暑假補(bǔ)課期間高二年級(jí)生物教學(xué)計(jì)劃

暑假補(bǔ)課期間高二年級(jí)生物教學(xué)計(jì)劃

高一年級(jí)生物備課組邵天會(huì)

暑假期間預(yù)計(jì)上完高中生物必修二的第六章和第七章，如有必修三教材，則繼續(xù)上必修三的第一章，如沒(méi)有，剛復(fù)習(xí)必修二全冊(cè)的內(nèi)容，具體到天的計(jì)劃如下：201*-7-11201*-7-12講期末統(tǒng)考試卷

第六章第一節(jié)雜交育種與誘變育種新課201*-7-13201*-7-14201*-7-15201*-7-16201*-7-17201*-7-18201*-7-19201*-7-20201*-7-21201*-7-22201*-7-23201*-7-24201*-7-25201*-7-26201*-7-27201*-7-28201*-7-29201*-7-30201*-7-31

201*-8-1201*-8-9201*-8-10201*-8-11201*-8-12第六章第一節(jié)雜交育種與誘變育種第六章第二節(jié)基因工程及應(yīng)用第六章第二節(jié)基因工程及應(yīng)用第六章第一節(jié)第二節(jié)周考周考周考題目處理

第七章第一節(jié)現(xiàn)代生物進(jìn)化理論的由來(lái)第七章第一節(jié)現(xiàn)代生物進(jìn)化理論的由來(lái)第七章第二節(jié)一種群基因頻率的改變與生物進(jìn)化第七章第二節(jié)一種群基因頻率的改變與生物進(jìn)化周考周考周考試題處理

第七章第二節(jié)二隔離與物種的形成第七章第二節(jié)二隔離與物種的形成第七章第二節(jié)三共同進(jìn)化與生物多樣性的形成第七章第二節(jié)三共同進(jìn)化與生物多樣性的形成周考

周考

講解周考考試試卷

第七章第一二三節(jié)第七章第一二三節(jié)第七章單元檢測(cè)題課時(shí)練新課課時(shí)練習(xí)題處理新課課時(shí)練新課課時(shí)練新課課時(shí)練新課課時(shí)練習(xí)題講解習(xí)題講解訓(xùn)練

201*-8-13第七章單元檢測(cè)題講解201*-8-14周考201*-8-15周考201*-8-16周考題目處理

201*-8-17必修三第一章第一節(jié)細(xì)胞生活的環(huán)境新課201*-8-18必修三第一章第一節(jié)細(xì)胞生活的環(huán)境課時(shí)練201*-8-19必修三第一章第二節(jié)內(nèi)環(huán)境穩(wěn)態(tài)的重要性新課201*-8-20必修三第一章第二節(jié)內(nèi)環(huán)境穩(wěn)態(tài)的重要性課時(shí)練201*-8-21周考201*-8-22周考201*-8-23周考題目處理

201*-8-24必修三第一章第一二節(jié)習(xí)題講解201*-8-25必修三第二章第一節(jié)通過(guò)神經(jīng)系統(tǒng)的調(diào)節(jié)新課201*-8-26必修三第二章第一節(jié)通過(guò)神經(jīng)系統(tǒng)的調(diào)節(jié)課時(shí)練201*-8-27必修三第二章第二節(jié)通過(guò)激素的調(diào)節(jié)新課201*-8-28周考201*-8-29周考

以上計(jì)劃若遇特殊情況，可往后順延，希望本組老師能盡量按本計(jì)劃實(shí)施教學(xué)，以確保教學(xué)的進(jìn)度和質(zhì)量。

擴(kuò)展閱讀：暑期高一補(bǔ)課計(jì)劃課時(shí)安排教案

課題: 1．1．1正弦定理

授課類(lèi)型：新授課

●教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類(lèi)基本問(wèn)題。過(guò)程與方法：讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問(wèn)題的運(yùn)算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過(guò)三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來(lái)體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。●教學(xué)重點(diǎn)

正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用�！窠虒W(xué)難點(diǎn)

已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)�！窠虒W(xué)過(guò)程Ⅰ.課題導(dǎo)入

如圖1．1-1，固定ABC的邊CB及B，使邊AC繞著頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)。A思考：C的大小與它的對(duì)邊AB的長(zhǎng)度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？顯然，邊AB的長(zhǎng)度隨著其對(duì)角C的大小的增大而增大。能否

用一個(gè)等式把這種關(guān)系精確地表示出來(lái)？CBⅡ.講授新課

[探索研究](圖1．1-1)

在初中，我們已學(xué)過(guò)如何解直角三角形，下面就首先來(lái)探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖1．1-2，在RtABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)

abcsinA，sinB，又sinC1,cccabc則cbcsinAsinBsinCabc從而在直角三角形ABC中，CaBsinAsinBsinC的定義，有

(圖1．1-2)

思考：那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？（由學(xué)生討論、分析）

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

如圖1．1-3，當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=asinBbsinA,則同理可得從而

asinAbsinB，CcsinCbsinB，baAcB

sinAsinBsinC(圖1．1-3)

1

abc

思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而可以考慮用向量來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。

（證法二）：過(guò)點(diǎn)A作jAC，C由向量的加法可得ABACCB

則jABj(ACCB)AB∴jABjACjCBj

0jABcos90A0jCBcos900C

∴csinAasinC，即

acsinAsinCbc同理，過(guò)點(diǎn)C作jBC，可得sinBsinC從而

sinAsinBsinC類(lèi)似可推出，當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立。（由學(xué)生課后自己推導(dǎo)）

從上面的研探過(guò)程，可得以下定理

正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即

abcasinAbsinBcsinC

[理解定理]

（1）正弦定理說(shuō)明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使aksinA，bksinB，cksinC；（2）

asinAsinBsinC從而知正弦定理的基本作用為：

bc等價(jià)于

asinAbsinB，

csinCbsinB，

asinAcsinC

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如absinA；sinB②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如sinAsinB。一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程叫作解三角形。[例題分析]

例1．在ABC中，已知A32.00，B81.80，a42.9cm，解三角形。解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，

abC1800(AB)

1800(32.0081.80)

66.20；

根據(jù)正弦定理，

asinB42.9sin81.80b80.1(cm)；

sinAsin32.00根據(jù)正弦定理，

asinC42.9sin66.20c74.1(cm).

sinAsin32.00評(píng)述：對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器。

例2．在ABC中，已知a20cm，b28cm，A400，解三角形（角度精確到10，邊長(zhǎng)精確到1cm）。

解：根據(jù)正弦定理，

bsinA28sin400sinB0.8999.

a20因?yàn)?0＜B＜1800，所以B640，或B1160.⑴當(dāng)B640時(shí)，

C1800(AB)1800(400640)760，

asinC20sin760c30(cm).0sinAsin40⑵當(dāng)B1160時(shí)，

C1800(AB)1800(4001160)240，

asinC20sin240c13(cm).

sinAsin400評(píng)述：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形。

Ⅲ.課堂練習(xí)

第5頁(yè)練習(xí)第1（1）、2（1）題。

[補(bǔ)充練習(xí)]已知ABC中，sinA:sinB:sinC1:2:3，求a:b:c（答案：1：2：3）

Ⅳ.課時(shí)小結(jié)（由學(xué)生歸納總結(jié)）（1）定理的表示形式：

asinAsinBsinC或aksinA，bksinB，cksinC(k0)（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；

②已知兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角。Ⅴ.課后作業(yè)

第10頁(yè)[習(xí)題1.1]A組第1（1）、2（1）題�！癜鍟�(shū)設(shè)計(jì)●授后記

3

bcabckk0；

sinAsinBsinC

課題: 1.1.2余弦定理

授課類(lèi)型：新授課

●教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類(lèi)基本的解三角形問(wèn)題。過(guò)程與方法：利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過(guò)實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定理解決兩類(lèi)基本的解三角形問(wèn)題情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問(wèn)題的運(yùn)算能力；通過(guò)三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的關(guān)系，來(lái)理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一�！窠虒W(xué)重點(diǎn)

余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程及其基本應(yīng)用；●教學(xué)難點(diǎn)

勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程中的作用�！窠虒W(xué)過(guò)程Ⅰ.課題導(dǎo)入

C如圖1．1-4，在ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,

已知a,b和C，求邊cba

AcB

(圖1．1-4)

Ⅱ.講授新課[探索研究]

聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)和方法，可用什么途徑來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題？用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。

由于涉及邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而可以考慮用向量來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。A

如圖1．1-5，設(shè)CBa，CAb，ABc，那么cab，則bc

cccabababb2abCaB2a2ab2ab2從而c2a2b22abcosC(圖1．1-5)

同理可證a2b2c22bccosA

b2a2c22accosB

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即a2b2c22bccosA

b2a2c22accosB

c2a2b22abcosC

思考：這個(gè)式子中有幾個(gè)量？從方程的角度看已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否由三邊求出一角？

（由學(xué)生推出）從余弦定理，又可得到以下推論：

b2c2a2cosA2bca2c2b2cosB2acb2a2c2cosC2ba[理解定理]

從而知余弦定理及其推論的基本作用為：

①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？

（由學(xué)生總結(jié)）若ABC中，C=900，則cosC0，這時(shí)c2a","p":{"h

（見(jiàn)課本第8頁(yè)例4，可由學(xué)生通過(guò)閱讀進(jìn)行理解）解：由余弦定理的推論得：

b2c2a2cosA

2bc

87.82161.72134.62287.8161.70.5543,A56020；c2a2b2cosB

2ca

134.62161.7287.822134.6161.70.8398,B32053；

C1800(AB)1800(5602032053)Ⅲ.課堂練習(xí)

第8頁(yè)練習(xí)第1（1）、2（1）題。

[補(bǔ)充練習(xí)]在ABC中，若a2b2c2bc，求角A（答案：A=1200）

Ⅳ.課時(shí)小結(jié)

（1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；

（2）余弦定理的應(yīng)用范圍：①．已知三邊求三角；②．已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。Ⅴ.課后作業(yè)

①課后閱讀：課本第9頁(yè)[探究與發(fā)現(xiàn)]

②課時(shí)作業(yè)：第11頁(yè)[習(xí)題1.1]A組第3（1），4（1）題�！癜鍟�(shū)設(shè)計(jì)●授后記

課題: 1．1．3解三角形的進(jìn)一步討論

授課類(lèi)型：新授課

●教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無(wú)解等情形；三角形各種類(lèi)型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用。

過(guò)程與方法：通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生分析，解答三個(gè)典型例子，使學(xué)生學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用正、余弦定理，三角函數(shù)公式及三角形有關(guān)性質(zhì)求解三角形問(wèn)題。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)正、余弦定理，在解三角形問(wèn)題時(shí)溝通了三角形的有關(guān)性質(zhì)和三角函數(shù)的關(guān)系，反映了事物之間的必然聯(lián)系及一定條件下相互轉(zhuǎn)化的可能，從而從本質(zhì)上反映了事物之間的內(nèi)在聯(lián)系�！窠虒W(xué)重點(diǎn)

在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無(wú)解等情形；三角形各種類(lèi)型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用。●教學(xué)難點(diǎn)

正、余弦定理與三角形的有關(guān)性質(zhì)的綜合運(yùn)用。●教學(xué)過(guò)程Ⅰ.課題導(dǎo)入[創(chuàng)設(shè)情景]

思考：在ABC中，已知a22cm，b25cm，A1330，解三角形。

（由學(xué)生閱讀課本第9頁(yè)解答過(guò)程）

從此題的分析我們發(fā)現(xiàn)，在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，在某些條件下會(huì)出現(xiàn)無(wú)解的情形。下面進(jìn)一步來(lái)研究這種情形下解三角形的問(wèn)題。Ⅱ.講授新課[探索研究]

b,A，討論三角形解的情況例1．在ABC中，已知a,分析：先由sinB則C1800(AB)從而cbsinA可進(jìn)一步求出B；aasinCA1．當(dāng)A為鈍角或直角時(shí)，必須ab才能有且只有一解；否則無(wú)解。2．當(dāng)A為銳角時(shí)，

如果a≥b，那么只有一解；

如果ab，那么可以分下面三種情況來(lái)討論：（1）若absinA，則有兩解；（2）若absinA，則只有一解；（3）若absinA，則無(wú)解。

（以上解答過(guò)程詳見(jiàn)課本第910頁(yè)）

評(píng)述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，只有當(dāng)A為銳角且bsinAab時(shí)，有兩解；其它情況時(shí)則只有一解或無(wú)解。[隨堂練習(xí)1]

（1）在ABC中，已知a80，b100，A450，試判斷此三角形的解的情況。（2）在ABC中，若a1，c1，C400，則符合題意的b的值有_____個(gè)。2（3）在ABC中，axcm，b2cm，B450，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值范圍。

（答案：（1）有兩解；（2）0；（3）2x22）

例2．在ABC中，已知a7，b5，c3，判斷ABC的類(lèi)型。分析：由余弦定理可知

a2b2c2A是直角ABC是直角三角形a2b2c2A是鈍角ABC是鈍角三角形a2b2c2A是銳角ABC是銳角三角形（注意：A是銳角ABC是銳角三角形）

解：725232，即a2b2c2，∴ABC是鈍角三角形。

[隨堂練習(xí)2]

（1）在ABC中，已知sinA:sinB:sinC1:2:3，判斷ABC的類(lèi)型。（2）已知ABC滿(mǎn)足條件acosAbcosB，判斷ABC的類(lèi)型。

（答案：（1）ABC是鈍角三角形；（2）ABC是等腰或直角三角形）例3．在ABC中，A600，b1，面積為

abc3，求的值

sinAsinBsinC2111分析：可利用三角形面積定理SabsinCacsinBbcsinA以及正弦定理

222asinAbsinBcsinCabc

sinAsinBsinC3得c2，2解：由SbcsinA12則a2b2c22bccosA=3，即a3，

從而

abca2

sinAsinBsinCsinAⅢ.課堂練習(xí)

（1）在ABC中，若a55，b16，且此三角形的面積S2203，求角C（2）在ABC中，其三邊分別為a、b、c，且三角形的面積S（答案：（1）600或1200；（2）450）

Ⅳ.課時(shí)小結(jié)

（1）在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無(wú)解等情形；

8

a2b2c24，求角C

（2）三角形各種類(lèi)型的判定方法；（3）三角形面積定理的應(yīng)用。

Ⅴ.課后作業(yè)

（1）在ABC中，已知b4，c10，B300，試判斷此三角形的解的情況。（2）設(shè)x、x+1、x+2是鈍角三角形的三邊長(zhǎng)，求實(shí)數(shù)x的取值范圍。（3）在ABC中，A600，a1，bc2，判斷ABC的形狀。

（4）三角形的兩邊分別為3cm，5cm,它們所夾的角的余弦為方程5x27x60的根，求這個(gè)三角形的面積�！癜鍟�(shū)設(shè)計(jì)●授后記

9

課題: 2.2解三角形應(yīng)用舉例

第一課時(shí)

授課類(lèi)型：新授課

●教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)測(cè)量距離的實(shí)際問(wèn)題，了解常用的測(cè)量相關(guān)術(shù)語(yǔ)

過(guò)程與方法：首先通過(guò)巧妙的設(shè)疑，順利地引導(dǎo)新課，為以后的幾節(jié)課做良好鋪墊。其次結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，采用“提出問(wèn)題引發(fā)思考探索猜想總結(jié)規(guī)律反饋訓(xùn)練”的教學(xué)過(guò)程，根據(jù)大綱要求以及教學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在關(guān)系，鋪開(kāi)例題，設(shè)計(jì)變式，同時(shí)通過(guò)多媒體、圖形觀察等直觀演示，幫助學(xué)生掌握解法，能夠類(lèi)比解決實(shí)際問(wèn)題。對(duì)于例2這樣的開(kāi)放性題目要鼓勵(lì)學(xué)生討論，開(kāi)放多種思路，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹更c(diǎn)和矯正情感態(tài)度與價(jià)值觀：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力●教學(xué)重點(diǎn)

實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后逐個(gè)解決三角形，得到實(shí)際問(wèn)題的解●教學(xué)難點(diǎn)

根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出示意圖●教學(xué)過(guò)程Ⅰ.課題導(dǎo)入1、[復(fù)習(xí)舊知]

復(fù)習(xí)提問(wèn)什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類(lèi)型的三角形？2、[設(shè)置情境]

請(qǐng)學(xué)生回答完后再提問(wèn)：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個(gè)問(wèn)題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠(yuǎn)呢？”在古代，天文學(xué)家沒(méi)有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個(gè)奧秘的呢？我們知道，對(duì)于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測(cè)量方案，比如可以應(yīng)用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實(shí)際測(cè)量問(wèn)題的真實(shí)背景下，某些方法會(huì)不能實(shí)施。如因?yàn)闆](méi)有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來(lái)測(cè)量，所以，有些方法會(huì)有局限性。于是上面介紹的問(wèn)題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開(kāi)始學(xué)習(xí)正弦定理、余弦定理在科學(xué)實(shí)踐中的重要應(yīng)用，首先研究如何測(cè)量距離。Ⅱ.講授新課

（1）解決實(shí)際測(cè)量問(wèn)題的過(guò)程一般要充分認(rèn)真理解題意，正確做出圖形，把實(shí)際問(wèn)題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)求解

[例題講解]

(2)例1、如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離是55m，BAC=51，ACB=75。求A、B兩點(diǎn)的距離(精確到0.1m)

啟發(fā)提問(wèn)1：ABC中，根據(jù)已知的邊和對(duì)應(yīng)角，運(yùn)用哪個(gè)定理比較適當(dāng)？啟發(fā)提問(wèn)2：運(yùn)用該定理解題還需要那些邊和角呢？請(qǐng)學(xué)生回答。

分析：這是一道關(guān)于測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的問(wèn)題，題目條件告訴了邊AB的對(duì)角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個(gè)已知角算出AC的對(duì)角，應(yīng)用正弦定理算出AB邊。解：根據(jù)正弦定理，得

AB=ACsinACBsinABCAB=ACsinACB

sinABC=55sinACB

sinABC=

55sin75

sin(1805175)=55sin75

sin54≈65.7(m)

答:A、B兩點(diǎn)間的距離為65.7米

變式練習(xí)：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于akm,燈塔A在觀察站C的北偏東30，燈塔B在觀察站C南偏東60，則A、B之間的距離為多少？老師指導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖，建立數(shù)學(xué)模型。解略：2akm

例2、如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測(cè)量A、B兩點(diǎn)間距離的方法。分析：這是例1的變式題，研究的是兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離測(cè)量問(wèn)題。首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定C、D兩點(diǎn)。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個(gè)內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC，再利用余弦定理可以計(jì)算出AB的距離。

解：測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D，測(cè)得CD=a，并且在C、D兩點(diǎn)分別測(cè)得BCA=，

ACD=，CDB=，BDA=，在ADC和BDC中，應(yīng)用正弦定理得

AC=BC=

asin()=asin()

sin[180()]sin()asinasin=sin[180()]sin()計(jì)算出AC和BC后，再在ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB兩點(diǎn)間的距離AB=AC2BC22ACBCcos

分組討論：還沒(méi)有其它的方法呢？師生一起對(duì)不同方法進(jìn)行對(duì)比、分析。

變式訓(xùn)練：若在河岸選取相距40米的C、D兩點(diǎn)，測(cè)得BCA=60，ACD=30，CDB=45，

BDA=60

略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206

評(píng)注：可見(jiàn)，在研究三角形時(shí)，靈活根據(jù)兩個(gè)定理可以尋找到多種解決問(wèn)題的方案，但有些

過(guò)程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個(gè)定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來(lái)選擇最佳的計(jì)算方式。

學(xué)生閱讀課本4頁(yè)，了解測(cè)量中基線的概念，并找到生活中的相應(yīng)例子。Ⅲ.課堂練習(xí)

課本第14頁(yè)練習(xí)第1、2題Ⅳ.課時(shí)小結(jié)

解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：

（1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫(huà)出示意圖

（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解（4）檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解Ⅴ.課后作業(yè)

課本第22頁(yè)第1、2、3題●板書(shū)設(shè)計(jì)●授后記

課題: 2.2解三角形應(yīng)用舉例

第二課時(shí)

授課類(lèi)型：新授課

●教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)底部不可到達(dá)的物體高度測(cè)量的問(wèn)題

過(guò)程與方法：本節(jié)課是解三角形應(yīng)用舉例的延伸。采用啟發(fā)與嘗試的方法，讓學(xué)生在溫故知新中學(xué)會(huì)正確識(shí)圖、畫(huà)圖、想圖，幫助學(xué)生逐步構(gòu)建知識(shí)框架。通過(guò)3道例題的安排和練習(xí)的訓(xùn)練來(lái)鞏固深化解三角形實(shí)際問(wèn)題的一般方法。教學(xué)形式要堅(jiān)持引導(dǎo)討論歸納，目的不在于讓學(xué)生記住結(jié)論，更多的要養(yǎng)成良好的研究、探索習(xí)慣。作業(yè)設(shè)計(jì)思考題，提供學(xué)生更廣闊的思考空間

情感態(tài)度與價(jià)值觀：進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)及觀察、歸納、類(lèi)比、概括的能力

●教學(xué)重點(diǎn)

結(jié)合實(shí)際測(cè)量工具，解決生活中的測(cè)量高度問(wèn)題●教學(xué)難點(diǎn)

能觀察較復(fù)雜的圖形，從中找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵條件●教學(xué)過(guò)程Ⅰ.課題導(dǎo)入

提問(wèn)：現(xiàn)實(shí)生活中,人們是怎樣測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物高度呢？又怎樣在水平飛行的飛機(jī)上測(cè)量飛機(jī)下方山頂?shù)暮０胃叨饶�？今天我們就�?lái)共同探討這方面的問(wèn)題Ⅱ.講授新課[范例講解]

例1、AB是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度AB的方法。

分析：求AB長(zhǎng)的關(guān)鍵是先求AE，在ACE中，如能求出C點(diǎn)到建筑物頂部A的距離CA，再測(cè)出由C點(diǎn)觀察A的仰角，就可以計(jì)算出AE的長(zhǎng)。

解：選擇一條水平基線HG，使H、G、B三點(diǎn)在同一條直線上。由在H、G兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得A的仰角分別是、，CD=a，測(cè)角儀器的高是h，那么，在ACD中，根據(jù)正弦定理可得

AC=

asinsin()

AB=AE+h=ACsin+h

=

asinsin+hsin()例2、如圖，在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角=5440，在塔底C處測(cè)得A處的俯角=501。已知鐵塔BC部分的高為27.3m,求出山高CD(精確到1m)

師:根據(jù)已知條件,大家能設(shè)計(jì)出解題方案嗎？（給時(shí)間給學(xué)生討論思考）若在ABD中求CD，則關(guān)鍵需要求出哪條邊呢？生：需求出BD邊。師：那如何求BD邊呢？

生：可首先求出AB邊，再根據(jù)BAD=求得。

解:在ABC中,BCA=90+,ABC=90-,BAC=-,BAD=.根據(jù)正弦定理,

BCAB=

sin()sin(90)BCsin(90)BCcos所以AB==

sin()sin()解RtABD中,得BD=ABsinBAD=將測(cè)量數(shù)據(jù)代入上式,得

BCcossin

sin()27.3cos501sin5440BD=

sin(5440501)27.3cos501sin5440=

sin439

≈177(m)

CD=BD-BC≈177-27.3=150(m)

答:山的高度約為150米.

例3、如圖,一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正東行駛,到A處時(shí)測(cè)得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在東偏南15的方向上,行駛5km后到達(dá)B處,測(cè)得此山頂在東偏南25的方向上,仰角為8,求此山的高度CD.

師：欲求出CD，大家思考在哪個(gè)三角形中研究比較適合呢？生：在BCD中

師：在BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根據(jù)條件,易計(jì)算出哪條邊的長(zhǎng)？生：BC邊

解:在ABC中,A=15,C=25-15=10,根據(jù)正弦定理,

BCAB=,sinAsinCABsinA5sin15BC==sin10sinC≈7.4524(km)

CD=BCtanDBC≈BCtan8≈1047(m)

答:山的高度約為1047米

Ⅲ.課堂練習(xí)：課本第17頁(yè)練習(xí)第1、2、3題Ⅳ.課時(shí)小結(jié)：利用正弦定理和余弦定理來(lái)解題時(shí)，要學(xué)會(huì)審題及根據(jù)題意畫(huà)方位圖,要懂得從所給的背景資料中進(jìn)行加工、抽取主要因素，進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化。Ⅴ.課后作業(yè)：1，課本第23頁(yè)練習(xí)第6、7、8題

為測(cè)某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20m的樓的樓頂處測(cè)得塔頂A的仰角為30，測(cè)得塔基B的俯角為45，則塔AB的高度為多少m？

203(m)3●板書(shū)設(shè)計(jì)●授后記

答案：20+

課題: 2.2解三角形應(yīng)用舉例

第三課時(shí)

授課類(lèi)型：新授課

●教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)計(jì)算角度的實(shí)際問(wèn)題過(guò)程與方法：本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了相關(guān)內(nèi)容后的第三節(jié)課，學(xué)生已經(jīng)對(duì)解法有了基本的了解，這節(jié)課應(yīng)通過(guò)綜合訓(xùn)練強(qiáng)化學(xué)生的相應(yīng)能力。除了安排課本上的例1，還針對(duì)性地選擇了既具典型性有具啟發(fā)性的2道例題，強(qiáng)調(diào)知識(shí)的傳授更重能力的滲透。課堂中要充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，重過(guò)程，重討論，教師通過(guò)導(dǎo)疑、導(dǎo)思讓學(xué)生有效、積極、主動(dòng)地參與到探究問(wèn)題的過(guò)程中來(lái)，逐步讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，舉一反三。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、正確分析問(wèn)題、獨(dú)立解決問(wèn)題的能力，并在教學(xué)過(guò)程中激發(fā)學(xué)生的探索精神�！窠虒W(xué)重點(diǎn)

能根據(jù)正弦定理、余弦定理的特點(diǎn)找到已知條件和所求角的關(guān)系●教學(xué)難點(diǎn)

靈活運(yùn)用正弦定理和余弦定理解關(guān)于角度的問(wèn)題●教學(xué)過(guò)程Ⅰ.課題導(dǎo)入[創(chuàng)設(shè)情境]提問(wèn)：前面我們學(xué)習(xí)了如何測(cè)量距離和高度，這些實(shí)際上都可轉(zhuǎn)化已知三角形的一些邊和角求其余邊的問(wèn)題。然而在實(shí)際的航海生活中,人們又會(huì)遇到新的問(wèn)題，在浩瀚無(wú)垠的海面上如何確保輪船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我們接著探討這方面的測(cè)量問(wèn)題。

Ⅱ.講授新課[范例講解]

例1、如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行67.5nmile后到達(dá)海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東32的方向航行54.0nmile后達(dá)到海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?(角度精確到0.1,距離精確到0.01nmile)

學(xué)生看圖思考并講述解題思路

教師根據(jù)學(xué)生的回答歸納分析：首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出AC邊所對(duì)的角ABC，即可用余弦定理算出AC邊，再根據(jù)正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角CAB。

解：在ABC中，ABC=180-75+32=137，根據(jù)余弦定理，

AC=AB2BC22ABBCcosABC=67.5254.02267.554.0cos137≈113.15根據(jù)正弦定理,

BC=ACsinCABsinABCACsinCAB=BCsinABC

54.0sin137=

113.15≈0.3255,所以CAB=19.0,75-CAB=56.0

答:此船應(yīng)該沿北偏東56.1的方向航行,需要航行113.15nmile

例2、在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物AE的頂端A的仰角為，沿BE方向前進(jìn)30m，至點(diǎn)C處測(cè)得頂端A的仰角為2，再繼續(xù)前進(jìn)103m至D點(diǎn)，測(cè)得頂端A的仰角為4，求的大小和建筑物AE的高。

師：請(qǐng)大家根據(jù)題意畫(huà)出方位圖。生：上臺(tái)板演方位圖（上圖）

教師先引導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生積極思考解題方法，讓學(xué)生動(dòng)手練習(xí)，請(qǐng)三位同學(xué)用三種不同方法板演，然后教師補(bǔ)充講評(píng)。

解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中，AC=BC=30，AD=DC=103，

ADC=180-4，103=

sin230。

sin(1804)因?yàn)閟in4=2sin2cos2

cos2=

3,得2=302=15，

在RtADE中，AE=ADsin60=15

答：所求角為15，建筑物高度為15m解法二：（設(shè)方程來(lái)求解）設(shè)DE=x，AE=h在RtACE中,(103+x)2+h2=302在RtADE中,x2+h2=(103)2兩式相減，得x=53,h=15

在RtACE中,tan2=2=30,=15

h103x=

33答：所求角為15，建筑物高度為15m

解法三：（用倍角公式求解）設(shè)建筑物高為AE=8，由題意，得

BAC=，CAD=2，

AC=BC=30m,AD=CD=103m在RtACE中，sin2=在RtADE中，sin4=

x---------①304103,---------②

②①得cos2=

3,2=30,=15，AE=ADsin60=152答：所求角為15，建筑物高度為15m

例3、某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75的方向以10海里/小時(shí)的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小時(shí)的速度沿著直線方向追去，問(wèn)巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追？需要多少時(shí)間才追趕上該走私船？

師：你能根據(jù)題意畫(huà)出方位圖？教師啟發(fā)學(xué)生做圖建立數(shù)學(xué)模型

分析：這道題的關(guān)鍵是計(jì)算出三角形的各邊，即需要引入時(shí)間這個(gè)參變量。解：如圖，設(shè)該巡邏艇沿AB方向經(jīng)過(guò)x小時(shí)后在B處追上走私船，則CB=10x,AB=14x,AC=9,

ACB=75+45=120

(14x)2=92+(10x)2-2910xcos120化簡(jiǎn)得32x2-30x-27=0，即x=

39,或x=-(舍去)216所以BC=10x=15,AB=14x=21,

BCsin1201*353又因?yàn)閟inBAC===AB21421BAC=3813,或BAC=14147（鈍角不合題意，舍去），3813+45=8313

答：巡邏艇應(yīng)該沿北偏東8313方向去追，經(jīng)過(guò)1.4小時(shí)才追趕上該走私船.

評(píng)注：在求解三角形中，我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個(gè)解，但作為有關(guān)現(xiàn)實(shí)生活的

應(yīng)用題，必須檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解Ⅲ.課堂練習(xí)

課本第18頁(yè)練習(xí)Ⅳ.課時(shí)小結(jié)

解三角形的應(yīng)用題時(shí)，通常會(huì)遇到兩種情況：（1）已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量與未知量涉及兩個(gè)或幾個(gè)三角形，這時(shí)需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問(wèn)題的解。Ⅴ.課后作業(yè)

1、課本第23頁(yè)練習(xí)第9、10、11題

2、我艦在敵島A南偏西50相距12海里的B處,發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北偏西10的方向以10海里/小時(shí)的速度航行.問(wèn)我艦需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小時(shí)追上敵艦？（角度用反三角函數(shù)表示）●板書(shū)設(shè)計(jì)●授后記

課題: 2.2解三角形應(yīng)用舉例

授課類(lèi)型：新授課

●教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法進(jìn)一步解決有關(guān)三角形的問(wèn)題,掌握三角形的面積公式的簡(jiǎn)單推導(dǎo)和應(yīng)用

過(guò)程與方法：本節(jié)課補(bǔ)充了三角形新的面積公式，巧妙設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生證明，同時(shí)總結(jié)出該公式的特點(diǎn)，循序漸進(jìn)地具體運(yùn)用于相關(guān)的題型。另外本節(jié)課的證明題體現(xiàn)了前面所學(xué)知識(shí)的生動(dòng)運(yùn)用，教師要放手讓學(xué)生摸索，使學(xué)生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余弦定理的特點(diǎn)，能不拘一格，一題多解。只要學(xué)生自行掌握了兩定理的特點(diǎn)，就能很快開(kāi)闊思維，有利地進(jìn)一步突破難點(diǎn)。情感態(tài)度與價(jià)值觀：讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)的知識(shí)，加深對(duì)所學(xué)定理的理解，提高創(chuàng)新能力；進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生研究和發(fā)現(xiàn)能力，讓學(xué)生在探究中體驗(yàn)愉悅的成功體驗(yàn)●教學(xué)重點(diǎn)

推導(dǎo)三角形的面積公式并解決簡(jiǎn)單的相關(guān)題目●教學(xué)難點(diǎn)

利用正弦定理、余弦定理來(lái)求證簡(jiǎn)單的證明題●教學(xué)過(guò)程Ⅰ.課題導(dǎo)入[創(chuàng)設(shè)情境]

師：以前我們就已經(jīng)接觸過(guò)了三角形的面積公式，今天我們來(lái)學(xué)習(xí)它的另一個(gè)表達(dá)公式。在

ABC中，邊BC、CA、AB上的高分別記為ha、hb、hc，那么它們?nèi)绾斡靡阎�邊和角�?/p>

示？

生：ha=bsinC=csinB

hb=csinA=asinChc=asinB=bsinaA

1ah,應(yīng)用以上求出的高的公式如ha=bsinC代入，21可以推導(dǎo)出下面的三角形面積公式，S=absinC，大家能推出其它的幾個(gè)公式嗎？

211生：同理可得，S=bcsinA,S=acsinB

22師：除了知道某條邊和該邊上的高可求出三角形的面積外，知道哪些條件也可求出三角形的面積呢？

生：如能知道三角形的任意兩邊以及它們夾角的正弦即可求解Ⅱ.講授新課[范例講解]

師：根據(jù)以前學(xué)過(guò)的三角形面積公式S=

例1、在ABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S（精確到0.1cm2）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;

（2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;

（3）已知三邊的長(zhǎng)分別為a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm

分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問(wèn)題，與解三角形問(wèn)題有密切的關(guān)系，我們可以應(yīng)用解三角形面積的知識(shí)，觀察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面積。解：（1）應(yīng)用S=S=

1acsinB，得2114.823.5sin148.5≈90.9(cm2)2b=c

sinCsinBsinB(2)根據(jù)正弦定理，

c=bsinC

S=

11bcsinA=b2sinCsinA22sinBA=180-(B+C)=180-(62.7+65.8)=51.5

sin65.8sin51.512S=3.16≈4.0(cm2)2sin62.7(3)根據(jù)余弦定理的推論，得

c2a2b2cosB=

2ca38.7241.4227.32=

238.741.4≈0.7697

sinB=1cos2B≈10.76972≈0.6384應(yīng)用S=S≈

1acsinB，得2141.438.70.6384≈511.4(cm2)2例2、如圖,在某市進(jìn)行城市環(huán)境建設(shè)中,要把一個(gè)三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園,經(jīng)過(guò)測(cè)量得到這個(gè)三角形區(qū)域的三條邊長(zhǎng)分別為68m,88m,127m,這個(gè)區(qū)域的面積是多少？（精確到0.1cm2）？

師：你能把這一實(shí)際問(wèn)題化歸為一道數(shù)學(xué)題目嗎？

生：本題可轉(zhuǎn)化為已知三角形的三邊，求角的問(wèn)題，再利用三角形的面積公式求解。由學(xué)生解答，老師巡視并對(duì)學(xué)生解答進(jìn)行講評(píng)小結(jié)。解：設(shè)a=68m,b=88m,c=127m,根據(jù)余弦定理的推論，

c2a2b2cosB=

2ca1272682882=≈0.7532

212768sinB=10.753220.6578

1acsinB21S≈681270.6578≈2840.38(m2)

2應(yīng)用S=

答：這個(gè)區(qū)域的面積是2840.38m2。例3、在ABC中，求證：

a2b2sin2Asin2B;（1）

c2sin2C（2）a2+b2+c2=2（bccosA+cacosB+abcosC）

分析：這是一道關(guān)于三角形邊角關(guān)系恒等式的證明問(wèn)題，觀察式子左右兩邊的特點(diǎn)，聯(lián)想到用正弦定理來(lái)證明

證明：（1）根據(jù)正弦定理，可設(shè)

a=b=c=k

sinAsinBsinC顯然k0，所以

a2b2k2sin2Ak2sin2B左邊=c2k2sin2Csin2Asin2B==右邊2sinC（2）根據(jù)余弦定理的推論，

b2c2a2a2b2c2c2a2b2右邊=2(bc+ca+ab)

2bc2ca2ab

=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)

=a2+b2+c2=左邊

變式練習(xí)1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=63,求a及ABC的面積S提示：解有關(guān)已知兩邊和其中一邊對(duì)角的問(wèn)題，注重分情況討論解的個(gè)數(shù)。答案：a=6,S=93;a=12,S=183

變式練習(xí)2：判斷滿(mǎn)足下列條件的三角形形狀，（1）acosA=bcosB（2）sinC=

sinAsinB

cosAcosB提示：利用正弦定理或余弦定理，“化邊為角”或“化角為邊”（1）師：大家嘗試分別用兩個(gè)定理進(jìn)行證明。

生1：（余弦定理）得

b2c2a2c2a2b2a=b

2bc2cac2(a2b2)a4b4=(a2b2)(a2b2)a2b2或c2a2b2

根據(jù)邊的關(guān)系易得是等腰三角形或直角三角形

生2：（正弦定理）得sinAcosA=sinBcosB,

sin2A=sin2B,2A=2B,A=B

根據(jù)邊的關(guān)系易得是等腰三角形

師：根據(jù)該同學(xué)的做法，得到的只有一種情況，而第一位同學(xué)的做法有兩種，請(qǐng)大家思考，誰(shuí)的正確呢？

生：第一位同學(xué)的正確。第二位同學(xué)遺漏了另一種情況，因?yàn)閟in2A=sin2B,有可能推出2A與2B兩個(gè)角互補(bǔ)，即2A+2B=180，A+B=90

(2)（解略）直角三角形

Ⅲ.課堂練習(xí)

課本第21頁(yè)練習(xí)第1、2題Ⅳ.課時(shí)小結(jié)

利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的式子或只含角的三角函數(shù)式，然后化簡(jiǎn)并考察邊或角的關(guān)系，從而確定三角形的形狀。特別是有些條件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以?xún)烧呋煊�。�?課后作業(yè)

課本第23頁(yè)練習(xí)第12、14、15題●板書(shū)設(shè)計(jì)●授后記

⒈數(shù)列的定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列.

注意：⑴數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；

⑵定義中并沒(méi)有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn).⒉數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），第2項(xiàng)，，第n項(xiàng)，.

例如，上述例子均是數(shù)列，其中①中，“4”是這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），“9”是這個(gè)數(shù)列中的第6項(xiàng).

⒊數(shù)列的一般形式：a1,a2,a3,,an,，或簡(jiǎn)記為an，其中an是數(shù)列的第n項(xiàng)結(jié)合上述例子，幫助學(xué)生理解數(shù)列及項(xiàng)的定義.②中，這是一個(gè)數(shù)列，它的首項(xiàng)是“1”，“

1”是這個(gè)數(shù)列的第“3”項(xiàng)，等等3下面我們?cè)賮?lái)看這些數(shù)列的每一項(xiàng)與這一項(xiàng)的序號(hào)是否有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系？這一關(guān)系可否用一個(gè)公式表示？（引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)列與項(xiàng)的定義，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式）對(duì)于上面的數(shù)列②，第一項(xiàng)與這一項(xiàng)的序號(hào)有這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

1111項(xiàng)1

2345↓↓↓↓↓

序號(hào)12345

這個(gè)數(shù)的第一項(xiàng)與這一項(xiàng)的序號(hào)可用一個(gè)公式：an1來(lái)表示其對(duì)應(yīng)關(guān)系n即：只要依次用1，2，3代替公式中的n，就可以求出該數(shù)列相應(yīng)的各項(xiàng)結(jié)合上述其他例子，練習(xí)找其對(duì)應(yīng)關(guān)系

⒋數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列an的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

注意：⑴并不是所有數(shù)列都能寫(xiě)出其通項(xiàng)公式，如上述數(shù)列④；

⑵一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式有時(shí)是不唯一的，如數(shù)列：1，0，1，0，1，0，它的通項(xiàng)公式

n11(1)n1|.可以是an，也可以是an|cos22⑶數(shù)列通項(xiàng)公式的作用：①求數(shù)列中任意一項(xiàng)；②檢驗(yàn)?zāi)硵?shù)是否是該數(shù)列中的一項(xiàng).

數(shù)列的通項(xiàng)公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第項(xiàng)，又是這個(gè)數(shù)列中所有各項(xiàng)的一般表示．通項(xiàng)公式反映了一個(gè)數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的函數(shù)關(guān)系，給了數(shù)列的通項(xiàng)公式，這個(gè)數(shù)列便確定了，代入項(xiàng)數(shù)就可求出數(shù)列的每一項(xiàng)．5.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N（或它的有限子集{1，2，3，，n}）為定義域的函數(shù)anf(n)，

*

當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值。

反過(guò)來(lái)，對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4）有意義，那么我們可以得到一個(gè)數(shù)列f(1)、f(2)、f(3)、f(4)，f(n)，6．?dāng)?shù)列的分類(lèi)：

1）根據(jù)數(shù)列項(xiàng)數(shù)的多少分：

有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6。是有窮數(shù)列無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6是無(wú)窮數(shù)列2）根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的大小分：

遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列。遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列。常數(shù)數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列。

擺動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列[補(bǔ)充練習(xí)]：根據(jù)下面數(shù)列的前幾項(xiàng)的值，寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：

(1)3,5,9,17,33,；(2)

426810,,,,,；315356399(3)0,1,0,1,0,1,；(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,；

2n1(1)n解：(1)an＝2n＋1；(2)an＝；(3)an＝；

(2n1)(2n1)2(4)將數(shù)列變形為1＋0,2＋1,3＋0,4＋1,5＋0,6＋1,7＋0,8＋1,,

1(1)n∴an＝n＋；

21、通項(xiàng)公式法

如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。如數(shù)列

的通項(xiàng)公式為

；；；

的通項(xiàng)公式為

的通項(xiàng)公式為

2、圖象法

啟發(fā)學(xué)生仿照函數(shù)圖象的畫(huà)法畫(huà)數(shù)列的圖形．具體方法是以項(xiàng)數(shù)為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng)

為縱坐標(biāo)，即以

為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中做出點(diǎn)（以前面提到的數(shù)列

為例，做出一個(gè)數(shù)列的圖象），所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點(diǎn)，因?yàn)闄M

坐標(biāo)為正整數(shù)，所以這些點(diǎn)都在

軸的右側(cè)，而點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于數(shù)列的項(xiàng)數(shù)．從圖象中可

以直觀地看到數(shù)列的項(xiàng)隨項(xiàng)數(shù)由小到大變化而變化的趨勢(shì)．3、遞推公式法

知識(shí)都來(lái)源于實(shí)踐，最后還要應(yīng)用于生活用其來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題．觀察鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型．模型一：自上而下：

第1層鋼管數(shù)為4；即：14＝1+3第2層鋼管數(shù)為5；即：25＝2+3第3層鋼管數(shù)為6；即：36＝3+3第4層鋼管數(shù)為7；即：47＝4+3

第5層鋼管數(shù)為8；即：58＝5+3第6層鋼管數(shù)為9；即：69＝6+3第7層鋼管數(shù)為10；即：710＝7+3

若用an表示鋼管數(shù)，n表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)為一數(shù)列，且ann3(1≤n≤7）

運(yùn)用每一層的鋼筋數(shù)與其層數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律建立了數(shù)列模型，運(yùn)用這一關(guān)系，會(huì)很快捷地求出每一層的鋼管數(shù)這會(huì)給我們的統(tǒng)計(jì)與計(jì)算帶來(lái)很多方便。讓同學(xué)們繼續(xù)看此圖片，是否還有其他規(guī)律可循？（啟發(fā)學(xué)生尋找規(guī)律）模型二：上下層之間的關(guān)系

自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多1。

即a14；a2541a11；a3651a21依此類(lèi)推：anan11（2≤n≤7）

對(duì)于上述所求關(guān)系，若知其第1項(xiàng)，即可求出其他項(xiàng)，看來(lái)，這一關(guān)系也較為重要。遞推公式：如果已知數(shù)列an的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an1（或前n項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。

如下數(shù)字排列的一個(gè)數(shù)列：3，5，8，13，21，34，55，89遞推公式為：a13,a25,anan1an2(3n8)

數(shù)列可看作特殊的函數(shù)，其表示也應(yīng)與函數(shù)的表示法有聯(lián)系，首先請(qǐng)學(xué)生回憶函數(shù)的表示法：列表法，圖象法，解析式法．相對(duì)于列表法表示一個(gè)函數(shù)，數(shù)列有這樣的表示法：用示第一項(xiàng)，用4、列表法

．簡(jiǎn)記為

[范例講解]

．

表示第一項(xiàng)，，用

表示第項(xiàng)，依次寫(xiě)出成為

表

a11例3設(shè)數(shù)列an滿(mǎn)足寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)。1a1(n1).nan1解：分析：題中已給出an的第1項(xiàng)即a11，遞推公式：an11an1

解：據(jù)題意可知：a11,a21[補(bǔ)充例題]

158112,a52,a31，a41a335a1a23例4已知a12，an12an寫(xiě)出前5項(xiàng)，并猜想an．

法一：a12a22222a322223，觀察可得an2n法二：由an12an∴an2an1即

an2an1∴

anan1an2a22n1an1an2an3a1∴ana12n12n

[補(bǔ)充練習(xí)]

1．根據(jù)各個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式，寫(xiě)出它的前五項(xiàng)，并歸納出通項(xiàng)公式(1)a1＝0,an1＝an＋(2n－1)(n∈N)；(2)a1＝1,an1＝

2an

(n∈N)；

an2

(3)a1＝3,an1＝3an－2(n∈N).

解：(1)a1＝0,a2＝1,a3＝4,a4＝9,a5＝16,∴an＝(n－1);(2)a1＝1,a2＝

21212222,a3＝,a4＝,a5＝,∴an＝;352436n1012(3)a1＝3＝1+23,a2＝7＝1+23,a3＝19＝1+23,

a4＝55＝1+233,a5＝163＝1+234,∴an＝1＋23n1;

1．等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，

這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（常用字母“d”表示）。

⑴．公差d一定是由后項(xiàng)減前項(xiàng)所得，而不能用前項(xiàng)減后項(xiàng)來(lái)求；

⑵．對(duì)于數(shù)列{an},若an－an1=d(與n無(wú)關(guān)的數(shù)或字母)，n≥2，n∈N，則此數(shù)列是等差數(shù)列，d為公差。

2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：ana1(n1)d【或anam(nm)d】

等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之間關(guān)系而得若一等差數(shù)列an的首項(xiàng)是a1，公

差是d，則據(jù)其定義可得：

a2a1d即：a2a1d

a3a2d即：a3a2da12da4a3d即：a4a3da13d

由此歸納等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：ana1(n1)d

∴已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項(xiàng)a1和公差d，便可求得其通項(xiàng)an。由上述關(guān)系還可得：ama1(m1)d即：a1am(m1)d

則：ana1(n1)d=am(m1)d(n1)dam(nm)d即等差數(shù)列的第二通項(xiàng)公式anam(nm)d∴d=

aman

mn[范例講解]

例1⑴求等差數(shù)列8，5，2的第20項(xiàng)

⑵-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？

解：⑴由a18,d58253n=20，得a208(201)(3)49⑵由a15,d9(5)4得數(shù)列通項(xiàng)公式為：an54(n1)由題意可知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，使得40154(n1)成立解之得n=100，即-401是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng)

例3已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式anpnq，其中p、q是常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項(xiàng)與公差分別是什么？

分析：由等差數(shù)列的定義，要判定an是不是等差數(shù)列，只要看anan1（n≥2）是不是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)。

解：當(dāng)n≥2時(shí),（取數(shù)列an中的任意相鄰兩項(xiàng)an1與an（n≥2））

anan1(pnq)[p(n1)q]pnq(pnpq)p為常數(shù)

∴{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1pq，公差為p。

注：①若p=0，則{an}是公差為0的等差數(shù)列，即為常數(shù)列q，q，q，

②若p≠0,則{an}是關(guān)于n的一次式,從圖象上看,表示數(shù)列的各點(diǎn)均在一次函數(shù)

y=px+q的圖象上,一次項(xiàng)的系數(shù)是公差,直線在y軸上的截距為q.

③數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)an=pn+q(p、q是常數(shù))，稱(chēng)其為第3

通項(xiàng)公式。

④判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列的方法是否滿(mǎn)足3個(gè)通項(xiàng)公式中的一個(gè)。

[補(bǔ)充練習(xí)]

1.（1）求等差數(shù)列3，7，11，的第4項(xiàng)與第10項(xiàng).

分析：根據(jù)所給數(shù)列的前3項(xiàng)求得首項(xiàng)和公差，寫(xiě)出該數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而求出所求項(xiàng).

a1=3,d=7－3=4.∴該數(shù)列的通項(xiàng)公式為：解：根據(jù)題意可知：（n－1）×4,即an=4nan=3+

－1（n≥1,n∈N*）∴a4=4×4－1=15,a10=4×10－1=39.

評(píng)述：關(guān)鍵是求出通項(xiàng)公式.

（2）求等差數(shù)列10，8，6，的第20項(xiàng).解：根據(jù)題意可知：a1=10,d=8－10=－2.

∴該數(shù)列的通項(xiàng)公式為：（n－1）×（－2）,即：an=10+an=－2n+12,∴a20=－2×20+12=－28.

評(píng)述：要注意解題步驟的規(guī)范性與準(zhǔn)確性.

（3）100是不是等差數(shù)列2，9，16，的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，說(shuō)明理由.

分析：要想判斷一數(shù)是否為某一數(shù)列的其中一項(xiàng)，則關(guān)鍵是要看是否存在一正整數(shù)n值，使得an等于這一數(shù).

解：根據(jù)題意可得：a1=2,d=9－2=7.∴此數(shù)列通項(xiàng)公式為：an=2+（n－1）×7=7n－5.

令7n－5=100,解得：n=15,∴100是這個(gè)數(shù)列的第15項(xiàng).

（4）－20是不是等差數(shù)列0，－3說(shuō)明理由.

1，－7，的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，2177∴此數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an=－n+,222777747令－n+=－20,解得n=因?yàn)椋璶+=－20沒(méi)有正整數(shù)解，所以－20不是這

22227個(gè)數(shù)列的項(xiàng).

3．有幾種方法可以計(jì)算公差d

解：由題意可知：a1=0,d=－3①d=an－an1②d=

ana1aam③d=nn1nm問(wèn)題：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列數(shù)列，那么A應(yīng)滿(mǎn)足什么

條件？

由定義得A-a=b-A，即：Aab229

ab，則A-a=b-A2aba,b,成等差數(shù)列由此可可得：A2反之，若A[補(bǔ)充例題]

例在等差數(shù)列{an}中，若a1+a6=9,a4=7,求a3,a9.

分析：要求一個(gè)數(shù)列的某項(xiàng)，通常情況下是先求其通項(xiàng)公式，而要求通項(xiàng)公式，必須知道這個(gè)數(shù)列中的至少一項(xiàng)和公差，或者知道這個(gè)數(shù)列的任意兩項(xiàng)（知道任意兩項(xiàng)就知道公差），本題中，只已知一項(xiàng)，和另一個(gè)雙項(xiàng)關(guān)系式，想到從這雙項(xiàng)關(guān)系式入手解：∵{an}是等差數(shù)列

∴a1+a6=a4+a3=9a3=9－a4=9－7=2

∴d=a4－a3=7－2=5

∴a9=a4+(9－4)d=7+5*5=32已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列

∴a3=2,a9=32

（1）2a5a3a7是否成立？2a5a1a9呢？為什么？（2）2anan1an1(n1)是否成立？據(jù)此你能得到什么結(jié)論？（3）2anankank(nk0)是否成立？？你又能得到什么結(jié)論？結(jié)論：（性質(zhì)）在等差數(shù)列中，若m+n=p+q，則，amanapaq即m+n=p+qamanapaq(m,n,p,q∈N)

但通常①由amanapaq推不出m+n=p+q，②amanamnⅢ.課堂練習(xí)

1.在等差數(shù)列an中，已知a510，a1231，求首項(xiàng)a1與公差d2.在等差數(shù)列an中,若a56a815求a141．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式1：Snn(a1an)2證明：Sna1a2a3an1an①

Snanan1an2a2a1②

①+②：2Sn(a1an)(a2an1)(a3an2)(anan)∵a1ana2an1a3an2∴2Snn(a1an)由此得：Snn(a1an)2從而我們可以驗(yàn)證高斯十歲時(shí)計(jì)算上述問(wèn)題的正確性2．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式2：Snna1n(n1)d2用上述公式要求Sn必須具備三個(gè)條件：n,a1,an但ana1(n1)d代入公式1即得：Snna1n(n1)d2此公式要求Sn必須已知三個(gè)條件：n,a1,d（有時(shí)比較有用）由例3得與an之間的關(guān)系：

由Sn的定義可知，當(dāng)n=1時(shí)，S1=a1；當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn1，即an=S1(n1).

SnSn1(n2)n(a1an)2n(n1)d21.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式1：Sn2.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式2：Snna1結(jié)論：一般地，如果一個(gè)數(shù)列an,的前n項(xiàng)和為Snpn2qnr，其中p、q、r為常數(shù)，且p0，那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是多少？由Snpn2qnr，得S1a1pqr

當(dāng)n2時(shí)anSnSn1=(pnqnr)[p(n1)q(n1)r]=2pn(pq)

22danan1[2pn(pq)][2p(n1)(pq)]=2p

對(duì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式2：Snna1n(n1)d可化成式子：2Snd2dn(a1)n，當(dāng)d≠0，是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次式2231

對(duì)等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問(wèn)題有兩種方法:（1）利用an:

當(dāng)an>0，d0，d

“an≠0”是數(shù)列｛an｝成等比數(shù)列的必要非充分條件．3q=1時(shí)，{an}為常數(shù)。

2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式1:ana1qn1(a1q0)由等比數(shù)列的定義，有：

a2a1q；

a3a2q(a1q)qa1q2；a4a3q(a1q2)qa1q3；

anan1qa1qn1(a1q0)3.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式2:anamqm1(a1q0)4．既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常數(shù)列

探究：課本P56頁(yè)的探究活動(dòng)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系：

等比數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式ana1qn1(a1q0),它的圖象是分布在曲線y（q>0）上的一些孤立的點(diǎn)。

當(dāng)a10，q>1時(shí)，等比數(shù)列｛an｝是遞增數(shù)列；當(dāng)a10，0q1，等比數(shù)列｛an｝是遞增數(shù)列；當(dāng)a10，0q1時(shí)，等比數(shù)列｛an｝是遞減數(shù)列；當(dāng)a10，q>1時(shí)，等比數(shù)列｛an｝是遞減數(shù)列；

當(dāng)q0時(shí)，等比數(shù)列｛an｝是擺動(dòng)數(shù)列；當(dāng)q1時(shí)，等比數(shù)列｛an｝是常數(shù)列。[補(bǔ)充練習(xí)]

2.（1）一個(gè)等比數(shù)列的第9項(xiàng)是

a1xqq41，公比是－，求它的第1項(xiàng)（答案：a1=2916）93（2）一個(gè)等比數(shù)列的第2項(xiàng)是10，第3項(xiàng)是20，求它的第1項(xiàng)與第4項(xiàng)（答案：a1=

a2=5,qa4=a3q=40）

1．等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a,G，b成等比數(shù)列，那么稱(chēng)這個(gè)數(shù)

G為a與b的等比中項(xiàng).即G=±ab（a,b同號(hào)）

如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a,G，b成等比數(shù)列，則

GbG2abGab，aG反之，若G=ab,則≠0）

例題證明：設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)是a1，公比為q1;bn的首項(xiàng)為b1，公比為q2，那么數(shù)列anbn的第n項(xiàng)與第n+1項(xiàng)分別為：

2Gb2即a,G,b成等比數(shù)列�！郺,G,b成等比數(shù)列G=ab（ab，

aGa1q1n1b1q2與a1q1b1q2即為a1b1(q1q2)n1與a1b1(q1q2)nn1nnan1bn1a1b1(q1q2)nq1q2.

anbna1b1(q1q2)n1它是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以anbn是一個(gè)以q1q2為公比的等比數(shù)列拓展探究：

對(duì)于例題中的等比數(shù)列{an}與{bn}，數(shù)列{

an}也一定是等比數(shù)列嗎？bnana，則cn1n1bnbn1探究：設(shè)數(shù)列{an}與{bn}的公比分別為q1和q2，令cnacn1bn1abq(n1)(n1)1，所以，數(shù)列{n}也一定是等比數(shù)列。

anbncnanbnq2bnan122已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，（1）a5a3a7是否成立？a5a1a9成立嗎？為什么？

2（2）anan1an1(n1)是否成立？你據(jù)此能得到什么結(jié)論？

2anankank(nk0)是否成立？你又能得到什么結(jié)論？

結(jié)論：2．等比數(shù)列的性質(zhì)：若m+n=p+k，則amanapak在等比數(shù)列中，m+n=p+q，am,an,ap,ak有什么關(guān)系呢？由定義得：ama1qm1ana1qn1apa1q2p1aka1qk1

amana1qmn2，apaka1qpk2則amanapak

1、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：

2

aanqa1(1qn)當(dāng)q1時(shí)，Sn①或Sn1②

1q1q當(dāng)q=1時(shí)，Snna1

當(dāng)已知a1,q,n時(shí)用公式①；當(dāng)已知a1,q,an時(shí)，用公式②.

公式的推導(dǎo)方法一：

一般地，設(shè)等比數(shù)列a1,a2a3,an它的前n項(xiàng)和是

Sna1a2a3an

Sna1a2a3an由n1aaq1n2n2n1Sna1a1qa1qa1qa1q得23n1nqSna1qa1qa1qa1qa1q(1q)Sna1a1qn

aanqa1(1qn)∴當(dāng)q1時(shí)，Sn①或Sn1②

1q1q當(dāng)q=1時(shí)，Snna1

公式的推導(dǎo)方法二：

有等比數(shù)列的定義，

aa2a3nqa1a2an1a2a3anSa1nq

a1a2an1Snan根據(jù)等比的性質(zhì)，有

即

Sna1q(1q)Sna1anq（結(jié)論同上）

Snan圍繞基本概念，從等比數(shù)列的定義出發(fā)，運(yùn)用等比定理，導(dǎo)出了公式．公式的推導(dǎo)方法三：

Sna1a2a3an＝a1q(a1a2a3an1)＝a1qSn1＝a1q(Snan)

(1q)Sna1anq（結(jié)論同上）

Ⅱ.講授新課

1、等比數(shù)列前n項(xiàng)，前2n項(xiàng)，前3n項(xiàng)的和分別是Sn，S2n，S3n，

2求證：S2nS2nSn(S2nS3n)

2、設(shè)a為常數(shù)，求數(shù)列a，2a，3a，，na，的前n項(xiàng)和；（1）a=0時(shí)，Sn=0

（2）a≠0時(shí)，若a=1，則Sn=1+2+3++n=

n-1

n

23n

1n(n1)2若a≠1，Sn-aSn=a（1+a++a-na），Sn=

ann1[1(n1)ana]2(1a)

1、數(shù)列

[數(shù)列的通項(xiàng)公式]ana1S1(n1)[數(shù)列的前n項(xiàng)和]Sna1a2a3an

SS(n2)n1n

2、等差數(shù)列

[等差數(shù)列的概念]

[定義]如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。[等差數(shù)列的判定方法]

1．定義法：對(duì)于數(shù)列an，若an1and(常數(shù))，則數(shù)列an是等差數(shù)列。2．等差中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列an，若2an1anan2，則數(shù)列an是等差數(shù)列。[等差數(shù)列的通項(xiàng)公式]

如果等差數(shù)列an的首項(xiàng)是a1，公差是d，則等差數(shù)列的通項(xiàng)為ana1(n1)d。[說(shuō)明]該公式整理后是關(guān)于n的一次函數(shù)。

n(a1an)n(n1)d[等差數(shù)列的前n項(xiàng)和]1．Sn2.Snna122[說(shuō)明]對(duì)于公式2整理后是關(guān)于n的沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)。[等差中項(xiàng)]

如果a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)。即：Aab或2Aab2[說(shuō)明]：在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮等差數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)；事實(shí)上等差數(shù)列中某一項(xiàng)是與其等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)。[等差數(shù)列的性質(zhì)]

1．等差數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果an是等差數(shù)列的第n項(xiàng)，am是等差數(shù)列的第m項(xiàng)，且mn，公差為d，則有anam(nm)d

2．對(duì)于等差數(shù)列an，若nmpq，則anamapaq。

a1ana,a2,a3,,an2,an1,an

，如圖所示：1a2an1*也就是：a1ana2an1a3an23．若數(shù)列an是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，kN，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等差數(shù)列。如下圖所示：

S3ka1a2a3akak1a2ka2k1a3kSk

S2kSk36

S3kS2k

3、等比數(shù)列

[等比數(shù)列的概念]

[定義]如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q0）。[等比中項(xiàng)]

如果在a與b之間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)。

Gb2，即Gab。aGa[等比數(shù)列的判定方法]定義法：對(duì)于數(shù)列an，若n1q(q0)，則數(shù)列an是等比數(shù)列。

an也就是，如果是的等比中項(xiàng)，那么

22．等比中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列an，若anan2anan是等比數(shù)列。1，則數(shù)列[等比數(shù)列的通項(xiàng)公式]

如果等比數(shù)列an的首項(xiàng)是a1，公比是q，則等比數(shù)列的通項(xiàng)為ana1qn1。[等比數(shù)列的前n項(xiàng)和]

a1(1qn)a1anqS(q1)123當(dāng)q1時(shí)，Snna1S○n○n1q(q1)○1q[等比數(shù)列的性質(zhì)]

1．等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果an是等比數(shù)列的第n項(xiàng)，am是等差數(shù)列的第m項(xiàng)，且mn，公比為q，則有anamqnm

3．對(duì)于等比數(shù)列an，若nmuv，則anamauav

a1ana,a2,a3,,an2,an1,an

。如圖所示：1a2an1也就是：a1ana2an1a3an24．若數(shù)列an是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成

等比數(shù)列。如下圖所示：

S3ka1a2a3akak1a2ka2k1a3kSkS2kSkS3kS2k4、數(shù)列前n項(xiàng)和（1）重要公式：

（3）等比數(shù)列中，

123nn(n1)；2n(n1)(2n1)；

6SmnSnqnSmSmqmSn

（4）裂項(xiàng)求和：

122232n2111；

n(n1)nn111323n3[n(n1)]22（nn!(n1)!n!）

（2）等差數(shù)列中，SmnSmSnmnd

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