高中三年數(shù)學(xué)公式總結(jié)

高中三年數(shù)學(xué)公式總結(jié)

1.二次函數(shù)

(1)一般式f(x)ax2bxc(a0);對(duì)稱軸x=b2.；b4ac0.2a2充要條件

（1）充分條件：若pq，則p是q充分條件.

（2）必要條件：若qp，則p是q必要條件.

（3）充要條件：若pq，且qp，則p是q充要條件.

注：原命題：若ｐ則ｑ.其否命題：非ｐ則非ｑ。其否定題：ｐ則非ｑ3.函數(shù)的單調(diào)性

(定義法)(1)設(shè)x1x2a,b,x1x2那么

f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函數(shù)；

x1x2f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是減函數(shù).(定義法)

x1x2導(dǎo)數(shù)法(2)設(shè)函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f(x)0，則f(x)為增函數(shù)；如果f(x)0，則f(x)為減函數(shù).

4.如果函數(shù)f(x)和g(x)都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)f(x)g(x)也是減函數(shù);如果函數(shù)yf(u)和ug(x)在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)yf[g(x)]是增函數(shù).

5．奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;反過來，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)．

6對(duì)于函數(shù)yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,則函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸是

abab;兩個(gè)函數(shù)yf(xa)與yf(bx)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱.22a.若f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱;若

2f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)為周期為2a的周期函數(shù).

(1)函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱f(ax)f(ax)f(2ax)f(x).

ab(2)函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱f(amx)f(bmx)

2f(abmx)f(mx).

7.若將函數(shù)yf(x)的圖象右移a、上移b個(gè)單位，得到函數(shù)yf(xa)b的圖象；若將曲線f(x,y)0的圖象右移a、上移b個(gè)單位，得到曲線f(xa,yb)0的圖象.

函數(shù)x8．互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系

f(a)bf1(b)a

30.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)a(2)amn1nmnam1mn（a0,m,nN，且n1）.（a0,m,nN，且n1）.

a（3）(na)na.

9指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式

logaNbabN(a0,a1,N0).

10.對(duì)數(shù)的換底公式

logmN(a0,且a1,m0,且m1,N0).

logmann推論logamblogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).

mlogaN.

11平均增長(zhǎng)率的問題

如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長(zhǎng)率為p，則對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值y，有

yN(1p)x.

12.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系

n1s1,(數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為sna1a2an).ansnsn1,n213.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

ana1(n1)ddna1d(nN*)；

其前n項(xiàng)和公式為

n(a1an)n(n1)na1d22d1n2(a1d)n.22sn14.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

ana1qn1a1nq(nN*)；q其前n項(xiàng)的和公式為

a1(1qn),q1sn1q

na,q11a1anq,q1或sn1q.

na,q1115.等比差數(shù)列an:an1qand,a1b(q0)的通項(xiàng)公式為b(n1)d,q1anbqn(db)qn1d；

,q1q1其前n項(xiàng)和公式為

nbn(n1)d,(q1)sn.d1qnd(b1q)q11qn,(q1)ab(1b)n每次還款x元(貸款a元,n次還清,每期利率為b).n(1b)116同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

sin2cos21，tan=

17.和角與差角公

sin，tancot1.coscos()coscossinsin

tantantan().

1tantansin()sin()sin2sin2(平方正

弦公式);

cos()cos()cos2sin2.

asinbcos=定,tana2b2sin()(輔助角所在象限由點(diǎn)(a,b)的象限決b).a18.二倍角公式

sin2sincos.

cos2cos2sin22cos2112sin2.

2tantan2.

1tan219.三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)ysin(x)，x∈R及函數(shù)ycos(x)，x∈R(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期T2；函數(shù)ytan(x)，xk2,kZ(A,ω,為常數(shù)，且A

≠0，ω＞0)的周期T20.正弦定理

.abc2R.sinAsinBsinC52.余弦定理

a2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC.

21.面積定理（1）S111ahabhbchc（ha、hb、hc分別表示a、b、c邊上的高）.2（2）S111absinCbcsinAcasinB.222..

22.兩向量的夾角公式

cosx1x2y1y2xyxy21212222(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

23.平面兩點(diǎn)間的距離公式

dA,B=|AB|ABAB(x2x1)2(y2y1)2(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

24.直線的五種方程

（1）點(diǎn)斜式y(tǒng)y1k(xx1)(直線l過點(diǎn)P1(x1,y1)，且斜率為k)．（2）斜截式y(tǒng)kxb(b為直線l在y軸上的截距).

yy1xx1(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1x2)).

y2y1x2x1xy(4)截距式1(a、b分別為直線的橫、縱截距，a、b0)

ab（5）一般式AxByC0(其中A、B不同時(shí)為0).

（3）兩點(diǎn)式

；

②l1l2A；1A2B1B2025.點(diǎn)到直線的距離

d|Ax0By0C|AB22(點(diǎn)P(x0,y0),直線l：AxByC0).

（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2.

（2）圓的一般方程x2y2DxEyF0(DE4F＞0).（3）圓的參數(shù)方程22xarcos.

ybrsinxacosx2y226.橢圓221(ab0)的參數(shù)方程是.

abybsinx2y227.橢圓221(ab0)

abx2y228.雙曲線221(a0,b0)

abx2y2x2y2b.(1）若雙曲線方程為221漸近線方程：220yx.

abaabxyx2y2b(2)若漸近線方程為yx0雙曲線可設(shè)為22.

abaab

29拋物線y2px.過焦點(diǎn)弦長(zhǎng)CDx12ppx2x1x2p.b24acb230.二次函數(shù)yaxbxca(x)（1）頂(a0)的圖象是拋物線：

2a4ab4acb2b4acb21,)；,)；點(diǎn)坐標(biāo)為(（2）焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(（3）準(zhǔn)線方程是2a4a2a4a4acb21y.

4a231.直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式AB(x1x2)2(y1y2)2或

（弦端點(diǎn)

AB(1k2)(x2x1)2|x1x2|1tan2|y1y2|1cot2ykxb2A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程消去y得到axbxc0，0,為直線ABF(x,y)0的傾斜角，k為直線的斜率）.

1

函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)是曲線yf(x)在P(x0,f(x0))處的切線的斜率

f(x0)，相應(yīng)的切線方程是yy0f(x0)(xx0).

192.幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(1)C0（C為常數(shù)）.(2)(xn)"nxn1(nQ).(3)(sinx)cosx.(4)(cosx)sinx.(5)(lnx)11ex；(loga)loga.xx(6)(ex)ex;(ax)axlna

9.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

（1）(uv)"u"v".（2）(uv)"u"vuv".

u"u"vuv"(v0).（3）()vv2197.復(fù)數(shù)的相等

abicdiac,bd.（a,b,c,dR）

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高中三年數(shù)學(xué)公式總結(jié)

1.元素與集合的關(guān)系

xAxCUA,xCUAxA.2.德摩根公式

CU(AB)CUACUB;CU(AB)CUACUB.

3.包含關(guān)系

ABAABBABCUBCUA

ACUBCUABR

4.容斥原理

card(AB)cardAcardBcard(AB)

card(ABC)cardAcardBcardCcard(AB)

card(AB)card(BC)card(CA)card(ABC).

nnn5．集合{a1,a2,,an}的子集個(gè)數(shù)共有2個(gè)；真子集有21個(gè)；非空子集有21

個(gè)；非空的真子集有22個(gè).

6.二次函數(shù)的解析式的三種形式

(1)一般式f(x)ax2bxc(a0);(2)頂點(diǎn)式f(x)a(xh)2k(a0);(3)零點(diǎn)式f(x)a(xx1)(xx2)(a0).7.解連不等式Nf(x)M常有以下轉(zhuǎn)化形式

nNf(x)M[f(x)M][f(x)N]0

MNMNf(x)N|0|f(x)22Mf(x)11.f(x)NMN8.方程f(x)0在(k1,k2)上有且只有一個(gè)實(shí)根,與f(k1)f(k2)0不等價(jià),前者是后

者的一個(gè)必要而不是充分條件.特別地,方程axbxc0(a0)有且只有一個(gè)實(shí)根在

2(k1,k2)內(nèi),等價(jià)于f(k1)f(k2)0,或f(k1)0且k1k1k2bk2.22a9.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值

kk2b1,或f(k2)0且2a22二次函數(shù)f(x)axbxc(a0)在閉區(qū)間p,q上的最值只能在xb處及區(qū)2a；

間的兩端點(diǎn)處取得，具體如下：

(1)當(dāng)a>0時(shí)，若xbbp,q，()nmf(,)()fx則fxi2a2axmaxma(f,)p()fqbp,q，f(x)maxmaxf(p),f(q)，f(x)minminf(p),f(q).2abp,q，則f(xm(2)當(dāng)axbp,q，則f(x)maxmaxf(p),f(q)，f(x)minminf(p),f(q).2a10.一元二次方程的實(shí)根分布

依據(jù)：若f(m)f(n)0，則方程f(x)0在區(qū)間(m,n)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.設(shè)f(x)x2pxq，則

p24q0（1）方程f(x)0在區(qū)間(m,)內(nèi)有根的充要條件為f(m)0或p；

m2f(m)0f(n)0（2）方程f(x)0在區(qū)間(m,n)內(nèi)有根的充要條件為f(m)f(n)0或p24q0mpn2f(m)0f(n)0或或；af(n)0af(m)0p24q0（3）方程f(x)0在區(qū)間(,n)內(nèi)有根的充要條件為f(m)0或p.

m211.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)

(1)在給定區(qū)間(,)的子區(qū)間L（形如,，,，,不同）上含參數(shù)的二次不等式f(x,t)0(t為參數(shù))恒成立的充要條件是f(x,t)min0(xL).

(2)在給定區(qū)間(,)的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式f(x,t)0(t為參數(shù))恒成立的充要條件是f(x,t)man0(xL).

a0a042(3)f(x)axbxc0恒成立的充要條件是b0或2.

c0b4ac012.真值表ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假13.常見結(jié)論的否定形式原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論是不是至少有一個(gè)都是不都是至多有一個(gè)大于不大于至少有n個(gè)小于不小于至多有n個(gè)對(duì)所有x，存在某x，p或q成立不成立對(duì)任何x，存在某x，p且q不成立成立

反設(shè)詞一個(gè)也沒有至少有兩個(gè)至多有（n1）個(gè)至少有（n1）個(gè)p且qp或q14.四種命題的相互關(guān)系

原命題互逆逆命題若ｐ則ｑ若ｑ則ｐ互互互為為互否否逆逆否否否命題逆否命題若非ｐ則非ｑ互逆若非ｑ則非ｐ15.充要條件

（1）充分條件：若pq，則p是q充分條件.

（2）必要條件：若qp，則p是q必要條件.

（3）充要條件：若pq，且qp，則p是q充要條件.

注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.16.函數(shù)的單調(diào)性

(1)設(shè)x1x2a,b,x1x2那么

f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函數(shù)；

x1x2f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是減函數(shù).(x1x2)f(x1)f(x2)0x1x2(2)設(shè)函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f(x)0，則f(x)為增函數(shù)；如果f(x)0，則f(x)為減函數(shù).

17.如果函數(shù)f(x)和g(x)都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)f(x)g(x)也是減函數(shù);如果函數(shù)yf(u)和ug(x)在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)yf[g(x)]是增函數(shù).

(x1x2)f(x1)f(x2)018．奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;反過來，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)．

19.若函數(shù)yf(x)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa)；若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa).

20.對(duì)于函數(shù)yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,則函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸是函數(shù)xabab;兩個(gè)函數(shù)yf(xa)與yf(bx)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱.22a21.若f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱;若

2f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)為周期為2a的周期函數(shù).

22．多項(xiàng)式函數(shù)P(x)anxnan1xn1a0的奇偶性

多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)P(x)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)P(x)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.23.函數(shù)yf(x)的圖象的對(duì)稱性

(1)函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱f(ax)f(ax)

f(2ax)f(x).(2)函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xab對(duì)稱f(amx)f(bmx)2f(abmx)f(mx).

24.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性

(1)函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x0(即y軸)對(duì)稱.(2)函數(shù)yf(mxa)與函數(shù)yf(bmx)的圖象關(guān)于直線xab對(duì)稱.2m(3)函數(shù)yf(x)和yf1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

25.若將函數(shù)yf(x)的圖象右移a、上移b個(gè)單位，得到函數(shù)yf(xa)b的圖象；若將曲線f(x,y)0的圖象右移a、上移b個(gè)單位，得到曲線f(xa,yb)0的圖象.

26．互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系

f(a)bf1(b)a.

27.若函數(shù)yf(kxb)存在反函數(shù),則其反函數(shù)為y11[f(x)b],并不是ky[f1(kxb),而函數(shù)y[f1(kxb)是y1[f(x)b]的反函數(shù).k28.幾個(gè)常見的函數(shù)方程

(1)正比例函數(shù)f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.

(2)指數(shù)函數(shù)f(x)ax,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.

(3)對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).

(4)冪函數(shù)f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f"(1).

(5)余弦函數(shù)f(x)cosx,正弦函數(shù)g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，

f(0)1,limx0g(x)1.x29.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a>0)

（1）f(x)f(xa)，則f(x)的周期T=a；（2）f(x)f(xa)0，

1(f(x)0)，f(x)1或f(xa)(f(x)0),

f(x)12或f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1),則f(x)的周期T=2a；21(f(x)0)，則f(x)的周期T=3a；(3)f(x)1f(xa)f(x1)f(x2)(4)f(x1x2)且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a)，則

1f(x1)f(x2)f(x)的周期T=4a；

(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)

f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),則f(x)的周期T=5a；(6)f(xa)f(x)f(xa)，則f(x)的周期T=6a.

或f(xa)30.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)a(2)amn1nmnam1mn（a0,m,nN，且n1）.（a0,m,nN，且n1）.

a31．根式的性質(zhì)（1）(na)na.

（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，nana；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，nan|a|32．有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)arasars(a0,r,sQ).(2)(ar)sars(a0,r,sQ).

(3)(ab)rarbr(a0,b0,rQ).

p

注：若a＞0，p是一個(gè)無理數(shù)，則a表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無理數(shù)指數(shù)冪都適用.

33.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式

a,a0.

a,a0logaNbabN(a0,a1,N0).

34.對(duì)數(shù)的換底公式

logmN(a0,且a1,m0,且m1,N0).

logmann推論logamblogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).

mlogaN35．對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則(1)loga(MN)logaMlogaN;

MlogaMlogaN;N(3)logaMnnlogaM(nR).

(2)loga36.設(shè)函數(shù)f(x)logm(ax2bxc)(a0),記b4ac.若f(x)的定義域?yàn)?/p>

2R,則a0，且0;若f(x)的值域?yàn)镽,則a0，且0.對(duì)于a0的情形,需要

單獨(dú)檢驗(yàn).

37.對(duì)數(shù)換底不等式及其推廣

1,則函數(shù)ylogax(bx)a11(1)當(dāng)ab時(shí),在(0,)和(,)上ylogax(bx)為增函數(shù).

aa11)和(,)上ylogax(bx)為減函數(shù).，(2)當(dāng)ab時(shí),在(0,aa若a0,b0,x0,x推論:設(shè)nm1，p0，a0，且a1，則（1）logmp(np)logmn.（2）logamloganloga2mn.238.平均增長(zhǎng)率的問題

如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長(zhǎng)率為p，則對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值y，有

yN(1p)x.

39.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系

n1s1,(數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為sna1a2an).ansnsn1,n240.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

ana1(n1)ddna1d(nN*)；

其前n項(xiàng)和公式為

n(a1an)n(n1)na1d22d1n2(a1d)n.22sn41.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

ana1qn1a1nq(nN*)；q其前n項(xiàng)的和公式為

a1(1qn),q1sn1q

na,q11a1anq,q1或sn1q.

na,q1142.等比差數(shù)列an:an1qand,a1b(q0)的通項(xiàng)公式為

b(n1)d,q1anbqn(db)qn1d；

,q1q1其前n項(xiàng)和公式為

nbn(n1)d,(q1)sn.d1qnd(b)n,(q1)1qq11q43.分期付款(按揭貸款)

ab(1b)n每次還款x元(貸款a元,n次還清,每期利率為b).n(1b)144．常見三角不等式（1）若x(0,2)，則sinxxtanx.(2)若x(0,)，則1sinxcosx2.2(3)|sinx||cosx|1.

45.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

sin2cos21，tan=

46.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式

sin，tancot1.cos(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))nn(1)2sin,sin()n12(1)2cos,

n2cos,n(1)cos()n12(1)2sin,47.和角與差角公式

sin()sincoscossin;

cos()coscossinsin;

tantantan().

1tantansin()sin()sin2sin2(平方正弦公式);

cos()cos()cos2sin2.

asinbcos=

b定,tan).

a48.二倍角公式

a2b2sin()(輔助角所在象限由點(diǎn)(a,b)的象限決

sin2sincos.

cos2cos2sin22cos2112sin2.

2tantan2.

1tan249.三倍角公式

sin33sin4sin34sinsin()sin().

33cos34cos33cos4coscos()cos()33.

3tantan3tan3tantan()tan().

13tan23350.三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)ysin(x)，x∈R及函數(shù)ycos(x)，x∈R(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期T2；函數(shù)ytan(x)，xk2,kZ(A,ω,為常數(shù)，且A

≠0，ω＞0)的周期T.51.正弦定理

abc2R.sinAsinBsinC52.余弦定理

a2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC.

53.面積定理

111ahabhbchc（ha、hb、hc分別表示a、b、c邊上的高）.222111（2）SabsinCbcsinAcasinB.

222221(|OA||OB|)(OAOB).(3)SOAB2（1）S54.三角形內(nèi)角和定理

在△ABC中，有ABCC(AB)

CAB2C22(AB).22255.簡(jiǎn)單的三角方程的通解

sinxaxk(1)karcsina(kZ,|a|1).cosxax2karccosa(kZ,|a|1).

tanxaxkarctana(kZ,aR).

特別地,有

sinsink(1)k(kZ).

coscos2k(kZ).

tantank(kZ).

56.最簡(jiǎn)單的三角不等式及其解集

sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.

sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.cosxa(|a|1)x(2karccosa,2karccosa),kZ.

cosxa(|a|1)x(2karccosa,2k2arccosa),kZ.

tanxa(aR)x(karctana,k2),kZ.

tanxa(aR)x(k2,karctana),kZ.

57.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù)，那么

(1)結(jié)合律：λ(μa)=(λμ)a;

(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.58.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：(1)ab=ba（交換律）;(2)（a）b=（ab）=ab=a（b）;(3)（a+b）c=ac+bc.59.平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．

不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．60．向量平行的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，則ab(b0)x1y2x2y10.53.a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)ab=|a||b|cosθ．61.ab的幾何意義

數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．62.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a+b=(x1x2,y1y2).

(3)設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2),則ABOBOA(x2x1,y2y1).

(4)設(shè)a=(x,y),R，則a=(x,y).

(5)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則ab=(x1x2y1y2).

63.兩向量的夾角公式

(2)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a-b=(x1x2,y1y2).

cosx1x2y1y2xyxy21212222(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

64.平面兩點(diǎn)間的距離公式

dA,B=|AB|ABAB(x2x1)2(y2y1)2(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

65.向量的平行與垂直

設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，則A||bb=λax1y2x2y10.ab(a0)ab=0x1x2y1y20.66.線段的定比分公式

設(shè)P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是線段PP12的分點(diǎn),是實(shí)數(shù)，且PP1PP2，則

x1x2xOP11OP2OPyy12y111t（）.(1t)OPOPtOP12167.三角形的重心坐標(biāo)公式

△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),則△ABC的重心的坐標(biāo)是G(x1x2x3y1y2y3,).3368.點(diǎn)的平移公式

"注:圖形F上的任意一點(diǎn)P(x，y)在平移后圖形F上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P(x,y)，且PP的坐標(biāo)為(h,k).

""x"xhxx"h"OPOPPP.""yykyyk"""69.“按向量平移”的幾個(gè)結(jié)論（1）點(diǎn)P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到點(diǎn)P"(xh,yk).

(2)函數(shù)yf(x)的圖象C按向量a=(h,k)平移后得到圖象C,則C的函數(shù)解析式為yf(xh)k.

(3)圖象C按向量a=(h,k)平移后得到圖象C,若C的解析式y(tǒng)f(x),則C的函數(shù)解析式為yf(xh)k.

""(4)曲線C:f(x,y)0按向量a=(h,k)平移后得到圖象C,則C的方程為

"""".f(xh,yk)0(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然為m=(x,y).

70.三角形五“心”向量形式的充要條件

設(shè)O為ABC所在平面上一點(diǎn)，角A,B,C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,b,c，則

222（1）O為ABC的外心OAOBOC.

（2）O為ABC的重心OAOBOC0.

（3）O為ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.

（4）O為ABC的內(nèi)心aOAbOBcOC0.

（5）O為ABC的A的旁心aOAbOBcOC.

71.常用不等式：

22（1）a,bRab2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))．

abab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))．2（3）a3b3c33abc(a0,b0,c0).

（2）a,bR（4）柯西不等式

(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR.

（5）ababab.72.極值定理

已知x,y都是正數(shù)，則有

（1）若積xy是定值p，則當(dāng)xy時(shí)和xy有最小值2p；（2）若和xy是定值s，則當(dāng)xy時(shí)積xy有最大值

2212s.4推廣已知x,yR，則有(xy)(xy)2xy（1）若積xy是定值,則當(dāng)|xy|最大時(shí),|xy|最大；當(dāng)|xy|最小時(shí),|xy|最小.

（2）若和|xy|是定值,則當(dāng)|xy|最大時(shí),|xy|最�。划�(dāng)|xy|最小時(shí),|xy|最大.

73.一元二次不等式axbxc0(或0)(a0,b4ac0)，如果a與

22ax2bxc同號(hào)，則其解集在兩根之外；如果a與ax2bxc異號(hào)，則其解集在兩根之

間.簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間.

x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)；xx1,或xx2(xx1)(xx2)0(x1x2).

74.含有絕對(duì)值的不等式當(dāng)a>0時(shí)，有

xax2aaxa.

xax2a2xa或xa.

75.無理不等式（1）（2）（3）f(x)0.f(x)g(x)g(x)0f(x)g(x)f(x)0f(x)0.f(x)g(x)g(x)0或g(x)0f(x)[g(x)]2f(x)0.f(x)g(x)g(x)0f(x)[g(x)]276.指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式(1)當(dāng)a1時(shí),

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.

f(x)g(x)(2)當(dāng)0a1時(shí),

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)77.斜率公式

ky2y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.

x2x178.直線的五種方程

k（1）點(diǎn)斜式y(tǒng)y1k(xx1)(直線l過點(diǎn)P1(x1,y1)，且斜率為)．（2）斜截式y(tǒng)kxb(b為直線l在y軸上的截距).

yy1xx1(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1x2)).

y2y1x2x1xy(4)截距式1(a、b分別為直線的橫、縱截距，a、b0)

ab（5）一般式AxByC0(其中A、B不同時(shí)為0).

（3）兩點(diǎn)式

79.兩條直線的平行和垂直

(1)若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2①l1||l2k1k2,b1b2;②l1l2k1k21.

(2)若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,且A1、A2、B1、B2都不為零,①l1||l2A1B1C1；A2B2C②l1l2A；1A2B1B2080.夾角公式

k2k1|.

1k2k1(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)

ABA2B1(2)tan|12|.

A1A2B1B2(l1:A).1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20直線l1l2時(shí)，直線l1與l2的夾角是.

281.l1到l2的角公式

kk1(1)tan2.

1k2k1(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)

ABA2B1(2)tan12.

A1A2B1B2(l1:A).1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20直線l1l2時(shí)，直線l1到l2的角是.

2(1)tan|82．四種常用直線系方程

(1)定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過定點(diǎn)P0(x0,y0)的直線系方程為yy0k(xx0)(除直線

xx0),其中k是待定的系數(shù);經(jīng)過定點(diǎn)P0(x0,y0)的直線系方程為A(xx0)B(yy0)0,其中A,B是待定的系數(shù)．

(2)共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過兩直線l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20的交點(diǎn)的直線系方程為(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0(除l2)，其中λ是待定的系數(shù)．

(3)平行直線系方程：直線ykxb中當(dāng)斜率k一定而b變動(dòng)時(shí)，表示平行直線系方程．與直線AxByC0平行的直線系方程是AxBy0(0)，λ是

參變量．

(4)垂直直線系方程：與直線AxByC0(A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是

BxAy0,λ是參變量．

83.點(diǎn)到直線的距離

AB84.AxByC0或0所表示的平面區(qū)域

設(shè)直線l:AxByC0，則AxByC0或0所表示的平面區(qū)域是：若B0，當(dāng)B與AxByC同號(hào)時(shí)，表示直線l的上方的區(qū)域；當(dāng)B與AxByC異號(hào)時(shí)，表示直線l的下方的區(qū)域.簡(jiǎn)言之,同號(hào)在上,異號(hào)在下.

若B0，當(dāng)A與AxByC同號(hào)時(shí)，表示直線l的右方的區(qū)域；當(dāng)A與AxByC異號(hào)時(shí)，表示直線l的左方的區(qū)域.簡(jiǎn)言之,同號(hào)在右,異號(hào)在左.

0所表示的平面區(qū)域85.(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或

設(shè)曲線C:(A，則1xB1yC1)(A2xB2yC2)0（A1A2B1B20）

d|Ax0By0C|22(點(diǎn)P(x0,y0),直線l：AxByC0).

(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面區(qū)域是：(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0所表示的平面區(qū)域上下兩部分；(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0所表示的平面區(qū)域上下兩部分.

86.圓的四種方程

（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2.

（2）圓的一般方程x2y2DxEyF0(DE4F＞0).

22xarcos.

ybrsin（4）圓的直徑式方程(xx(圓的直徑的端點(diǎn)是1)(xx2)(yy1)(yy2)0A(x1,y1)、B(x2,y2)).

（3）圓的參數(shù)方程87.圓系方程

(1)過點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)的圓系方程是

(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)[(xx1)(y1y2)(yy1)(x1x2)]0

c0是直線(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)(axbyc)0,其中axbyAB的方程,λ是待定的系數(shù)．

(2)過直線l:AxByC0與圓C:x2y2DxEyF0的交點(diǎn)的圓系方程是x2y2DxEyF(AxByC)0,λ是待定的系數(shù)．

22(3)過圓C1:x2y2D1xE1yF10與圓C2:xyD2xE2yF20的交

22點(diǎn)的圓系方程是x2y2D1xE1yF1(xyD2xE2yF2)0,λ是待定的

系數(shù)．

88.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)P(x0,y0)與圓(xa)(yb)r的位置關(guān)系有三種若d222(ax0)2(by0)2，則

dr點(diǎn)P在圓外;dr點(diǎn)P在圓上;dr點(diǎn)P在圓內(nèi).

89.直線與圓的位置關(guān)系

222直線AxByC0與圓(xa)(yb)r的位置關(guān)系有三種:

dr相離0;dr相切0;dr相交0.

AaBbC其中d.

22AB90.兩圓位置關(guān)系的判定方法

設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，O1O2d

dr1r2外離4條公切線;dr1r2外切3條公切線;

r1r2dr1r2相交2條公切線;dr1r2內(nèi)切1條公切線;0dr1r2內(nèi)含無公切線.

91.圓的切線方程

(1)已知圓xyDxEyF0．

①若已知切點(diǎn)(x0,y0)在圓上，則切線只有一條，其方程是

D(x0x)E(y0y)F0.22D(x0x)E(y0y)F0表示過兩個(gè)切點(diǎn)當(dāng)(x0,y0)圓外時(shí),x0xy0y22x0xy0y的切點(diǎn)弦方程．

②過圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為yy0k(xx0)，再利用相切條件求k，這時(shí)必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線．

③斜率為k的切線方程可設(shè)為ykxb，再利用相切條件求b，必有兩條切線．

(2)已知圓x2y2r2．

2①過圓上的P點(diǎn)的切線方程為;(x,y)xxyyr00000②斜率為k的圓的切線方程為ykxr1k2.xacosx2y292.橢圓221(ab0)的參數(shù)方程是.

abybsinx2y293.橢圓221(ab0)焦半徑公式

aba2a2PF1e(x)，PF2e(x).

cc94．橢圓的的內(nèi)外部

x2y2（1）點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓221(ab0)的內(nèi)部abx2y2（2）點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓221(ab0)的外部ab95.橢圓的切線方程

22x0y01.a2b222x0y021.2abxxyyx2y2(1)橢圓221(ab0)上一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程是02021.

ababx2y2（2）過橢圓221(ab0)外一點(diǎn)P(x0,y0)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是

abx0xy0y21.2abx2y2（3）橢圓221(ab0)與直線AxByC0相切的條件是

abA2a2B2b2c2.

x2y296.雙曲線221(a0,b0)的焦半徑公式

aba2a2PF1|e(x)|，PF2|e(x)|.

cc97.雙曲線的內(nèi)外部

x2y2(1)點(diǎn)P(x0,y0)在雙曲線221(a0,b0)的內(nèi)部abx2y2(2)點(diǎn)P(x0,y0)在雙曲線221(a0,b0)的外部ab98.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系

22x0y021.2ab22x0y01.a2bx2y2x2y2b(1）若雙曲線方程為221漸近線方程：220yx.

abaabxyx2y2b(2)若漸近線方程為yx0雙曲線可設(shè)為22.

abaabx2y2x2y2(3)若雙曲線與221有公共漸近線，可設(shè)為22（0，焦點(diǎn)在x

abab軸上，0，焦點(diǎn)在y軸上）.

99.雙曲線的切線方程

xxyyx2y2(1)雙曲線221(a0,b0)上一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程是02021.

ababx2y2（2）過雙曲線221(a0,b0)外一點(diǎn)P(x0,y0)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是

abx0xy0y21.a2bx2y2C0相切的條件是（3）雙曲線221(a0,b0)與直線AxByabA2a2B2b2c2.

100.拋物線y22px的焦半徑公式

p拋物線y22px(p0)焦半徑CFx0.

2pp過焦點(diǎn)弦長(zhǎng)CDx1x2x1x2p.

222y2101.拋物線y2px上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P(,y)或P(2pt2,2pt)或P(x,y)，其中

2py22px.

b24acb2(a0)的圖象是拋物線：102.二次函數(shù)yaxbxca(x)（1）頂

2a4ab4acb2b4acb21,)；,)；點(diǎn)坐標(biāo)為(（2）焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(（3）準(zhǔn)線方程是2a4a2a4a4acb21y.

4a2103.拋物線的內(nèi)外部

(1)點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線y22px(p0)的內(nèi)部y22px(p0).點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線y2px(p0)的外部y2px(p0).(2)點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線y2px(p0)的內(nèi)部y2px(p0).點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線y2px(p0)的外部y2px(p0).(3)點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線x2py(p0)的內(nèi)部x2py(p0).點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線x2py(p0)的外部x2py(p0).(4)點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線x2py(p0)的內(nèi)部x2py(p0).點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線x2py(p0)的外部x2py(p0).104.拋物線的切線方程

222222222222(1)拋物線y22px上一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程是y0yp(xx0).

（2）過拋物線y22px外一點(diǎn)P(x0,y0)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是y0yp(xx0).（3）拋物線y22px(p0)與直線AxByC0相切的條件是pB22AC.

105.兩個(gè)常見的曲線系方程

(1)過曲線f1(x,y)0,f2(x,y)0的交點(diǎn)的曲線系方程是

f1(x,y)f2(x,y)0(為參數(shù)).

x2y221,其中kmax{a2,b2}.當(dāng)(2)共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程2akbkkmin{a2,b2}時(shí),表示橢圓;當(dāng)min{a2,b2}kmax{a2,b2}時(shí),表示雙曲線.

106.直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式AB(x1x2)2(y1y2)2或

AB(1k2)(x2x1)2|x1x2|1tan2|y1y2|1cot2（弦端點(diǎn)

A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程ykxb2消去y得到axbxc0，0,為直線

F(x,y)0AB的傾斜角，k為直線的斜率）.

107.圓錐曲線的兩類對(duì)稱問題

（1）曲線F(x,y)0關(guān)于點(diǎn)P(x0,y0)成中心對(duì)稱的曲線是F(2x0-x,2y0y)0.（2）曲線F(x,y)0關(guān)于直線AxByC0成軸對(duì)稱的曲線是

F(x2A(AxByC)2B(AxByC),y)0.2222ABAB2108.“四線”一方程

對(duì)于一般的二次曲線Ax2BxyCy2DxEyF0，用x0x代x，用y0y代y2，用

x0yxy0xxyy代xy，用0代x，用0代y即得方程

222xyxy0xxyyAx0xB0Cy0yD0E0F0，曲線的切線，切點(diǎn)弦，中點(diǎn)

222弦，弦中點(diǎn)方程均是此方程得到.

109．證明直線與直線的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面平行；（4）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（5）轉(zhuǎn)化為面面平行.

110．證明直線與平面的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線線平行；（3）轉(zhuǎn)化為面面平行.

111．證明平面與平面平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線面平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面垂直.

112．證明直線與直線的垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；

（3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；（4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.113．證明直線與平面垂直的思考途徑

（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；（3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；（5）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直.114．證明平面與平面的垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直.

115.空間向量的加法與數(shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律(1)加法交換律：a＋b=b＋a．

(2)加法結(jié)合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．(3)數(shù)乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．

116.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所表示的向量.

117.共線向量定理

對(duì)空間任意兩個(gè)向量a、b(b≠0)，a∥b存在實(shí)數(shù)λ使a=λb．

P、A、B三點(diǎn)共線AP||ABAPtABOP(1t)OAtOB.

AB||CDAB、CD共線且AB、CD不共線ABtCD且AB、CD不共線.

推論空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y,使MPxMAyMB，

或?qū)�空間任一定點(diǎn)O，有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y，使OPOMxMAyMB.

119.對(duì)空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A、B、C，滿足OPxOAyOBzOC（xyzk），則當(dāng)k1時(shí)，對(duì)于空間任一點(diǎn)O，總有P、A、B、C四點(diǎn)共面；當(dāng)k1時(shí)，若O平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)共面；若O平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)不共

面．

118.共面向量定理

向量p與兩個(gè)不共線的向量a、b共面的存在實(shí)數(shù)對(duì)x,y,使paxby．

A、B、C、D四點(diǎn)共面AD與AB、AC共面ADxAByACOD(1xy)OAxOByOC（O平面ABC）.

120.空間向量基本定理

如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．

推論設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)?/p>

數(shù)x，y，z，使OPxOAyOBzOC.

121.射影公式

"已知向量AB=a和軸l，e是l上與l同方向的單位向量.作A點(diǎn)在l上的射影A，作B

"點(diǎn)在l上的射影B，則

""AB|AB|cos〈a，e〉=ae

122.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)則(1)a＋b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；(2)a－b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；(3)λa＝(a1,a2,a3)(λ∈R)；(4)ab＝a1b1a2b2a3b3；123.設(shè)A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，則124．空間的線線平行或垂直

ABOBOA=(x2x1,y2y1,z2z1).

rr設(shè)a(x1,y1,z1)，b(x2,y2,z2)，則

x1x2rrrrrraPbab(b0)y1y2；

zz21rrrrabab0x1x2y1y2z1z20.

125.夾角公式

設(shè)a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，則cos〈a，b〉=a1b1a2b2a3b3aaa212223bbb22推論(a1b1a2b2a3b3)2(aaa)(b12b2b3)，此即三維柯西不等式.

212122222323.

126.四面體的對(duì)棱所成的角

四面體ABCD中,AC與BD所成的角為,則

|(AB2CD2)(BC2DA2)|cos.

2ACBDrrcos|cosa,b|

rr|x1x2y1y2z1z2||ab|r=r222222|a||b|x1y1z1x2y2z2rroob所成角，a,b分別表示異面直線a,b的方向向量）（其中（090）為異面直線a,

128.直線AB與平面所成角

ABm(m為平面的法向量).arcsin|AB||m|129.若ABC所在平面若與過若AB的平面成的角,另兩邊AC,BC與平面成的角分別是1、2,A、B為ABC的兩個(gè)內(nèi)角，則

127．異面直線所成角

sin21sin22(sin2Asin2B)sin2.

特別地,當(dāng)ACB90時(shí),有

sin21sin22sin2.

130.若ABC所在平面若與過若AB的平面成的角,另兩邊AC,BC與平面""成的角分別是1、2,A、B為ABO的兩個(gè)內(nèi)角，則

tan21tan22(sin2A"sin2B")tan2.

特別地,當(dāng)AOB90時(shí),有

sin21sin22sin2.131.二面角l的平面角mnmnarccos或arccos（m，n為平面，的法向量）.

|m||n||m||n|132.三余弦定理

設(shè)AC是α內(nèi)的任一條直線，且BC⊥AC，垂足為C，又設(shè)AO與AB所成的角為1，AB與AC所成的角為2，AO與AC所成的角為．則coscos1cos2.

133.三射線定理

若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個(gè)半平面所成的角是1,2,與二面角的棱所成的角是θ，則有sin2sin2sin21sin222sin1sin2cos;

|12|180(12)(當(dāng)且僅當(dāng)90時(shí)等號(hào)成立).

134.空間兩點(diǎn)間的距離公式

若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，則135.點(diǎn)Q到直線l距離

222dA,B=|AB|ABAB(x2x1)(y2y1)(z2z1).

122h(|a||b|)(ab)(點(diǎn)P在直線l上，直線l的方向向量a=PA，向量

|a|b=PQ).

136.異面直線間的距離

|CDn|(l1,l2是兩異面直線，其公垂向量為n，C、D分別是l1,l2上任一點(diǎn)，d為d|n||ABn|（n為平面的法向量，AB是經(jīng)過面的一條斜線，A）.d|n|l1,l2間的距離).

137.點(diǎn)B到平面的距離

138.異面直線上兩點(diǎn)距離公式

dh2m2n22mncos.

222"dhmn2mncosEA,AF.dh2m2n22mncos（EAA"F）.

(兩條異面直線a、b所成的角為θ，其公垂線段AA的長(zhǎng)度為h.在直線a、b上分別取兩

"點(diǎn)E、F，AEm,AFn,EFd).139.三個(gè)向量和的平方公式

"2222(abc)abc2ab2bc2ca

222abc2|a||b|cosa,b2|b||c|cosb,c2|c||a|cosc,a

140.長(zhǎng)度為l的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長(zhǎng)分別為l1、l2、l3，夾角分

別為1、2、3,則有

2l2l12l2l32cos21cos22cos231sin21sin22sin232.

（立體幾何中長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)的公式是其特例）.141.面積射影定理

S"S.

cos(平面多邊形及其射影的面積分別是S、S，它們所在平面所成銳二面角的為).142.斜棱柱的直截面

已知斜棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)是l,側(cè)面積和體積分別是S斜棱柱側(cè)和V斜棱柱,它的直截面的周長(zhǎng)和面積分別是c1和S1,則

①S斜棱柱側(cè)c1l.②V斜棱柱S1l.

143．作截面的依據(jù)

三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點(diǎn)或互相平行.144．棱錐的平行截面的性質(zhì)

如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比（對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對(duì)應(yīng)邊的比的平方）；相應(yīng)小棱錐與小棱錐的側(cè)面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比．

145.歐拉定理(歐拉公式)

VFE2(簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F).

（1）E=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地,若每個(gè)面的邊數(shù)為n的多邊形，則面數(shù)F與棱數(shù)E的關(guān)系：E"1nF；21mV.2（2）若每個(gè)頂點(diǎn)引出的棱數(shù)為m，則頂點(diǎn)數(shù)V與棱數(shù)E的關(guān)系：E146.球的半徑是R，則

4R3,32其表面積S4R．

其體積V147.球的組合體

(1)球與長(zhǎng)方體的組合體:

長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng).(2)球與正方體的組合體:

正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng),正方體的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線長(zhǎng),正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng).(3)球與正四面體的組合體:

棱長(zhǎng)為a的正四面體的內(nèi)切球的半徑為148．柱體、錐體的體積

66a,外接球的半徑為a.1241V柱體Sh（S是柱體的底面積、h是柱體的高）.

31V錐體Sh（S是錐體的底面積、h是錐體的高）.

3149.分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）Nm1m2mn.150.分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）Nm1m2mn.151.排列數(shù)公式

m=n(n1)(nm1)=Ann！*

.(n，m∈N，且mn)．

(nm)！注:規(guī)定0!1.152.排列恒等式

mm1(1）An;(nm1)AnnmAn1;nmmm1（3）AnnAn1;

（2）Anmnn1n（4）nAnAnA1n;mmm1（5）An.1AnmAn(6)1!22!33!nn!(n1)!1.153.組合數(shù)公式

Cmn=

Anmn(n1)(nm1)n！*

==(n∈N，mN，且mn).m12mm！(nm)！Am154.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)

mnm(1)Cn=Cn;mm1m(2)Cn+Cn=Cn1.0注:規(guī)定Cn1.

155.組合恒等式

nm1m1Cn;mnmmCn（2）Cn1;nmnm1m（3）CnCn1;

m（1）Cnm（4）

Cr0rrnrn=2;

nrr1（5）CCrr1Crr2CnCn1.012rn(6)CnCnCnCnCn2n.135024(7)CnCnCnCnCnCn2n1.123n(8)Cn2Cn3CnnCnn2n1.r0r110rrr(9)CmCnCmCnCmCnCmn.021222n2n(10)(Cn)(Cn)(Cn)(Cn)C2n.

156.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系

mm.Anm！Cn157．單條件排列

以下各條的大前提是從n個(gè)元素中取m個(gè)元素的排列.（1）“在位”與“不在位”

①某（特）元必在某位有An1種；②某（特）元不在某位有AnAn1（補(bǔ)集思想）

1m1m1m1An1An1（著眼位置）An1Am1An1（著眼元素）種.

m1mm1（2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）kmk①定位緊貼：k(kmn)個(gè)元在固定位的排列有AkAnk種.

nk1k②浮動(dòng)緊貼：n個(gè)元素的全排列把k個(gè)元排在一起的排法有Ank1Ak種.注：此類問題

常用捆綁法；

③插空：兩組元素分別有k、h個(gè)（kh1），把它們合在一起來作全排列，k個(gè)的一

hk組互不能挨近的所有排列數(shù)有AhAh1種.

（3）兩組元素各相同的插空

m個(gè)大球n個(gè)小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？

nAmn1當(dāng)nm1時(shí)，無解；當(dāng)nm1時(shí)，有nCm1種排法.

Ann（4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m個(gè)和n個(gè)，各組元素分別相同的排列數(shù)為Cmn.

158．分配問題

（1）(平均分組有歸屬問題)將相異的m、n個(gè)物件等分給m個(gè)人，各得n件，其分配方法數(shù)共有NCmnCmnnCmn2nC2nCnnnnnn(mn)!.m(n!)（2）(平均分組無歸屬問題)將相異的mn個(gè)物體等分為無記號(hào)或無順序的m堆，其分配方法數(shù)共有

nnnnnCmnCmn(mn)!nCmn2n...C2nCn.Nmm!m!(n!)（3）(非平均分組有歸屬問題)將相異的P(P=n1+n2++nm)個(gè)物體分給m個(gè)人，物件必須被分完，分別得到n1，n2，，nm件，且n1，n2，，nm這m個(gè)數(shù)彼此不相等，則

nmn1n2其分配方法數(shù)共有NCpCpCnm!n1...mp!m!.

n1!n2!...nm!（4）(非完全平均分組有歸屬問題)將相異的P(P=n1+n2++nm)個(gè)物體分給m個(gè)人，物件必須被分完，分別得到n1，n2，，nm件，且n1，n2，，nm這m個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、個(gè)相等，則其分配方法數(shù)有Np!m!.

a!b!c!...n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（5）(非平均分組無歸屬問題)將相異的P(P=n1+n2++nm)個(gè)物體分為任意的n1，

nmn1n2CpCpCnm!n1...mn2，，nm件無記號(hào)的m堆，且n1，n2，，nm這m個(gè)數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)

p!有N.

n1!n2!...nm!（6）(非完全平均分組無歸屬問題)將相異的P(P=n1+n2++nm)個(gè)物體分為任意的n1，n2，，nm件無記號(hào)的m堆，且n1，n2，，nm這m個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、個(gè)相等，

p!則其分配方法數(shù)有N.

n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（7）(限定分組有歸屬問題)將相異的p（pn1+n2++nm）個(gè)物體分給甲、乙、丙，等m個(gè)人，物體必須被分完，如果指定甲得n1件，乙得n2件，丙得n3件，時(shí)，則無論n1，n2，，nm等m個(gè)數(shù)是否全相異或不全相異其分配方法數(shù)恒有

nmn1n2NCpCpCnn1...mp!.

n1!n2!...nm!159．“錯(cuò)位問題”及其推廣貝努利裝錯(cuò)箋問題:信n封信與n個(gè)信封全部錯(cuò)位的組合數(shù)為

1111(1)n].2!3!4!n!推廣:n個(gè)元素與n個(gè)位置,其中至少有m個(gè)元素錯(cuò)位的不同組合總數(shù)為f(n)n![1234f(n,m)n!Cm(n1)!Cm(n2)!Cm(n3)!Cm(n4)!(1)C(np)!(1)C(nm)!ppmmmm

1234pmCmCmCmCmpCmmCmn![11224(1)p(1)m].

AnAnAnAnAnAn160．不定方程x1+x2++xnm的解的個(gè)數(shù)

(1)方程x1+x2++xnm（n,mN）的正整數(shù)解有Cn1個(gè).

m1(2)方程x1+x2++xnm（n,mN）的非負(fù)整數(shù)解有Cnm1個(gè).

(3)方程x1+x2++xnm（n,mN）滿足條件xik(kN,2in1)的非負(fù)整數(shù)解有Cm1(n2)(k1)個(gè).

(4)方程x1+x2++xnm（n,mN）滿足條件xik(kN,2in1)

n11n12n1n2n2n1的正整數(shù)解有Cnm1Cn2Cmnk2Cn2Cmn2k3(1)Cn2Cm1(n2)k個(gè).

n1n1161.二項(xiàng)式定理

0n1n12n22rnrrnn(ab)nCnaCnabCnabCnabCnb;

二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式

rnrr1，2，n).Tr1Cnab(r0，162.等可能性事件的概率

P(A)m.n163.互斥事件A，B分別發(fā)生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．

164.n個(gè)互斥事件分別發(fā)生的概率的和

P(A1＋A2＋＋An)=P(A1)＋P(A2)＋＋P(An)．165.獨(dú)立事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率P(AB)=P(A)P(B).

166.n個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率

P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)．167.n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率

kkPn(k)CnP(1P)nk.

168.離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì)（1）P,2,);i0(i1（2）P1P21.169.數(shù)學(xué)期望

Ex1P1x2P2xnPn

170.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

（1）E(ab)aE()b.（2）若～B(n,p),則Enp.(3)若服從幾何分布,且P(k)g(k,p)qk1p，則E171.方差

1.pDx1Ep1x2Ep2xnEpn

172.標(biāo)準(zhǔn)差

222=D.

173.方差的性質(zhì)

(1)Daba2D；

(2）若～B(n,p)，則Dnp(1p).

(3)若服從幾何分布,且P(k)g(k,p)qk1p，則Dq.p2174.方差與期望的關(guān)系

DE2E.

175.正態(tài)分布密度函數(shù)

2fx1e26x2262,x,，式中的實(shí)數(shù)μ，（>0）是參數(shù)，分別表

示個(gè)體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.

176.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)

x1fxe2,x,.

262177.對(duì)于N(,)，取值小于x的概率

xFx.

Px1x0x2Pxx2Pxx1

2Fx2Fx1

xx12.

178.回歸直線方程

nnxixyiyxiyinxybi1ni1n2yabx，其中22.

xxxnxiii1i1aybx179.相關(guān)系數(shù)

rxxyyiii122(xx)(yy)iii1i1nnnxxyyiii1n(xi2nx2)(yi2ny2)i1i1nn.|r|≤1，且|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越小.

180.特殊數(shù)列的極限0n（1）limq1n不存在|q|1q1|q|1或q1.

0(kt)aknkak1nk1a0at（2）lim(kt).

nbntbnt1bbtt10k不存在(kt)（3）Slima11qn1qxx0na11q（S無窮等比數(shù)列

aq(|q|1)的和）.

n11181.函數(shù)的極限定理

xx0limf(x)alimf(x)limf(x)a.

xx0182.函數(shù)的夾逼性定理

如果函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)在點(diǎn)x0的附近滿足：（1）g(x)f(x)h(x);

（2）limg(x)a,limh(x)a（常數(shù)）,

xx0xx0則limf(x)a.

xx0本定理對(duì)于單側(cè)極限和x的情況仍然成立.183.幾個(gè)常用極限

10，liman0（|a|1）；

nnn11（2）limxx0，lim.

xx0xx0xx0（1）lim184.兩個(gè)重要的極限（1）limsinx1；

x0xx1（2）lim1e(e=2.718281845).

xx185.函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則

若limf(x)a，limg(x)b，則

xx0xx0(1)limfxgxab；

xx0xx0(2)limfxgxab;(3)limxx0fxab0.gxbn186.數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則若limana,limbnb，則

n(1)limanbnab；

nn(2)limanbnab；(3)limanab0

nbbnnnn(4)limcanlimclimanca(c是常數(shù)).187.f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)（或變化率或微商）

f(x0)yxx0limf(x0x)f(x0)ylim.

x0xx0x188.瞬時(shí)速度

s(t)limss(tt)s(t)lim.

t0tt0t189.瞬時(shí)加速度

av(t)limvv(tt)v(t)lim.

t0tt0t190.f(x)在(a,b)的導(dǎo)數(shù)

dydfyf(xx)f(x)f(x)ylimlim.

dxdxx0xx0x191.函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)是曲線yf(x)在P(x0,f(x0))處的切線的斜率

f(x0)，相應(yīng)的切線方程是yy0f(x0)(xx0).

192.幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)C0（C為常數(shù)）.(2)(xn)"nxn1(nQ).(3)(sinx)cosx.(4)(cosx)sinx.(5)(lnx)11ex；(loga)loga.xxxxxx(6)(e)e;(a)alna.

（1）(uv)uv.（2）(uv)uvuv.

""""""193.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

u"u"vuv"(v0).（3）()vv2194.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

設(shè)函數(shù)u(x)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)ux""(x)，函數(shù)yf(u)在點(diǎn)x處的對(duì)應(yīng)點(diǎn)U處有

"""""導(dǎo)數(shù)yuf(u)，則復(fù)合函數(shù)yf((x))在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)，且yxyuux，或?qū)懽?/p>

fx"((x))f"(u)"(x).

195.常用的近似計(jì)算公式（當(dāng)x充小時(shí)）

1n1x;1x1x；2n11x；(2)(1x)1x(R)；

1xx(3)e1x；

(1)1x(4)ln(1x)x；

(5)sinxx（x為弧度）；(6)tanxx（x為弧度）；(7)arctanxx（x為弧度）

196.判別f(x0)是極大（�。┲档姆椒ó�(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí)，

（1）如果在x0附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，則f(x0)是極大值；（2）如果在x0附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，則f(x0)是極小值.197.復(fù)數(shù)的相等

abicdiac,bd.（a,b,c,dR）198.復(fù)數(shù)zabi的模（或絕對(duì)值）|z|=|abi|=a2b2.199.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則

(1)(abi)(cdi)(ac)(bd)i;(2)(abi)(cdi)(ac)(bd)i;(3)(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i;(4)(abi)(cdi)acbdbcad2i(cdi0).222cdcd200.復(fù)數(shù)的乘法的運(yùn)算律

對(duì)于任何z1,z2,z3C，有交換律:z1z2z2z1.

結(jié)合律:(z1z2)z3z1(z2z3).分配律:z1(z2z3)z1z2z1z3.201.復(fù)平面上的兩點(diǎn)間的距離公式

d|z1z2|(x2x1)2(y2y1)2（z1x1y1i，z2x2y2i）.

202.向量的垂直

非零復(fù)數(shù)z1abi，z2cdi對(duì)應(yīng)的向量分別是OZ1，OZ2，則zOZ1OZ2z1z2的實(shí)部為零2為純虛數(shù)|z1z2|2|z1|2|z2|2

z1|z1z2|2|z1|2|z2|2|z1z2||z1z2|acbd0z1iz2(λ為非

零實(shí)數(shù)).

203.實(shí)系數(shù)一元二次方程的解

實(shí)系數(shù)一元二次方程axbxc0，

2bb24ac①若b4ac0,則x1,2;2ab2②若b4ac0,則x1x2;

2a2③若b4ac0，它在實(shí)數(shù)集R內(nèi)沒有實(shí)數(shù)根；在復(fù)數(shù)集C內(nèi)有且僅有兩個(gè)共軛

2b(b24ac)i2復(fù)數(shù)根x(b4ac0).

2a

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