數(shù)學必修四三角函數(shù)公式總結(jié)與歸納

數(shù)學必修四三角函數(shù)公式盤點與歸納

1、誘導公式：

sin(2kπ+α)=sinα,cos(2kπ+α)=cosαsin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosαsin(2π-α)=-sinα,cos(2π-α)=cosαsin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosαsin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosαsin(+α)=cosα,cos(+α)=-sinαsin(-α)=cosα,cos(-α)=sinα2、同角三角函數(shù)基本關(guān)系：sin2α+cos2α=1,

=tanα,

tanα×cotα=1,1+tan2α=1+cot2α=cosα=sinα=

，，

3、兩角和與差的三角函數(shù)：

cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，

sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβtan（α+β）=，tan（α-β）=，

4、二倍角的三角函數(shù)：sin2α=2sinαcosα，cos2α=cos2α-sin2α=1-2sin2α=2cos2α-1，tan2α=，sin=，cos=，tan=

==

5、萬能公式：sin2α=，cos2α=

6、合一變式：asinα+bcosα=sin（α+γ）7、其他公式：

sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]，cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]，

tanγ=）

（

cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]，sinαsinβ=

[cos（α+β）-cos（α-β）]，

cossincoscos

，，，

sinα+sinβ=2sinsinα-sinβ=2coscosα+cosβ=2coscosα-cosβ=2sin

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高中數(shù)學必修4知識點總結(jié)

第一章三角函數(shù)（初等函數(shù)二）

正角:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角1、任意角負角:按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角2、角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．

第二象限角的集合為k36090k360180,k

第三象限角的集合為k360180k360270,k第四象限角的集合為k360270k360360,k終邊在x軸上的角的集合為k180,k

終邊在y軸上的角的集合為k18090,k終邊在坐標軸上的角的集合為k90,k

第一象限角的集合為k360k36090,k

例1．已知900900,900900,求2的范圍。

解：9090,450002450,900900,

2(2)，135021350

例2．若集合Ax|kxk,kZ，Bx|2x2，3則AB=_______________________________________。解[2,0][2,2]Ax|kxk,kZ...[333,0]3[,]...3、與角終邊相同的角的集合為k360,k例3．與201*0終邊相同的最大負角是_______________。

-1-

解.202201*253060(0202)04、已知是第幾象限角，確定

n所在象限的方法：先把各象限均分n等n*份，再從x軸的正半軸的上方起，依次將各區(qū)域標上一、二、三、四，則原來

是第幾象限對應的標號即為終邊所落在的區(qū)域．

n例4．設(shè)角屬于第二象限，且cos2cos2，則

角屬于（）2A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限解.C2k22k,(kZ),k42k2,(kZ),

當k2n,(nZ)時，

在第一象限；當k2n1,(nZ)時，在第三象限；220，而cos2cos2cos22在第三象限；

5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度．

6、半徑為r的圓的圓心角所對弧的長為l，則角的弧度數(shù)的絕對值是l．r1807、弧度制與角度制的換算公式：2360，1，157.3．1808、若扇形的圓心角為為弧度制，半徑為r，弧長為l，周長為C，面積為S，

11則lr，C2rl，Slrr2．

22例5如果1弧度的圓心角所對的弦長為2，那么這個圓心角所對的弧長為（）

1A．B．sin0.5C．2sin0.5D．tan0.5

sin0.5111,lr解4.A作出圖形得sin0.5,r

rsin0.5sin0.59、設(shè)是一個任意大小的角，的終邊上任意一點的坐標是x,y，它與原點的距離是rrx2y20，則sinyxy，cos，tanx0．rrx例6．若角6000的終邊上有一點4,a，則a的值是（）

解:tan6000a,a4tan60004tan60043410、三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限

-2-

正切為正，第四象限余弦為正．

11、三角函數(shù)線：sin，cos，tan．

y17的正弦線和余弦線，則給出的以下18不等式：①MPOM0；②OM0MP；③OMMP0；④MP0OM，

例7．設(shè)MP和OM分別是角

PTOMAx其中正確的是_____________________________。解.②sin1717MP0,cosOM0181812、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：1sin2cos21

sin21cos2,cos21sin2；2sinsintancos,cos．

tansintancos4，并且是第二象限的角，那么tan的值等于（）513、三角函數(shù)的誘導公式：

例8．已知sin1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．

口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限．

5sincos，cossin．22cos，cossin．226sin口訣：正弦與余弦互換，符號看象限．例9．滿足sinx3的x的集合為_________________________________。214、函數(shù)ysinx的圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數(shù)

ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮

-3-

短）到原來的

1倍（縱坐標不變），得到函數(shù)ysinx的圖象；再將函數(shù)

ysinx的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數(shù)ysinx的圖象．

函數(shù)ysinx的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的得到函數(shù)

1倍（縱坐標不變），

ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點向左（右）平移個單

位長度，得到函數(shù)ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數(shù)

ysinx的圖象．

例10．將函數(shù)ysin(x)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），

3再將所得的圖象向左平移個單位，得到的圖象對應的解析式是（）

3111A．ysinxB．ysin(x)C.ysin(x)D.ysin(2x)

222266111解ysin(x)ysin(x)ysin[(x)]ysin(x)

32323326函數(shù)ysinx0,0的性質(zhì)：①振幅：；②周期：相：．

函數(shù)ysinx，當xx1時，取得最小值為ymin；當xx2時，取得最大值為ymax，則11ymaxymin，ymaxymin，x2x1x1x2．2222；③頻率：f1；④相位：x；⑤初2例11．如圖，某地一天從6時到11時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)yAsin(x)b

(1)求這段時間最大溫差；(2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式

解（1）20°；（2）y10sin(x-5)20

84

-4-

15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函ycosx數(shù)ysinx性質(zhì)ytanx圖象定義域值域RRxxk,k2R1,1當x2k1,1k當x2kk時，2最值時，ymax1；當x2kymax1；當x2k2k時，ymin1．既無最大值也無最小值k時，ymin1．周期性奇偶性22奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)在2k,2k22在2k,2kk在k,k上是增函數(shù)；在k單上是增函數(shù)；在22調(diào)2k,2k3性2k,2kk上是增函數(shù)．22k上是減函數(shù)．k上是減函數(shù)．對稱中心對稱中心對k,0kk,0k稱2對稱軸性對稱軸xkkxkk2-5-

對稱中心k,0k2無對稱軸例12．（1）求函數(shù)ylog211的定義域。sinx（2）設(shè)f(x)sin(cosx),(0x)，求f(x)的最大值與最小值。

111110,log21,2,0sinxsinxsinxsinx25,x2k,kZ2kx2k或2k665k,k2]k[2k,2k),Z(為所求。)(266.解：（1）log2，是f(t)sint的遞增區(qū)間（2）當0x時,1cosx1，而[11]x時，1當cosf(x)n(1)minsix時，1當cos。f(x)1maxsin例13．已知tan，且3；sin1122是關(guān)于x的方程xkxk30的兩個實根，tan7，求cossin的值．2解：tan117k231,k2，而3，則tank2,tantan2得tan1，則sincos2，cossin2。2例14．已知函數(shù)yf(x)的圖象上的每一點的縱坐標擴大到原來的4倍，橫坐標擴大到原來的2倍，然后把所得的圖象沿x軸向左平移

，這樣得到的曲線和y2sinx的圖象2相同，則已知函數(shù)yf(x)的解析式為_______________________________.

右移個單位12xy解．ysin(2x)y2sin222sinx(2橫坐標縮小到原來的2倍)x2y2sin(

1)總坐標縮小到原來的4倍ysin(x2)222-6-

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