高一數(shù)學(xué)必修4知識點總結(jié)
數(shù)學(xué)必修5知識點
第一章解三角形
1、正弦定理:在C中,a、b、c分別為角、、C的對邊,R為C的外接圓的半徑,則有
abc2R.sinsinsinC2、正弦定理的變形公式
(1)a2Rsin,b2Rsin,c2RsinC;(2)sinabc,sin,sinC;2R2R2R(3)a:b:csin:sin:sinC;
abcabc.sinsinsinCsinsinsinC1113、三角形面積公式:SCbcsinabsinCacsin.
222(4)
4、余弦定理:在C中,有abc2bccos,bac2accos,
222222c2a2b22abcosC.
b2c2a2a2c2b2a2b2c25、余弦定理的推論:cos,cos,cosC.
2bc2ac2ab6、設(shè)a、b、c是C的角、、C的對邊,則:(1)①若abc,則C90;
222(2)若abc,則C90;
222(3)若abc,則C90.
222第二章數(shù)列
1、數(shù)列:按照一定順序排列著的一列數(shù).2、數(shù)列的項:數(shù)列中的每一個數(shù).3、有窮數(shù)列:項數(shù)有限的數(shù)列.4、無窮數(shù)列:項數(shù)無限的數(shù)列.
5、遞增數(shù)列:從第2項起,每一項都不小于它的前一項的數(shù)列.6、遞減數(shù)列:從第2項起,每一項都不大于它的前一項的數(shù)列.7、常數(shù)列:各項相等的數(shù)列.
8、擺動數(shù)列:從第2項起,有些項大于它的前一項,有些項小于它的前一項的數(shù)列.9、數(shù)列的通項公式:表示數(shù)列an的第n項與序號n之間的關(guān)系的公式.
10、數(shù)列的遞推公式:表示任一項an與它的前一項an1(或前幾項)間的關(guān)系的公式.11、如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),則這個數(shù)列稱為等差數(shù)列,這個常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差.
12、由三個數(shù)a,,b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列,則稱為a與b的等差中項.若bac,則稱b為a與c的等差中項.213、若等差數(shù)列an的首項是a1,公差是d,則an14、通項公式的變形:anamnmd;da1n1d.
ana1anamd;.
n1nm*15、若an是等差數(shù)列,且mnpq(m、n、p、q),則aman若an是等差數(shù)列,且2npq(n、p、q),則2an*apaq;
apaq.na1nn12d.
16、等差數(shù)列的前n項和的公式:(1)Snna1an2;(2)Sn17、等差數(shù)列an的前n項和Sn和an的關(guān)系:(1)等差數(shù)列an的前n項和Sn與an有如下關(guān)系:anS1(n1)
SnSn1(n2)(2)若已知等差數(shù)列an的前n項和Sn求通項公式an,要分兩步進(jìn)行:①先求n2時,anSnSn1;
②再令n1求得a1.若a1S1,則an即為所求;若a1S1,則anS1(n1),即
SnSn1(n2)
必須表示為分段函數(shù)形式.
18、等差數(shù)列的前n項和Sn的性質(zhì):(1)項數(shù)(下標(biāo))的“等和”性質(zhì):Sn(2)項的個數(shù)的“奇偶”性質(zhì):
*①若項數(shù)為2nn,則S2nnanan1,且S偶S奇nd,
na1an2n(amanm1)
2S奇S偶an.a(chǎn)n1偶:
②若項數(shù)為2n1n*,則S2n12n1an1,且S偶
S奇
an1,SS奇
n:n1
S2kk、S3k2k,(3)“片段和”性質(zhì):等差數(shù)列an中,公差為d,前k項的和為Sk,則Sk、……,Smk(m1)k,……構(gòu)成公差為k2d的等差數(shù)列.
19、如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù),則這個數(shù)列稱為等比數(shù)列,這個常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比.
20、在a與b中間插入一個數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,則G稱為a與b的等比中項.若
G2ab,則稱G為a與b的等比中項.
21、若等比數(shù)列an的首項是a1,公比是q,則ana1qnm22、通項公式的變形:anamq;qn1n1.
annmanq;.
ama1*23、若an是等比數(shù)列,且mnpq(m、n、p、q),則amanapaq;若
,則anan是等比數(shù)列,且2npq(n、p、q*)
2apaq.
na1q124、等比數(shù)列an的前n項和的公式:Sna11qnaaq.
1nq11q1q25、等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì):(1)項的個數(shù)的“奇偶”性質(zhì):
①若項數(shù)為2nn*,則
S偶S奇q
②若項數(shù)為2n1n*,則S奇
S偶a1a2n2(q1)
1q(2)“片段和”性質(zhì):等比數(shù)列an中,公比為q,前k項的和為Sk(Sk0),則Sk、S2kk、
S3k2k,……,Smk(m1)k,……構(gòu)成公比為qk的等比數(shù)列.
(3)“相關(guān)和”性質(zhì):SnmSnqSm26、數(shù)列的通項公式的求法
(1)觀察法(2)代換法(3)迭代法(4)累加法(5)累乘法(6)待定系數(shù)法27、數(shù)列的前n項和的求法
(1)公式法(2)倒序相加法(3)裂項相消法(4)錯位相減法(5)分段求和法
n13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式:
1sin2ksin,cos2kcos,tan2ktank.2sinsin,coscos,tantan.3sinsin,coscos,tantan.4sinsin,coscos,tantan.
口訣:函數(shù)名稱不變,符號看象限.
5sincos,cossin.22cos,cossin.226sin15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì):函ycosx數(shù)ysinx性
質(zhì)ytanx
圖象
周期性
2224、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式:⑴coscoscossinsin;⑵coscoscossinsin;⑶sinsincoscossin;⑷sinsincoscossin;⑸tantantan(tantantan1tantan);
1tantantantan(tantantan1tantan).
1tantan⑹tan25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:⑴sin22sincos.⑵
cos2cos2sin22cos2112sin21cos2).2(
cos2cos212,
sin2⑶tan22tan.21tan22sin,其中tan26、sincos.
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高一數(shù)學(xué)必修4知識點
正角:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角1、任意角負(fù)角:按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角
零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角2、角的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊落在第幾象限,則稱為第幾象限角.
第一象限角的集合為k360k36090,k第二象限角的集合為k36090k360180,k第三象限角的集合為k360180k360270,k第四象限角的集合為k360270k360360,k終邊在x軸上的角的集合為k180,k終邊在y軸上的角的集合為k18090,k終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為k90,k3、與角終邊相同的角的集合為k360,k4、已知是第幾象限角,確定
nnn所在象限的方法:先把各象限均分n等
*份,再從x軸的正半軸的上方起,依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四,則原來是第幾象限對應(yīng)的標(biāo)號即為
終邊所落在的區(qū)域.
lr5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度.
6、半徑為r的圓的圓心角所對弧的長為l,則角的弧度數(shù)的絕對值是1807、弧度制與角度制的換算公式:2360,1,157.3.180.
8、若扇形的圓心角為為弧度制,半徑為r,弧長為l,周長為C,面積為S,則lr,C2rl,S12lr12r.
29、設(shè)是一個任意大小的角,的終邊上任意一點的坐標(biāo)是x,y,它與原點的距離是rrxy022,則sinyr,cosxr,tanyxx0.
10、三角函數(shù)在各象限的符號:第一象限全為正,第二象限正弦為正,第三象限正切為正,第四象限余弦為正.
11、三角函數(shù)線:sin,cos,tan.12、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系:1sincos1
22yPTsin1cos,cos1sin2222;2sincostan
OvMAxsinsintancos,cos.
tan13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式:
1sin2ksin,cos2kcos,tan2ktank.2sinsin,coscos,tantan.3sinsin,coscos,tantan.4sinsin,coscos,tantan.
口訣:函數(shù)名稱不變,符號看象限.
5sincos2cos2,cossin2.
6sin,cossin2.
口訣:奇變偶不變,符號看象限.
14、函數(shù)ysinx的圖象上所有點向左(右)平移個單位長度,得到函數(shù)
ysinx的圖象;再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長(縮
短)到原來的
1倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)ysinx的圖象;再將函數(shù)
ysinx的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長(縮短)到原來的倍(橫坐標(biāo)不變),
得到函數(shù)ysinx的圖象.
函數(shù)ysinx的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長(縮短)到原來的得到函數(shù)
ysinx的圖象;再將函數(shù)ysinx1倍(縱坐標(biāo)不變),
的圖象上所有點向左(右)平移
個單位
長度,得到函數(shù)ysinx的圖象;再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點
的縱坐標(biāo)伸長(縮短)到原來的倍(橫坐標(biāo)不變),得到函數(shù)ysinx的圖象.
函數(shù)ysinx0,0的性質(zhì):
①振幅:;②周期:.
2;③頻率:f12;④相位:x;⑤初相:
函數(shù)ysinx,當(dāng)xx1時,取得最小值為ymin;當(dāng)xx2時,取得最大值為ymax,則12ymaxymin,12ymaxymin,
2x2x1x1x2.
15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì):函ycosx
性質(zhì)
數(shù)ysinxytanx
圖象
定義域值域
RRxxk,k
2R1,1
當(dāng)x2k21,1
k當(dāng)x2kk時,
ymax1;當(dāng)x2k
最值時,ymax1;當(dāng)
x2k
既無最大值也無最小值
21.
k時,ymin1.
k時,ymin2周
期性奇奇函數(shù)偶性單
調(diào)在2k,2k
22性
2偶函數(shù)奇函數(shù)
在2k,2kk上是
增函-3-在k2,k數(shù);在
k上是增函數(shù);在2k,2k
32k,2k22k上是增函數(shù).
k上是減函數(shù).
k上是減函數(shù).
對稱中心k,0k對
對稱軸稱
性xkk
2對稱中心
對稱中心
k,0k
2k,0k2對稱軸xkk
無對稱軸
16、向量:既有大小,又有方向的量.?dāng)?shù)量:只有大小,沒有方向的量.
有向線段的三要素:起點、方向、長度.
零向量:長度為0的向量.
單位向量:長度等于1個單位的向量.平行向量(共線向量):方向相同或相反的非零向量.零向量與任一向量平行.相等向量:長度相等且方向相同的向量.17、向量加法運算:
⑴三角形法則的特點:首尾相連.⑵平行四邊形法則的特點:共起點.
⑶三角形不等式:ababab.
⑷運算性質(zhì):①交換律:abba;②結(jié)合律:abcabc;③
a00aa.
⑸坐標(biāo)運算:設(shè)ax1,y1,bx2,y2,則abx1x2,y1y2.
Ca18、向量減法運算:
⑴三角形法則的特點:共起點,連終點,方向指向被減向量.
⑵坐標(biāo)運算:設(shè)ax1,y1,bx2,y2,則abx1x2,y1y2.設(shè)、兩點的坐標(biāo)分別為x1,y1,x2,y2,則x1x2y,1y2
b.abCC
19、向量數(shù)乘運算:
⑴實數(shù)與向量a的積是一個向量的運算叫做向量的數(shù)乘,記作a.
①aa;
②當(dāng)0時,a的方向與a的方向相同;當(dāng)0時,a的方向與a的方向相反;當(dāng)0時,a0.
⑵運算律:①aa;②aaa;③abab.
⑶坐標(biāo)運算:設(shè)ax,y,則ax,yx,y.
20、向量共線定理:向量aa0與b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù),使ba.
設(shè)ax1,y1,bx2,y2,其中b0,則當(dāng)且僅當(dāng)x1y2x2y10時,向量a、bb0共線.
21、平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實數(shù)1、2,使a1e12e2.(不共線的向量e1、e2作為
這一平面內(nèi)所有向量的一組基底)
22、分點坐標(biāo)公式:設(shè)點是線段12上的一點,1、2的坐標(biāo)分別是x1,y1,x2,y2,xx2y1y2當(dāng)12時,點的坐標(biāo)是1,.
1123、平面向量的數(shù)量積:
⑴ababcosa0,b0,0180.零向量與任一向量的數(shù)量積為0.
⑵性質(zhì):設(shè)a和b都是非零向量,則①abab0.②當(dāng)a與b同向時,abab;22當(dāng)a與b反向時,abab;aaaa或aaa.③abab.
⑶運算律:①abba;②ababab;③abcacbc.
⑷坐標(biāo)運算:設(shè)兩個非零向量ax1,y1,bx2,y2,則abx1x2y1y2.
若ax,y,則a222xy,或axy.
22設(shè)ax1,y1,bx2,y2,則abx1x2y1y20.
設(shè)a、b都是非零向量,ax1,y1,bx2,y2,是a與b的夾角,則
abcosabx1x2y1y2xy2121xy2222.
24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式:⑴coscoscossinsin;
⑵coscoscossinsin;⑶sinsincoscossin;⑷sinsincoscossin;⑸tantantan1tantantantan1tantan(tantantan1tantan);
⑹tan(tantantan1tantan).
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
⑴sin22sincos.⑵
2cos2cossin2cos112sin1cos222222(cos2cos212,
sin).
⑶tan22tan1tan2.
26、sincossin,其中tan22.
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