx3與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B，此拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，拋物線頂點(diǎn)為D.（1）求此拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使SAPC：SACD5：4的點(diǎn)P的坐標(biāo)。

18.紅星建材店為某工廠代銷一種建筑材料（這里的代銷是指廠家先免費(fèi)提供貨源，待貨物售出后再進(jìn)行結(jié)算，未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理）．當(dāng)每噸售價(jià)為260元時(shí)，月銷售量為45噸．該建材店為提高經(jīng)營利潤，準(zhǔn)備采取降價(jià)的方式進(jìn)行促銷．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每噸售價(jià)每下降10元時(shí)，月銷售量就會(huì)增加7.5噸．綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費(fèi)用100元．設(shè)每噸材料售價(jià)為x（元），該經(jīng)銷店的月利潤為y（元）．

（1）當(dāng)每噸售價(jià)是240元時(shí)，計(jì)算此時(shí)的月銷售量；（2）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出x的取值范圍）；（3）該建材店要獲得最大月利潤，售價(jià)應(yīng)定為每噸多少元？

（4）小靜說：“當(dāng)月利潤最大時(shí)，月銷售額也最大．”你認(rèn)為對(duì)嗎？請(qǐng)說明理由．

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練習(xí)試題答案

一，選擇題、

1．A2．C3．A4．B5．D6．B7．C8．C

二、填空題、

9．b410．x＜-311．如y2x24,y2x4等（答案不唯一）12．113．-8714．15

三、解答題

15．(1)設(shè)拋物線的解析式為yax2bxc,由題意可得b2a3abc65c2

解得a

12,b3,c52所以y12x3x252

(2)x1或-5(2)x3

16．（1）由已知得，1520t1210t，解得t13,t221當(dāng)t3時(shí)不合題意，舍去。所以當(dāng)爆竹點(diǎn)燃

后1秒離地15米．（2）由題意得，h5t220t＝5(t2)220，可知頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)t2，又拋物線開口向下，所以在爆竹點(diǎn)燃后的1.5秒至108秒這段時(shí)間內(nèi)，爆竹在上升．

93bc0b217．（1）直線yx3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A（3，0），B（0，－3）．則解得

c3c3所以此拋物線解析式為yx2x3．（2）拋物線的頂點(diǎn)D（1，－4），與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)C（－

21，0）.設(shè)P(a,a2a3)，則(4a2a3):(44)5:4.化簡得a22a35

212122當(dāng)a2a3＞0時(shí)，a2a35得a4,a2∴P（4，5）或P（－2，5）

當(dāng)a2a3＜0時(shí)，a2a35即a2a20，此方程無解．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，5）或（－2，5）．

第13頁共14頁

222

18．（1）45y34226024010．（2）y(x100)(457.5=60（噸）

34x315x240002260x107.5)，化簡得：

（3）yx315x24000．

34(x210)90752．

紅星經(jīng)銷店要獲得最大月利潤，材料的售價(jià)應(yīng)定為每噸210元．

（4）我認(rèn)為，小靜說的不對(duì)．理由：方法一：當(dāng)月利潤最大時(shí)，x為210元，而對(duì)于月銷售額

Wx(45260x107.5)3(x160)219200來說，4當(dāng)x為160元時(shí)，月銷售額W最大．∴當(dāng)x為210元時(shí)，月銷售額W不是最大．∴小靜說的不對(duì)．方法二：當(dāng)月利潤最大時(shí)，x為210元，此時(shí)，月銷售額為17325元；而當(dāng)x為200元時(shí)，月銷售額為18000元．∵17325＜18000，∴當(dāng)月利潤最大時(shí)，月銷售額W不是最大．∴小靜說的不對(duì)．

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