高一下期末總結(jié)

期末總結(jié)

光陰似箭，日月如梭，似乎只是一眨眼，高一的學(xué)習(xí)生活便已宣告結(jié)束。在這學(xué)期，我逐漸感受到高中學(xué)習(xí)的緊張氣氛，我覺得自己在一天天的成長(zhǎng)，一點(diǎn)點(diǎn)的懂得堅(jiān)定執(zhí)著與刻苦努力。

從學(xué)習(xí)方面講，這學(xué)期分了文理，使學(xué)習(xí)的目的性更明確了。我選擇了文科，文科背誦的內(nèi)容很多，并且需要靈活運(yùn)用，這就要求我們要勤于背誦，并且多讀書，在這方面我還有所不足，有待提高。本學(xué)期的教課進(jìn)度比之前要快，并且需要自己自主理解的內(nèi)容更多了，學(xué)習(xí)不再是一味的聽老師教受，而是學(xué)要自己鉆研，理解。對(duì)于文科的學(xué)習(xí)，起初我多少有些不適應(yīng)，但伴隨著一學(xué)期的學(xué)習(xí)，我也漸漸可以跟上老師的步調(diào)，并掌握一定學(xué)習(xí)方法。

對(duì)于考試，我主要存在兩大不足，一是速度慢，這與我平時(shí)寫作業(yè)就拖拖拉拉是分不開的，要想就這點(diǎn)有所改進(jìn)，我首先就要提高自己的作業(yè)速度以及寫字速度。另外在考試時(shí)，我總熱衷于死扣某道難題，所以一旦陷入某個(gè)難題中，就一定打不完卷，這也是急需改正的壞毛病。而第二大不足就是馬虎。這是我從小傳承下來的壞習(xí)慣，改正有一定難度，所以要想改正，只能循序漸進(jìn)，考試時(shí)盡量保持鎮(zhèn)定，仔仔細(xì)細(xì)答每一道題，盡量保證會(huì)的題不出錯(cuò)誤。除此之外，個(gè)別知識(shí)點(diǎn)的薄弱也急需改進(jìn)�？荚嚨哪康牟皇欠�?jǐn)?shù)，而是檢測(cè)我們一段時(shí)間內(nèi)的學(xué)習(xí)情況，所以找到知識(shí)點(diǎn)的漏洞，加緊學(xué)習(xí)，彌補(bǔ)不足，才是我們真正的目的

當(dāng)然，提高成績(jī)的基礎(chǔ)還是將知識(shí)掌握牢固，否則再多的方法也是空談、廢話。保證成績(jī)的首要條件就是課堂聽講，消化了課堂知識(shí)，才能在此之上有所提高。其次就是作業(yè)，盡量保證多思考才能鍛煉思維，切忌糊弄，否則還不如不寫。在這學(xué)期的學(xué)習(xí)生活中，我驚異的發(fā)現(xiàn)了時(shí)間資源的短缺，太多知識(shí)要學(xué)習(xí)了，而自習(xí)時(shí)間又很少，所以我希望在以后我可以更好的利用小塊時(shí)間，如食堂站隊(duì)，課間午休等等，不讓寶貴時(shí)間白白浪費(fèi)掉。

從其他方面講，在寢室休息方面還算不錯(cuò)，畢竟好的休息是學(xué)習(xí)的保證，正如寢室里某個(gè)標(biāo)語所說：“不會(huì)休息，就不會(huì)學(xué)習(xí)。”在紀(jì)律方面，偶爾也有走神或講話現(xiàn)象，望新學(xué)期有所改進(jìn)。

“學(xué)如逆水行舟，不進(jìn)則退”。高中是人生中很關(guān)鍵的一個(gè)階段，而我仿佛只在一眨眼間就已經(jīng)走完了它的三分之一，這讓我倍感緊張，還有兩年就是人生一個(gè)重要的轉(zhuǎn)折點(diǎn)了，我不希望自己到時(shí)候會(huì)有所遺憾，我覺得自己在這學(xué)期的學(xué)習(xí)生活之中還有許多不足之處，我會(huì)在下學(xué)期努力改進(jìn)。爭(zhēng)取有所進(jìn)步。

未來的路就在自己腳下，“既然選擇了遠(yuǎn)方，就只管風(fēng)雨兼程”，我知道學(xué)習(xí)之路并不輕松，但我會(huì)盡心盡力，為自己交上一份滿意的答卷！

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高一下期末復(fù)習(xí)資料

板塊一指對(duì)冪函數(shù)

【知識(shí)要求】

（1）指對(duì)冪運(yùn)算：指數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)運(yùn)算、指對(duì)互換。1.1對(duì)數(shù)恒等式：loga10

logaa1

alogabb

1.2對(duì)數(shù)公式：logaMlogaNlogaMNlogaMlogaNlogambnlogaM

logaNlogabnnlogabnlogabmlogablogcblogca1logbalogablogablogbclogca1（2）指對(duì)冪函數(shù)圖像：基本初等函數(shù)圖像、圖像變換。（3）指對(duì)冪函數(shù)性質(zhì)：奇偶、單調(diào)、對(duì)稱、周期�！窘�(jīng)典例題】【例1】（1）【201*湖北文03】已知函數(shù)fx。log3x,x0，則x2,x0141ff9A．4B．14C．4D．【解析】B；f2，f2191。4（2）【201*湖北文05】函數(shù)y1log0.54x3

的定義域?yàn)�。A．,1

34B．,

34C．1,D．,11,

34【解析】A；log0.54x30log0.54x3004x31（3）【201*重慶文04】函數(shù)y164x的值域是。

3x1。4A．0,B．0,4

C．0,4

D．0,4

xx【解析】C；1640416x2，

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x,24x0,164x16,0164x0,16y0,4。

【例2【】201*北京文06】給定函數(shù)①yx，②yogl其中在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減的函數(shù)的序號(hào)是

1212③yx1，

④y2x1，x1，

。

C．③④A．①②B．②③

【解析】B；根據(jù)函數(shù)圖像可得②③滿足題意。

D．①④

12【例3】【201*全國Ⅰ文10理08】設(shè)alog32，bln2，c5，則。

A．a(chǎn)bcC．cabB．bcaD．cba【解析】C；∵alog321211，bln2，log23log2e，∴ab，又log23log2e∵c51511，alog32log33，∴ca。綜上，cab。22板塊二三角比【知識(shí)要求】（1）角的定義與表示1.1任意角的定義：平面內(nèi)由一條射線繞著其端點(diǎn)從初始位置（始邊）旋轉(zhuǎn)到終止位置（終邊）所形成的圖形。（動(dòng)態(tài)的定義）1.2分類：正角、負(fù)角、零角；象限角、軸線角。1.3表示：與角終邊一致的角：|360k,kZ01.4弧度制1.4.1為什么引進(jìn)弧度制？:以實(shí)現(xiàn)角度與實(shí)數(shù)的一一對(duì)應(yīng)，為三角函數(shù)“正名”。01.4.2弧度制與角度制（六十進(jìn)制）的互換：采用比例式互換180。把弧長(zhǎng)等于半徑的弧所對(duì)的圓心角叫做1rad。圓心角l112；扇形面積Slrr。r221rad57.30057018"；100.01745rad。

（2）三角比的定義

2.1三角比的定義

①用直角三角形邊之比定義銳角三角比；．．

abab，cos，tan，cot，ccbacc正割：sec，余割：csc

basin②用終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角的三角比；．．．

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在任意角的終邊上任取一點(diǎn)P。設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為x,y，則OPrx2y2。

sinyryx2y2，cosxrxx2y2，tany。x由以上定義可得任意角在各個(gè)象限中對(duì)應(yīng)的三角比的正負(fù)：一全正、二正弦（余割）、三兩切、四余弦（正割）。③用單位圓上的有向線段定義任意角的三角比。．．．

sinMPMP，cosOMOM，tanATAT

2.2特殊角的三角比0（00）sin00（30）6120（45）4220（60）3320（90）21第3頁共37頁教師版

cos13233221120tan03不存在cot不存在31330速記口訣如下：

030456090度，正余弦及正切值。數(shù)字01234，除以4求算術(shù)根；計(jì)算結(jié)果都存在，對(duì)應(yīng)五角正弦值。數(shù)字43210，除以4求算術(shù)根；計(jì)算結(jié)果都存在，對(duì)應(yīng)五角余弦值。數(shù)字01234，數(shù)字43210，對(duì)應(yīng)相除若有商，算術(shù)根乃正切值。（3）同角三角恒等式sin2cos21tansincosk,kZ2cotcosk,kZsinktancot1,kZ2sincsc1k,kZcossec1k,kZ21cot2csc2k,kZ1tan2sec2k,kZ2【注】asinbcos、sincos、sin、cos、其一，其余的必可求解！

（4）誘導(dǎo)公式

口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限。將所需化簡(jiǎn)的角化成（5）兩角和差展開公式

sincos、以上表達(dá)式只需知cossin2k的形式，然后用口訣。

sinsincoscossinsinsincoscossincoscoscossinsin

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coscoscossinsin

tantantan

1tantan

tantantan

1tantan（6）二倍角公式

sin22sincos

cos2cos2sin22cos2112sin2

tan2半角公式2tan21tansin21cos1coscos22222sin1costank,kZ21cossin（7）輔助角公式（提攜公式）asinbcosa2b2sinsinba2b2，cosaa2b2，tanba*acosbsina2b2cosaa2b2，tansinba2b2，cosba【經(jīng)典例題】【例4】（1）若是第二象限角，那么和都不是22。A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角【解析】B；∵是第二象限角，∴第四象限角，故

D．第四象限角

是第一或三象限角，為第三象限角，∴為22和都不是第二象限角。220（2）扇形的中心角為120，則此扇形的面積與其內(nèi)切圓的面積之比為【解析】。

r2743；設(shè)扇形半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r。sin600R1r，9Rr312222R1R127432321。3r39r3第5頁共37頁教師版

∴

S扇形S內(nèi)切圓

cs【例5】（1）【201*山東明天中學(xué)】已知角的終邊過點(diǎn)P8m,6sin300，且o則m的值為

。，

45A．113B．C．

222D．

32【解析】C；∵P8m,6sin300，即P8m,3，∴cos4，∴

564m298m1，又∵cos0，yP30，∴角的終邊應(yīng)在第三象限，∴xP8m0，21∴m。2m（2）【201*重慶文06】下列關(guān)系式中正確的是。A．sin110cos100sin1680B．sin1680sin110cos100D．sin1680cos100sin110C．sin110sin1680cos100【解析】C；在單位圓中畫出sin110、cos100、sin1680分別所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)線可得sin110sin1680cos100�！纠�6】（1）【201*山東臨沂】已知sincos。1，,，則tan的值是522【解析】411；法一：∵sincos，∴12sincos，∴

52531212492，∴sincos12，又∵,，25252522127os0，∴sinc0，∴,0，∴sincos。

2552sincossincos14sincossin55tansin4。則73cos3sincoscos55cos法二：∵sin1112，∴12sincos，∴sincos，∴52525sincos12tan12212tan25tan120，∴，∴，即2222525sincos1tan第6頁共37頁教師版

tan431或tan，又∵,，sincos0，345221240，∴,，∴tan。25324。

sincos（2）【201*安徽合肥】已知sinx2cosx，則sin2x1A．

65B．

94C．53D．

53【解析】B；∵sinx2cosx，∴tanx2，∴sin2x12sin2xcos2x2sin2xcos2x2tan2x19。222sinxcosxtanx150【例7】（1）【201*全國Ⅰ02】記cos800k，那么tan100。1k2A．k1k2B．kC．k1k2D．k1k20201*00【解析】B；cos800kcos80k，則sin801k，故tan01k2sin800tan18080tan80。0cos80k00（2）【201*安徽皖北】若sin3，則cos。653C．45D．A．35B．3545【解析】33；coscossin。536526【例8】（1）已知4，則1tan1tan。

2；【解析】∵tantantantan1，∴atnatn1atnatn

1tantan4∴1tan1tan1tantantantan2。（2）已知為銳角，且cos5，則cos613。

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【解析】5312；∵為銳角，∴0,，∴sin1cos2

6266621251，∴coscos

136613312153125。coscossinsin132132266666【例9】（1）已知sin3x，則sin2x。452773【解析】；sin2xcos2x12sin2x12。2525245（2）已知sinx341，則cos4x。cosx44【解析】1131；sinxcosxsinxcosx244442441cos2x1121sin2xcos2xcos2x444422111sin2x，∴cos4x12sin22x12。222【例10】（1）【201*四川非延考理05】若02，sin3cos，則的取值范圍是。2A．43,B．,C．,D．,3233332【解析】C；sin3cossin3cos0sin032k32k，kZ2k32k4，kZ，又∵3402，∴,33（2）若3sinx。2cosx，且x0，則sinxcosx

212123第8頁共37頁教師版

。

【解析】422；3sinxcosx2sinx3121231263，

又∵

1sinx432x02，∴

4x44，∴

221cosx1sin2x1。∴sinxcosx2sinx

4434342sinx2cosx。3424板塊三三角函數(shù)【知識(shí)要求】（1）定義：一般地，形如ysinx，ycosx，ytanx的函數(shù)稱為三角函數(shù)。（2）圖像①由單位圓上的有向線段平移所得②五點(diǎn)法

（3）圖像變換

①同名函數(shù)之間進(jìn)行變換；②所有變換必須針對(duì)x或y；

③左加右減，“上正下負(fù)”。

（4）三角函數(shù)性質(zhì)：奇偶、單調(diào)、周期、對(duì)稱

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【經(jīng)典例題】

【例11】（1）作出函數(shù)y2sin2x【解析】法一：用“五點(diǎn)法”x的圖像。37123222322x3600法二：通過圖像變換繪制。由ysinx的圖像，向左平移個(gè)單位，縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)變31為原來的，橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍。2（2）【201*江蘇10】定義在區(qū)間0,y0122230上的函數(shù)y6cosx的圖像與y5tanx的圖像2的交點(diǎn)為P，過點(diǎn)P作PP1x軸于點(diǎn)P1與ysinx的圖像交于點(diǎn)P1，直線PP2，則線段P1P2的長(zhǎng)為【解析】。2；根據(jù)題意畫出函數(shù)圖像，顯然線段3P1P2的長(zhǎng)度為ysinx在P1點(diǎn)處所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。記P1P2sinx0。1點(diǎn)處的橫坐標(biāo)為x0，則P2又有6cosx05tanx0cosx05sinx0，6又因?yàn)?2，所以sixn0cox0s1532sixnsixn1sixn（舍）或000622sinx0。

3【例12】（1）【201*天津文08】右圖是函數(shù)

5yAsinxxR在區(qū)間,上的圖像，為

66了得到這個(gè)函數(shù)的圖像，只要將ysinxxR的圖像上所有的點(diǎn)(A)向左平移

。

1個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變

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個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變31(C)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變

26(D)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變

6(B)向左平移

【解析】A；由圖像可知函數(shù)的周期為，振幅為1，所以函數(shù)的表達(dá)式可以是

ysin2x。代入,1可得的一個(gè)值為，故函數(shù)的一個(gè)表達(dá)式為

312ysin2x，所以只需將ysinxxR的圖像上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，33再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的1倍，縱坐標(biāo)不變。2（2）【201*天津理08】要得到y(tǒng)2cosx的圖像，只需將函數(shù)y2sin2x的圖像4上所有的點(diǎn)的。1倍（縱坐標(biāo)不變）,再向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度281B、橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度24A、橫坐標(biāo)縮短到原來的個(gè)單位長(zhǎng)度4D、橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度8C、橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平行移動(dòng)【解析】C；ycosx的周期是y2sin2x的周期的2倍，從周期的變化上知4道橫坐標(biāo)應(yīng)該伸長(zhǎng)。排除A、B。y2sin2x的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)2倍后變成了

4y12sinx，將y2cosx化成正弦形式為y22sinx，根據(jù)口訣“左加

42右減”得y2由y1向右移動(dòng)

。4【例13】（1）【201*重慶理06】已知函數(shù)

ysinx(0,則

。

2)的部分圖像如圖所示，

A．16

B．16

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C．266712T2，所以fxsin2x，又因?yàn)椤窘馕觥緿；

1234

D．2

2f1，所以sin1。

6233（2）【201*浙江理08】已知a是實(shí)數(shù)，則函數(shù)fx1asinax的圖像不可能是．．．。

T【解析】D；D選項(xiàng)：22a1，而由圖像的振幅可得a1兩者相互矛盾。a【例14】（1【）201*浙江理11】函數(shù)f(x)sin(2x【解析】；4)22sin2x的最小正周期是______。

fx2222sin2xcos2x2cos2x2sin2xcos2x22222sin2x2，故最小正周期為。42（2）【201*北京理15改編】函數(shù)fx2cos2xsinx4cosx的最大值為______，最小值為______。

7222；f(x)2(2cosx1)(1cosx)4cosx3cosx4cosx13273(cosx)2，xR。因?yàn)閏osx[1,1]，所以，當(dāng)cosx1時(shí)，f(x)取最大

3327值6；當(dāng)cosx時(shí)，f(x)取最小值。

33【解析】6，（3）【自編】函數(shù)ysinxcosxsinxcosx，x5,126的值域?yàn)開_____。第12頁共37頁教師版

【解析】,1；令tsinxcosx8152sinx，當(dāng)x,4126時(shí)，x427,2。,，則t26121t2又有t12sinxcosxsinxcosx，

221t211122yt2tt11，當(dāng)t則原函數(shù)可化為yt,2222221122時(shí)，y,1，故函數(shù)的值域?yàn)?1。4242【例15】（1）【自編】已知函數(shù)fxsin2x2sin2x，xR（）求函數(shù)的值域；（）求函數(shù)的最小正周期；（）求函數(shù)的單調(diào)性；（）求函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心；【解析】fxsin2x2sin2xsin2xcos2x12sin2x14（）xR，2x4R，sin2x1,1，fx21,21，即值4域?yàn)?1,21。（）T2，即最小正周期為。2（）函數(shù)的增區(qū)間為2x32k,2kxk,k42288函數(shù)的減區(qū)間為2x352k,2kxk,k422882sin2x單調(diào)遞減的是______。

4C．【注】在下列區(qū)間內(nèi)函數(shù)yA．,44

B．0,2,88

D．3,24【解析】C；此題的函數(shù)為復(fù)合函數(shù)，在考查單調(diào)性時(shí)嚴(yán)格采用“同增異減”的口訣。特

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別需要注意函數(shù)的復(fù)合形式。令t42x，usint，y2u，可見函數(shù)t42x單調(diào)遞減，y2u單調(diào)遞增，

則要求整個(gè)函數(shù)的減區(qū)間，只要usint單調(diào)遞增即可。所以t2k2,2k2，

即

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ysin2xsin2xcos2xsin2xcos2xsin2x，

44442所以函數(shù)為奇函數(shù)。

【例16】（1）【201*天津文21】已知函數(shù)f(x)sin(x)(0,0)是R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于點(diǎn)M(3,0)對(duì)稱，且在區(qū)間[0,]上是單調(diào)函數(shù)。求和的值。42【解析】函數(shù)fx是R上的偶函數(shù)，∴f01，即sin1，又0，則2；函數(shù)關(guān)于點(diǎn)M(333,0)對(duì)稱，∴f0sin04244函數(shù)cos4k233，kZ；0k33424T2，又0，∴2；在區(qū)間[0,]上是單調(diào)函數(shù)，∴222綜上，2，2或2，經(jīng)檢驗(yàn)以上兩組答案均滿足題意。3【注】此題為逆向問題，告訴三角函數(shù)yAsinx的相關(guān)性質(zhì)，求解參量。對(duì)于此類問題總結(jié)如下：1、已知fx0M直接代入；2、已知奇偶性：3、已知對(duì)稱軸對(duì)稱：關(guān)于xx0軸對(duì)稱fx0A或fx00fx00在同一周期內(nèi)fafbf奇函數(shù)(1)f00;(2)fx0fx0偶函數(shù)(1)f0A;(2)fx0fx0abA

2中心對(duì)稱：關(guān)于點(diǎn)x0,0中心對(duì)稱fx00或fx00fx00

在同一周期內(nèi)fafbfab0

24、已知周期TT02T0

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5、已知單調(diào)特性T

6、已知最值或最值分布情況振幅或周期

提醒：因?yàn)橐陨辖Y(jié)論均非充要條件，故解完此類問題，需代回原函數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)。（2）【201*遼寧理16】已知f(x)sin(x)(0),f()f()，且f(x)在區(qū)間

363(,)有最小值，無最大值，則＝__________。

63【解析】

14；因?yàn)?f6f，且f(x)在區(qū)間(,)有最小值，無最大值，所以

63310f1sin12k8k，kZ；

4323344進(jìn)一步挖掘函數(shù)f(x)在區(qū)間(T2,)有最小值，無最大值，有，又因?yàn)?32630，所以6；綜上，14。經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意。3板塊四反函數(shù)【知識(shí)要求】1.1定義：若函數(shù)yfx的定義域?yàn)锳，值域?yàn)锽，對(duì)于B中每一個(gè)元素y0在A中有唯一確定的元素x0與之對(duì)應(yīng)，則函數(shù)yfx存在反函數(shù)，即為yf1x，否則不存在反函數(shù)。1.2存在反函數(shù)的前提條件：一一映射。1.3求反函數(shù)的步驟：①求值域；②反解；③互換1.4互為反函數(shù)的兩函數(shù)的性質(zhì)：①奇偶性：原函數(shù)奇函數(shù)，反函數(shù)奇函數(shù)；原函數(shù)偶函數(shù)，反函數(shù)一般情況下不存在，但若為單點(diǎn)函數(shù)可存在反函數(shù)。②單調(diào)性：原函數(shù)在某一區(qū)間上的增減性與反函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上的增減性一致。③原函數(shù)與反函數(shù)關(guān)于直線yx對(duì)稱。1.5反三角：

xarccosx①反三角公式：arcsinxarcsinx，arccosxarctanx，arccotxarccotxarctanarcsinxarccosxarctanxarccotx2

sinarcsinxcosarccosxtanarctanxcotarccotxx

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當(dāng)x,時(shí)，arcsinsinxx22

cosxx當(dāng)x0,時(shí)，arccos當(dāng)x0,時(shí)，arccotcotxx

當(dāng)xtanxx,時(shí)，arctan22定義y=arcsinx定義域

②反三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)名稱值域圖像y2反正弦函數(shù)(y=sinx,x[-,]22的反函數(shù))[-1,1][-,]22-1xO21反余弦函數(shù)y=arccosx(y=cosx,x[0,]的反函數(shù))[-1,1][0,]-1y2xO1y=arctanx反正切函數(shù)(y=tanx,x(-的反函數(shù))y2,)22(-,+)(-,)22xO2【經(jīng)典例題】【例17】（1）函數(shù)yx22xx0的反函數(shù)為2�！窘馕觥縡1x1x1，0,；yx22xx11，當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?,�！鄕1y1，則x1y1，∴反函數(shù)為f1x1x1，

x0,。exex（2）【1992全國理】函數(shù)y的反函數(shù)為2A．奇函數(shù)，且在0,單調(diào)遞減

。

B．偶函數(shù)，且在0,單調(diào)遞D．偶函數(shù)，且在0,單調(diào)遞增

C．奇函數(shù)，且在0,單調(diào)遞增

exexfx，故原【解析】C；原函數(shù)定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且有fx2第17頁共37頁教師版

函數(shù)為奇函數(shù)，∴反函數(shù)也為奇函數(shù)。∵函數(shù)yex在0,單調(diào)遞增，函數(shù)yex在

exex0,單調(diào)遞減，∴函數(shù)y在在0,單調(diào)遞增，∴反函數(shù)在0,上也單

2調(diào)遞增。

（3）【201*全國理15】已知函數(shù)yfx是奇函數(shù)。當(dāng)x0時(shí)，fx3x1，設(shè)fx的反函數(shù)是ygx，則g8

。

【解析】2；原函數(shù)為奇函數(shù)，則反函數(shù)也為奇函數(shù)，故g8g8，令3x18，解得x2，∴g82。sinx【例18（】1）【201*上海第三女子中學(xué)高一下期末試題13】已知：則x等于。13，x,，32A．a(chǎn)rcsin【解析】B；13B．a(chǎn)rcsin131C．a(chǎn)rcsin3D．2arcsin13（2）【201*上海南模中學(xué)高一下期末試題05】若x范圍是【解析】。2,，則arcsincosx的取值3321,；∵x,，∴cosx,1，根據(jù)yarcsinx的圖像可33622,。62得arcsincosx板塊五解三角【知識(shí)要求】（1）解三角工具

1.1解三角問題：a、b、c、A、B、C、l、S，已知部分量，求解其它量的問題1.2解三角工具

①ABC，abcl②S111ahabsinCrl222abcr為內(nèi)切圓半徑，p2ppapbpc

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abc2R，R為外接圓半徑sinAsinBsinC變形：1）a:b:csinA:sinB:sinC

ab2cabc2R2）

sinAsinB2sinCsinAsinBsinC③正弦定理：

適用情況：1）兩角一邊；2）兩邊一對(duì)角

a2c2b2b2c2a2a2b2c2④余弦定理：cosA，cosB，cosC

2bc2ab2ac變形：a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC適用情況：1）三邊；2）兩邊一夾角⑤三角形內(nèi)的誘導(dǎo)公式sinABsinC，cosABcosC，tanABtanCsinABCABCABCABCcos，cossin，tancot，cottan22222222⑥三角形內(nèi)的不等關(guān)系：1）大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊；2）三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；3）0A，0AB；4）銳角三角形任一角的余弦值大于0；鈍角三角形最大角的余弦值小于0；AAA2cosA0a2b2c2；cosA0a2b2c2；cosA0a2b2c2；225）ABCab.csinAsinBsinCcosAcosBcosC；BC中，給定A、B的正弦或余弦值，則C有解的充要條件為cosAcosB0。6）在A（2）解三角思想2.1a、b、c、A、B、C、l、S，8個(gè)量其中知三，必可求其余量（三角除外）；2.2邊角，角邊【經(jīng)典例題】【例19】（1）【201*山東文15理15】在ABC中，角A、B、C對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、

c，若a2，b2，sinBcosB2，則角A的大小為【解析】；∵nis。

6∴sinB1，又∵B0,，BcosB2nisB2，

44ab521，∴sinA又∵A0,，∴A或sinB，sinAsinB6622∴B4。又∵

（舍）

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（2）【201*湖南文14】在銳角ABC中，BC1，B2A，則，AC的取值范圍為。

AC的值等于cosA【解析】2；

BCACACAC，∵sinAsinBsin2A2sinAcosA02AAC22。又∵銳角ABC，∴A0,，∴sinA0，∴

cosA203A22,3；由正弦定理可得

6A4，∴AC2cosA2,3。

（3）在ABC中，下列結(jié)論：①若a2b2c2，則此三角形為鈍角三角形；②若sinC2cosAsinB，則此三角形為等腰三角形；③若AB，則sinAsinB；④cosAcosB0，其中正確的個(gè)數(shù)為。A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)b2c2a20，故此三角形為鈍角三角形，①正確；【解析】D；cosA2bcsinC2cosAsinBsinAB2cosAsinBsinAcosBcosAsinB0sinAB0，又∵AB,，∴AB，故②正確；∵AB，∴ab，

又∵ab，∴sinAsinB，故③正確；∵AB，即0AB，sinAsinB∴cosAcosB，即cosAcosB0，故④正確。【例20】（1）【201*浙江文14理13】在ABC中，角A、B、C對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、

c，若3bccosAacosC，則cosA【解析】。3；法一：33bccosAacosC3sinBsinCcosAsinAcosC

3。33sinBcosAsinAcosCcosAsinCsinACsinBcosA法二：

3bccosAacosCb2c2a2a2b2c23bca

2bc2ab2bcb2c2a232bc3bca，則cosA。

2bc2bc33222第20頁共37頁教師版

（2）【201*江蘇13】在銳角ABC中，角A、B、C對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，若

batanCtanC6cosC，則的值是abtanAtanB。

baa2b2c2ba3222【解析】4；∵6cosC，∴6，則abc。

ab2ab2abtanCtanCsinCcosAcosBsinCsinBcosAcosBsinAc2tanAtanBcosCsinAsinBcosCsinAsinBabcosC6c26c26c224。23baabc2ab2ab【例21】【201*陜西理17】如圖，A，B是海面上位于東西方向相距533海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東450，B點(diǎn)北偏西600的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西600且與B點(diǎn)相距203海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？【解析】ADB4506001050，sinADBsin1050sin450cos600cos450sin600264又∵ABsinDACABBD，∴BDsinADBsinDACsinADB53326422103（海里），

222∴CDBCBD2BCBDcosCBD2031032203103cos600900，∴CD30（海里），∴時(shí)間t22301（小時(shí)）。答：救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí)。30板塊六方程

【知識(shí)要求】（1）“8”字環(huán)思想【經(jīng)典例題】

【例22】【201*閘北高一下期末考試】已知函數(shù)f(x)sin2xcos2x1。

2cosx第21頁共37頁教師版

（1）求方程f(x)0的所有解；（2）若方程f(x)a在x[0,32sinxcosx2cos2xsinxcosx(cosx0)【解析】（1）f(x)2cosx由題意，有f(x)（2）當(dāng)x[0,]范圍內(nèi)有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

2sin(x4)0，得xk4(kZ)。

3]時(shí)，方程asinxcosx2sin(x2sin(x4)有兩個(gè)不同解，

等價(jià)于函數(shù)ya與y)（x[0,]）的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。4331,2由函數(shù)y2sin(x)的圖像性質(zhì)得a。42x【例23】（1【）201*浙江文09】已知x0是函數(shù)fx21的一個(gè)零點(diǎn)。若x11,x0，1xx2x0,，則。A．fx10，fx20B．fx10，fx20D．fx10，fx20C．fx10，fx20【解析】B；fx02x011根據(jù)圖像可得x01，當(dāng)x11,x002x01x0x01冪函數(shù)圖像在指數(shù)函數(shù)圖像上方，故fx10；當(dāng)x2x0,指數(shù)函數(shù)圖像在冪函數(shù)圖像上方，故fx20。（2）【201*上海文17】若x0是方程lgxx2的解，則x0屬于區(qū)間。A．0,1B．1,1.25D．1.75,2

C．1.25,1.75

【解析】C；令gxlgx，hxx2，

g1.75g4100.25，

h1.750.25，則

g1.75h1.75，所以兩圖像的交點(diǎn)位于1.25,1.75之間。

板塊七數(shù)列通論

【知識(shí)要求】

1.1定義

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1）定義：按照一定次序排列起來的一列數(shù)。

【注】數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎�整�?shù)集N（或它的有限子集1,2,3,,n）的特殊函數(shù)。2）通項(xiàng)公式：數(shù)列的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系。即anfn，nN*。3）前n項(xiàng)和：Snai1ni。前n項(xiàng)和也可寫成關(guān)于n的函數(shù)，即Snfn，nN*。

4）遞推公式：已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且從第二項(xiàng)（或某一項(xiàng)）開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，此公式即為遞推公式�！咀ⅰ客�項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和以及遞推公式（包括第1項(xiàng)或前幾項(xiàng)）都是給出數(shù)列的方式。1.2表示1）列舉；2）解析（通項(xiàng)、前n項(xiàng)和、遞推三種形式）；3）圖象（孤立的點(diǎn)（離散的點(diǎn)））；1.3分類1）有窮數(shù)列、無窮數(shù)列；2）遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列、常數(shù)列；3）有界數(shù)列、無界數(shù)列。1.4等差數(shù)列1）定義：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列。即anan1dnN*,n2。【注】證明等差數(shù)列的兩種方法：①anan1dnN*,n2；②an1ananan1nN,n2。2）通項(xiàng)公式：ana1n1d，nN（累加）**3）前n項(xiàng)和：Snna1annn1na1d，nN*（倒序相加）224）a1、an、n、d、Sn中知三求二。1.5等比數(shù)列1）定義：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列。即

anqan1q0,nN①

*,n2

【注】證明等比數(shù)列的兩種方法：

anaaqq0,nN*,n2；②n1nnN*,n2。an1anan1*2）通項(xiàng)公式：ana1qn1，nN（累乘）

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,q1na1aanqn3）前n項(xiàng)和：Sna11q，當(dāng)q1時(shí)，也可寫成Sn1（錯(cuò)位相減）

,q11q1q4）a1、an、n、q、Sn中知三求二。1.6用函數(shù)觀點(diǎn)來分析等差、等比

1）等差：andna1d（一次型函數(shù)），

Snd2na1dn（沒有常數(shù)項(xiàng)的二次型函數(shù)）22）等比：ana1n，q（指數(shù)型函數(shù)）q,q1na1a1qn（分段函數(shù)，分別為一次型和指數(shù)型函數(shù)）Sna1,q11q1q1.7等差數(shù)列性質(zhì)1）anamnmd【拓展】danamnm2）等差中項(xiàng)：2anan1an1【拓展】①當(dāng)ijpq時(shí)，有aiajapaq；【注】等差數(shù)列an，若aiajapaq，則ijpq不一定成立。②S2n12n1an3）衍生等差數(shù)列：①anC為等差數(shù)列，公差d；②anbn為等差數(shù)列，公差d1d2；

③akmp（其中m為間距，ap為起始項(xiàng)，kN）為等差數(shù)列，即等距項(xiàng)為等差數(shù)列，公差md；

2④Sm，S2mSm，S3mS2m，S4mS3m，為等差數(shù)列，公差md；

【注】anS2n1"bnS2n1⑤dSn為等差數(shù)列，公差；2n第24頁共37頁教師版

⑥其它：

1）項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n1的等差數(shù)列an，有：S奇S偶an，

S奇S偶n；n1項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列an，有：S奇S偶nd，

S奇S偶an；an12）等差數(shù)列an中，若ann，ammmn，則amnmn；

等差數(shù)列an中，若anm，amnmn，則amn0；等差數(shù)列an中，若Snm，Smnmn，則Smnmn；等差數(shù)列an中，若amanmn，則amanmn，amnmn；等差數(shù)列an中，若SmSnmn，則SmSnmnd，Smn0。1.8等比數(shù)列性質(zhì)1）anamqnm2【拓展】qnmanam2）等比中項(xiàng)：anan1an1【拓展】①當(dāng)ijpq時(shí)，有aiajapaq；【注】等比數(shù)列an，若aiajapaq，則ijpq不一定成立。②

aaini12n12n13）衍生等比數(shù)列：①對(duì)任意非零實(shí)數(shù)，an為等比數(shù)列，公比為q；anq1②anbn為等比數(shù)列，公比為q1q2；為等比數(shù)列，公比為；

q2bn③Sm，S2mSm，S3mS2m，S4mS3m，依然成等比數(shù)列，公比為q。

*【注】若an1，nN，則S2，S4S2，S6S4，就不成等比數(shù)列。

mn【經(jīng)典例題】

*【例24】（1）【201*北京理06】已知數(shù)列an對(duì)任意p、qN滿足apqapaq，且

a26，那么a10等于。

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A．165B．33C．30D．21

【解析】C；法一：a10a2a82a2a65a25630。

法二：令q2，則ap2apa26，故數(shù)列的所有偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，所以a10a24630。

（2）數(shù)列an滿足：an1。12a,0ann2，若a6，則數(shù)列的第201*項(xiàng)為1172an1,an123653651；∵a1，∴a22，a321，

77777763a42a3�！鄶�(shù)列an的周期為3，a201*a3。77nnN*，則在數(shù)列an中最大項(xiàng)為【例25】（1）已知an2。n156【解析】【解析】n1；an225n1561156156x0，則當(dāng)x，令fxx時(shí)，156xxnn156*，nNn1。25*函數(shù)fx取最小值。而nN，則當(dāng)n12或13或其中之一時(shí)，fnn取得最小值，f1225，f1325，所以當(dāng)n12或13時(shí)，有anmax（2）已知數(shù)列an中，ann2nnN圍為。*，且a是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范n*【解析】3；法一：∵an是遞增數(shù)列，∴對(duì)任意的nN，有an1an，即n12n1n2n2n1，令fn2n1，則fnmax，又∵*當(dāng)nN時(shí)，fnmaxf13，∴3。

法二：ann2nn，則其圖象為拋物線上離散的點(diǎn)。又∵an是遞增

2433，即3。22231【例26】（1）已知等比數(shù)列an中，a3，S34，則a1223【解析】或6；

2數(shù)列，∴只要對(duì)稱軸小于

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22。

（2）已知9，a1，1成等差數(shù)列，9，b1，b2，b3，1成等比數(shù)列，則a1b2。【解析】15；

（3）已知數(shù)列an的通項(xiàng)為an112n，nN*，數(shù)列bn的每一項(xiàng)都有bnan，則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn。

10nn2n5,nN*【解析】Sn2*n10n50n6,nN令an112n0n5.5，所以當(dāng)n5時(shí)，an0，所以此時(shí)

Sn9112nn10nn22；當(dāng)n6時(shí)，an0，所以此時(shí)

Sna1a2a5a6a7ana1a2an2a1a2a510nn2n5,nN*綜上，Sn210nn25025n10n50。*n10n50n6,nN22（4）【201*北京理07】設(shè)fn2242721023n10nN，則fn等于。2A．(8n1)72B．(8n11)7C．2n3817D．2n481721842841；【解析】D；法一：賦值。令n0，則f02227184102823n102n4218n4281；法三：fn8n41法二：fn771818【例27】（1）【201*全國Ⅰ文14理14】設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S972，則a2a4a9�！窘馕觥�24；S99a572a58，a2a4a9a1a5a93a524。（2）【201*遼寧理06】設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若。

S6S3，則9S3S6A．2B．

738C．

3D．3

【解析】B；由等比數(shù)列性質(zhì)：S3、S6S3、S9S6仍成等比數(shù)列，又因?yàn)镾63S3，

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所以S97S3，則

S97。S63Sn3n1a，則8Tn2n3b8（3）等差數(shù)列an、bn的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn，且。

【解析】

aSaS315144；∵等差數(shù)列an、bn，∴n2n1，則815。3bnT2n1b8T1521533（4）【201*廣東四校聯(lián)考】等比數(shù)列an的公比為q，其前n項(xiàng)的積為Tn，并且滿足條件a11，a99a10010，①0q1；②a99a10110；a9910，給出下列結(jié)論：a1001③T100的值是Tn中最大的；④使Tn1成立的最大自然數(shù)n等于198。其中正確的結(jié)論是�！窘馕觥竣佗冖埽弧遖99a10010，即a99a10010，∴a99與a100同號(hào)，即q0，又∵

a991a10且a11，∴0q1（可用反證法）0，故①正確；∵99a1001a10012a991a10010a991且a1001，a99a101a1001，則a99a10110故②正確；∵a991且a1001，故Tn中最大的是T99，故③錯(cuò)誤；∵T198a99a100991，

T199a1001991，故④正確。

板塊八通項(xiàng)、前n項(xiàng)和、遞推公式之間的推導(dǎo)

【知識(shí)要求】

數(shù)列中的核心問題：

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1.1anSn通法：Snai1ni

（1）公式求和：①

AP：Snna1annn1na1d

22na1,q1n②GP：Sna11q,q11q③123nnn12nn12n1122232n26nn1132333n322（2）裂項(xiàng)相消①分式：1111nnppnnp1AnBAnC111CBAnBAnC1111nn1n22nn1n1n2②根式：1nnp1pnpn③對(duì)數(shù)：lgnplgnplgnnn④指數(shù)：aqaqnqn11q⑤其它：nn!n1!n!

r1rrCn1CnCn1

1111n1!nn!n1!（3）錯(cuò)位相減

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錯(cuò)位相減用于差比數(shù)列（AnBqn）求和；（4）倒序相加主要用在類似于fx555x（與指數(shù)相關(guān)函數(shù)，其中fxf1x定值）以及組

合數(shù)問題上；（5）分組求和

通項(xiàng)由多成分構(gòu)成，可單獨(dú)求和再相加。

【注】在選用方法時(shí)，可按公式、錯(cuò)位相減、倒序相加、裂項(xiàng)的次序選擇。1.2SnanS1,n1通法：anSS,n2n1n1.3遞推關(guān)系式an、Sn（1）遞推關(guān)系式的形式遞推關(guān)系式的三種形式：①只含an；②只含Sn；③同時(shí)含有an和Sn將第三種情況向第一種或第二種轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化的工具：采用anS1,n1SnSn1,n2，可以消an，也可消Sn。但無論采用哪種都需要分類討論。方法的選擇取決于以下兩點(diǎn)：①誰比較好消；②問題求什么。前者作為主導(dǎo)因素。(2)遞推an、Sn①累加法遇到anan1fn；anan1fn；anfnan1gn用累加法。②累乘法遇到anafnfn（n）；anfnan1；fnangnan1用累乘法。an1an1gn③構(gòu)造熟悉數(shù)列▲公式法

1）anban1fn

n當(dāng)b1時(shí)，用累加；當(dāng)b1時(shí)，采用待定系數(shù)法或兩邊同除以b求解。

?當(dāng)b1時(shí)，用待定系數(shù)法或兩邊同除以b。

2）非線性問題

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）ancan1問題，可考慮兩邊取對(duì)數(shù)。

）anpan1或Aanan1BanCan10，可考慮取倒數(shù)或兩邊同除以anan1。

ran1s3）多項(xiàng)遞推問題

）an1panqan1問題，可考慮采用特征方程，但在高考中試題往往有所提示。）無窮多項(xiàng)遞推，可多些一項(xiàng)或少寫一項(xiàng)，然后作差或作商。④數(shù)學(xué)歸納法【經(jīng)典例題】

【例28】【201*山東理18】已知等差數(shù)列an滿足：a37，a5a726。an的前n項(xiàng)和為Sn。（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn1*，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn。nN2an1【解析】（Ⅰ）∵a37，a5a726，∴a12d7a31，∴an2n1，

2a110d26d2nN*；Snnn2，nN*。（Ⅱ）an12n114nn1，∴bn2212an1111，故4nn1Tn11111111n，即數(shù)列bn的前n項(xiàng)114223nn14n14n1和Tnn*，nN。4n1【例29】【201*全國新課標(biāo)理17】設(shè)數(shù)列an滿足a12，an1an322n1。（Ⅰ）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）令bnnan，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn。

【解析】（Ⅰ）當(dāng)n1時(shí)，an1an1ananan1a2a1a1

322n122n32222n11，而a12，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為

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an22n1，nN*。

（Ⅱ）由bnnann22n1，得Sn12223325n22n1①，從而

4Sn123225327n122n1n22n1②

由①②得3Sn2232522n1n22n1，所以Sn13n122n12，nN*。9【例30】（1）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Snn22，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為。

【解析】an3,n12n1,n2*（2）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn32n，nN。求an�！窘馕觥慨�(dāng)n2時(shí)，anSnSn132n32n12n1；當(dāng)n1時(shí)，a1S155,n1不滿足前式。所以綜上，ann12,n2【例31】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，其中a13，SnSn12ann2,nN*，求an�！窘馕觥慨�(dāng)n2時(shí)，SnSn12anSnSn12SnSn1，兩邊同時(shí)除以2SnSn1，可得1111111，所以數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，首項(xiàng)為，2SnSn12S13Sn611115，則anSnSn1n1n，即Sn3n5Sn3226所以6618，顯然當(dāng)n1時(shí)，不滿足上式。綜上，

3n53n83n53n83,n118an,n23n53n8【例32】已知數(shù)列an中，a11，nann1an1，求an�！窘馕觥俊遪ann1an1，∴當(dāng)n2時(shí)，

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ann1，則an1n

ananan1a2n1n211a11，顯然，a11也滿足上式。綜上，通an1an2a1nn12n1，nN*。n項(xiàng)an【例33】（1）已知數(shù)列an中，a11，an12an1，nN*。求數(shù)列的通項(xiàng)an。（2）已知數(shù)列an中，a12，an12ann3，nN*。求數(shù)列的通項(xiàng)an。（3）已知數(shù)列an中，a12，an12an3n1，nN*。求數(shù)列的通項(xiàng)an。（4）已知數(shù)列an中，a11，an12an2n1，nN*。求數(shù)列的通項(xiàng)an�！窘馕觥浚�1）法一：當(dāng)n2時(shí)，設(shè)an2an1，則an2an1，an2an11�？傻�1。即an2an11an12an11。令bnan1，則bn2bn1，

b1a112，∴bn2n，則an2n1，顯然a11也滿足上式�！嗑C上，an2n1，

nN*。anaan11nb法二：當(dāng)n2時(shí)，an2an11，兩邊同時(shí)除以2，則n。令，nnnn12222a11則bnbn1，b11�！郻nbnbn1bn1bn2b2b1b1

222nn1122nn11122211122112nn11，∴a2nb2n1，

nn2*顯然a11也滿足上式。∴綜上，an2n1，nN。（2）當(dāng)n2時(shí)，an2an1n4。設(shè)anAnB2an1An1B，則

an2an1AnB2A，可得

A1，

B2A4B2。∴

令bnann2，則bn2bn1，b1a1121，ann22an1n12，

∴bn2n1，則an2n1n2，顯然a12也滿足上式�！嗑C上，an2n1n2，

nN*。

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【注】此題也可兩邊同除以2求解，但相對(duì)計(jì)算量要大一些。

（3）法一：當(dāng)n2時(shí)，an2an13n2。設(shè)anABn2an1ABn1，則

nan2an12ABAB2Bn2，可得B3，2ABAB21A1，∴3111an3n2an13n1，令bnan3n，則bn2bn1，b1a111，∴

333則an2n13n1，顯然a12也滿足上式�！嗑C上，nN*。bn2n1，an2n13n1，法二：兩邊同除以2n1aan1an13n13可得n1nn，令bnn，則bb，n1nn6222262nb1a11，∴bn1bn1bnbnbn1b2b1b12n331nn1213331213626221213則bn22n1n1311，2221，n2，∴an2n13n1，n22*顯然a12也滿足上式�！嗑C上，an2n13n1，nN。（4）兩邊同除以2n1可得anan1ana111bb，，令，則，bb1n1n1n222n12n2n11，n2，∴ann2n，n2。22∴bnb1n11n顯然a11也滿足上式。∴綜上，ann1n*2，nN。2*2【例44】（1）已知數(shù)列an中a110，an110an，nN。求數(shù)列的通項(xiàng)an。

2【解析】根據(jù)題意可知數(shù)列an中每一項(xiàng)均為正數(shù)，則lgan1lg10an，即

lgan12lgan1，∴l(xiāng)gan112lgan1，∴l(xiāng)gan1lga112n12n，

n2。則an102n1，n2。顯然a110也滿足上式。綜上，通項(xiàng)an102n1，nN。

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（2）已知數(shù)列an中a11，an12an，nN*。求數(shù)列的通項(xiàng)an。

2ana2111n，即an12anan2【解析】法一：對(duì)遞推關(guān)系式兩邊同時(shí)取倒數(shù)，可得

1an11111111∴數(shù)列為等差數(shù)列。，n1d1n1n1。

ana122an2an2，nN*。n1則anan1法二：2an111兩邊同除以an1an，可得an1an2an12an0，，

2anan1an2接下來解析同上。【例45】（1）已知數(shù)列a11，a25，且an14an4an1(n2)，求通項(xiàng)公式an�！窘馕觥吭O(shè)an1tans(antan1)，∴an1(st)anstan1st4s2令可得st4t2于是an12an2(an2an1)22(an12an2)2∴n1(a22a1)32n1，

an1an3a113an，即是以為首項(xiàng)、為公差的等差數(shù)列，n1422n12n422an13*(n1)，從而an(3n1)2n2，nN。n242111a12a2nan52nnN，求數(shù)列的通項(xiàng)公式an和222∴（2）數(shù)列an滿足前n項(xiàng)和Sn�！�

解析】∵

111a12a2n1an1222111a12a2nan52nnN，∴2221n1n2；52n1，兩式作差可得nan2an2，

214,n11當(dāng)n1時(shí)，a17a114顯然不滿足上式�！郺nn1。當(dāng)n2時(shí)，

22,n2Sn1422234n1812n1142n26；當(dāng)n1時(shí)，S1a114，

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顯然也滿足上式，∴綜上，Sn2n26，nN*。

【例46】【201*全國Ⅱ理22】設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2anxan0有一根為Sn1，n1,2,3,（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）求an的通項(xiàng)公式。

【解析】（Ⅰ）當(dāng)n1時(shí)，x2a1xa10有一根為S11a11，則

a112a1a11a10，解得a11；2當(dāng)n2時(shí)，x2a2xa20有一根為S21a1a21a21，則2111a2a2a2a20，解得a2。6222（Ⅱ）有題設(shè)Sn1anSn1an0，即Sn2Sn1anSn0。222當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1代入上式可得Sn2Sn1SnSnSn10，進(jìn)而

1112S2a1a2，22633n*S3S22S310S3，∴猜測(cè)Sn，nN。4n1當(dāng)n1時(shí)，命題顯然成立；k*假設(shè)當(dāng)nk，kN時(shí)，命題也成立。即Sk。k1SnSn12Sn10，∵S1a1，

當(dāng)nk1時(shí)，由SnSn12Sn10得Sk1Sk2Sk10Sk11Sk21k2k1k1k1，也滿足命題。k2k11綜上Snn*，nN。n1∴當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1當(dāng)n1時(shí)，a1nn11；n1nnn11顯然也滿足上通項(xiàng)。2第36頁共37頁教師版

∴綜上，an1，nN*。

nn1【例47】【201*安徽理20】設(shè)數(shù)列a1，a2，，an，中的每一項(xiàng)都不為0。

證明：an為等差數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任何nN*，都有

111n。a1a2a2a3anan1a1an1【解析】必要性證明：

①當(dāng)公差d0時(shí)，ana1為常數(shù)列，111n顯然成立。a1a2a2a3anan1a1an1②當(dāng)公差d0時(shí)，an1an1111a2a1a3a2a1a2a2a3anan1da2a3anan1a1a211111111111ndnda1a2a2a3anan1da1an1da1an1a1an1111n111n1，∴，兩式a1a2a2a3anan1a1an1a1a2a2a3an1an2a1an21n1n，化簡(jiǎn)得a1n1an1nan2。同理可得，an1an2a1an2a1an1充分性證明：∵作差可得a1nann1an1，兩式作差可得2nan1nannan2，即an1anan2an1，

∴數(shù)列an是等差數(shù)列。【注】充分性的證明也可采用數(shù)學(xué)歸納法。

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