高中數(shù)學(xué)函數(shù)性質(zhì)總結(jié)
函數(shù)性質(zhì)
1..函數(shù)的單調(diào)性(1)設(shè)x1x2a,b,x1x2那么
f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函數(shù);
x1x2f(x1)f(x2)(x1x2)f(x1)f(x2)00f(x)在a,b上是減函數(shù).
x1x2(2)設(shè)函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),如果f(x)0,則f(x)為增函數(shù);如果f(x)0,則f(x)為減函數(shù).
注:如果函數(shù)f(x)和g(x)都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)f(x)g(x)也是減函數(shù);如果函數(shù)yf(u)和ug(x)在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)yf[g(x)]是增函數(shù).
(x1x2)f(x1)f(x2)02.奇偶函數(shù)的圖象特征
奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;反過(guò)來(lái),如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù);如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).
注:若函數(shù)yf(x)是偶函數(shù),則f(xa)f(xa);若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù),則f(xa)f(xa).
注:對(duì)于函數(shù)yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,則函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸是函數(shù)xabab;兩個(gè)函數(shù)yf(xa)與yf(bx)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱.22a注:若f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱;若
2f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)為周期為2a的周期函數(shù).
3.多項(xiàng)式函數(shù)P(x)anxan1xnn1a0的奇偶性
多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)P(x)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)P(x)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.23.函數(shù)yf(x)的圖象的對(duì)稱性
(1)函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱f(ax)f(ax)
f(2ax)f(x).
(2)函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xab對(duì)稱f(amx)f(bmx)2f(abmx)f(mx).
4.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性
(1)函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x0(即y軸)對(duì)稱.(2)函數(shù)yf(mxa)與函數(shù)yf(bmx)的圖象關(guān)于直線x(3)函數(shù)yf(x)和yf1ab對(duì)稱.2m(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.
25.若將函數(shù)yf(x)的圖象右移a、上移b個(gè)單位,得到函數(shù)yf(xa)b的圖象;若將曲線f(x,y)0的圖象右移a、上移b個(gè)單位,得到曲線f(xa,yb)0的圖象.
5.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系
f(a)bf1(b)a.
27.若函數(shù)yf(kxb)存在反函數(shù),則其反函數(shù)為y11[f(x)b],并不是ky[f1(kxb),而函數(shù)y[f1(kxb)是y1[f(x)b]的反函數(shù).k6.幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)方程
(1)正比例函數(shù)f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.(2)指數(shù)函數(shù)f(x)a,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.
(3)對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).(4)冪函數(shù)f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f(1).
(5)余弦函數(shù)f(x)cosx,正弦函數(shù)g(x)sinx,f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y),
"xf(0)1,limx0g(x)1.x7.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a>0)(1)f(x)f(xa),則f(x)的周期T=a;(2)f(x)f(xa)0,
1(f(x)0),f(x)1或f(xa)(f(x)0),
f(x)12或f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1),則f(x)的周期T=2a;21(3)f(x)1(f(x)0),則f(x)的周期T=3a;
f(xa)f(x1)f(x2)(4)f(x1x2)且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a),則
1f(x1)f(x2)f(x)的周期T=4a;
(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)
f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),則f(x)的周期T=5a;(6)f(xa)f(x)f(xa),則f(x)的周期T=6a.
或f(xa)8.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)a(2)amn1nmnam1mn(a0,m,nN,且n1).(a0,m,nN,且n1).
a9.根式的性質(zhì)(1)(na)a.(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),aa;
nnna,a0當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),a|a|.
a,a0nn10.有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)aaarsrrsrs(a0,r,sQ).
(2)(a)a(a0,r,sQ).
(3)(ab)ab(a0,b0,rQ).
p注:若a>0,p是一個(gè)無(wú)理數(shù),則a表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù).上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì),對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪都適用.
33.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式
rrrslogaNbabN(a0,a1,N0).
34.對(duì)數(shù)的換底公式
logmN(a0,且a1,m0,且m1,N0).
logmann推論logamblogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).
mlogaN11.對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則若a>0,a≠1,M>0,N>0,則(1)loga(MN)logaMlogaN;
MlogaMlogaN;Nn(3)logaMnlogaM(nR).
(2)loga2注:設(shè)函數(shù)f(x)logm(axbxc)(a0),記b4ac.若f(x)的定義域?yàn)?/p>
2R,則a0,且0;若f(x)的值域?yàn)镽,則a0,且0.對(duì)于a0的情形,需要
單獨(dú)檢驗(yàn).
12.對(duì)數(shù)換底不等式及其推論
1,則函數(shù)ylogax(bx)a11(1)當(dāng)ab時(shí),在(0,)和(,)上ylogax(bx)為增函數(shù).
aa11(2)(2)當(dāng)ab時(shí),在(0,)和(,)上ylogax(bx)為減函數(shù).
aa若a0,b0,x0,x推論:設(shè)nm1,p0,a0,且a1,則(1)logmp(np)logmn.(2)logamloganloga【例1】求下列各式的值:
n(3)(1)n(n1,且nN*);(2)(xy)2.n(3)3;解:(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),nn(3)|3|3.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),n2mn.2(2)(xy)2|xy|.
當(dāng)xy時(shí),(xy)2xy;當(dāng)xy時(shí),(xy)2yx.a3na3n【例2】已知a21,求n的值.naa3n3nnn2naa(aa)(a1a2n)12n2n解:na1a211221nnnaaaa212n
【例4】已知函數(shù)f(x)a23x(a0,且a1).
(1)求該函數(shù)的圖象恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo);(2)指出該函數(shù)的單調(diào)性.
2時(shí),a23xa01.32所以,該函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(,1).
3(2)∵u23x是減函數(shù),
∴當(dāng)0a1時(shí),f(x)在R上是增函數(shù);當(dāng)a1時(shí),f(x)在R上是減函數(shù).
21【例3】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(1)yax2x3;(2)y.x0.21u2解:(1)設(shè)ya,ux2x3.
解:(1)當(dāng)23x0,即x由ux22x3(x1)24知,u在(,1]上為減函數(shù),在[1,)上為增函數(shù).根據(jù)yau的單調(diào)性,當(dāng)a1時(shí),y關(guān)于u為增函數(shù);當(dāng)0a1時(shí),y關(guān)于u為減函數(shù).∴當(dāng)a1時(shí),原函數(shù)的增區(qū)間為[1,),減區(qū)間為(,1];當(dāng)0a1時(shí),原函數(shù)的增區(qū)間為(,1],減區(qū)間為[1,).(2)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x0}.設(shè)y而根據(jù)y1,u0.2x.易知u0.2x為減函數(shù).u11的圖象可以得到,在區(qū)間(,1)與(1,)上,y關(guān)于u均為減函數(shù).u1∴在(,0)上,原函數(shù)為增函數(shù);在(0,)上,原函數(shù)也為增函數(shù).
xx2f(x1)f(x2)【例1】若f(x)ax(a0,且a1),則f(1.)22證
明:x1x2f(x1)f(x2)x1x2ax1ax2ax1ax22ax1ax2(ax1ax2)220.f()a22222xx2f(x1)fx(2)∴f(1.(注:此性質(zhì)為函數(shù)的凹凸性))22bx【例2】已知函數(shù)f(x)2(b0,a0).
ax111(1)判斷f(x)的奇偶性;(2)若f(1),log3(4ab)log24,求a,b的值.
22bx解:(1)f(x)定義域?yàn)镽,f(x)2f(x),故f(x)是奇函數(shù).
ax1b1(2)由f(1),則a2b10.又log3(4a-b)=1,即4a-b=3.
a12a2b10由得a=1,b=1.
4ab3exa【例3】(01天津卷.19)設(shè)a>0,f(x)是R上的偶函數(shù).
aex(1)求a的值;(2)證明f(x)在(0,)上是增函數(shù).
exa解:(1)∵f(x)是R上的偶函數(shù),∴f(x)f(x)0.
aexexaexa111∴xx0(a)ex(a)ex0(a)(exex)0.
aeaeaaaex-e-x不可能恒為“0”,∴當(dāng)
1-a=0時(shí)等式恒成立,∴a=1.a(chǎn)(2)在(0,)上任取x1<x2,
ex11111f(x1)f(x2)x1ex2x2(ex1ex2)(x1)(ex1ex2)(1x1x2)x2aeeeeee(ex1ex2)(ex1ex21)x1x2x1x2∵e>1,x1<x2,∴ee1,∴ee>1,<0,
ex1ex2∴f(x1)f(x2)0,∴f(x)是在(0,)上的增函數(shù).
【例4】已知1992年底世界人口達(dá)到54.8億.
(1)若人口的平均增長(zhǎng)率為1.2%,寫(xiě)出經(jīng)過(guò)t年后的世界人口數(shù)y(億)與t的函數(shù)解析式;
(2)若人口的平均增長(zhǎng)率為x%,寫(xiě)出201*年底世界人口數(shù)為y(億)與x的函數(shù)解析式.如果要使201*年的人口數(shù)不超過(guò)66.8億,試求人口的年平均增長(zhǎng)率應(yīng)控制在多少以內(nèi)?
t*解:(1)經(jīng)過(guò)t年后的世界人口數(shù)為y54..8(11.t2)54.8t1.0N12,(2)201*年底的世界人口數(shù)y與x的函數(shù)解析式為y54.8(1x)18.由y54.8(1x)1866.8,解得x100(18所以,人口的年平均增長(zhǎng)率應(yīng)控制在1.1%以內(nèi).
66.81)1.1.54.
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數(shù)學(xué)必修1函數(shù)概念及性質(zhì)(知識(shí)點(diǎn)總結(jié))
(一)函數(shù)的有關(guān)概念
1.函數(shù)的概念:設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù).記作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.
2如果只給出解析式y(tǒng)=f(x),而沒(méi)有指明它的定義域,則函數(shù)的定義域即是指能使這個(gè)式注意:○
3函數(shù)的定義域、值域要寫(xiě)成集合或區(qū)間的形式.子有意義的實(shí)數(shù)的集合;○
定義域補(bǔ)充
能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域,求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是:(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被開(kāi)方數(shù)不小于零;(3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零;(4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么,它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數(shù)為零底不可以等于零(6)實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問(wèn)題有意義.(又注意:求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。)
2.構(gòu)成函數(shù)的三要素:定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域
再注意:(1)構(gòu)成函數(shù)三個(gè)要素是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的,所以,如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,即稱這兩個(gè)函數(shù)相等(或?yàn)橥缓瘮?shù))(2)兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,而與表示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法:①表達(dá)式相同;②定義域一致(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)(見(jiàn)課本21頁(yè)相關(guān)例2)值域補(bǔ)充(1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對(duì)應(yīng)法則,不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域.(2).應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域,它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ).(3).求函數(shù)值域的常用方法有:直接法、反函數(shù)法、換元法、配方法、均值不等式法、判別式法、單調(diào)性法等.3.函數(shù)圖象知識(shí)歸納
(1)定義:在平面直角坐標(biāo)系中,以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標(biāo),函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x,y)的集合C,叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象.
C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x),反過(guò)來(lái),以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x,y),均在C上.即記為C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}
圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多只有一個(gè)交點(diǎn)的若干條曲線或離散點(diǎn)組成.(2)畫(huà)法
A、描點(diǎn)法:根據(jù)函數(shù)解析式和定義域,求出x,y的一些對(duì)應(yīng)值并列表,以(x,y)為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)P(x,y),最后用平滑的曲線將這些點(diǎn)連接起來(lái).B、圖象變換法(請(qǐng)參考必修4三角函數(shù))
常用變換方法有三種,即平移變換、伸縮變換和對(duì)稱變換(3)作用:
1、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì);2、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。發(fā)現(xiàn)解題中的錯(cuò)誤。
保護(hù)原創(chuàng)權(quán)益凈化網(wǎng)絡(luò)環(huán)境
4.快去了解區(qū)間的概念
(1)區(qū)間的分類:開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間、半開(kāi)半閉區(qū)間;(2)無(wú)窮區(qū)間;(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.5.什么叫做映射
一般地,設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合,如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng),那么就稱對(duì)應(yīng)f:AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f:AB”
給定一個(gè)集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對(duì)應(yīng),那么,我們把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象
說(shuō)明:函數(shù)是一種特殊的映射,映射是一種特殊的對(duì)應(yīng),①集合A、B及對(duì)應(yīng)法則f是確定的;②對(duì)應(yīng)法則有“方向性”,即強(qiáng)調(diào)從集合A到集合B的對(duì)應(yīng),它與從B到A的對(duì)應(yīng)關(guān)系一般是不同的;③對(duì)于映射f:A→B來(lái)說(shuō),則應(yīng)滿足:(Ⅰ)集合A中的每一個(gè)元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè);(Ⅲ)不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。
6.常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點(diǎn):
1函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線,也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)等等,注意判斷一個(gè)圖形是否○
2解析法:必須注明函數(shù)的定義域;○3圖象法:描點(diǎn)法作圖要注意:確定是函數(shù)圖象的依據(jù);○
4列表法:選取的自變量要有代表性,應(yīng)函數(shù)的定義域;化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式;觀察函數(shù)的特征;○
能反映定義域的特征.
注意。航馕龇ǎ罕阌谒愠龊瘮(shù)值。列表法:便于查出函數(shù)值。圖象法:便于量出函數(shù)值補(bǔ)充一:分段函數(shù)(參見(jiàn)課本P24-25)
在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時(shí)必須把自變量代入相應(yīng)的表達(dá)式。分段函數(shù)的解析式不能寫(xiě)成幾個(gè)不同的方程,而就寫(xiě)函數(shù)值幾種不同的表達(dá)式并用一個(gè)左大括號(hào)括起來(lái),并分別注明各部分的自變量的取值情況.(1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù),不要把它誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù);(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集.
補(bǔ)充二:復(fù)合函數(shù)
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x),(x∈A)稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。
sinX2
例如:y=2y=2cos(X+1)
7.函數(shù)單調(diào)性(1).增函數(shù)
設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1,x2,當(dāng)x1(2)圖象的特點(diǎn)
如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的,減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A)定義法:
1任取x1,x2∈D,且x1
10.函數(shù)最大(。┲担ǘx見(jiàn)課本p36頁(yè))1利用二次函數(shù)的性質(zhì)2利用圖象求函數(shù)的最大3利○(配方法)求函數(shù)的最大(。┲怠穑ㄐ。┲怠鹩煤瘮(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(。┲担喝绻瘮(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b);如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b);11.解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題的關(guān)鍵有兩點(diǎn):
一是認(rèn)真讀題,縝密審題,確切理解題意,明確問(wèn)題的實(shí)際背景,然后進(jìn)行科學(xué)的抽象、概括,將實(shí)際問(wèn)題歸納為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題;
二是要合理選取參變數(shù),設(shè)定變?cè),就要尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系,選用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式表示問(wèn)題中的關(guān)系,建立相應(yīng)的函數(shù)、方程、不等式等數(shù)學(xué)模型;最終求解數(shù)學(xué)模型使實(shí)際問(wèn)題獲解.
函數(shù)的性質(zhì)與函數(shù)圖象的特點(diǎn)函數(shù)性質(zhì)函數(shù)的圖象定義域M值域N奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)定義圖像特點(diǎn)一般為一條連續(xù)曲線,也可能是由若干條曲線或離散點(diǎn)組成.圖像左右存在的范圍圖像上下存在的范圍圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱圖像關(guān)于y軸對(duì)稱在區(qū)間[a,b]內(nèi),圖像從左到右上升CP(x,y)|yf(x),xM自變量x的取值范圍函數(shù)值y的取值范圍對(duì)任意的xM都有f(-x)=-f(x)對(duì)任意的xM都有f(-x)=f(x)對(duì)任意的x1、x2a,bM當(dāng)x1
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