高二上學期數(shù)學知識點總結

為您服務教育網(wǎng)高二數(shù)學期末復習知識點總結

一、直線與圓：

1、直線的傾斜角的范圍是[0,）

在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線l，如果把x軸繞著交點按逆時針方向轉(zhuǎn)到和直線l重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為，就叫做直線的傾斜角。當直線l與x軸重合或平行時，規(guī)定傾斜角為0；

2、斜率：已知直線的傾斜角為α，且α≠90°，則斜率k=tanα.

過兩點（x1,y1）,(x2,y2)的直線的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)，另外切線的斜率用求導的方法。3、直線方程：⑴點斜式：直線過點(x0,y0)斜率為k，則直線方程為

yy0k(xx0),⑵斜截式：直線在y軸上的截距為b和斜率k，則直線方程為ykxb

4、l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,①l1∥l2k1k2,b1b2；②l1l2k1k21.

直線l1:A1xB1yC15、點P(x0,y0)到直線兩條平行線

0與直線l2:A2xB2yC20的位置關系：（1）平行A1/A2=B1/B2注意檢驗（2）垂直A1A2+B1B2=0

AxByC0的距離公式dAx0By0CAB22；

AB222226、圓的標準方程：(xa)(yb)r.⑵圓的一般方程：xyDxEyF0

注意能將標準方程化為一般方程

7、過圓外一點作圓的切線,一定有兩條,如果只求出了一條,那么另外一條就是與x軸垂直的直線.8、直線與圓的位置關系,通常轉(zhuǎn)化為圓心距與半徑的關系,或者利用垂徑定理,構造直角三角形解決弦長問題.①dr相離②dr相切③dr相交

AxByC10與AxByC20的距離是dC1C222

9、解決直線與圓的關系問題時,要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質(zhì)的作用(如半徑、半弦長、弦心距構

成直角三角形)直線與圓相交所得弦長|AB|2r2d2二、圓錐曲線方程：

1、橢圓：①方程

x2y2

21(a>b>0)注意還有一個;②定義:|PF1|+|PF2|=2a>2c；③2ab222cb2

e=12④長軸長為2a，短軸長為2b，焦距為2c；a=b+c；aax2y22、雙曲線：①方程221(a,b>0)注意還有一個；②定義:||PF1|-|PF2||=2a為您服務教育網(wǎng)三、直線、平面、簡單幾何體：

1、學會三視圖的分析：2、斜二測畫法應注意的地方：

（１）在已知圖形中取互相垂直的軸Ox、Oy。畫直觀圖時，把它畫成對應軸o"x"、o"y"、使∠x"o"y"=45°（或135°）；（２）平行于ｘ軸的線段長不變，平行于ｙ軸的線段長減半．（３）直觀圖中的４５度原圖中就是９０度，直觀圖中的９０度原圖一定不是９０度．3、表（側(cè)）面積與體積公式：

⑴柱體：①表面積：S=S側(cè)+2S底；②側(cè)面積：S側(cè)=2rh；③體積：V=S底h⑵錐體：①表面積：S=S側(cè)+S底；②側(cè)面積：S側(cè)=rl；③體積：V=⑶臺體①表面積：S=S側(cè)+S上底S下底②側(cè)面積：S側(cè)=(r⑷球體：①表面積：S=4R2；②體積：V=

1S3底

h：

r")l

43R34、位置關系的證明（主要方法）：注意立體幾何證明的書寫

（1）直線與平面平行：①線線平行線面平行；②面面平行線面平行。（2）平面與平面平行：①線面平行面面平行。

（3）垂直問題：線線垂直線面垂直面面垂直。核心是線面垂直：垂直平面內(nèi)的兩條相交直線5、求角：（步驟-------Ⅰ.找或作角；Ⅱ.求角）

⑴異面直線所成角的求法：平移法：平移直線，構造三角形；⑵直線與平面所成的角：直線與射影所成的角

四、導數(shù)：導數(shù)的意義－導數(shù)公式－導數(shù)應用（極值最值問題、曲線切線問題）

1、導數(shù)的定義：

f(x)在點x0處的導數(shù)記作yxx0f(x0)limf(x0x)f(x0)xx0.

2.導數(shù)的幾何物理意義：曲線

/

yf(x)在點P(x0,f(x0))處切線的斜率

//

①k＝f(x0)表示過曲線y=f(x)上P(x0,f(x0))切線斜率。V＝s(t)表示即時速度。a=v(t)表示加速度。3.常見函數(shù)的導數(shù)公式:①C⑤(ax""n"n1sni②(x)nx；③(0；x)"cosx(cosx)"snix；

)axlna；⑥(ex)"ex；⑦(logax)"11"；⑧(lnx)。

xlnaxuuvuv);2vv4.導數(shù)的四則運算法則：(uv)uv;(uv)uvuv;(5.導數(shù)的應用：

(1)利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性：設函數(shù)為增函數(shù)；如果

yf(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導,如果f(x)0,那么f(x)f(x)0,那么f(x)為減函數(shù)；

注意：如果已知f(x)為減函數(shù)求字母取值范圍,那么不等式f(x)0恒成立。

(2)求極值的步驟：

f(x)；

②求方程f(x)0的根；

③列表：檢驗f(x)在方程f(x)0根的左右的符號，如果左正右負,那么函數(shù)yf(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正,那么函數(shù)yf(x)在這個根處取得極小值；

①求導數(shù)

(3)求可導函數(shù)最大值與最小值的步驟：求

f(x)0的根；把根與區(qū)間端點函數(shù)值比較,最大的為最大值,最小的是最小值。

為您服務教育網(wǎng)五、常用邏輯用語：

1、四種命題：

⑴原命題：若p則q；⑵逆命題：若q則p；⑶否命題：若p則q；⑷逆否命題：若q則p

注：1、原命題與逆否命題等價；逆命題與否命題等價。判斷命題真假時注意轉(zhuǎn)化。2、注意命題的否定與否命題的區(qū)別：命題pq否定形式是pq；否命題是

“p且q”的否定是“p或q”.pq.命題“p或q”的否定是“p且q”；

3、邏輯聯(lián)結詞：

⑴且(and)：命題形式pq；pqpqpqp⑵或（or）：命題形式pq；真真真真假⑶非（not）：命題形式p.真假假真假假真假真真假假假假真

“或命題”的真假特點是“一真即真，要假全假”；“且命題”的真假特點是“一假即假，要真全真”；“非命題”的真假特點是“一真一假”4、充要條件

由條件可推出結論，條件是結論成立的充分條件；由結論可推出條件，則條件是結論成立的必要條件。

5、全稱命題與特稱命題：

短語“所有”在陳述中表示所述事物的全體，邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號表示。含有全體量詞的命題，叫做全稱命題。

短語“有一個”或“有些”或“至少有一個”在陳述中表示所述事物的個體或部分，邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號表示，含有存在量詞的命題，叫做存在性命題。全稱命題p：xM,p(x)；特稱命題p：xM,p(x)；

全稱命題p的否定p：xM,p(x)。特稱命題p的否定p：xM,p(x)；

擴展閱讀：高二數(shù)學上冊各章節(jié)知識點總結(大綱版)

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不等式單元知識總結

一、不等式的性質(zhì)

1．兩個實數(shù)a與b之間的大小關系

(1)a－b＞0a＞b；(2)a－b=0a=b；(3)a－b＜0a＜b．

(4)ab＞1a＞b；若a、bR，則(5)ab=1a=b；(6)ab＜1a＜b．

2．不等式的性質(zhì)

(1)a＞bb＜a(對稱性)

(2)a＞bb＞ca＞c(傳遞性)

(3)a＞ba＋c＞b＋c(加法單調(diào)性)

a＞bc＞0ac＞bc

(4)(乘法單調(diào)性)

a＞bc＜0ac＜bc

(5)a＋b＞ca＞c－b(移項法則)

(6)a＞bc＞da＋c＞b＋d(同向不等式可加)

(7)a＞bc＜da－c＞b－d(異向不等式可減)(8)a＞b＞0c＞d＞0ac＞bd(同向正數(shù)不等式可乘)《中學數(shù)學信息網(wǎng)》系列資料版權所有@《中學數(shù)學信息網(wǎng)》

1

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(9)a＞b＞00＜c＜dac＞bd(異向正數(shù)不等式可除)

(10)a＞b＞0nNan＞bn(正數(shù)不等式可乘方)(11)a＞b＞0nNna＞nb(正數(shù)不等式可開方)

(12)a＞b＞01a＜1b(正數(shù)不等式兩邊取倒數(shù))

3．絕對值不等式的性質(zhì)

(1)|a|≥a；|a|=a(a≥0)，－a(a＜0)．

(2)如果a＞0，那么

|x|＜ax2＜a2－a＜x＜a；|x|＞ax2＞a2x＞a或x＜－a．

(3)|ab|＝|a||b|．

(4)|ab|＝|a||b|(b≠0)．

(5)|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|．

(6)|a1＋a2＋＋an|≤|a1|＋|a2|＋＋|an|．

二、不等式的證明1．不等式證明的依據(jù)

(1)實數(shù)的性質(zhì)：a、b同號ab＞0；a、b異號ab＜0a－b＞0a＞b；a－b＜0a＜b；a－b=0a=b

(2)不等式的性質(zhì)(略)

(3)重要不等式：①|(zhì)a|≥0；a2≥0；(a－b)2≥0(a、b∈R)②a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當且僅當a=b時取“=”號)

③ab2≥ab(a、bR，當且僅當a=b時取“=”號)

2．不等式的證明方法

(1)比較法：要證明a＞b(a＜b)，只要證明a－b＞0(a－b＜0)，這種證明不等式的方

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法叫做比較法．

用比較法證明不等式的步驟是：作差變形判斷符號．

(2)綜合法：從已知條件出發(fā)，依據(jù)不等式的性質(zhì)和已證明過的不等式，推導出所要證明的不等式成立，這種證明不等式的方法叫做綜合法．

(3)分析法：從欲證的不等式出發(fā)，逐步分析使這不等式成立的充分條件，直到所需條件已判斷為正確時，從而斷定原不等式成立，這種證明不等式的方法叫做分析法．

證明不等式除以上三種基本方法外，還有反證法、數(shù)學歸納法等．

三、解不等式

1．解不等式問題的分類

(1)解一元一次不等式．(2)解一元二次不等式．

(3)可以化為一元一次或一元二次不等式的不等式．①解一元高次不等式；②解分式不等式；③解無理不等式；④解指數(shù)不等式；⑤解對數(shù)不等式；⑥解帶絕對值的不等式；⑦解不等式組．

2．解不等式時應特別注意下列幾點：

(1)正確應用不等式的基本性質(zhì)．

(2)正確應用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的增、減性．(3)注意代數(shù)式中未知數(shù)的取值范圍．

3．不等式的同解性

(1)f(x)g(x)＞0與f(x)＞0g(x)＞0或f(x)＜0g(x)＜0同解．(2)f(x)g(x)＜0與f(x)＞0f(x)＜0g(x)＜0或同解．g(x)＞0

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(3)f(x)＞0f(x)＜0f(x)＞0與或同解．(g(x)≠0)g(x)g(x)＞0g(x)＜0

f(x)＞0f(x)＜0f(x)(4)＜0與或同解．(g(x)≠0)g(x)g(x)＜0g(x)＞0

(5)|f(x)|＜g(x)與－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0)

(6)|f(x)|＞g(x)①與f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)≥0)同解；②與g(x)＜0同解．

f(x)＞[g(x)]2(7)f(x)＞g(x)與f(x)≥0或f(x)≥0g(x)≥0g(x)＜0同解．

(8)f(x)＜g(x)與f(x)＜[g(x)]2同解．f(x)≥0

(9)當a＞1時，af(x)＞ag(x)與f(x)＞g(x)同解，當0＜a＜1時，af(x)＞ag(x)與f(x)＜g(x)同解．

(10)當a＞1時，logf(x)＞g(x)af(x)＞logag(x)與f(x)＞0同解．

f(x)＜g(x)當0＜a＜1時，logaf(x)＞logag(x)與f(x)＞0同解．g(x)＞0

單元知識總結

一、坐標法1．點和坐標

建立了平面直角坐標系后，坐標平面上的點和一對有序?qū)崝?shù)(x，y)建立了一一對應的關系．2．兩點間的距離公式

設兩點的坐標為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則兩點間的距離

|P1P2|=(x22x1)(y2y1)2

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特殊位置的兩點間的距離，可用坐標差的絕對值表示：(1)當x1=x2時(兩點在y軸上或兩點連線平行于y軸)，則|P1P2|=|y2－y1|

(2)當y1=y2時(兩點在x軸上或兩點連線平行于x軸)，則|P1P2|=|x2－x1|

3．線段的定比分點

(1)定義：設P點把有向線段P1P2分成P1P和PP2兩部分，那么有向線段P1P和PP2的數(shù)量的比，就是P點分P1P2所成的比，通常用λ表示，即λ=P1PPP，點P叫做分線段P1P2為定比λ的定比分點．2

當P點內(nèi)分P1P2時，λ＞0；當P點外分P1P2時，λ＜0．

(2)公式：分P1(x1，y2)和P2(x2，y2)連線所成的比為λ的分點坐標是

xx1λx21λ(λ≠1yy1λy)21λ

特殊情況，當P是P1P2的中點時，λ=1，得線段P1P2的中點坐標

公式

x1x2x2yy1y22

二、直線

1．直線的傾斜角和斜率

(1)當直線和x軸相交時，把x軸繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角，叫做這條直線的傾斜角．

當直線和x軸平行線重合時，規(guī)定直線的傾斜角為0．所以直線的傾斜角α∈[0，π)．

(2)傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜

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率，直線的斜率常用k表示，即k=tanα(α≠π2)．

∴當k≥0時，α=arctank．(銳角)當k＜0時，α=π－arctank．(鈍角)

(3)斜率公式：經(jīng)過兩點P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直線的斜率為

k=y2y1x(x1≠x2)2x1

2．直線的方程

(1)點斜式已知直線過點(x0，y0)，斜率為k，則其方程為：y－y0=k(x－x0)(2)斜截式已知直線在y軸上的截距為b，斜率為k，則其方程為：y=kx＋b(3)兩點式已知直線過兩點(x1，y1)和(x2，y2)，則其方程為：

yy1y=xx1x(x1≠x2)2y1x21

(4)截距式已知直線在x，y軸上截距分別為a、b，則其方程為：

xayb1

(5)參數(shù)式已知直線過點P(x0，y0)，它的一個方向向量是(a，b)，

則其參數(shù)式方程為xx0atyy(t為參數(shù))，特別地，當方向向量為0bt

v(cosα，sinα)(α為傾斜角)時，則其參數(shù)式方程為

xx0tcosαyy0tsinα(t為參數(shù))

這時，t的幾何意義是tv=p→→0p，|t|=|p0p|=|p0p|

(6)一般式Ax＋By＋C=0(A、B不同時為0)．(7)特殊的直線方程

①垂直于x軸且截距為a的直線方程是x=a，y軸的方程是x=0．②垂直于y軸且截距為b的直線方程是y=b，x軸的方程是y=0．

3．兩條直線的位置關系

(1)平行：當直線l1和l2有斜截式方程時，k1=k2且b1≠b2．

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當l1和l2是一般式方程時，A1B1CA≠12B2C2

(2)重合：當l1和l2有斜截式方程時，k1=k2且b1=b2，當l1和l2是

一般方程時，A1AB1C12B2C2

(3)相交：當l1，l2是斜截式方程時，k1≠k2

當lA2B11，l2是一般式方程時，A≠2B2

交點：A1xB1yC10①A的解2xB2yC20斜到角：l到lkk112的角tanθ2(1k1交1kk2≠0)1k2夾角公式：l和l夾角tanθ|k2k1|(1k121k1k2≠0)1k2

②垂直當l1和l2有敘截式方程時，k1k2=－1當l1和l2是一般式方程時，A1A2＋B1B2=0

4．點P(x0，y0)與直線l：Ax＋By＋C=0的位置關系：

Ax0＋By0＋C=0P在直線l上(點的坐標滿足直線方程)Ax0＋By0＋C≠0P在直線l外．

點P(x+By0+C|0，y0)到直線l的距離為：d=|Ax0A2B2

5．兩條平行直線l1∶Ax＋By＋C1=0，l2∶Ax＋By＋C2=0間

的距離為：d=|C1C2|A2B2．

6．直線系方程

具有某一共同屬性的一類直線的集合稱為直線系，它的方程的特點是除含坐標變量x，y以外，還含有特定的系數(shù)(也稱參變量)．

確定一條直線需要兩個獨立的條件，在求直線方程的過程中往往先根據(jù)一個條件寫出所求直線所在的直線系方程，然后再根據(jù)另一個條件來確定其中的參變量．

(1)共點直線系方程：

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經(jīng)過兩直線l1∶A1x＋B1y＋C1=0，l2∶A2x＋B2y＋C2=0的交點的直線系方程為：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)=0，其中λ是待定的系數(shù)．

在這個方程中，無論λ取什么實數(shù)，都得不到A2x＋B2y＋C2=0，因此它不表示l2．當λ=0時，即得A1x＋B1y＋C1=0，此時表示l1．

(2)平行直線系方程：直線y=kx＋b中當斜率k一定而b變動時，表示平行直線系方程．與直線Ax＋By＋C=0平行的直線系方程是Ax＋By＋λ=0(λ≠C)，λ是參變量．

(3)垂直直線系方程：與直線Ax＋By＋C=0(A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是：Bx－Ay＋λ=0．

如果在求直線方程的問題中，有一個已知條件，另一個條件待定時，可選用直線系方程來求解．7．簡單的線性規(guī)劃

(1)二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)表示直線Ax＋By＋C=0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域．

二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面點集的交集，即各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分．

(2)線性規(guī)劃：求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，稱為線性規(guī)劃問題，

例如，z=ax＋by，其中x，y滿足下列條件：

A1x＋B1y＋C1≥0(或≤0)A2x＋B2y＋C2≥0(或≤0)(*)Anx＋Bnx＋Cn≥0(或≤0)

求z的最大值和最小值，這就是線性規(guī)劃問題，不等式組(*)是一組對變量x、y的線性約束條件，z=ax＋by叫做線性目標函數(shù)．滿足線性約束條件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域，使線性目標函數(shù)取得最大值和最小值的可行解叫做最優(yōu)解．三、曲線和方程1．定義

在選定的直角坐標系下，如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x，y)=0的實數(shù)解

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建立了如下關系：

(1)曲線C上的點的坐標都是方程f(x，y)=0的解(一點不雜)；(2)以方程f(x，y)=0的解為坐標的點都是曲線C上的點(一點不漏)．

這時稱方程f(x，y)=0為曲線C的方程；曲線C為方程f(x，y)=0的曲線(圖形)．設P={具有某種性質(zhì)(或適合某種條件)的點}，Q={(x，y)|f(x，y)=0}，若設點M的坐標為(x0，y0)，則用集合的觀點，上述定義中的兩條可以表述為：

(1)M∈P(x0，y0)∈Q，即PQ；(2)(x0，y0)∈QM∈P，即QP．

以上兩條還可以轉(zhuǎn)化為它們的等價命題(逆否命題)：

(1)(x0，y0)QMP；(2)MP(x0，y0)Q．

顯然，當且僅當PQ且QP，即P=Q時，才能稱方程f(x，y)=0

為曲線C的方程；曲線C為方程f(x，y)=0的曲線(圖形)．2．曲線方程的兩個基本問題

(1)由曲線(圖形)求方程的步驟：

①建系，設點：建立適當?shù)淖鴺讼�，用變�?shù)對(x，y)表示曲線上任意一點M的坐標；②立式：寫出適合條件p的點M的集合p={M|p(M)}；③代換：用坐標表示條件p(M)，列出方程f(x，y)=0；④化簡：化方程f(x，y)=0為最簡形式；

⑤證明：以方程的解為坐標的點都是曲線上的點．

上述方法簡稱“五步法”，在步驟④中若化簡過程是同解變形過程；或最簡方程的解集與原始方程的解集相同，則步驟⑤可省略不寫，因為此時所求得的最簡方程就是所求曲線的方程．

(2)由方程畫曲線(圖形)的步驟：

①討論曲線的對稱性(關于x軸、y軸和原點)；②求截距：

方程組f(x，y)0y0的解是曲線與x軸交點的坐標；

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方程組f(x，y)0x0的解是曲線與y軸交點的坐標；

③討論曲線的范圍；④列表、描點、畫線．

3．交點

求兩曲線的交點，就是解這兩條曲線方程組成的方程組．

4．曲線系方程

過兩曲線f1(x，y)=0和f2(x，y)=0的交點的曲線系方程是f1(x，y)＋λf2(x，y)=0(λ∈R)．四、圓1．圓的定義

平面內(nèi)與定點距離等于定長的點的集合(軌跡)叫圓．

2．圓的方程

(1)標準方程(x－a)2＋(y－b)2=r2．(a，b)為圓心，r為半徑．特別地：當圓心為(0，0)時，方程為x2＋y2=r2(2)一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0

D2配方(x2)2(yE2DE24F2)4

當D2＋E2－4F＞0時，方程表示以(－DE2，－2)為圓心，以12D2E24F為半徑的圓；

當D2＋E2－4F=0時，方程表示點(－D2，－E2)

當D2＋E2－4F＜0時，方程無實數(shù)解，無軌跡．

(3)參數(shù)方程以(a，b)為圓心，以r為半徑的圓的參數(shù)方程為

xarcosθybrsinθ(θ為參數(shù))

特別地，以(0，0)為圓心，以r為半徑的圓的參數(shù)方程為

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xrcosθyrsinθ(θ為參數(shù))

3．點與圓的位置關系

設點到圓心的距離為d，圓的半徑為r．

(1)點在圓外d＞r；(2)點在圓上d=r；(3)點在圓內(nèi)d＜r．

4．直線與圓的位置關系

設直線l：Ax＋By＋C=0和圓C：(x－a)2＋(y－b)2=r2，則

d|AaBbC|A2B2．

(1)相交直線與圓的方程組成的方程組有兩解，△＞0或d＜r；(2)相切直線與圓的方程組成的方程組有一組解，△=0或d=r；(3)相離直線與圓的方程組成的方程組無解，△＜0或d＞r．

5．求圓的切線方法

(1)已知圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0．

①若已知切點(x0，y0)在圓上，則切線只有一條，其方程是

xD(xx0)E(yy00xy0y2)2F0．

當(xy＋D(x0xy0y0，0)在圓外時，x0x＋y0y2)＋E(2)＋F=0表示過兩個切點的切點弦方程．

②若已知切線過圓外一點(x0，y0)，則設切線方程為y－y0=k(x－x0)，再利用相切條件求k，這時必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線．

③若已知切線斜率為k，則設切線方程為y=kx＋b，再利用相切條件求b，這時必有兩條切線．

(2)已知圓x2＋y2=r2．

①若已知切點P0(x0，y0)在圓上，則該圓過P0點的切線方程為x0x＋y0y=r2．

②已知圓的切線的斜率為k，圓的切線方程為y=kx±rk21．

6．圓與圓的位置關系

已知兩圓圓心分別為O1、O2，半徑分別為r1、r2，則

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(1)兩圓外切|O1O2|=r1＋r2；(2)兩圓內(nèi)切|O1O2|=|r1－r2|；(3)兩圓相交|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2．

單元知識總結

一、圓錐曲線1．橢圓

(1)定義

定義1：平面內(nèi)一個動點到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)，這個動點的軌跡叫橢圓(這兩個定點叫焦點)．

定義2：點M與一個定點的距離和它到一條定直線的距離的比是常

數(shù)e＝ca(0＜e＜1)時，這個點的軌跡是橢圓．

(2)圖形和標準方程

圖8－1的標準方程為：x2y2a2＋b2＝1(a＞b＞0)8－2的標準方程為：x2y2圖b2＋a2＝1(a＞b＞0)

(3)幾何性質(zhì)

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條件{M|MF1|+|MF2|=2a，2a＞|F1F2|}|MF|MF{M|1|2|點M到l=1的距離點M到l1}2的距離=e，0＜e＜標準方程x2y2x2y2a2b21(a＞b＞0)b2a21(a＞b＞0)頂點A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(0，－b)，B2(0，b)B1(－b，0)，B2(b，0)軸對稱軸：x軸，y軸．長軸長|A1A2|=2a，短軸長|B1B2|=2b焦點F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|=2c(c＞0)，c2=a2－b2

離心率e＝ca(0＜e＜1)準線方程la2a2a21：x＝c；lx＝a22：cl1：y＝c；l2：y＝c焦點半徑|MF1|＝a＋ex0，|MF1|＝a＋ey0，|MF2|＝a－ex0|MF2|＝a－ey0＞外點和橢圓x2200的關系a2yb21(x0,y0)在橢圓上＜內(nèi)(ky＝為切線斜率kx±a2k)2，b2(ky＝為切線斜率kx±b2k)2，a2切線方程x0xy0y0ya2＋b2＝1x0xb2＋ya2＝1(x0，y0)為切點(x0，y0)為切點切點弦(x0，y(xx0)在橢圓外x0，y0)在橢圓外0y0yx0x方　程a2＋b2＝1b2＋y0ya2＝1|x－y12－x1|1+k2或|y12|1+k2弦長公式其中(x1，y1)，(x2，y2)為割弦端點坐標，k為割弦所在直線的斜率

2．雙曲線

(1)定義

定義1：平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線(這兩個定點叫雙曲線的焦點)．

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定義2：動點到一定點的距離與它到一條定直線的距離之比是常數(shù)e(e＞1)時，這個動點的軌跡是雙曲線(這定點叫做雙曲線的焦點)．

(2)圖形和標準方程

圖8－3的標準方程為：

x2y2a2－b2＝1(a＞0，b＞0)

圖8－4的標準方程為：

y2x2a2－b2＝1(a＞0，b＞0)

(3)幾何性質(zhì)

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P＝{M|MF1|－|MF2|＝2a，a＞0，2a＜|F1F2|}．條件P＝{M||MF1||MF2|點M到l＝l＝e，e＞1}．1的距離點M到2的距離標準方程x2a2－y2b＝1(a＞0，b＞0)y2x22a2－b2＝1(a＞0，b＞0)頂點A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)軸對稱軸：x軸，y軸，實軸長|A1A2|＝2a，虛軸長|B1B2|＝2b焦點F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝2c(c＞0)，c2＝a2＋b2離心率e＝ca(e＞1)a2a2準線方程la2a21：x＝－c；l2：x＝cl1：y＝－c；l2：y＝c漸近線y＝±bx(或x2y2y＝±a程2－方aab2＝0)bx(或y2x2a2－b2＝0)共漸近線x2y2y2的雙曲線a2－b2＝k(k≠0)a2－x2b2＝k(k≠0)系方程焦點半徑|MF1|＝ex0＋a，|MF1|＝ey0＋a，|MFy＝2kx|＝±ex0a2－k2ab2|MFy＝2kx|＝±ey0b2－k2aa2(kk＞為切線斜率b)b(ka或k＜－ak＞為切線斜率a)ab或k＜－b切線方程x0x0ya2－y0yb2＝1ya2－x0xb2＝1((xxy0＝，a2y的切線方程：0)為切點x0yy0((xx0y)為切點2＝，a2((x00，y0)為切點

切點弦(x0，y0)在雙曲線外(x0，y0)在雙曲線外方程x0xy0ya2－y0yb2＝1a2－x0xb2＝1|x12－x1|1+k2或|y1－y2|1+k2弦長公式其中(x1，y1)，(x2，y2)為割弦端點坐標，k為割弦所在直線的斜率

3．拋物線

(1)定義

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平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線．

(2)拋物線的標準方程，類型及幾何性質(zhì)，見下表：

①拋物線的標準方程有以下特點：都以原點為頂點，以一條坐標軸為對稱軸；方程不同，開口方向不同；焦點在對稱軸上，頂點到焦點的距離等于頂點到準線距離．

②p的幾何意義：焦點F到準線l的距離．

③弦長公式：設直線為y＝kx＋b拋物線為y2＝2px，|AB|＝1k2

|x2－x1|＝11k2|y2－y1|

焦點弦長公式：|AB|＝p＋x1＋x2

4．圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱圓錐曲線)的統(tǒng)一定義

與一定點的距離和一條定直線的距離的比等于常數(shù)的點的軌跡叫做圓錐曲線，定點叫做焦點，定直線叫做準線、常數(shù)叫做離心率，用e表示，當0＜e＜1時，是橢圓，當e＞1時，是雙曲線，當e＝1時，是拋物線．二、利用平移化簡二元二次方程1．定義

缺xy項的二元二次方程Ax2＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0(A、C不同時為0)※，通過配方和平移，化為圓型或橢圓型或雙曲線型或拋物線型方程的標準形式的過程，稱為利用平移化簡二元二次方程．

A＝C是方程※為圓的方程的必要條件．A與C同號是方程※為橢圓的方程的必要條件．A與C異號是方程※為雙曲線的方程的必要條件．A與C中僅有一個為0是方程※為拋物線方程的必要條件．

2．對于缺xy項的二元二次方程：

Ax2＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0(A，C不同時為0)利用平移變換，可把圓錐曲線的一般

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方程化為標準方程，其方法有：①待定系數(shù)法；②配方法．

(xh)2(yk)2(xh)2(yka2＋b2＝1或b2＋)2橢圓：a2＝1

中心O′(h，k)

雙曲線：(xh)2(yk)2(yk)2(xh)2a2－b2＝1或a2－b2＝1

中心O′(h，k)

拋物線：對稱軸平行于x軸的拋物線方程為(y－k)2＝2p(x－h(huán))或(y－k)2＝－2p(x－h(huán))，頂點O′(h，k)．

對稱軸平行于y軸的拋物線方程為：(x－h(huán))2＝2p(y－k)或(x－h(huán))2＝－2p(y－k)頂點O′(h，k)．

以上方程對應的曲線按向量a＝(－h(huán)，－k)平移，就可將其方程化為圓錐曲線的標準方程的形式．

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