寒假初一第1講
第一講有理數(shù)(1)
【知識(shí)要點(diǎn)】
1.整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).有理數(shù)
2.?dāng)?shù)軸三要素:原點(diǎn),正方向和單位長(zhǎng)度;數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的。3.如果兩個(gè)數(shù)只有符號(hào)不同,那么我們稱其中一個(gè)數(shù)為另一個(gè)數(shù)的相反數(shù),也稱這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).0的相反數(shù)是0,一般地實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是-a;若a與b互為相反數(shù),則有a+b=0,反之亦然;
幾何意義:在數(shù)軸上,表示相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩側(cè),并且到原點(diǎn)的距離相等。4.倒數(shù):若兩個(gè)數(shù)的積等于1,則這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。5.絕對(duì)值:
代數(shù)意義:正數(shù)的絕對(duì)值是它本身,負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù),0的絕對(duì)值是0;幾何意義:一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值,就是在數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.6.有理數(shù)的加、減、乘、除四則運(yùn)算加法交換律:a+b=b+a(a、b為任意有理數(shù))
加法結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)(a,b,c為任意有理數(shù))
【典型例題】
1.把下面各數(shù)填入表示它所在的數(shù)集里.
2-3,7,-,0,201*,-1.41,0.608,-5%
5正有理數(shù)集{};負(fù)有理數(shù)集{};整數(shù)集{};有理數(shù)集{};2.-(-4)的相反數(shù)是_______,-(+8)是______的相反數(shù).
3、今年我市二月份某一天的最低氣溫為-5C,最高氣溫為13C,那么這一天的最高氣溫比最低氣溫高()
A.-18CB.18CC.13CD.5C4、|-2|的值是()
A.-2B.2C.4D.-4
32a-95.若的倒數(shù)與互為相反數(shù),則a等于__________________
a36.已知有理數(shù)x、y滿足x1+2y-4+z-6=0,求xyz的值.
1529
7.比較-與-的大小
1632
8.已知|x|=3,|y|=2,且xy≠0,則x+y的值等于___9.計(jì)算12-|-18|+(-7)+(-15).
10.自然數(shù)中有許多奇妙而有趣的現(xiàn)象,很多秘密等待著我們?nèi)ヌ剿!比如:?duì)任意一個(gè)自然數(shù),先將其各位數(shù)字求和,再將其和乘以3后加上1,多次重復(fù)這種操作運(yùn)算,運(yùn)算結(jié)果最終會(huì)得到一個(gè)固定不變的數(shù)R,它會(huì)掉入一個(gè)數(shù)字“陷斷”,永遠(yuǎn)也別想逃出來,沒有一個(gè)自然數(shù)能逃出它的“魔掌”.那么最終掉人“陷井”的這個(gè)固定不變的數(shù)R=_________
11.如圖是一個(gè)正方體盒子的展開圖,請(qǐng)把
-10,8,10,-2,-8,2分別填入六個(gè)小正方形,使得按虛線折成的正方體相對(duì)面上的兩數(shù)互為相反數(shù).
12.下面請(qǐng)同學(xué)來玩“24點(diǎn)”游戲:從一副撲克牌(去掉大、小王)中,任意抽取4張,
22oooooo
根據(jù)牌面上的數(shù)字進(jìn)行混合運(yùn)算(每張牌只能用一次)使得運(yùn)算結(jié)果可能為24,其中紅色撲克牌代表負(fù)數(shù),黑色撲克牌代表正數(shù),J、Q、K分別代表11、12、13。
(1)某同學(xué)如抽到下列一組牌3、12、-1、-12,你幫她設(shè)計(jì)一下算式使之能湊成24。
24×3-(-12)×(-1)=24
(2)老師抽到下列四張牌,1、-2、2、3,你認(rèn)為能湊成24嗎?
[3-(-2)]-1=24
試一試,你自編兩組可湊成24的牌,請(qǐng)鄰座同學(xué)幫你設(shè)計(jì)算式。
2【經(jīng)典練習(xí)】
一選擇題
1、下列說法不正確的是()
A.沒有最大的有理數(shù)B.沒有最小的有理數(shù)C.有最大的負(fù)數(shù)D.有絕對(duì)值最小的有理數(shù)
2、-2,3,-4,-5,6這五個(gè)數(shù)中,任取兩個(gè)數(shù)相乘,得的積最大的是()A.10B.20.C.-30D.181
3、一個(gè)數(shù)的倒數(shù)的相反數(shù)是1,則這個(gè)數(shù)是()
56565
A、B、C、D、-
56564、如果ab<0,a+b>0,那么這兩個(gè)有理數(shù)為()A.絕對(duì)值相等的數(shù)
B.符號(hào)不同的數(shù),其中正數(shù)的絕對(duì)值較大C.符號(hào)不同的數(shù),其中負(fù)數(shù)的絕對(duì)值較大D.以上都不正確
5、若|a|=7,|b|=5,a+b>0,那么a-b的值是()
A.2或12B.2或-12C.-2或-12D.-2或121
6、一個(gè)正整數(shù)a與其倒數(shù),相反數(shù)-a,相比較,正確的是()
a11
A、-a<≤aB、-a<<a
aa11
C、-a<<aD、-a<<a
aa二、填空題
7、數(shù)軸上點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離是5,則A表示的數(shù)是_____________56
8、比較大。海璤___-
671
9、若-|a|=-,那么a=_______.
210、若a的相反數(shù)是最大的負(fù)整數(shù),b是絕對(duì)值最小的數(shù),則a+b=___________.11
11、(-3)×÷(-)×3
3312、在某次數(shù)學(xué)小測(cè)驗(yàn)中,某小班8個(gè)人的平均分為85分,其中6位同學(xué)平均分為84分,另兩人中一個(gè)人比另一個(gè)人高6分,求這兩位同學(xué)各多少分?
13、體育課上,全班男同學(xué)進(jìn)行百米測(cè)驗(yàn),達(dá)標(biāo)成績(jī)?yōu)?5秒,下面是第1小組8名男生的成績(jī)記錄,其中“+”號(hào)表示成績(jī)大于15秒.
-0.8+10-1.2-0.7+0.6-0.4-0.l(1)這個(gè)小組男生的達(dá)標(biāo)率為多少?平均成績(jī)?yōu)槎嗌倜??)以15秒為0點(diǎn),用數(shù)軸來表示第1小組男生的成績(jī).
【課后作業(yè)】
1.已知數(shù)軸上表示-2和-101的兩點(diǎn)分別為A,B,那么A,B兩點(diǎn)間距離等于()(A)99(B)100(C)102(D)103
512.從-1中減去與的和,所得的差是()
812(A)
77711(B)(C)2(D)1242424243.銀行儲(chǔ)蓄所辦理了7件儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù):取出9.5元,存進(jìn)5元,取出8元,存進(jìn)12元,
存進(jìn)25元,取出10.25元,取出2元,這時(shí)銀行現(xiàn)款增加了()
(A)12.25元(B)-12.25元(C)12元(D)-12元4.下列等式中,正確的是()
(A)23=2×3(B)23=32(C)-24=(-2)4(D)(-2)3=-23
325.計(jì)算的結(jié)果是()
23131513(A)(B)(C)(D)
66666.當(dāng)a=-4,b=-5,c=-7時(shí),a-b-c=237.2912=248.一個(gè)病人每天下午要測(cè)量一次血壓,下表是該病人星期一至星期五血壓變化情況,該病人上個(gè)星期日的血壓為160單位,血壓的變化與前一天比較:星期血壓的變化一升30單位二降20單位三升17單位四升18單位五降20單位請(qǐng)算出星期五該病人的血壓
9.有資料表明:某地區(qū)高度每增加100米,氣溫下降0.8℃,小明和小穎想出一個(gè)測(cè)量山峰高度的方法,小穎在山腳,小明在峰頂,他們同時(shí)在上午10點(diǎn)測(cè)得山腳和山峰頂?shù)臍鉁胤謩e為2.2℃和0.2℃,你知道山峰有多高嗎?
擴(kuò)展閱讀:初一寒假第1講 整除 帶余除法
第一講整除帶余除法
板塊1數(shù)論中的基本概念和常識(shí)
質(zhì)數(shù)合數(shù)整除約數(shù)倍數(shù)互質(zhì)進(jìn)位制定義略。質(zhì)數(shù)是數(shù)論中第一重要的概念。算數(shù)基本定理:整數(shù)分解的唯一性。1不是質(zhì)數(shù),因?yàn)槠茐牧诉@個(gè)唯一性。定理敘述如下:任何大于1的整數(shù)a能唯一地寫成ap1a1p2a2......psas
(1)
的形式,其中p1p2......ps都是質(zhì)數(shù).式(1)被稱為a的標(biāo)準(zhǔn)分解式!纠孔C明:若n0,anbn,則ab.
【例】(1)求201*的標(biāo)準(zhǔn)分解式2×5×3×67(2)求201*的標(biāo)準(zhǔn)分解式質(zhì)數(shù)(3)求201*的標(biāo)準(zhǔn)分解式22×503
【例】如果自然數(shù)n使得2n1和3n1都恰好是平方數(shù),試問5n3能否是一個(gè)素?cái)?shù).【解析】如果2n1k2,3n1m2,則
5n342n13n14k2m22km2km.因?yàn)?km1,否則,將有5n32m1,并且
m12而這是不可能的.故5n3不是素?cái)?shù).m22m123n15n322n0.
判定質(zhì)數(shù)很困難,判定合數(shù)的方法是分解。
(1)若b|c且c|a,則b|a(傳遞性);
|a)c。(2)若b|a且b|c,則b(若反復(fù)運(yùn)用這一性質(zhì),易知對(duì)于任意的整數(shù)u,v有b|(aucv)。
有時(shí)候要想知道a|b是否成立,只需考察a|db+ca是否成立。這里的c,d是適當(dāng)選取的。
(較高級(jí)技巧)
【例】我們想知道一個(gè)數(shù)是不是7的倍數(shù)(34675676),可以用34675(截掉末三位)減去676(末三位),看看差是不是7的倍數(shù),這是為什么?更徹底的,我們想知道5740376987465是不是7的倍數(shù),可以去計(jì)算465-987+376-740+5是不是7的倍數(shù)。
【例】已知一個(gè)七位自然數(shù)62xy427是99的倍數(shù)(其中x、y是阿拉伯?dāng)?shù)字),試求950x24y1之值,簡(jiǎn)寫出求解過程.【解析】由9962xy427知962xy427且1162xy427
①962xy427,所以62xy427是9的倍數(shù),所以xy39m(m是自然數(shù))由0≤x≤9,0≤y≤9,可得3≤xy3≤21,從而xy6或xy15;②1162xy427,所以11(6x47)(2y2),所以13xy11k(k是整數(shù))又9≤xy≤9,即4≤13xy≤22,所以xy2或xy9,
xy6xy15x2x12xyxy(舍去),因?yàn)榕c同奇同偶性,所以或,即或xy2xy9y4y950x24y11997
(3)若b|a,則或者a=0,或者|a||b|,因此若a|b且b|a,則ab;1整除任何整數(shù),任何非0整數(shù)整除0。這里相當(dāng)于提供了證明兩數(shù)相等的一個(gè)方法。(4)a,b互質(zhì),若a|c,b|c,則ab|c;
這個(gè)性質(zhì)的意義是,滿足整除條件的除數(shù)變大了,被除數(shù)不變,整除條件變得更強(qiáng)。
【例】某公園門票價(jià)格對(duì)達(dá)到一定人數(shù)的團(tuán)隊(duì)按團(tuán)隊(duì)票優(yōu)惠.現(xiàn)有A、B、C三個(gè)旅游團(tuán)共72人,如果各團(tuán)單獨(dú)購票,門票費(fèi)依次為360元、384元、480元;如果三個(gè)團(tuán)合起來購票,總共可少花72元.(1)這三個(gè)旅游團(tuán)各有多少人?
(2)在下面填寫一種票價(jià)方案,使其與上述購票情況相符.
售票處
普通票團(tuán)體票(須滿人)
每人每人
【解析】360+384+480-72=1152(元),1152÷72=16(元/人),即團(tuán)體票是每人16元.
因?yàn)?6不能整除360,所以A團(tuán)未達(dá)到優(yōu)惠人數(shù).
若三個(gè)團(tuán)都未達(dá)到優(yōu)惠人數(shù),則三個(gè)團(tuán)的人數(shù)比為360:384:480=15:16:20,即三個(gè)團(tuán)的人數(shù)分別為
15162072,72,72,這都不是整數(shù)(只要指出其中某一個(gè)不是整515151數(shù)即可),不可能.所以C團(tuán)本來就已達(dá)到優(yōu)惠人數(shù).
這有兩種可能:①只有C團(tuán)達(dá)到;②B、C兩團(tuán)都達(dá)到.對(duì)于①,可得C團(tuán)人數(shù)為480÷16=30,A、B兩團(tuán)共有42人,A團(tuán)人數(shù)為15/31×42,不是整數(shù),不可能.劉于②,可得B團(tuán)人數(shù)為384÷16=24,C團(tuán)人數(shù)為480÷16=30A團(tuán)18人
售票處
普通票團(tuán)體票(須滿20人)
每人20元每人16元(或/或8折優(yōu)惠)
【例】是否存在3個(gè)大于1的自然數(shù),使得其中每個(gè)自然數(shù)的平方減1,能分別被其余的每個(gè)自然數(shù)所整除?
【解析】設(shè)a≥b≥c是滿足題設(shè)條件的三個(gè)自然數(shù).因?yàn)閍2-1被b整除,所以a與b互素.又c2-1能分別被a、b整除,因而被ab整除,于是c2-1≥ab.另一方面由a≥c及b≥c得ab≥c2,矛盾.所以滿足題設(shè)的數(shù)不存在.
【例】已知p、q都是大于1的自然數(shù),并且
2p12q1
和都是整數(shù),問pq的值是多少?qp
2p1為大于0小于2的整數(shù),為1,則q【解析】運(yùn)用排序思想,不妨設(shè)q大于等于p,則
2p1q,
2q13化為4,則p3,q5,結(jié)果為8.pp
a|bc,a,b互質(zhì),則a|c
這個(gè)性質(zhì)的意義是:需要討論的被除數(shù)變小了,整除條件變得更強(qiáng)。
【例】可將1~30這30個(gè)整數(shù)寫成一行,使得由第二個(gè)數(shù)開始的每個(gè)數(shù)都是它前面所排列的所有數(shù)之和的約數(shù).則排在第30個(gè)位置上的數(shù)最大應(yīng)是.
3031設(shè)排在第30位的數(shù)為x,由題意x被sx整除,3531,
2即x被s整除.x顯然不能為31或31的倍數(shù),因此x最大為3515,而這也是可以達(dá)到的,
【解析】1~30的和為s將1~30排列為
16,,117,2,18,3,19,4,20,5,21,6,22,7,23,8,24,9,25,10,26,11,27,12,28,13,29,14,30,15即可.
【例】已知7xyz641808,其中x,y,z代表非0數(shù)字.那么x2y2z2.【解析】根據(jù)個(gè)位數(shù)字分析可知x3或8,代入7xyz641808試驗(yàn)可得x8,此時(shí)有7853641808,即可得x2y2z298.
(5)p是質(zhì)數(shù),若p|a1a2a3a4...an,則p能整除a1,a2,a3,a4...an中的某一個(gè);特別地,若p是質(zhì)數(shù),p|an,則p|a;ベ|(zhì)數(shù)乘積是平方數(shù),則互質(zhì)數(shù)都是平方數(shù)!纠吭谡麛(shù)范圍解方程x2=y(y+p)p是奇質(zhì)數(shù)
【解析】若y是p的k倍,代入得到(k+1)k是平方數(shù),無解。
(p1)2(y,p)=1則y,y+p都是平方數(shù),y=
4(6)p|n,那么n在p進(jìn)制之下尾數(shù)是0。(7)正約數(shù)個(gè)數(shù),正約數(shù)和公式。(會(huì)用,會(huì)證明)
常識(shí):正整數(shù)中,平方數(shù)且只有平方數(shù)有奇數(shù)個(gè)正約數(shù)。
【例】n是滿足下列條件的最小正整數(shù):(1)n是75的倍數(shù);
(2)n恰為75個(gè)正整數(shù)因子(包括1及本身).試求n/75.
【解析】為保證n是75的倍數(shù)而又盡可能地小,可設(shè)n=2α3β5γ,其中α≥0,β≥1,γ≥2,并且
(α+1)(β+1)(γ+1)=75
由75=523,易知當(dāng)α=β=4,γ=2時(shí),符合條件(1)、(2).此時(shí)n=243452,n/75=432.
(8)質(zhì)數(shù)性質(zhì):a是合數(shù),p是它的最小質(zhì)因數(shù),則p2不超過a。所以判斷n的質(zhì)合性的時(shí)候,只需檢查1,2,3,4…,[n]1中的質(zhì)數(shù)(9)質(zhì)數(shù)有無限個(gè)。質(zhì)數(shù)之間的縫隙可以超過任意正數(shù)。
【例】2+3+4+5+…+n是質(zhì)數(shù),求n!窘馕觥吭=
(n2)(n1)。n>3時(shí),分子是兩個(gè)大于2的數(shù)乘積(一奇一偶),所以原2式是合數(shù)。只要計(jì)算n=2,3的情形。
【例】是否存在201*個(gè)連續(xù)正整數(shù),其中恰有20個(gè)質(zhì)數(shù)?
【解析】我們知道存在201*個(gè)連續(xù)合數(shù),不妨設(shè)他們是n,n+1,n+2…,n+201*。
我們還知道前201*個(gè)正整數(shù)中的質(zhì)數(shù)多于20個(gè)。前201*個(gè)正整數(shù)都加1,算作一次操作。一直進(jìn)行這個(gè)操作,每次操作后得到的數(shù)列中的質(zhì)數(shù)只能增加1,減小1或不變。n-1次操作后,質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)變成0。那么必有某次操作后質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)等于20。
構(gòu)造任意長(zhǎng)的連續(xù)合數(shù)列有多種方法,比如201*!+2,201*!+3,201*!+4…,201*!+201*是1999個(gè)連續(xù)的合數(shù)。后面學(xué)到剩余定理會(huì)給出其他構(gòu)造方法。
(10)整數(shù)的正約數(shù)可以湊對(duì),一個(gè)整數(shù)的所有正約數(shù)的乘積的平方,是這個(gè)整數(shù)的冪。如果一個(gè)正整數(shù)的所有正約數(shù)的乘積不是這個(gè)整數(shù)的冪,那么這個(gè)整數(shù)是平方數(shù)。逆命題不真。
板塊2最小公倍數(shù)最大公約數(shù)
(1)兩個(gè)整數(shù)除以他們的最大公約數(shù),得到的商互質(zhì)。兩個(gè)整數(shù)分別除他們的最小公倍數(shù),得到的商互質(zhì)。兩個(gè)整數(shù)的乘積等于最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的乘積。這里又提供了一種處理兩個(gè)數(shù)的方法:
我們有時(shí)利用這個(gè)代換a=(a,b)xb=(a,b)y其中(x,y)=1(2)(a,b)=(a,ab)(a,b)|(am+bn,ap+bq)
【例】正整數(shù)m和n有大于1的最大公約數(shù),且滿足m3n371,則mn.
【解析】設(shè)k是m、n的最大公約數(shù),則m、n可表示為mka,nkb(k1,a、b均為正整數(shù))
故m3n(ka)3kbk(k2a3b)371753,
因?yàn)閗1且7與53都是質(zhì)數(shù),又k2a3bk2a3≥k2k,所以k7且k2a3b53,
即49a3b53,由a、b均為正整數(shù),得a1,b4;所以m7,n28,故mn196
【例】50+n2與50+(n+1)2的最大公約數(shù)最大值.【解析】d=(50+n2,50+(n+1)2)=(50+n2,50+(n+1)2-(50+n2))=(50+n2,2n+1)
=(2(n2+50),2n+1)(因2n+1是奇數(shù))=(2(n2+50)-n(2n+1),2n+1)=(100-n,2n+1)
=(100-n,2n+1+2(100-n))=(100-n,201)≤201在n=100時(shí),d=201.故所求值為201.
(3)若干個(gè)整數(shù)的最大公約數(shù)d,最小公倍數(shù)k。那么對(duì)于任意質(zhì)數(shù)p,p在d中的次數(shù)是p在這些整數(shù)中的次數(shù)的最小值;p在k中的次數(shù)是p在這些整數(shù)中的次數(shù)的最大值。
【例】證明:對(duì)于自然數(shù)k、m和n.不等式[k,m][m,n][n,k]≥[k,m,n]2成立.【解析】將k、m、n分解.設(shè)
kp11p22p33...pllmp11p22p33...pll
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其中pi(i=1,2,…,l)為不同的素?cái)?shù),αi、βi、γi為非負(fù)整數(shù).對(duì)任一個(gè)素因數(shù)pi,不妨設(shè)0≤αi≤βi≤γi.在所要證明的不等式左邊,pi的指數(shù)為βi+γi+γi=βi+2γi;而右邊pi的指數(shù)為2γi.因而所要證明的不等式成立.
要證明一個(gè)數(shù)大于另一個(gè)數(shù),方法之一是只要證明任何質(zhì)數(shù),在兩個(gè)數(shù)中的質(zhì)數(shù)都滿足同一方向的不等關(guān)系。
【例】找到正整數(shù)a,b滿足(a,b)+[a,b]+a+b=ab【解析】設(shè)a=kxb=ky(x,y)=1得到k+xyk+kx+ky=kx×ky*1+x+y+xy=kxyx|y+1,y|x+1若x=y,則x=y=1。a=b=4
若x>y,則x=y+1代入*得到y(tǒng)|y+2y=1,2所以x=2,3從而a=6,b=3,4
所有的解是(a,b)=(4,4)(6,3)(3,6)(6,4)(4,6)
板塊3帶余除法
一般地,如果a,b是正整數(shù)(b≠0),那么一定有另外兩個(gè)整數(shù)q和r,0≤r<b,使得a=b×q+r。
當(dāng)r=0時(shí),我們稱a能被b整除。
當(dāng)r≠0時(shí),我們稱a不能被b整除,r為a除以b的余數(shù),q為a除以b的不完全商(亦簡(jiǎn)稱為商).用帶余除式又可以表示為a÷b=q…r,0≤r<b。這里q,r的選取是唯一的。
帶余除法提供了一種處理兩個(gè)整數(shù)的方法,這種方法以后會(huì)經(jīng)常用到。
【例】在大于201*的自然數(shù)中,被56除后,商與余數(shù)相等的數(shù)共有多少個(gè)?這些數(shù)的總和是多少?
【解析】由于余數(shù)小于除數(shù),商和余數(shù)相等,故商小于56。另一方面,由于被除數(shù)大于201*,故商數(shù)大于201*除以56帶余除法中的商35,所以
56商數(shù)35。
所以,在大于201*的自然數(shù)中,被56除后,商與余數(shù)相等的數(shù)有30個(gè)。由于
被除數(shù)=56商數(shù)+余數(shù)=57商數(shù),
其中,商數(shù)等于36至55。所以,
30個(gè)整數(shù)的和=5736375557159177805。
【例】最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù),ab。它能分解成不超過a個(gè)正整數(shù)的倒數(shù)和,這些整數(shù)互不等。解析:也就是寫成單位分?jǐn)?shù)的和。我們先看能寫出的最大單位分?jǐn)?shù)是多少。為此要利用一下帶余除法。
設(shè)b=aq+r,那么不超過的最大單位分?jǐn)?shù)是
ab1。q1aba1arar所以我們還需要把分解成單位分?jǐn)?shù)的和。bq1b(q1)b(q1)通過觀察,這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子嚴(yán)格減小了。這說明至多a-1次這樣的操作之后,我們的任務(wù)就完成了。顯然這些單位分?jǐn)?shù)的大小不同,個(gè)數(shù)不超過a。
課后練習(xí)
1.能將1,2,3,……,7,8,9填在33的方格表中,使橫向和豎向相鄰兩數(shù)之和都是質(zhì)數(shù)嗎?如果能,請(qǐng)給出一種解法。如果不能,請(qǐng)說明理由。
解析:橫向和豎向相鄰兩數(shù)之和都是質(zhì)數(shù),那么奇偶相同的兩數(shù)不能相鄰。所以正中間是奇數(shù),它與2,4,6,8相鄰。容易看出無論中間添的n是幾,n+2,n+4,n+6,n+8中有合數(shù)。
2.173A是一個(gè)四位數(shù),數(shù)學(xué)老師說:“先后用三個(gè)數(shù)代替A,A所得到的3個(gè)四位數(shù),依次可以被9、11、6整除!眴栠@3個(gè)數(shù)的和是多少?解析:9|173711|17386|1734
三個(gè)數(shù)的和是19。.
3.兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)A,大圓直徑48厘米,小圓直徑30厘米。兩只甲蟲同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā),按所指的方向以相同的速度分別沿兩個(gè)圓爬行。問:當(dāng)小圓上的甲蟲最少爬了幾圈時(shí),兩只甲蟲相距最遠(yuǎn)?
解析:小圓上的甲蟲爬整數(shù)圈,大圓上的甲蟲爬整數(shù)圈多半圈,距離最遠(yuǎn)。設(shè)小圓上的爬了a圈,大圓上的爬了b圈。由于速度相同,30a=48b其中a是整數(shù),b的小數(shù)部分是0.5。5a=8b最小的解是a=4,b=2.5所以答案是4。.
4.n個(gè)自然數(shù),從第二個(gè)開始,每一個(gè)都比它前面相鄰的一個(gè)大3:4,7,10,……,1+3n。它們相乘的積的末尾恰有32個(gè)0,求n的最小值。解析:答案只而和數(shù)列中5的倍數(shù)有關(guān)。數(shù)列中5的倍數(shù)是10,25,40,55,70…10+15k…
令25|10+15k得到k=1,6,11,16,21,26,31…的時(shí)候10+15k是25的倍數(shù)令125|10+15k得到k=16,41…的時(shí)候10+15k是125的倍數(shù)
所以10,25,40,55,70…10+15×25的乘積當(dāng)中5的指數(shù)是26+5+1=32。.
所以當(dāng)1+3n=10+15×25時(shí),n的最小值是128。
5在1-201*的所有的整數(shù)中,有多少個(gè)x使2x和x2被7除有相同的余數(shù)?解析:將1,2,3,4…代入2x,考察除以7的余數(shù),呈2,4,1,2,4,1…循環(huán),周期是3。將1,2,3,4…代入x2,考察除以7的余數(shù),呈1,4,2,2,4,1,0…循環(huán),周期是7。
可見兩個(gè)數(shù)列的余數(shù)對(duì)也是循環(huán)的,周期是21。每個(gè)長(zhǎng)度21的周期內(nèi)第2,4,5,6,10,15個(gè)位置是相同的。201*÷21=95〃〃〃10所以答案是96×6-1=5756已知
a201*201*201*
201*個(gè)201*問:除以13所得的余數(shù)是幾?
解析:201*201*201*是13的倍數(shù),所以只需計(jì)算201*除以13的余數(shù)。答案是3。
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