數學必修5知識點總結

高中數學必修5知識點

第一章：解三角形

1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對邊，R為C的外接圓的半徑，則有

asinbsinacsinC2R．

2、正弦定理的變形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；②sin2R2R2R③a:b:csin:sin:sinC；

abcabc④．sinsinsinCsinsinsinC1113、三角形面積公式：SCbcsinabsinCacsin．

222，sinb，sinCc；（正弦定理的變形經常用在有三角函數的等式中）

4、余弦定理：在C中，有a2b2c22bccos，b2a2c22accos，

222cab2abcosC．5、余弦定理的推論：cosbca2bc222，cosacb2ac222，cosCabc2ab222．

6、設a、b、c是C的角、、C的對邊，則：①若a2b2c2，則C90為直角三角形；②若a2b2c2，則C90為銳角三角形；③若a2b2c2，則C90為鈍角三角形．

第二章：數列

1.數列的有關概念：

（1）數列：按照一定次序排列的一列數。數列是有序的。數列是定義在自然數N*或它的有限子集

{1,2,3,,n}上的函數。（2）通項公式：數列的第n項an與n之間的函數關系用一個公式來表示，這個公式即是該數列的通項公式。如:an2n1。

（3）遞推公式：已知數列{an}的第1項（或前幾項），且任一項an與他的前一項an-1（或前幾項）

可以用一個公式來表示，這個公式即是該數列的遞推公式。如:a11,a22,anan1an2(n2)。

2．數列的表示方法：

（1）列舉法：如1，3，5，7，9，…（2）圖象法：用（n,an）孤立點表示。（3）解析法：用通項公式表示。（4）遞推法：用遞推公式表示。

3．數列的分類：常數列:an2n有窮數列按單調性遞增數列:an2n1,an2按項數2無窮數列遞減數列:ann1擺動數列:a(1)n2nn4．數列{an}及前n項和之間的關系:

n1)S1,(Sna1a2a3anannSnSn1,(22)

5．等差數列與等比數列對比小結：一、定義等差數列anan1d(n2)等比數列anan1q(n2)1．ana1n1danamnmd,nm1．ana1qn1anamqnn12dnm,(nm)二、公式2．Snna1an2na12．Snna1q1a11qnaanq11q1qq11．a,b,c成等差2bac，1．a,b,c成等比b2ac，稱b為a與c的等差中項稱b為a與c的等比中項*三、性質2．若mnpq（m、，2．若mnpq（m、n、p、q*），n、p、q）則amanapaq則amanapaq3．Sn，S2nSn，S3nS2n成等差數列3．Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數列一些方法：

一、求通項公式的方法：

1、由數列的前幾項求通項公式：待定系數法

①若相鄰兩項相減后為同一個常數設為anknb，列兩個方程求解；

2②若相鄰兩項相減兩次后為同一個常數設為ananbnc，列三個方程求解；

③若相鄰兩項相減后相除后為同一個常數設為anaqnb，q為相除后的常數，列兩個方程求解；

2、由遞推公式求通項公式：

①若化簡后為an1and形式，可用等差數列的通項公式代入求解；②若化簡后為an1anf(n),形式，可用疊加法求解；

③若化簡后為an1anq形式，可用等比數列的通項公式代入求解；

④若化簡后為an1kanb形式，則可化為(an1x)k(anx)，從而新數列{anx}是等比數列，用等比數列求解{anx}的通項公式，再反過來求原來那個。（其中x是用待定系數法來求得）3、由求和公式求通項公式：

①a1S1②anSnSn1③檢驗a1是否滿足an，若滿足則為an，不滿足用分段函數寫。二、等差數列的求和最值問題：（二次函數的配方法；通項公式求臨界項法）

ak0a10①若，則Sn有最大值，當n=k時取到的最大值k滿足

d0ak10ak0a10②若，則Sn有最小值，當n=k時取到的最大值k滿足

d0a0k1三、數列求和的方法：

①疊加法；②錯位相減法；③分式時，裂項相消法；④一項內含有多部分的，分組求和法；四、綜合性問題中

①等差數列中一些在加法和乘法中設一些數為ad和ad類型，這樣可以相加約掉，相乘為平方差；

a②等比數列中一些在加法和乘法中設一些數為aq和類型，這樣可以相乘約掉。

q

第三章：不等式

1、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

比較兩個數的大小可以用相減法；相除法；平方法；開方法；倒數法等等。

2、不等式的性質：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；

2

⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0ab⑧ab0nnnn,n1；

anbn,n1．

小結：代數式的大小比較或證明通常用作差比較法：作差、化積（商）、判斷、結論。在字母比較的選擇或填空題中，常采用特值法驗證。

3、一元二次不等式：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式．4、一元二次不等式解法：

（1）化成標準式：ax2bxc0,(a0)；（2）求出對應的一元二次方程的根；（3）畫出對應的二次函數的圖象；（4）根據不等號方向取出相應的解集。附：二次函數的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關系：

000判別式b24ac

二次函數yax2bxc

a0的圖象

有兩個相異實數根

一元二次方程ax2bxc0

有兩個相等實數根

x1x2b2a

a0的根

axbxc0

2x1,2b2a

沒有實數根

x1一元二次不等式的解集

x2a0

axbxc0

2xxx1或xx2

bxx

2aRa0

xx1xx2

5、二元一次不等式：含有兩個未知數，并且未知數的次數是1的不等式．6、二元一次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組．

7、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的x和y的取值構成有序數對x,y，所有這樣的有序數對x,y構成的集合．

8、在平面直角坐標系中，已知直線xyC0，坐標平面內的點x0,y0．①若0，x0y0C0，則點x0,y0在直線xyC0的上方．②若0，x0y0C0，則點x0,y0在直線xyC0的下方．

9、在平面直角坐標系中，已知直線xyC0．①若0，則xyC0表示直線xyC0上方的區(qū)域；xyC0表示直線

xyC0下方的區(qū)域．

②若0，則xyC0表示直線xyC0下方的區(qū)域；xyC0表示直線xyC0上方的區(qū)域．

10、線性約束條件：由x，y的不等式（或方程）組成的不等式組，是x，y的線性約束條件．目標函數：欲達到最大值或最小值所涉及的變量x，y的解析式．線性目標函數：目標函數為x，y的一次解析式．

線性規(guī)劃問題：求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值問題．可行解：滿足線性約束條件的解x,y．

3

可行域：所有可行解組成的集合．

最優(yōu)解：使目標函數取得最大值或最小值的可行解．☆☆☆線性規(guī)劃問題：

1）．了解線性約束條件、目標函數、可行域、可行解、最優(yōu)解

2）．線性規(guī)劃問題：求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值問題．3）．解線性規(guī)劃實際問題的步驟：

（1）將數據列成表格；（2）列出約束條件與目標函數；（3）根據求最值方法：①畫：畫可行域；②移：移與目標函數一致的平行直線；③求：求最值點坐標；④答；求最值；（4）驗證。兩類主要的目標函數的幾何意義:

①zaxby-----直線的截距；②z(xa)2(yb)2-----兩點的距離或圓的半徑；

11、設a、b是兩個正數，則

ab2稱為正數a、b的算術平均數，ab稱為正數a、b的幾何平均數．

ab2ab．

12、均值不等式定理：若a0，b0，則ab2ab，即

13、常用的基本不等式：注意：在應用的時候，必須注意“一正二定三等”三個條件同時成立。①ab2aba,bR；

22②abab222a,bR；

2222ababab③ab；④a0,b022214、均值定理的應用：設x、y都為正數，則有

a,bR．

s42⑴若xys（和為定值），則當xy時，積xy取得最大值．p．

⑵若xyp（積為定值），則當xy時，和xy取得最小值

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必修5知識點總結

1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對邊，R為C的外接圓的半徑，則有

asinbsincsinC2R．

2、正弦定理的變形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；②sin④

a2R，sinb2R，sinCabsinc2R；③a:b:csin:sin:sinC；

csinCabcsinsinsinCsin．

（正弦定理主要用來解決兩類問題：1、已知兩邊和其中一邊所對的角，求其余的量。2、已知兩角和一邊，求其余的量。）

⑤對于已知兩邊和其中一邊所對的角的題型要注意解的情況。（一解、兩解、無解三中情況）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A為銳角）求B。具體的做法是：數形結合思想畫出圖：法一：把a擾著C點旋轉，看所得軌跡以AD有無交點：當無交點則B無解、當有一個交點則B有一解、當有兩個交點則B有兩個解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情況：當a但不能到達，在岸邊選取相距3千米的C、D兩點，并測得∠ACB=75O,∠BCD=45O,∠ADC=30O,

∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面內)，求兩目標A、B之間的距離。本題解答過程略

附：三角形的五個“心”；重心：三角形三條中線交點.

外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點.內心：三角形三內角的平分線相交于一點.垂心：三角形三邊上的高相交于一點.7、數列：按照一定順序排列著的一列數．8、數列的項：數列中的每一個數．9、有窮數列：項數有限的數列．10、無窮數列：項數無限的數列．

11、遞增數列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數列（即：an+1>an）．12、遞減數列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數列（即：an+1④nana1d1；⑤danamnm．

21、若an是等差數列，且mnpq（m、n、p、q*），則amanapaq；若an是等差數列，且2npq（n、p、q*），則2anapaq．22、等差數列的前n項和的公式：①Snna1an2；②Snna1nn12d．③

sna1a2an

23、等差數列的前n項和的性質：①若項數為2nn*，則S2nnanan1，且S偶S奇nd，

S奇S偶anan1．

S奇S偶nn1②若項數為2n1n*，則S2n12n1an，且S奇S偶an，S偶n1an）．

（其中S奇nan，

24、如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，則這個數列稱為等比數列，這個常數稱為等比數列的公比．符號表示：

an1anq（注：①等比數列中不會出現值為0的項；②同號位上

的值同號）

注：看數列是不是等比數列有以下四種方法：

2①anan1q(n2,q為常數,且0)②anan1an1(n2，anan1an10)

③ancqn(c,q為非零常數).

④正數列{an}成等比的充要條件是數列{logxan}（x1）成等比數列.

25、在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，則G稱為a與b的等比中項．若Gab，

22則稱G為a與b的等比中項．（注：由Gab不能得出a，G，b成等比，由a，G，bGab）

2n126、若等比數列an的首項是a1，公比是q，則ana1q．

27、通項公式的變形：①anamqnm；②a1anqn1；③qn1ana1；④qnmanam．

*28、若an是等比數列，且mnpq（m、n、p、q），則amanapaq；若an是等比

數列，且2npq（n、p、q*），則anapaq．

na1q129、等比數列an的前n項和的公式：①Sna1qnaaq．②sn1n1q11q1q2a1a2an

30、對任意的數列{an}的前n項和Sn與通項an的關系：ans1a1(n1)snsn1(n2)

[注]：①ana1n1dnda1d（d可為零也可不為零→為等差數列充要條件（即常數列也是等差數列）→若d不為0，則是等差數列充分條件）.②等差{an}前n項和Sndddd22AnBnna1n→

222可以為零也可不為零→為等差的充要條件→若

為零，則是等差數列的充分條件；若d不為零，則是等差數列的充分條件.

③非零常數列既可為等比數列，也可為等差數列.（不是非零，即不可能有等比數列）．．附：幾種常見的數列的思想方法：⑴等差數列的前n項和為Sn，在d0時，有最大值.如何確定使Sn取最大值時的n值，有兩種方法：

d2n2一是求使an0,an10，成立的n值；二是由Sn數列通項公式、求和公式與函數對應關系如下：數列等差數列等比數列數列等差數列前n項和公式通項公式(a1d2)n利用二次函數的性質求n的值.

對應函數（時為一次函數）（指數型函數）對應函數（時為二次函數）等比數列（指數型函數）我們用函數的觀點揭開了數列神秘的“面紗”，將數列的通項公式以及前n項和看成是關于n的函數，為我們解決數列有關問題提供了非常有益的啟示。例題：1、等差數列分析：因為

中，，則.

是等差數列，所以是關于n的一次函數，

一次函數圖像是一條直線，則（n,m）,(m,n),(m+n,)三點共線，

所以利用每兩點形成直線斜率相等，即，得=0（圖像如上），這里利用等差數

列通項公式與一次函數的對應關系，并結合圖像，直觀、簡潔。例題：2、等差數列

中，

，前n項和為

，若

，n為何值時

最大？

分析：等差數列前n項和可以看成關于n的二次函數=，

是拋物線=上的離散點，根據題意，，

則因為欲求最大。

最大值，故其對應二次函數圖像開口向下，并且對稱軸為，即當時，

例題：3遞增數列，對任意正整數n，

遞增得到：

恒成立，設

恒成立，求

恒成立，即，則只需求出。

，因為是遞的最大值即

分析：構造一次函數，由數列恒成立，所以可，顯然

有最大值

對一切

對于一切

，所以看成函數

的取值范圍是：

構造二次函數，，它的定義域是

增數列，即函數為遞增函數，單調增區(qū)間為,拋物線對稱軸，因為函數f(x)

為離散函數，要函數單調遞增，就看動軸與已知區(qū)間的位置。從對應圖像上看，對稱軸的左側

在

也可以（如圖），因為此時B點比A點高。于是，

，得

⑵如果數列可以看作是一個等差數列與一個等比數列的對應項乘積，求此數列前n項和可依照等比數列前

n項和的推倒導方法：錯位相減求和.例如：112,314,...(2n1)12n,...

⑶兩個等差數列的相同項亦組成一個新的等差數列，此等差數列的首項就是原兩個數列的第一個相同項，

公差是兩個數列公差d1，d2的最小公倍數.

2.判斷和證明數列是等差（等比）數列常有三種方法：(1)定義法:對于n≥2的任意自然數,驗證anan1(anan1)為同一常數。(2)通項公式法。(3)中項公式法:驗證

2an1anan2(an1anan2)nN都成立。

2am03.在等差數列｛an｝中,有關Sn的最值問題：(1)當a1>0,d把①式兩邊同乘2后得

2sn=122232n2234n1②

用①-②，即：

123nsn=122232n2①

2sn=122232n2234n1②

得

sn12222n22(12)12n1n23nn1n2n1

22n2n1n1(1n)22∴sn(n1)2n12

4.倒序相加法:類似于等差數列前n項和公式的推導方法.5.常用結論1）:1+2+3+...+n=

n(n1)2212）1+3+5+...+(2n-1)=n3）12nn(n1)2223334）123n22216n(n1)(2n1)5）

1n(n1)1n1n1

1n(n2)1pq111()2nn21qp1p1q6）()(pq)

31、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

32、不等式的性質：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；

nd0acabdb0a⑥；⑦

⑧ab0

nnbn,n1；

anbn,n1．

33、一元二次不等式：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式．34、含絕對值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式（高次不等式）的解法

穿根法（零點分段法）求解不等式：a0xa1xnn1a2xn2an0(0)(a00)

解法：①將不等式化為a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)>0(0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“

由圖可看出不等式x23x26x80的解集為：

x|2x1,或x4

(x1)(x2)(x5)(x6)(x4)0的解集。

例題：求解不等式

解：略

一元二次不等式的求解：

特例①一元一次不等式ax>b解的討論；

②一元二次不等式ax+bx+c>0(a>0)解的討論.

二次函數yax22

000bxc有兩相異實根x1,x2(x1x2)（a0）的圖象一元二次方程ax2有兩相等實根x1x2b2abxc0a0的根2無實根Raxbxc0(a0)的解集axbxc0(a0)的解集2xxx或xx12bxx2axx1xx2對于a0(或

f(x)g(x)（2）轉化為整式不等式（組）

1xf(x)g(x)0f(x)g(x)0;f(x)g(x)00g(x)0g(x)

f(x)例題：求解不等式：解：略例題：求不等式

xx11

1的解集。

3.含絕對值不等式的解法：基本形式：

①型如：|x|＜a(a＞0)的不等式的解集為：x|axa②型如：|x|＞a(a＞0)的不等式的解集為：x|xa,或xa變型：

其中-c3x23x23x2(x2)(x3)10xR③當x2時，（去絕對值符號）原不等式化為：x2x292x9(x2)(x3)102x2由①②③得原不等式的解集為：x|112x9（注：是把①②③的解集并在一起）2y函數圖像法：

令f(x)|x2||x3|

2x1(x3)則有：f(x)5(3x2)

2x1(x2)f(x)=1051123o292x在直角坐標系中作出此分段函數及f(x)10的圖像如圖11292由圖像可知原不等式的解集為：x|x4.一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的實根的分布常借助二次函數圖像來分析：y設ax2+bx+c=0的兩根為、，f(x)=ax2+bx+c,那么：0①若兩根都大于0，即0,0，則有0

0o對稱軸x=b2ax

0b0②若兩根都小于0，即0,0，則有2af(0)0y

11

對稱軸x=b2aox

③若兩根有一根小于0一根大于0，即0，則有f(0)0

④若兩根在兩實數m,n之間，即mn，

0bnm則有2af(m)0of(n)0yoxymX=b2anx⑤若兩個根在三個實數之間，即mtn，

yf(m)0則有f(t)0

f(n)0

常由根的分布情況來求解出現在a、b、c位置上的參數

例如：若方程x2(m1)xm2m30有兩個正實數根，求m的取值范圍。

4(m1)24(m22m3)00m1m1m3解：由①型得02(m1)00m1,或m32m2m3022omX=tb2anx所以方程有兩個正實數根時，m3。

又如：方程xxm10的一根大于1，另一根小于1，求m的范圍。

55220m(1)4(m1)02解：因為有兩個不同的根，所以由21m122f(1)011m101m12235、二元一次不等式：含有兩個未知數，并且未知數的次數是1的不等式．

36、二元一次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組．

37、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的x和y的取值構成有序數對x,y，所有這樣的有序數對x,y構成的集合．

38、在平面直角坐標系中，已知直線xyC0，坐標平面內的點x0,y0．①若0，x0y0C0，則點x0,y0在直線xyC0的上方．②若0，x0y0C0，則點x0,y0在直線xyC0的下方．39、在平面直角坐標系中，已知直線xyC0．（一）由B確定：

①若0，則xyC0表示直線xyC0上方的區(qū)域；xyC0表示直線

xyC0下方的區(qū)域．

②若0，則xyC0表示直線xyC0下方的區(qū)域；xyC0表示直線

xyC0上方的區(qū)域．

（二）由A的符號來確定：

先把x的系數A化為正后，看不等號方向：

①若是“>”號，則xyC0所表示的區(qū)域為直線l:xyC0的右邊部分。②若是“線性規(guī)劃問題：求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值問題．可行解：滿足線性約束條件的解x,y．可行域：所有可行解組成的集合．

最優(yōu)解：使目標函數取得最大值或最小值的可行解．41、設a、b是兩個正數，則

ab2稱為正數a、b的算術平均數，ab稱為正數a、b的幾何平均數．

ab2ab．

42、均值不等式定理：若a0，b0，則ab2ab，即

43、常用的基本不等式：①ab2aba,bR；②ab222ab222a,bR；③

abab2a0,b0；

2④

ab222ab2a,bR．

44、極值定理：設x、y都為正數，則有：

⑴若xys（和為定值），則當xy時，積xy取得最大值

s42．⑵若xyp（積為定值），則當xy時，和xy取得最小值2例題：已知x解：∵x5454p．

14x5，求函數f(x)4x2的最大值。

，∴4x50

由原式可以化為：

f(x)4x55214x5(54x)154x3[(54x)154x]3(54x)154x3132

當54x154x2，即(54x)1x1，或x32(舍去）時取到“=”號

也就是說當x1時有f(x)max2

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