高中數(shù)學(xué)選修4-1知識(shí)點(diǎn)

平分線(xiàn)等分線(xiàn)段定理：如果一組平行線(xiàn)在一條直線(xiàn)上截得的線(xiàn)段相等，那么在其他直線(xiàn)上截得的線(xiàn)段也相等。

推論1：經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線(xiàn)必平分第三邊。推論2：經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線(xiàn)平分另一腰。

平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理：三條平行線(xiàn)截兩條直線(xiàn)，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例。

推論：平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)）所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例。相似三角形的定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比值叫做相似比（或相似系數(shù)）判定兩個(gè)三角形相似的簡(jiǎn)單方法：1.兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。

2.兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似。3.三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。

判斷兩個(gè)三角形相似的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。

判定定理1：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。

判定定理2：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似。

引理：如果一條直線(xiàn)截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)）所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例，那么這條直線(xiàn)平行于三角形的第三邊。（在探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)做到“步步有據(jù)”。有時(shí)為了尋找某個(gè)步驟的推理依據(jù)，往往會(huì)產(chǎn)生一個(gè)原問(wèn)題的輔助問(wèn)題。數(shù)學(xué)家把這種輔助問(wèn)題稱(chēng)為引理。同一法

判定定理3：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。判斷直角三角形相似的方法：

定理1.如果兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么它們相似。

2.如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么它們相似。

此外，與直角三角形全等的判定定理類(lèi)比，可引出直角三角形相似的另一個(gè)判定定理。

3.如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和一個(gè)直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。相似三角形的性質(zhì)定理：

1.相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比和對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比都等于相似比。2.相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。3.相似三角形面積比等于相似比的平方。

4.相似三角形外接圓的直徑比、周長(zhǎng)比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方。5.相似三角形內(nèi)切圓的直徑比、周長(zhǎng)比等于相似比，內(nèi)切圓的面積比等于相似比的平方。正射影：從一點(diǎn)向一直線(xiàn)所引垂線(xiàn)的垂足，叫做這個(gè)點(diǎn)在這條直線(xiàn)上的正射影。點(diǎn)和線(xiàn)段的正射影簡(jiǎn)稱(chēng)為射影。

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高中數(shù)學(xué)選修4-1知識(shí)點(diǎn)

第一講相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)

1.平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理

平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理：如果一組平行線(xiàn)在一條直線(xiàn)上截得的線(xiàn)段相等，那么在其他直線(xiàn)上截得的線(xiàn)段也相等。

推理1：經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線(xiàn)必平分第三邊。推理2：經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線(xiàn)平分另一腰。2.平分線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理

平分線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理：三條平行線(xiàn)截兩條直線(xiàn)，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例。

推論：平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)）所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例。3.相似三角形的判定及性質(zhì)相似三角形的判定：

定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比值叫做相似比（或相似系數(shù)）。

由于從定義出發(fā)判斷兩個(gè)三角形是否相似，需考慮6個(gè)元素，即三組對(duì)應(yīng)角是否分別相等，三組對(duì)應(yīng)邊是否分別成比例，顯然比較麻煩。所以我們?cè)��?jīng)給出過(guò)如下幾個(gè)判定兩個(gè)三角形相似的簡(jiǎn)單方法：（1）兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；

（2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似；（3）三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。

預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)）相交，所構(gòu)成的三角形與三角形相似。

判定定理1：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。

判定定理2：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似。

判定定理3：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。

引理：如果一條直線(xiàn)截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)）所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例，那么這條直線(xiàn)平行于三角形的第三邊。定理：（1）如果兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么它們相似；

（2）如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么它們相似。

定理：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。相似三角形的性質(zhì)：

（1）相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比和對(duì)應(yīng)平分線(xiàn)的比都等于相似比；（2）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；

（3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圓的直徑比、周長(zhǎng)比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方。4.直角三角形的射影定理

射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的比例中項(xiàng)。

第二講直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系

1.圓周定理圓周角定理：圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓周角的一半。圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)。

推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等。推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

2.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理定理1：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。

定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角。

圓內(nèi)接四邊形判定定理：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。

3.圓的切線(xiàn)的性質(zhì)及判定定理

切線(xiàn)的性質(zhì)定理：圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。推論1：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)。推論2：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)圓心。

切線(xiàn)的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)。

4.弦切角的性質(zhì)

弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角。

5.與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段

相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等。

割線(xiàn)定理：從園外一點(diǎn)引圓的兩條割線(xiàn)，這一點(diǎn)到每條割線(xiàn)與圓的交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等。

切割線(xiàn)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)和割線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線(xiàn)與圓交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。切線(xiàn)長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，它們的切線(xiàn)長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角。

6.垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

7.三角形的五心

(1)內(nèi)心：三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，也是三角形內(nèi)切圓的圓心。性質(zhì)：到三邊距離相等。(2)外心：三條中垂線(xiàn)的交點(diǎn)，也是三角形外接圓的圓心。性質(zhì)：到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等。

(3)重心：三條中線(xiàn)的交點(diǎn)。性質(zhì)：三條中線(xiàn)的三等分點(diǎn)，到頂點(diǎn)距離為到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍。(4)垂心：三條高所在直線(xiàn)的交點(diǎn)。

(5)旁心：三角形任意兩角的外角平分線(xiàn)和第三個(gè)角的內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)。性質(zhì)：到三邊的距離相等。

第三講圓錐曲線(xiàn)性質(zhì)的探究

1.平面與圓柱面的截線(xiàn)：

當(dāng)平面與圓柱的兩底面平行時(shí)，截面是個(gè)圓；當(dāng)平面與圓柱的兩底面不平行時(shí)，截面是個(gè)橢圓；定理1：圓柱形物體的斜截口是橢圓。

定理2：在空間中，取直線(xiàn)l為軸，直線(xiàn)l’與l相交于O點(diǎn)，夾角為α，l’圍繞l旋轉(zhuǎn)得到以O(shè)為頂點(diǎn)，l’為母線(xiàn)的圓錐面，任取平面π，若它與軸l的夾角為β(當(dāng)π與l平行時(shí)，記β=0)，則截面不過(guò)頂點(diǎn)時(shí)：

(1)β＞α，平面π與圓錐的交線(xiàn)為橢圓；(2)β＝α，平面π與圓錐的交線(xiàn)為拋物線(xiàn)；(3)β＜α，平面π與圓錐的交線(xiàn)為雙曲線(xiàn)；截面過(guò)頂點(diǎn)時(shí)：

(1)截面和圓錐面只相交于頂點(diǎn)，交線(xiàn)為一個(gè)點(diǎn)。

(2)截面和圓錐面相交于兩條母線(xiàn)，交線(xiàn)為兩條相交曲線(xiàn)。(3)截面和圓錐面相切，交線(xiàn)為兩條重合直線(xiàn)。

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